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平面的基本性质
学习目标
1、理解三个公理及三个推论及其本质;
2、会用三个公理及三个推论证明 “线共点”、“线共面”、“点共线”.

重点
三个公理及三个推论的理解及应用

难点
三个公理及三个推论的理解及应用
【自学导引】
1． 公理1 如果一条直线的 在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平
面内；
公理2如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集
合是一条过这个公共点的 ；
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面。
2.推论：
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
【基础训练】
1. 用符号表示“点A在
l
直线上，
l
在平面

外”为 ；
2. 空间四点中，三点共线是这四点共面的 条件；
3. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成
部分；
4. 下列命题中正确的个数是 个；
①若
ABC
在平面

外，它的三边所在的直线分别交

于P，Q，R，则P，Q，R三 点共线；
②若三条直线
a,b,c
互相平行且分别交直线
l
于A， B，C三点，则这四条直线共面；
③若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.
5. 空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是 ；
6. 若长方体 的一个顶点上的三条棱的长分别为
3,4,5
，从长方体的一条对角线的一个端点
出发 ,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。
【对点讲练】
例1．如图，在棱长为
a
的正方体
ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，M，N分别为
AA
1
,C
1
D
1
的中点，过
D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l
.
(1) 画出直线
l

(2) 设
lA
1
B
1
P,
求截面DMPN面积

M




A
1



例2. 已知：
Al,Bl,Cl,Dl
；求证：直线AD，BD，CD共面。



1
D

A

B

C

D
1
N
C
1

B
1

例3. 如图，在空间四边形ABCD中，E，H是边 AB、AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的
点，且
CFCG2
,
求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。
CBCD3
A

E
H





课后练习
1、下列命题正确的有
B

F
D

G
C

①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；②每两条 都相交，但不共点的四
条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线
共面。
2、下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是
（把正确图形的序号都填上）
S


P
P

R
Q


Q
S
S
P
S
R
Q

R

R
Q
P

（1） （2） （3） （4）
3．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF 、HG交于一
点M，则M在直线 上。
4．在正方体
ABCDA

1
B
1
C
1
D
1
中，直线
AC
1
交平面
ABC
1D
1
于点M，试作出点M的位置。


E
、
F
分别是
AB
、
AA
1
的中点， 5．如图，在正方体
ABCDA
1
BC
11
D
1
中，
求证：①E
、
C
、
D
1
、
F
四点共面； ②
CE
、
D
1
F
、
DA
三线共点.




6．如图，已知
ABCDA
点
E
在
AA
1
上，
1
B
1
C
1D
1
是棱长为
3
的正方体，
点
F
在
C C
1
上，
且
AEC
1
F1
.
求证：
E,B,F,D
1
四点共面；
E



A
1
D
1
C
1
B
1
A
1
F
D
A
C
E
B
D
1
B
1
C
1
F
D
B
C
A

2

空间几何体

学习目标
1、认识空间几何体，会求几何体的表面积和体积；
2、会画棱柱、棱锥的直观图；
3、了解球与长方体、正四面体的组合体。

重点
空间几何体的认识及表面积和体积的求解

难点
空间几何体的认识及表面积和体积的求解
【自学导引】
1． 多面体有 ， 和 。其中棱台可以由棱锥被 截得而得。
2．棱柱按底面多边形边数可分为 等；按棱与底面的关系可分为
和 。
3．常见的旋转体有 。圆柱可以由 绕 旋转形成；圆锥可以由 绕
旋转形成；圆台可以由 绕 旋转形成；圆台也可以由圆锥被 的平面截得。
4．球可以由 绕 旋转形成。
【基础训练】
1.写出下列集合间的关系是 .
A={四棱柱} B={平行六面体} C={直平行六面体} D={长方体}
E={正四棱柱} F={正方体}
2．最简单的多面体是 .
3. 长方体的全面积为22，棱长之和为24， 则其对角线长为____ ___ .
4. 正四面体的的棱长为a,则其高为 .
5. 正方体的内切球与外接球的体积之比是 .
6. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点
上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 .
7．一张长、宽分别是
8cm,4cm
的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折
成正四棱柱，则此正四棱柱的对角线长为 .
8．如图将三边长分别为3㎝、4㎝、5㎝的直角三角形绕斜边旋转一周
形成的几何体表面积是 体积是 .
9．将半径为2，中心角为
B
120
0

