新马泰旅游攻略-咸宁市中考分数查询

2020
年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）


题号
得分
一

二

三

总分


一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
}，
N={x|-2
＜
x
＜
3}
，则
M∩N=< br>（ ） 1.

已知集合
M={x|y=
A.
{x|-3
＜
x≤2}

B.
{x|-3
＜
x
＜
2}

C.
{x|-2
＜
x≤2}

D.
{x|-2
＜
x
＜
2}

2.

若复数
z
满足
z=
（
1-2i
）•
i
，则 复平面内对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
D.
c
＜
a
＜
b

3.

已知
a=log
3
8
，
b=2
1.1
，
c=0.8< br>3.1
，则（ ）
A.
b
＜
a
＜
c

B.
a
＜
c
＜
b

C.
c
＜
b
＜
a

4.

（
x+1
）（
2x-
）
5
的展开式中常数项为（ ）
A.
-40

B.
40

C.
-80

D.
80

5.

赵爽弦图（ 图
1
）是取材于我国古代数学家赵爽的《勾
股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形 与中间的小
正方形拼成的一个大正方形．图
2
是由弦图变化得到，
它是由八个 全等的直角三角形和中间的一个小正方形
拼接而成．现随机向图
2
中大正方形的内部投 掷一枚飞
镖，若直角三角形的直角边长分别为
2
和
3
，则飞镖投中小 正方形（阴影）区域的
概率为（ ）
A.

B.

C.

D.

6.

已知函数
f（
x
）
=2sin
（
2x+φ
）满足
f
（
-x
）
=f
（
+x
），则
f
（）=
（ ）
A.
-2

B.
0

C.

D.
2

7.

函数
f
（
x
）
=
（
3
x
-3
-
x
）
log
3
x
2
的图象大致为（ ）
A.

B.

C.

D.

8.

已知椭圆
C
：
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左焦点为
F
，上顶点为
A
， 右顶点为
B
，若△
AFB
是直角三角形，则椭圆
C
的离心率 为（ ）
A.

B.

C.

D.

9.

关于函数
f
（
x
）
=2 sinsin
（
+
）
-x
有下述四个结论：
①函数
f
（
x
）的图象把圆
x
2
+y
2
=1< br>的面积两等分
②
f
（
x
）是周期为
π
的函数
③函数< br>f
（
x
）在区间（
-∞
，
+∞
）上有
3
个零点
④函数
f
（
x
）在区间（
-∞
，
+∞
）上单调递减
其中所有正确结论的编号是（ ）
第1页，共13页

A.
①③④
B.
②④
C.
①④
D.
①③
10.

已知
O
是坐标原点，
F
是双曲线
C
：
-=1
（
3a=4b
＞
0
）的左焦点，过
F
作斜率为
k
（< br>k
＞
0
）的直线
l
与双曲线渐近线相交于点
A
，
A
在第一象限且
|OA|=|OF|
，则
k
等
于（ ）
A.

B.

C.

D.

•
=
（ ） 11.

已知在△
ABC
中，
AB=4
，
AC=6
，其外接圆的圆心为
O
，则A.
20

B.

C.
10

D.

12.

已知正三棱柱
ABC-A
1B
1
C
1
的底面边长为
2
，用一平面截此棱柱与侧棱< br>AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别交于
M
，
N
，
Q
，若△
MNQ
为直角三角形， 则△
MNQ
面积的最小值为（ ）
A.

B.
3

C.
2

D.
6

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

曲线
y=
（
x
2
-2
）
lnx
在
x=1
处的切线方程为
______
．
14.

△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若△ABC
的面积为
A=______
．
15.

记S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
=1
，
2S
n
+1=a
n
+ 1
，则
=______
．
，则
16.

波罗尼斯 （古希腊数学家，约公元前
262-190
年）的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉 的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他
证明过这样一个命题：平面内 与两定点距离的比为常数
k
（
k
＞
0
，且
k≠1< br>）的点的
轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有△
ABC
，
AC=4
，
sinC=2sinA
，则
当△
ABC
的面积最 大时，
AC
边上的高为
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

已知等差数列
{a
n
}
的公差
d ≠0
，若
a
6
=11
，且
a
2
，
a
5
，
a
14
成等比数列．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设，求数列
{b
n
}
的前
n
项和S
n
．







18.

