福建高考网-河南工商局企业年检

第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征
课标要求
1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念.
3.概括并掌握柱体、锥体、 台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型.
学法指导
1.通过实物理解几何体的相关概念和结构特征,根据简单几何体的结构特征分析简单组合体的构成.
2.通过对柱、锥、台关系的分析,进一步理解其结构特征.
3.根据几何体的结构特征判断几何体的类型.
新课导入——实例引领

思维激活

实例
:
小学和初中我们学过平面上的一些几何图形
,
如直线
,
三角形
,
长方形
,
圆等
.< br>现实生活中
,
我们周围还存在着很多不是
平面上而是“空间”中的物体
,
它们占据着空间的一部分
,
如粉笔盒、足球、易拉罐等
.
如果只考 虑这些物体的形状和大
小
,
那么它们有很多相同的特征
.
(1)

(2)
知识探究——自主梳理 思考辨析
1.空间几何体的分类
多面体 旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的
定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条定直线旋转所形成的封闭几何
体

图形

面:围成多面体的各个多边形.棱:相邻两个面的公共边.
顶点:棱与棱的公共点.

轴:形成旋转体旋转所绕的定直线 相关概念
思考1:多面体最少有几个面?
(最少有4个面)
2.柱体的结构特征见附表
3.锥体的结构特征见附表
4.台体的结构特征
台体
棱台
结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去
截棱锥,底面与截面之间的部分
叫 做棱台.原棱锥的底面和截面
图形 表示法
上、下底面分别是四边
形A′B′C′D′、四

边形ABCD的四棱台,

分别叫做棱台的下底面和上底
面.
用平行于圆锥底面的平面去截圆
锥,底面与截面之间的部分叫做
圆台,与圆柱和圆锥一样,圆台 也
有轴、底面、侧面、母线.棱台与
圆台统称为台体.
可记为棱台ABCD-A′
B′C′D′
圆台

圆台用表示它的轴的
字母表示,左图中圆台
表示为圆台OO′
思考2: (1)我们能够对棱柱、棱锥、棱台进行分类吗?若能,如何分类?
(能,按底面多边形边数可分为三 棱柱、四棱柱、五棱柱„„;三棱锥、四棱锥、五棱锥„„;三棱台、四棱台、
五棱台„„)
(2)柱体、锥体、台体之间有怎样的关系呢?
(①棱柱、棱锥、棱台的关系如图所示.

① 的关系可统一为:

5.球的结构特
球体 结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转
球
一周形成的旋转体叫做球体,简称球 .半圆的圆
心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半
圆的直径叫做球的直径.

6.简单组合体的结构特征
(1)简单组合体:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:
①由简单几何体 而成;
②由简单几何体 一部分而成.
题型探究——典例剖析 举一反三
题型一 简单几何体的结构特征
【例1】 下列命题正确的是 .
①正方体是四棱柱;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共 点;③棱台的侧棱延长后相交于一点;④
以直角三角形一边所在直线为旋转轴,旋转形成的旋转体为圆锥 ;⑤球表面上任意一点到球心的距离都等于
球半径
解析:由棱柱、棱锥、棱台的定义知①②③ 正确,以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴,旋转形成的旋
转体为圆锥,故④不正确;由球的定义 知⑤正确.

图形 表示法
用表示球心的
字母表示,左
图中的球表示
为球O

答案:①②③⑤
题后反思 解决该类题目需准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.
跟踪训练1-1:下列命题正确的是( )
①一个棱柱至少有五个面 ②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台 ③棱台的侧面是等腰
梯形 ④棱柱的侧棱互相平行
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
解析:因为棱柱 有两个底面,因此棱柱的面数由侧面个数决定,而侧面个数与底面多边形的边数相等,故面数最
少的棱柱 为三棱柱有五个面,①正确;②中的截面与底面不一定平行,故②不正确;由于棱台是由棱锥截来的,
而 棱锥的所有侧棱不一定相等,所以棱台的侧棱不一定都相等,即不一定是等腰梯形,③不正确;由棱柱的定义知④正确,故选A.
题型二 折叠与展开
【例2】 以下三个平面图形沿虚线折叠后围成的几何体分别是 、 、 .