C
A
D
8题图
9题图
2

弧度的扇形卷成圆锥侧面，则该
3
10题图
圆锥体的体积是 .
10．圆锥被中截面所截的小圆锥与圆台的体积之比是 .
【对点讲练】
例1．（1）已知一正四棱柱的底面边长为1cm，高为3cm，请在右侧作出 该几何体的直观
图，并计算其表面积和体积；
（2）已知一正三棱锥的边长为2cm，请在右侧作出该几何体的直观图，并计算其表
面积和体积。



3

例2. 将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，求圆柱的底面半径与体积


2
，底面三角形的三边长分别为
3a,4a,5a(a0)
。用
a它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，求
a
的
例3. 有两个相同的直三棱柱，高为
取值范围


课后练习
1．棱长为1的正四面体的体积是 ，如果该正四面体所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积是 ；体积是 。
2．正四棱锥的侧棱长为
23
， 侧棱与底面所成的角为
60
，则该棱锥的体积为
3．如图，在 正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，D为棱
AA
若截面
BC
1
D
是
1
的中点，
面 积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .
4．正六棱锥P- ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC
体积之比为
5．体积为
8
的一个正方体，其全面积与球
O
的表面积相等，则球< br>O
的体积等
于 ．
6．若一个棱长
为 ．
7．圆锥的轴截面是等边三角形，则其侧面展开扇形中心角的大小
是 。
8．用与球心距离为
1
的平面去截球，所得的截面面积为

，则 球的体积
_ G
_ F
_ E
_ D
A
1

D
B
1

C
1

A
B
第3题图
_ P
C
2
的正四面体的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积
为
_ A

9．圆锥母长线长为6㎝，底面直径为3㎝，在母线SA上有一点B，AB=2
_ B
_
第4题图
C


㎝，求由点A绕圆锥侧面一周到B点的最短距离。







10．试比较表面积相等的正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），球的体积的大小。








4

异面直线
学习目标
1、理解空间两直线的三种位置关系；
2、了解异面直线所成的角。

重点
异面直线的判定

难点
异面直线的判定
【自学导引】
1．直线与直线的位置关系


共面直线



异面直线：不同在 一个平面内

2．直线与直线平行
（1）平行线的传递性（公理4）
平行于 的两条直线互相平行
（2）等角定理
如果一个角的两边分别和另一个角的两边 且方向相同，那么这两个角相等。
3．直线与直线异面
（1）异面直线的判定定理

（2）异面直线所成角的概念

【基础训练】
1.给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异 面直线
a,b
，
如果
a
平行于平面

，那么
b
不平行平面

；③两异面直线
a,b
，如果
a
平面

，那
么
b
不垂直于平面

；④两异面直线 在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 .其中
正确的命题是_____.
2.在正方体 AC
1
中，M是侧棱DD
1
的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1
B
1
上的一点，
则OP与AM所成的角的大小为__ __
3.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
4.两异面直线所成的角的范围是
5.三个平面把空间分成
7
部分时，它们的交线有 条
6.空间 四边形
ABCD
中，
ADBC2
，
E,F
分别是
AB,CD
的中点，
EF3
，则异
面直线
AD,BC
所 成的角
【对点讲练】
例1．求证：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。





5

例2. 已知ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体（图1 ）
A
1
①正方体哪些棱所在的直线与直线BC
1
异面直线？
②求异面直线AA
1
与BC所成的角；
③求异面直线BC
1
与AC所成的角.

A



例3. A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.



课后练习
1、角α与β的两边分别平行，当α=70°时， β=
D
1
B
1
C
1
D
B

C
A
F
B
E
C

D
2、“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ

面α，ｂ

面β
且a∩b＝Φ；③ａ

面α，ｂ

面β且α∩β＝Φ ；④ａ

面α，b

面α ；⑤不存在平
面α，能使ａ
< br>面α且ｂ

面α成立。上述结论中，正确的是____ _；
3、若 E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，
FH= 4，则AC
2
+BD
2
= _
4、在空间四边 形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a
的大小关系是___ __；
5．长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，已知AB=a，BC=b，AA
1
=c，且a>b，
D
1

求： 异面直线D
1
B与AC所成角的余弦值.
A
1


D


A

6、如图，在棱长为2的正方体
ABCDA

B

C

D

中，
E、F
分别是
A

B

和
AB
的中点，
求异面直线
A

F
与CE
所成角的正切值.





