核工业北京地质研究院-小学升初中语文试题

2011年山东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析


一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2011•山东）设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（ ）
A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据已知条件我们分别计算出集 合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交
集运算的定义易得到A∩B的值．
【解答】解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）
N={x|1≤x≤3}=[1，3]，
∴M∩N=[1，2）
故选A
【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合M，N，并用区间
表示是解答本 题的关键．

2．（5分）（2011•山东）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后
得到最简形 式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．
【解答】解：∵z==﹣i，
） ∴复数在复平面对应的点的坐标是（
∴它对应的点在第四象限，
故选D
【点评】判 断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式
子展开变为复数的代数形 式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．

3．（5分）（2011•山东）若点（a，9）在函数y=3的图象上，则tan
A．0 B． C．1 D．
x
的值为（ ）
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．
xa
【解答】解：将（a，9）代入到y=3中，得3=9，
解得a=2．

∴=．
故选D．
【点评】对于基本初等函数的考查，历年来多数以 选择填空的形式出现．在解答这些知识点
时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题 往往都可以迎刃而解．

4．（5分）（2011•山东）曲线y=x+11在点P（1， 12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析 】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再
3
用点斜 式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x+11在点P（1，
12）处的切 线与y轴交点的纵坐标．
32
【解答】解：∵y=x+11∴y'=3x
2
则y'|
x=1
=3x|
x=1
=3
3
∴曲线y=x+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0
令x=0解得y=9
3
∴曲线y=x+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9
故选C
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标
等有 关问题，属于基础题．

5．（5分）（2011•山东）已知a，b，c∈R，命题“若 a+b+c=3，则a+b+c≥3”的否命题是（ ）
222222
A．若a+b+c≠3，则a+b+c＜3 B．若a+b+c=3，则a+b+c＜3
222222
C．若a+b+c≠3，则a+b+c≥3 D．若a+b+c≥3，则a+b+c=3
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑． 【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题
2 22
“若a+b+c=3，则a+b+c≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．
【解答】解：根据四种命题的定义，
3
222
命题“若a+b+c=3，则a+b+c≥3”的否命题是
222
“若a+b+c≠3，则a+b+c＜3”
故选A
【点评】本题考 查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答
本题的关键．

6．（5分）（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间
间
A ．
上单调递减，则ω=（ ）
B． C．2 D．3
222
上单调递增，在区
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由题意可知函数在x=时确定最大 值，就是
时确定最大值，就是
，求出ω的值即可．
，k∈Z，所以【解答】解：由题 意可知函数在x=
ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．
故选B
【点评】本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考题型．

7．（5分）（2011•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1
的最大值 为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8.5
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】首先做出可行域，将目标函数转化为
线l：在y轴上截距最大即可．
，求z的最大值，只需求直
【解答】解：做出可行域如图所示：
将目标函数转化为
欲求z的最大值，
只需求直线l：
作出直线l
0
：
在y轴上的截距的最大值即可．
，将直线l
0
平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y
，
轴上的截距最大，此时z最大．
由可求得A（3，1），
将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10
故选B

【点评】本题考查线性规划问题，考查数形集合思想解题，属基本题型的考查．

8．（5分）（2011•山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
4 2 3 5
广告费用x（万元）
26 39 54
销售额y（万元）
49
根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【考点】线性回归方程．
【专题】概率与统计．
【分析】首先求出所给数据的平均 数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，
求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把 自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵
=42，
=3.5，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故选：B．
【点 评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个
基础题，这个原题 在2011年山东卷第八题出现．

9．（5分）（2011•山东）设M（x
0
，y
0
）为抛物线C：x=8y上一点，F为抛物线C的焦点，
以F为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y
0
的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】抛物线的简单性质．
中的为9.4，
2

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． < br>【分析】由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y
0
表达，由此可求y0
的取值范围
【解答】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y
0
+2＞4，所以y
0
＞2
故选C
【点评】本题考查直线和圆的 位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离
往往转化为到准线的距离处理．