如图，在四棱柱
ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，底面
ABCD
是等腰梯形，
AB
∥
CD
，
AB=4
，
BC=CD=2
，顶点
D
1
在底面
ABCD
内的射影恰为点
C
．
（
1
）求证：
BC
⊥平面
ACD
1
； < br>（
2
）若直线
DD
1
与底面
ABCD
所成的 角为，求平面
ABC
1
D
1
与平面
ABCD
所成锐
二面角的余弦值．
第2页，共13页

19.

近一段时 间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求．各
大养猪场正面临巨大挑战．目 前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发
养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有 甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有
1
万头猪，将其中重量（
kg
）在
[1
，
139]
内的猪分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段

幼年期

成长期

成年期

重量（
Kg
）

[1
，
24
）

[24
，
116
）

[116
，
139]

根据以往经验，两个养猪场猪的体重
X
均近似服从正态分布
X
～
N
（
70
，
2 3
2
）．
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度， 高度重
视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同
的防控 及养殖模式．
已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
（
1
）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（
2
）已知甲 养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利
600
元，
若为不合格的猪 ，则亏损
100
元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的
猪，则可盈利500
元，若为不合格的猪，则亏损
200
元．
（ⅰ）记
Y< br>为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量
Y
的分
布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
σ
2
），则
P
（
μ-σ
＜
Z
＜
μ+σ
）=0.6826
，
P
（
μ-2σ
＜
Z
＜
μ+2σ
）（参考数据：若
Z
～
N
（
μ
，
=0.9544
，
P
（
μ-3σ
＜
Z
＜
μ+3σ
）
=0.9974
）







20.

已知抛物线
C
：
x
2
=2py
（
p
＞
0
）上一点
P
（
2
，
m
），
F
为焦点，△
PFO
面积为
1
．
（
1
）求抛物线
C
的方程；
（
2
）过点
P
引圆的两条切线
PA
、
PB
，切线
PA
、
第3页，共13页

PB
与抛物线
C
的另一个交点分别为
A
、
B
，求直线
AB
斜率的取值范围 ．







21.

已知函数
f
（
x
）
=xlnx- ax
2
（
a
∈
R
）．
（
1
）讨论函数的极值点个数；
（
2
）若
g（
x
）
=f
（
x
）
-x
有两个极值点
x
1
，
x
2
，试判断
x
1
+x< br>2
与
x
1
•
x
2
的大小关系并
证明 ．







22.
< br>已知曲线
C
的极坐标方程是
ρ-6cosθ=0
，以极点为原点，极轴 为
x
轴的正半轴，建
立平面直角坐标系，直线
l
过点
M（
0
，
2
），倾斜角为
（
1
）求曲线
C
的直角坐标方程与直线
l
的参数方程；
（
2
）设直线< br>l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，求
+
的值．
．







23 已知函数
f
（
x
）
=|x+1|+|x-2a|
．
（
1
）若
a=1
，解不等式
f
（
x
）＜
4
；
（
2
）对任意的实数
m
，若总存在实数x
，使得
m
2
-2m+4=f
（
x
），求实数
a
的取值范围．







2020
年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）

答案和解析

【答案】
第4页，共13页

1.
C

2.
D

8.
D

9.
C

13.
x+y-1=0


14.

3.
D

10.
B

4.
A

11.
C

5.
A

12.
B

6.
B


7.
B

15.
3


16.
2


17.
解：（
1
）∵
a
6
=11
，∴
a
1
+5d=11
，①
∵
a
2
，
a
5
，
a
14
成等比数列，∴< br>化简得
d=2a
1
，②
由①②可得，
a
1
=1
，
d=2
．
∴数列的通项公式是
a
n
=2n-1
；
（
2）由（
1
）得
∴
S
n
=
=
，
=
．


，
18.
解：（
1
）证明：如图，连接
D
1
C
，则
D
1
C
⊥平面
ABCD
，
∵
BC
⊂平面
ABCD
，∴< br>BC
⊥
D
1
C
，
在等腰梯形
ABCD中，连接
AC
，过点
C
作
CG
⊥
AB
于点
G
，
∵
AB=4
，
BC=CD=2
，
AB
∥
CD
，
则
AG=3
，
BG=1
，
CG=
∴
AG==
=
=
，
=2
，