7 如图， 已知不共面的直线
a,b,c
相交于
O
点，
M,P
是直线< br>a
上的两点，
C
1

B
1

B
C
a
M
O
N
P
Q
b
c
N,Q
分别是
b,c
上的一点
求证：
MN
和
PQ
是异面直线






6

直线与平面平行

学习目标
1．掌握空间直线和平面的位置关系；
2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；
3．能实现“线线”、“线面”平行的转化

重点
线面平行的判定定理和性质定理的应用

难点
线面平行的判定定理和性质定理的应用
【自学导引】
1．直线l与平面α的位置关系有哪几种？
2．直线与平面所成角的概念：
3．线面平行的判定方法：

判定方法
定义：若一直线与一平面没
有公共点，则直线与平面平
直
线
与
平
面
平
行
若两个平面平行，则一个平
面内的一条直线平行于另一
平面。
若平面外一直线与平面内一
直线平行，则平面外这直线
平行于平面。


行。
图形

a
符号语言

α
α
α
β
a
b

a
4．线面平行的性质：
①性质定理：
②一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
【基础训练】
1. 两条直线a,b都平行于平面

，那么a,b的位置关系是
2．设m，n是平面

内的两条不同直线，
l
1
，
l
2
是平面

内的两条相交直线，则可以作
为



的充分而不必要条件的是
①m

且l
1


② m l
1
且n l
2
③ m

且n

④ m

且n l
2

m、n
及平面

，下列命题中真命题的序号是 3． 已知直线
l、
① 若
lm
，
mn
，则
ln
② 若
l

，
n

，则
ln

③ 若
lm
，
mn
，则
ln
④ 若
l

，
n

，则
ln

4.在 四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN
平行的是_ _______
5．已知A、B两点到平面α的距离分别为1cm,3cm,则AB中点到平面α的距离为

6.与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_________ 个

7

A
【对点讲练】
例1． 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交
D
M
于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
B

P

C


BD
上，点
M
在
B
1
C
上， 例2. 如 图，
ABCDA
1
BC
11
D
1
中，点
N
在
A
1
N
Q
F
E
D
1
B
1
M
C
1
且
CMDN
，
求证：
MN∥
平面
AA
1
B
1
B


D

N

A
例3．求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直
线平行，那么第三条直线也和它们平行。
课后练习
1．给出下列命题，其中正确的命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面
③直线m⊥平面

，直线n⊥m，则n∥


④a、b是异 面直线，则存在唯一的平面

，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.
2.给出下列四个命题：
①若一条直线不在平面内，则这条直线与该平面平行
②若一条直线平行于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面平行
③过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
④过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
其中正确的命题序号是_________
3.过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面 个
4.如图，



α
C
C
B
< br>CD,

EF,

AB,AB∥

,求证 ：
CD∥EF

D
β
A
γ
E
B
F
5．如图，
E 、F、G、H
分别是空间四边形
ABCD
的边
AB、BC、CD、DA
的中点，求
A
证：
（1）四点
E、F、G、H
共面；
H
（2）
BD∥
平面
EFGH
，
AC∥
平面
EFGH
。




6．已知正四棱锥
P
—
ABCD
的底面边长及侧棱长均为13，
M
、
N
分别是
PA
、
BD
上的点，且
PM
∶
MA
=
BN
∶
ND
=5∶8
求证：直线
MN
∥平面
PBC
；

8 B
F
E
D
G
C

直线与平面垂直

学习目标
1.理解直线和平面垂直的概念；
2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；
3.能实现“线线”“线面”垂直的转化.