名师导引: (1)以上三个图形,是多面体还是旋转体的展开图?(从展开图上看,它们都是由多边形 面形成的,都
是多面体)
(2)从展开图上分析,各几何体的底面是什么形状?侧面是什么形 状?(图(1)的底面是五边形,侧面是矩形;图(2)
的底面是五边形,侧面是三角形;图(3)的底 面是三角形,侧面是梯形)
解析:由图(1)知几何体的各侧面是矩形,底面是五边形,该几何体是五 棱柱,由图(2)知该几何体的侧面是三角
形,底面是五边形,故该几何体是五棱锥,由图(3)知该几 何体侧面是梯形(且各梯形的腰所在的直线交于一点),
底面是三角形,因此该几何体是三棱台.
答案:五棱柱 五棱锥 三棱台
题后反思 (1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.
(2)若给出多面体画其 展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧
面.
跟踪训练2-1:(2014福州八县高一联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P是AA 1的中点,E是BB1
上的点,则PE+EC的最小值是 .
解析:将正方体的侧面 ABB
1
A
1
,BCC
1
B
1
放在同一平 面内,如图,则PE+EC的最小值为
PC=
PA
2
AC
2=
1
2
4
2
=
17
.

题型三 简单组合体的结构特征
【例3】 如图所示的平面图形ABCDE中,CD∥AE, 曲边DE为四分之一圆周,且圆心在AE上,该图形绕AE
所在直线旋转一周,想象并说出它形成的几何 体的结构特征.

名师导引:将图形进行分割,逐一分析.
解:如图,图①是直角三角形,旋转 一周形成圆锥;图②是直角梯形,旋转一周形成圆台;图③和图④旋转一周分
别形成圆柱和半球,因此该 平面图形旋转一周形成的几何体是圆锥、圆台、圆柱、半球的组合体.
题后反思 本题是不规则图形的 旋转问题.对于不规则平面图形绕轴旋转问题,首先要对原平面图形作适当的
分割,一般分割成矩形、梯 形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形,然后结合圆柱、圆锥、圆台、球
的形成过程进行分析 .
跟踪训练3-1:某奖杯的形状如图,说出它的结构特征.

解:该奖杯是由球、四棱柱、四棱台三个几何体拼接而成.
备选例题
【例1】 下列命题中,正确的是( )
(A)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
(B)棱柱中互相平行的一对平面都是棱柱的底面
(C)棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形
(D)棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形
解析:A选项不符合棱柱定义,所以错;对于B选 项,如图(1),构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1,令四边形ABCD是
梯形,可知平面ABB 1A1∥平面DCC1D1,但这两个面不能作为棱柱的底面,所以错;选项C中,如图(2),底面
A BCD可以是平行四边形,所以错;D选项说明了棱柱的特点,正确,故选D.

【例2】 如图所示,在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的
过 程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时 ,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,水面的形状,水的形状有何变化?
解:(1) 不对;水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,
可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜 时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分
的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时 ,是三棱柱;水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长 方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,因而水面的形状可以
是三角形、四边形、五 边形、六边形;水的形状可以是棱锥、棱柱,但不可能是棱台.
【例3】 如图所示,平面图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的?

解:如图所示:是由一个圆锥O4O5一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖出圆锥O1O2组成.

【例4】如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点 B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点
C1,与AA1的交点记为M.求:

(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)从B经M到C
1
的最短路线长 及此时
A
1
M
的值.
AM

解:沿侧棱BB1
将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB
1
B
1
′B′.
(1)矩形BB
1
B
1
′B′的长BB′=6,宽BB
1< br>=2.
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为
6
2
2
2=2
10
.
(2)由侧面展开图可知:当B,M,C
1
三点共 线时,由B经M到C
1
点的路线最短.
所以最短路线长为BC
1
=
4
2
2
2
=2
5
.
显然Rt△ABM≌Rt△A
1
C
1
M,
所以A
1
M=AM,即
A
1
M
=1.
AM
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.在三棱锥A- BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:三棱锥A-BCD的四个面都可以当作棱锥的底面.故选D.
2.下列命题正确的是( )
(A)用一个平面截球,截面是圆面
(B)用一个平面截圆柱,截面是圆面
(C)用一个平面截正方体,截面是正方形面
(D)用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台
解析:用任何一个平面截球,截面都是圆面,即只有A正确.故选A.
3.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:
①点H与点C重合;②点D与点M与点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合.
其中正确命题的序号是 (注:把你认为正确的命题序号都填上).

解析:若将正方体的六个面分别用“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”标记,不妨记面N PGF为“下”,
面PSRN为“后”,则易得面MNFE、PQHG、EFCB、DEBA分别为“左 ”、“右”、“前”、“上”,按各面的
标记折成正方体,则可以得出D、M、R重合;G、C重合;B 、H重合;A、S、Q重合,故②④正确,①③错误,所
以答案是②④.
答案:②④
课堂小结
1.在理解柱、锥、台、球的结构特征的基础上会判断几何体的类型.
2.组合体有三种组合类型,分别是多面体与多面体组合,旋转体与旋转体组合,多面体与旋转体组合.