10．（5分）（2011•山东）函数的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数 的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可
以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区 间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到
满足条件的结论．
【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0
故函数图象过原点，
可排除A
又∵y'=
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C满足要求
故选C
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、 单调
性、奇偶性是我们经常用的方法．

11．（5分）（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．
其中真命题的个数是 （ ）

A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】立体几何．
【分析】由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断①的对错， 由四棱柱的三视
图中，三个均矩形，可判断②的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断③
的真假．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征
进而 判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．
【解答】解：存在正三棱柱，其 三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故①
为真命题；
存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；
对于任意的圆柱，其三视图中 有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，
故③为真命题；
故选：A 【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征
进而判断 出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．

12．（5分）（20 11•山东）设A
1
，A
2
，A
3
，A
4
是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
（λ∈R），（μ∈R），且，则称A
3
，A
4
调和分割
A
1
，A
2
，已知点C（c，0），D （d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下
面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【考点】平面向量坐标表示的应用．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题
即可．
A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．
【解答】解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），
所以λ=c，μ=d，代入得（1）

若C是线段AB的中点，则c=，代入（ 1）d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A
错误；同理B错误；
若C，D同时在线段A B上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，
与条件矛盾，故C错 误．
故选D
【点评】本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关
键．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2011 •山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学
生，为了解学生的 就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调
查，应在丙专业抽取的学生人数 为 16 ．
【考点】分层抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】根据四个 专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体
被抽到的概率，利用丙专业的人 数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．
【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生
∴本校共有学生150+150+400+300=1000，
∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查
∴每个个体被抽到的概率是
∵丙专业有400人，
∴要抽取400×=16
=，
故答案为：16
【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据 是在抽样过程中每个个体被抽
到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．

14．（4分）（2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的< br>值是 68 ．

【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的 顺序，可知：该程序的作
用是利用循环计算并输出y值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中 各变量的值
进行分析，不难得到最终的输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
L m n y
是否继续循环
2 3 5
循环前
2 3 5 278
第一圈 是
2 3 5 173
第二圈 是
2 3 5 68
第三圈 否
此时y值为68．
故答案为：68．
【点评】本题主要考查 了程序框图，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这
一模块最重要的题型，属于基础题．

15．（4分）（2011•山东）已知双曲线和椭圆有相
同的焦点，且双曲线的 离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
．

【分析】先利用双曲 线和椭圆有相同的焦点求出c=，再利
用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲 线的方程．
【解答】解：由题得，双曲线
0），c=：
==⇒a=2．⇒b=c﹣a=3，
222
的焦点坐标为（，0），（﹣，
且双曲线的离心率为2×
双曲线的方程为=1．
故答案为：=1．
【点评】本题是 对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要
注意椭圆中a最大，而双曲线 中c最大．

16．（4分）（2011•山东）已知函数f（x）=log
a< br>x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4
*
时，函数f（x）的零点x
0
∈（n，n+1），n∈N
，则n= 2 ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把要求零点 的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两
个函数的交点的所在的位置，同所 给的区间进行比较，得到n的值．
【解答】解：设函数y=log
a
x，m=﹣x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=log
a
x 在x=2时，一定得到一个值小于1，
在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x
0
∈（n，n+1）时，n=2，
故答案为：2

【点评】本题考查函数零点的判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题一般< br>应用数形结合思想来解决．

三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知< br>．
（1）求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．
【考点】正弦定理的应用；余弦定理．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出
值．
（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．
【解答】解：（1）因为所以
的
即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA
所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA
所以=2
（2）由（1）可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b=a+c﹣2accosB…③
cosB=…④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2
【点评】本题是中档题，考查正 弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数
与方程的思想，考查计算能力，常考题型．

18．（12分）（2011•山东）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1 女，乙校1
男2女．
（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果， 并求选出的2名教
师性别相同的概率；
（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能 的结果，并求选出的2名教师来自同
一学校的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】概率与统计．
【分析】首先根据题意，将甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师
用D表 示，女教师用E、F表示，
（Ⅰ）依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选1名”以及“ 选出的2名教师性
别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案；
222