重点
掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理

难点
能实现“线线”“线面”垂直的转化
【自学导引】
1 线面垂直的判定：
判定方法
定义：如果一条直线垂直
直
于平面内的任意一条直
线线，那么，这条直线就垂
与
直于这一平面。
平
面
如果一条直线垂直于平
垂
面内的两条相交直线，那
直
么这条直线就垂直于这
个平面。
图形

a
b

a
b
O
α
α
符号语言


c
2.直线与平面垂直的性质：
①性质定理：
②其它性质：
【基础训练】
1.设
l
，
m
，
n
均为直 线，其中
m
，
n
在平面

内，“
l
< br>”是
lm
且“
ln
”的
条件.
2．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题， 其中正
确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
3. 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异 于A、B的任意一点，图
中直角三角形的个数是
4．在正三棱柱 ABC-A
1
B
1
C
1
中，已知AB=1，D在棱BB1
上，BD=1，则AD与平面AA
1
C
1
C
所成的角 的正弦为_____ _.
5.P为
ABC
所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影
⑴若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是
ABC
的 心。 < br>⑵若P到
ABC
三边距离相等，且O在
ABC
内部，则O是
ΔABC

的 心。
P
【对点讲练】
例1 .①直线a∥平面α，直线b⊥平面α，求证：a⊥b
②三棱锥中P－ABC，点P在平面ABC内的射影是ΔABC
的垂心，
求证：PA⊥BC
A
B






9
C

例2、①已知PA⊥α，PB⊥β,垂足分别为A, B，且α∩β=L，求证：L⊥面PAB
②在空间四边形ABCD中， AB=AD，BC=CD,求证：AC⊥BD









例3、如图在正方体ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，M,N,G分别是A
1
A、D
1
C、AD的中点，
求证： （1）MN∥平面ABCD （2）MN⊥平面B
1
BG
A1


M
B1

A

D1
C1
G
N
D

1、给定空间中的直线
L
及平面

，条件“直线
L
与平面

内无数条直线 都垂
直”是“直线
L
与平面

垂直”
的 条件.
2、P为
ABC
所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影
①若PA

BC，PB

AC，则O是
ΔABC
的 心.
②若PA、PB、PC与底面成等角，则O是
ΔABC
的 心.
B
C
3、已知RtΔABC的斜边BC在平面

内, 两直角边AB 、AC分别和平面

成
45
和
D
30
角，则 斜边BC上的高AD和与

所成的角为
4、在空间四边形 ABCD中，BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，
求证：AH⊥平 面BCD.


5、如图,
PA
矩形
ABCD
所在平面,
M,N
分别是
AB
和
PC
的中点.
(1)求证:
MN
平面
PAD;
(2)求证:
MNCD;

(3)若
PDA45
, 求证:
MN
平面
PCD.




6、 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.
E
A
B
C
H




10

直线和平面平行和垂直

学习目标
1.掌握 直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理；2.能运用判定定理和性质定理解决有
关平行、垂直问题 ；3.能理解转化思想在解题中的运用.
重点
掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理

难点
能运用判定定理和性质定理解决有关平行、垂直问题
【自学导引】
1．直线l与平面α的位置关系有哪几种？
2．直线与平面所成角的概念：
3．线面平行的判定方法有哪些：
4．线面平行的性质有哪些：
5．线面垂直的判定方法有哪些：
6．线面垂直的性质有哪些：
【基础训练】
1.如果直线
l
与平面

不垂直，那么在平面内 （ ）
A、不存在与直线
l
垂直的直线 B、有且仅有一条与
l
垂直的直线；
C、存在无数条与
l
垂直的直线 D、任意一条直线都与
l
垂直
2.对于平面

和共面的直线m
、
n，下列命题中真命题是
A. 若m⊥

，m⊥n，则n∥

B. 若m∥

，n∥

，则m∥n
C. 若m


，n∥

，则m∥n D. 若m、n与

所成的角相等，则n∥m
3. 给出以下四个命题：其中真命题的个数是
①如果一条直线 和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行.
④若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和两平面的交线平行。
4．给出下列命题，其中正确的命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行.
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面.
③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α.
④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.
5． 若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是9，17，过AB的中点E且平行于BD、
A C的截面四边形的周长为_______
【对点讲练】
例1、P为长方形ABCD所在平面 外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且
求证：MN平面PBC
D
AMDN
，
BMNP
P
N
C
B