1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
课标要求
1.了解中心投影与平行投影.
2.能画出简单的空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体模型.
学法指导
1.注意区分平行投影与中心投影.
2.结合实物模型,画出空间几何体的三视图.
3.根据三视图,想象几何体的结构.
新课导入——实例引领 思维激活
实例: “一口叙说千古事,双手对舞百万兵”的皮影戏,是深受群众喜爱的一种民间艺术,它最早流传于鲁南、
苏北、浙江、河北一带,后来逐渐扩散到全国各地.

想一想 我们看到的皮影戏是皮纸偶的 一面投影,而在实际生活中我们要观察一个物体,需要
从哪几个角度观察,才能了解其全面的形状?
(需从正面、侧面、上面三个角度观察)
知识探究——自主梳理 思考辨析
1.投影
(1)投影的定义

由于光的照射,在不透明物体后面的屏 幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把 叫
做投影线,把 叫做投影面.
(2)投影的分类
①中心投影:光由 散射形成的投影.
②平行投影:在一束 照射下形成的投影.
当投影线 时,叫做正投影,否则叫做 .
思考1:中心投影与平行投影有什么区别?
(①中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.
②平行投影下,与投影面平行 的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则
不同.
③画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法)
2.空间几何体的三视图
三视图

正视图

侧视图

俯视图

定义

光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图,叫做几何体的正视图.

光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图,叫做几何体的侧视图.

光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图,叫做几何体的俯视图.

思考2:三视图之间有怎样的关系?
(一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视 图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.一般地,侧视
图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边)
题型探究——典例剖析 举一反三
题型一 简单几何体的三视图
【例1】 画出下列几何体的三视图.


解:图(1)的三视图如图所示

图(2)的三视图如图所示

题后反思 画几何体的三视图时需注意的问题
(1)确定正视的方向,同一物体观察的角度不同,所画的三视图可能不同;

(2)注意辨析分界线,以及轮廓线的实与虚;
(3)正确摆放三个视图的位置.
跟踪训练1-1:(2014清远市高二期末)如图,正三 棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,其正(主)
视图如图所示,则此三棱柱侧(左)视图的面积 为( )


解析:由题意知,正三棱柱的底面边长为2,高为2,则左视图为底 为
3
,高为2的矩形,面积为2
3
.故选D.

题型二 简单组合体的三视图
【例2】 如图所示的一实物,画出它的三视图.

名师导引:此实物由哪些简单几何体组成?(一个圆柱、半个小圆柱,一个不规则柱体)
解:三视图如图所示:

题后反思 画简单组合体的三视图,首先确定组合体的组成 形式,然后确定每个组成部分,最后
画出三视图.若相邻两个几何体的表面相交,表面的交线是它们的分 界线,在三视图中,要将分
界线按虚(或实)线画出.
跟踪训练2-1:(2014葫芦岛高一期末)一根钢管如图所示,则它的三视图为( )







解析:该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体,三视图为B.

题型三 由三视图还原几何体
【例3】 (2014濮阳高一期末 )如图1为长方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体
的长方体木块的块数共有( )
(A)3块 (B)4块 (C)5块 (D)6块





2
1

解析:该几何体的实物图如图2.故选B.
题后反思 (1)根据三视图还原几何体,要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象,然后
综合三视图的形状,从不同的角度去还原.看图和想图是两个重要的步骤,“想”于“看”中,
形状分 析的看图方法是解决此类问题的常用方法.
(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体, 再结合正视图和侧视图确定具体的
几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.
跟踪训练3-1:(2013年高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
A)棱柱
(B)棱台
(C)圆柱

(D)圆台
解析:由正视图、侧视图可排除选项A、C,由俯视图可排除B.故选D.
备选例题
例1】 如图所示的是一些立体图形的三视图,请说出立体图形的名称:

解:由已 知可知图(1)的俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又正视图和侧视图都是矩形,则
图(1)是三 棱柱;图(2)的俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又正视图和侧视图均是三角形,
则该多面体的 各个面都是三角形,则图(2)是三棱锥.
【例2】 画出图中几何体的三视图

解:正视图和俯视图都是矩形且都能看到两条分界线,侧视图则是一个有一条对角线的正方形,
三视图如 图所示.