（Ⅱ）依题意，列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师同一个学校< br>的有6种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案．
【解答】解：甲校的男教师用A 、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女
教师用E、F表示，
（Ⅰ）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，
有（AD），（AE），（AF） ，（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；
其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种；
则选出的2名教师性别相同的概率为P=；
（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，
有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF） （DE）（DF）
（EF）共15种；
其中选出的教师来自同一个学校的有6种；
则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及列举 法的应用，注意结合题意中“写出所有可能的
结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到 不重不漏．

19．（12分）（2011•山东）如图，在四棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，D
1
D⊥平 面ABCD，底
面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A
1
B
1< br>，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA
1
⊥BD；
（Ⅱ）证明：CC
1
∥平面A
1
BD．

【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
2
【分析】（Ⅰ） 由D
1
D⊥平面ABCD，可证 D
1
D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD，
勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD
1
A
1
，再由线面垂直的
性质定理可证 BD⊥AA
1
．
（Ⅱ）连接AC和A
1
C
1
， 设AC∩BD=E，先证明四边形ECC
1
A
1
为平行四边形，可得CC1
∥A
1
E，
再由线面平行的判定定理可证CC
1
∥平 面A
1
BD．
【解答】证明：（Ⅰ）∵D
1
D⊥平面ABCD，
∴D
1
D⊥BD．
又AB=2AD，AD=A
1
B
1
，∠BAD=60°，
△ABD中，由余弦定理得
2222
BD=AD+AB﹣2AB•ADcos60°=3AD，
222
∴AD+BD=AB，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD
1
=D，∴BD⊥面ADD
1
A
1
．
由 AA
1
⊂面ADD
1
A
1
，
∴BD⊥AA
1
．

（Ⅱ）证明：连接AC和A
1
C
1
，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平
行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A
1
B
1
，可得 EC∥A
1
C
1
，且 EC=A
1
C
1
，
故ECC
1
A
1
为平行四边形，∴CC
1
∥A1
E，而A
1
E⊂平面A
1
BD，∴CC
1
∥平面A
1
BD．

【点评】本题考查余弦定理、勾股定理、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理的应用，
体 现了数形结合的
数学思想，属于中档题．

20．（12分）（2011•山东 ）等比数列{a
n
}中，a
1
，a
2
，a
3
分别是下表第一、二、三行中的某
一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．

第一列 第二列 第三列
3 2 10
第一行
6 4 14
第二行
9 8 18
第三行
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列{b
n
}满足：b
n
=a
n
+（﹣1）lna
n
，求数 列{b
n
}的前2n项和S
2n
．
【考点】数列的求和；等比数列；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】本题考查的是数列求和问题．在解答时：
（Ⅰ）此问首先要结合所给列表充分讨论符 合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析
公比进而求得数列{a
n
}的通项公式 ；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{b
n
}的通项进行化简，然后结 合通项的特点，
利用分组法进行数列{b
n
}的前2n项和的求解．
【解答】解：（Ⅰ）当a
1
=3时，不符合题意；
当a
1
=2时，当且仅当a
2
=6，a
3
=18时符合题意；
当a
1
=10时，不符合题意；
所以a
1
=2，a
2
=6，a
3
=18，
∴公比为q=3，
故：a
n
=2•3，n∈N*．
n
（ Ⅱ）∵b
n
=a
n
+（﹣1）lna
n

n
﹣
1nn
﹣
1
=2•3+（﹣1）ln（2•3）
n
﹣
1n
=2•3+（﹣1）[ln2+（n﹣1）ln3]
n
﹣
1nn
=2•3+（﹣1）（ln2﹣ln3）+（﹣1）nln3 < br>∴S
2n
=b
1
+b
2
+…+b
2n

2n
﹣
12n2n
=2（1+3+…+3）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣ 1）
]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）
2n]ln3
=
=3+nln3﹣1
2n
n
﹣
1