11 A
M

例2、如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥面ABC，∠AB C=90
0
,AE⊥PB交于E，AF
⊥PC交于F，
P
求证：（1）BC⊥平面PAB （2）AE⊥平面PBC （3）PC⊥平面AEF




段
AC
1
,AC
11
,BB
1
的中点
求证：（1）
EF
面
BCC
1
B
1
； （2）
GF
平面
AB
1
C
1






A
A
E
C
B
F
例3、如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1< br>中，
ABBC,BCBC
1
,ABBC
1
，
E ,F,G
分别为线
A
1
E
B
G
F
B
1
C
1
C
1.
如图，平面α∩β=EF ，AC、BD为异面直线，且AC⊥β，BD⊥α，AB是AC、BD
的公垂线，求证：AB∥EF
E






2.平行四边形ABCD与平行四边形ABEF所在的平面交于AB，
D
33
BN=BF
，求证：MN平面BCE
MAC,NBF,
且CM=AC，
77
a,b
是异面直线，
A,C
与
B,D
分别是
a,b
上的两点，3.如图，直线
a平面

，
直线
b平面

，
AB

M,CD

N
,
AMBM
，求证：
CNDN






A
C

F
B
A
C
M
α
B
N
D
4 .如图，在正方体
AB CDA'B'C'D'
中，
M
为棱
CC'
的中点，
AC< br>与
BD
交于点
O
，求证：
A'O平面MBD
。





D'
C'
A'
B'< br>M
D
O
A
C
B
5.如图，正三棱柱
ABC
1


的
C
侧面三条对角线
AB
1
，求证：
AB
1
CA
1

AB
1
,B C,
1
CA中，
1
ABBC
1
A
B
C< br>A
1
B
1
C
1

12

两平面平行

学习目标
1、掌握面面平行的判定定理和性质 定理；2、能运用判定定理和性质定理证明有关平行问题，
并会求平行平面的距离；3、能熟练进行线线 平行，线面平行，面面平行的转化
重点
掌握面面平行的判定定理和性质定理

难点
能运用判定定理和性质定理证明有关平行问题，并会求平行平面的距离；
【自学导引】
1、两个平面的两种位置关系：
2、两平面平行的判定
判定方法
图形
符号语言
a
定义：没有公共点的两个平面平行。
平
面
与
定理：如果一个平面内 有两条相
平
面
交直线平行于另一个平面，那么这
平
两个平面互相平行 。
行
b



β
a
b

垂直于同一条直线的两平面平行
α
b
l
b


3、两个平面平行的性质定理
4、两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义
【基础训练】
1、1）一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。
2）两个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。
3）两个平面都与第三个平面平行，则这两个平面平行。
4）一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行。
5）若两个平面平行，则一个平面内的任一条直线都平行与另一个平面。
6）若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
7）若一个平面内有三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
以上命题中真命题的序号为_____________.
2、 设直线a在平面M内，则面M∥面N是a∥面N的 条件。
3、平面
内有不共线的三点到平面

的距离相等，则

与

的关 系是
4、已知a∥

、a⊥

，则面

与面

的位置关系是
5、面M∥N，a
< br>M、b

N，则在下面四种情况：①a∥b，②a⊥b，③a与b异面，④a、b
相交，其中可能出现的情况有 种
【对点讲练】
例1、（1）正方 体AC
1
中，求证：平面ACB
1
平面A
1
C
1< br>D
（2）在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，设M、N分别为棱A
1
B
1
、
A
1
D
1
的中点，E、F分别为棱B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点，
求证：（1）E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFDB



13
A
D
1

N
M
F
B
1

E
D
B
C

例2、如图，B为△ACD所在平面外一点
（1）若棱AB、BC、BD的中点分别为E、F、G，求证平面EFG∥平面ACD；
（2 ）若M、N、P分别是△ABC、△ABD、△BCD的重心，且△ACD是边长为2的正三角
形；①求 证：平面MNP∥平面ACD. ②判断△MNP的形状，并求△MNP的面积.
B



P

M
N

A


例3、已知A为平行四边形BCDE所在平面外一点，P、Q、R分别是
C
AB、AC、AE上的点，且AP:PB=1:2，AQ:QC=AR:RE=2:1，
求证：AD∥平面PQR.
A