【例3】如图是由小立方块搭成的几何体的俯视图,小正方形中的 数字表示在该位置的小立方
块的个数,请画出它的正视图和侧视图.

解:画正视图 时,先看俯视图从左至右共几列.图中共3列,命名为A、B、C(命名的目的是为了
方便下文叙述,具 体画图时,可以不命名),并排画连续的三个正方形,如图(1).接着看俯视图各
列上的最大数字,在 A、B、C三列上,从上至下分别画4,3,3个正方形(含(1)中的正方形),如图
(2).

画侧视图时,假设观察者站在俯视图的左侧,从左到右共4列,命名为M、N、P、Q,并排 画连
续的4个正方形,如图(3),再看M、N、P、Q列上的最大数字分别是3,3,4,3,并在图 (3)对应位
置上画正方形,使M、N、P、Q列上正方形个数分别为3,3,4,3(含(3)中的正 方形),如图(4).
故图(2)与图(4)就是所求的正视图与侧视图.
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( )
(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱
解析:一般地,圆柱的正视 图是矩形,侧视图是矩形,而俯视图是圆.而球、正方体、三棱锥的三
视图形状都相同,大小均相等是可 以的,故选D.
2.(2014南宁高一期末)下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是( )

(A)①③ (B)②③ (C)②④ (D)③④
解析:①③的三个视图都相同,②④的正视图与侧视图相同.故选C.
3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 .

解析解析:几何体 的俯视图是圆(及圆心),则该几何体是旋转体,又正视图和侧视图均是三角形,
因此该几何体是圆锥.
答案:圆锥
4.(2014肇庆高二期末)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的 正方形,则该正方体
的正视图的面积S的取值范围是 .

解 析:正视图的最小面积为正方形ABB
1
A
1
的面积1,最大面积为矩形AC C
1
A
1
的面积
2
,故所求范围为
[1,
2
].
课堂小结
1.画几何体的三视图要注意“正、侧等高,正、俯等长,侧、俯等宽”,同时要分清实虚线.
2.画简单组合体的三视图,要弄清组合体的组成,特别要注意它们交线的位置,即明确分界线.




1.2.3 空间几何体的直观图
课标要求
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.
学法指导
1.观察、类比、想象水平放置的平面图形的直观图.
2.斜二测画法的规则含两方面,一是对平行性的要求,二是对平行线长度的要求.
新课导入——实例引领 思维激活
实例:美术与数学有着千丝万缕的联系,在美术图中,空 间图形或实物在画板上画得既有立体
感,又要表现出各主要部分的位置关系和度量关系.空间图形或实物 如何在画板上表示出来?
如何反映它们的主要特征呢?这就是空间几何体的直观图,画好空间几何体的直 观图应首先
从水平放置的平面图形入手.
想一想 一个水平放置的正六边形,你看过去视觉效 果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎
样把这种效果表示出来呢?
知识探究——自主梳理 思考辨析
1.斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取 的x轴和y轴, 两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的
x′轴和y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′ = ,
,它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于 .或 的
线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度 ;平行于y轴的线段,长度为
原来的 .
2.空间图形直观图的画法
空间图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′
表示水 平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴的线段,在直观图中
平行性和长度 都不变.
题型探究——典例剖析 举一反三

题型一 画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示.

名师导引:如何建立坐 标系才方便作图?(画直观图时,在平面图形上建立坐标系时,应使图形
的顶点尽量多的在坐标轴上)
解:画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐
标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.

1
(2)以 O′为中 点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=
2
OE,以E′为中点画C′D′∥ x′轴,并
使C′D′=CD.


(3)连接B′C′,D′A′,所得的 四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直
观图.
题后反思 画水平放置 的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,
画图时要注意原图和直观图中线段 的长度关系是否发生改变.
跟踪训练1-1:画一个锐角为45°的平行四边形的直观图.
解:如图建立坐标系xOy,再建立坐标系x′O′y′,在x′轴上截取O′A′=OA,O′B′=OB,在 y轴上截取O′
1
D′=
2
OD,过D′点作线段D′C′
的直观图 .

DC,连接B′C′、A′D′,则四边形A′B′C′D′即为平行四边形ABCD

题型二 画空间几何体的直观图
【例2】 画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
名师导引:画空间几何体的直观图的关键是什么?(关键是各顶点的确定)
解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),
∠xOz=90°,如图(1).

(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形ABCD的直观图.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高.
(3)(4)成图.顺次 连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥
的直观图(如图(2 )).
题后反思 (1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐 标系
的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;
(2)对于一些常见几何 体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又
快又准的画出.
跟踪训练2-1:由下列几何体的三视图画出直观图.