Q



C
1、夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系 是_________．
0
P
D
R
B
E
D2、夹在两个平行平面

、

之间的线段
AB8
，且
AB
与

成
45
角，则

与

之间
的距离为_________．
3、设平面



，A，C∈α, B,D∈β直线AB∩CD=S, 若AS=18,BS=9,CD=34,则
CS=_____________
4、下列命题 ：（1）平行于同一直线的两平面平行，（2）垂直于同一直线的两平面平行（3）
平行于同一平面的两 平面平行（4）与一直线成等角的两平面平行，其中正确的命题有
5、已知 a、b为异面直线，平面α过直线a且与b平行，平面β过b且与a平行，求证：α
∥β.


6、①垂直于同一条直线的两平面平行；
②一条直线垂直于两平行平面的一个也垂直于另一个。



7、 直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中
B
1< br>C
1
A
1
C
1
,AC
1
⊥
A
1
B
,M,N分别为
A
1
B
1
,AB 的中点
（1）求证：
C
1
M
⊥面
A
1
A BB
1
（2）求证：
A
1
B
⊥AM （3）求证：面
AMC
1
∥面
NB
1
C









14

两平面垂直

学习目标
1、掌握面面垂直的判定和性质定理的运用；2、能进行线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化
重点
面面垂直的判定和性质定理运用

难点
面面垂直的判定和性质定理运用
【自学导引】
1、如果两个平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直；
2、两平面垂直判定
判定方法
图形 符号语言

平
面
与
平
面
垂
直
定义：如果两平面所成的二面角是
直二面角，则称这两平面互相。
a
b


定理：如果一个平面经过另一个平
面的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直。
a
b

3、平面与平面垂直的性质定理：______________ ___________________
___________________________ _,即_____________________________.
【基础训练】
②
l

，③
m

中的 （填序号）

1、已知平面α、β、γ及直线
l
、m满足：γ∩α=m, γ∩β=
l
,
lm
，α⊥γ，则由此可推出：①β⊥γ，
2、P为 △ABC所在平面外一点，AC=
2
a，△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC是否垂直 .
3、若m,n,
l
互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面
①m⊥α,n⊥α,则m∥n； ②若α⊥β，
l

α，则
l
⊥β
③若
l
⊥m，m⊥n，则
l
∥m
⑤若m∥α,m⊥n，则n⊥α
④若
l
⊥α，
l
∥β则α⊥β
⑥
l
⊥m ,
l
⊥n,n

α,m

α,则
l
⊥α
β
α
l
C
B
A
E
⑦α⊥β，α⊥γ，则β∥γ ⑧α⊥β，α⊥γ，β∩γ=
l
,则
l
⊥α
其中正确的命题的序号是 .
A
4、如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若AE=1，则：
①在四个侧面中共有 个直角三角形；②平面ADE与平面BCE所成角为
B
D
【对点讲练】
例1、（1）如图，已知ABCD是正方形，PA垂 直于ABCD所在的平面，试写出图中所有互
相垂直的平面对，并说明理由。
（2）在四面体ABCD中，若BD=
2
，AB=AD=BC=CD=AC=1，
求证：面ABD

面BCD.

15
B
A
O
C
P
C
D

例2如 图所示，直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，B
1
C
1
=A
1
C
1
，AC
1
⊥A< br>1
B，M、N分别是A
1
B
1
、
AB的中点，
①求证：C
1
M⊥平面A
1
ABB
1
；
②求证：平面A
1
C
1
M⊥平面A
1
BC
1
；
③求证：平面AMC
1
∥平面NB
1
C.



例3、已知直角

ABC中，AB=AC=a，AD为斜边BC 的高，以AD为折
痕使

BDC成直角，
求证：1）面ABD

面BDC,面ACD

面BDC；
2）

BAC=60
0
.

A
1

C
1

B
1

M
A
N
B
C
1、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“



”是“
m

”
的 条件
2、等边
ABC
的边长为1，BC边上的高为AD，若沿高AD将它折成直二 面角B—AD—C，
则A到BC的 距离为_________
3、给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两
条直线相互平 行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一
个平面也不垂直. 其中为真命题的是
4、设AB为圆O的直径，C是圆周上的异于A、B两点的 任意一点，PA

平面ABC，
求证：平面PAC

平面PBC.





5、已知

ABC为正三角形，EC

平面ABC，BDCE,
且CE=CA=2BD，M是EA中点，
求证：1）DE=DA
2）
平面MBD平面ECA

3）
平面DEA平面EAC







16

空间平行与垂直
学习目标
1、掌握线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理；
2、能运用判定定理和性质定理解决有关平行、垂直问题；
3、能熟练进行线线平行，线面平行，面面平行的转化.

重点
掌握线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理；

难点
能熟练进行线线、线面、面面之间关系的转化，理解转化思想在解题的运用。
【自学引导】
1、直线与平面位置关系有:
2、直线与平面所成角的概念:
3、线面平行的判定方法有哪些：
4、线面平行的性质有哪些：
5、线面垂直的判定方法有哪些：
6、线面垂直的性质有哪些：
7、面面平行的判定方法有哪些：
8、面面平行的性质有哪些：
9、面面垂直的判定方法有哪些：
10、面面垂直的性质有哪些：
【基础训练】
1、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那 么这两个平面
相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一
直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直
线与另 一个平面也不垂直.其中，为真命题的是
2、设

,

是两个不同的平面，
l
是一条直线，以下命题正确的是
①若< br>l

,



，则
l

②若
l

,



，则
l
< br>
③若
l

,



，则
l

④若
l

,



，则
l



3、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一 条直线，则“



”
是“
m

”的 条件
4、如图，在四面体
ABCD
中，截面
PQMN
是正方形，则 在下列命题中，错误的
．．
为
①
ACBD
②
AC
∥截面
PQMN

③
ACBD

④异面直线
PM
与
BD
所成的角为
45

5、正六 棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－
GAC体积之比为
6、 如图，正方体
ABCDA
线段
B
1
D
1< br>上有两个动点E，F，且
EF
1
BC
11
D
1的棱长为1，
则下列结论中错误的是
①
ACBE

②
EF平面ABCD

③三棱锥
ABEF
的体积为定值 ④异面直线
AE,BF
所成的角为定值
B
N
C
M
P
A
Q
D
2
，
2
AB
共面也与
C C
1
共面的棱的条数为 7、平面六面体
ABCDABC
111
D
1
中，既与
8、设

和

为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若

内的两条相交直线分别平行于
< br>内的两条直线，则

平行于

；（2）若

外一条直 线
l
与

内的一条直线平行，则
l
和

平 行；（3）设

和

相交于直线
l
，若

内有一条直线垂直于
l
，则

和

垂直；（4）直

17

线
l
与

垂直的充分必要条件是l
与

内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号
．．．
（写出所有真命题的序号）

对点讲练】
例1.如图，在 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
E< br>、
F
分别是
A
1
B
、
AC
1
的中点，

点
D
在
B
1
C
1
上 ，
A
（1）EF∥平面ABC；（2）平面
A
1
DB
1< br>C

求证：
1
FD
平面
BB
1
C< br>1
C






例2、如图，四 棱锥
PABCD
的底面是正方形，
PD底面ABCD
，
点E在棱 PB上（Ⅰ）.求证：平面
AEC平面PDB
；（Ⅱ）当
PD2AB
且E 为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大







例3、如图，平行四边形
ABCD
中，
DAB60
，
AB2,AD4
将
CBD
沿
BD
折起到< br>EBD
的位置，使平面
EDB
平面
ABD

（I）求证：
ABDE
（Ⅱ）求三棱锥
EABD
的侧面积




1、在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A A
1
、A
1

B
1
、A
1
D
1
与B C、C C
1
、CD中点.求证：平面EFG∥面MNQ


2、已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
，若过面对角线AB
1
与另一面对角线
BC
1
平行的平 面交上底面A
1
B
1
C
1
的一边A
1
C< br>1
于点D.（1）确定D的位
置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB
1< br>D⊥平面AA
1
D；


A
C
1
A
1
B
1
C
B

8、如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，
侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
A
P

D
G
C



18
B