解: (1)画轴.
如图,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,
使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A、B 、C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′
=BB′=CC′,且都与正视图 或侧视图的高相等.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分 用虚线表示),得到的
图形就是所求的几何体的直观图.


题型三 直观图还原为平面图形
【例3】 如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.
名师导引:解决本题的 步骤是什么?(首先将原图还原出来,其次求出原图形的高,最后求出原
图形的面积)
解:设O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′=CB,O′A′=OA.

2
过C′作C′D⊥O′A′于D,

则C′D=
2
h.

1
2
由题意知
2
C′D(C′B′+O′A′)=S,

即
4
h(C′B′+O′A′)=S.

∴原直角梯形面积为

4S
1
S′=
2·2h(CB+OA)=h(C′B′+O′A′)=
2
=2
2
S.
所以梯形OABC的面积为2
2
S.

题后反思 (1)还原 图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或
线段.平行于x′轴的线段长 度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确
定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.
(3)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S=2
2
S′.
跟踪训练3-1:(2014福州八县高一联考)一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形
A′B′O′,若O′B′=1,那么原△ABO的面积是( )
(A)
1

2
(B)
2
(C)
2
(D) 2
2
2



解析:由直观图知A′O′=
2
,

在原图中,

OB=1,OA=2
2
,

1
则S
△ABO
=
2
×1×2
2
=
2
.

故选C.



备选例题
例1】 等腰直角三角形ABC的直观图为△A′B′C′ ,其中Rt△ABC的直角边长为a,求S△A′B′C′.
解:过点B′作B′D′⊥A′C′于D′,

11a
22
由斜二测画法的概念知B′C′=
2
BC=
2
a,A′C′=AC=a,B′D′=B′C′sin 45°=
2
×
2
=
4
a,

1
2 2
2
∴S
△A′B′C′
=
2
×a×
4
a =
8
a.

【例2】 画出水平放置的正五边形的直观图.
解: (1)取正五边形的中心O为原点,对称轴FA所在直线为y轴,过O与y轴垂直的直线为x
轴,建立如 图①所示的直角坐标系,再建立如图②所示的坐标系x′O′y′,
使∠x′O′y′=45°.

(2)在图①中作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H,

在坐标系x′O′y′中作O′H′=OH,

11
O′G′=OG,O′A ′=
2
OA,O′F′=
2
OF,

以F′为中点作C′D′∥x′轴且C′D′=CD.

1
(3)在平面x′ O′y′中,过G′作G′B′∥y′轴,且G′B′=
2
GB,过H′作H′E′∥y′轴, 且H′E′
1
=
2
HE,连接A′B′、B′C′、D′E′、E′A′得五 边形A′B′C′D′E′.擦去辅助线x′轴、y′轴、B′
G′、E′H′,擦去辅助点O′、F′ 、G′、H′所得的图形即为正五边形的直观图.如图③所示.


达标检测——反馈矫正 及时总结
1.利用斜二测画法画正方形的直观图,正确的是图中的( )

解析:根据斜 二测画法的要求判断,有一个角度为45°,横方向长度不变,纵方向变为原来的一
半.故选C.

2.如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观图,且A′B′=A′C′,
A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,那么△ABC是( )


(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)钝角三角形
解析:由直观图知,原几何图形中∠BAC为90°,又AB=A′B′,
AC=2A′C′.故选B.
3.如图所示,在一个平面直角坐标系中,线段OA的端点A的 坐标为(2,4),则在用斜二测画法画
出的线段OA的直观图线段O′A′中,顶点A′到x′轴的距 离为( )
(A)2 (B)3 (C)1 (D)
2


解析:作AB垂直于x轴,B为垂足,则AB=4,在直观图中 A′B′=2,A′到x′轴的距离d=A′B′sin 45°=
2
.
故选D.


4.(2014雅安高二期末) 如图所示,斜二测画法得到直观图四边形A′B′C′D′是一个底角
为45°,腰和上底均为1的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是 .

解析:在梯形A′B′C′D′中,B′C′=A′D′+2·A′B′cos 45°
1< br>=1+
2
,则原平面图形是上底为1,下底为1+
2
,高为2的直角梯 形,其面积S=
2
(1+1+
2
)×2=2+
2
.

课堂小结
1.用斜二测画法画直观图中,互相平行且长度相等的线段在直观图中仍然平行且长度相等.
2.求直观图或原图形面积的关键是确定其形状和相应的底和高,直观图与原图形的面积之比为
2
∶4.