因此满足
AC
2
+BC
2
=16=AB
2
，∴
BC
⊥
AC
，
又
D
1
C
，
AC
⊂平面
AD
1
C
，
D
1
C∩AC=C
，
∴
BC
⊥平面
AD
1
C
．
（
2
）解：由（
1
）知
AC
，
BC
，
D
1
C
两两垂直，
∵
D
1
C
⊥平面
AB CD
，∴，∴
D
1
C=CD=2
，
以
C
为坐标原点，分别以
CA
，
CB
，
CD
1
，所在直 线为
x
轴，
y
轴，
z
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
C
（
0
，
0
，
0
），
A
（
2
，
0
，
0
），
B
（
0
，
2
，
0
），D
1
（
0
，
0
，
2
），
∴
=
（
-2
，
2
，
0
），
=
（
-2
，
0
，
2
），
设平面
ABC< br>1
D
1
的法向量
=
（
x
，
y
，
z
），
由，取
x=1
，得
=
（
1
，），
又=
（
0
，
0
，
2
）为平面
ABCD< br>的一个法向量，
设平面
ABC
1
D
1
与平面
ABCD
所成锐二面角为
θ
，
第5页，共13页

则
cosθ===
．
∴平面
ABC
1D
1
与平面
ABCD
所成锐二面角的余弦值为．


19.
解：（
1
）由于猪的体重
X
近似服从正态分布X
～
N
（
70
，
23
2
），
设各阶段猪的数量分别
n
1
，
n
2
，
n
3
，
23
）
=
所以
P
（
1≤X
＜
24
）
=P
（
70-3×23≤X
＜
70-2×
0.0215=215
（头）； 所以
n
1
=10000×
23
）
=0.9544
， 同理
P
（
24≤X
＜
116
）
=P
（70-2×23≤X
＜
70+2×
0.9544=9544
（头） 所以
n
2
=10000×
P
（
16≤X
＜
13 9
）
=P
（
70+2×23≤X
＜
70+3×23
）
=
，

0.0215=215
（头） 所以
n
3
=10000×
所以，甲养猪场有幼年期猪
215
头，成长期猪
9544
头，成年期猪
215
头．
（
2
）依题意，甲、乙 两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量
Y
可能取值为
1100
，
400
，
-300
，
P
（
Y=1100
）
==
，
P
（
Y=400
）
==
，
P
（
Y=-300
）
==

，
所以
Y
的分布列为：
Y

P

所以
E
（
Y
）
=1100
1100

400

-300


+

（元），
由于各养猪场均有
215
头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为
785
元，
则总利润期望为
785
•
215=168775
（元）．


20.
解：（
1
）由已知得，，即，解得
p=2
，
所以抛物线
C
的方程为
x
2
=4y
；
1
）（
2
）由（
1
）得
P
（
2
，， 设直线
PA
斜率为
k
1
，则
PA
方程为
y -1=k
（，即
k
1
x-y+1-2k
1
=0
，
1
x-2
）
又∵直线
PA
与圆
∴，
，
的相切，∴，
设直线
PB
斜率为
k
2
，同理得< br>∴
k
1
，
k
2

是方程（
4-r< br>2
）
k
2
+8k+4-r
2
=0
的两个根
∴△
=4r
2
（
8-r
2
）＞
0
（∵），
∴，
k
1
k
2
=1
，
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B（
x
2
，
y
2
），
由得
x
2
-4k
1
x+8k
1
-4=0
，由韦达定理得
x
1
+2=4k
1
，
第6页，共13页

∴
x
1
=4k
1
-2
，同理
x
2
= 4k
2
-2
，
所以
k
AB
=
又∵
=
，∴
=
（
x
1
+x
2
）
=k
1
+k
2
-1=
，
，∴
k
AB
∈（
-5
，
-3
），
∴直线
AB
斜率的取值范围是（
-5
，
-3
）．


21.
解：（
1
）
f'
（
x
）
=lnx+x
令
f'
（
x
）
=0
，得< br>2a=
-2ax=lnx-2ax+1
（
x
＞
0
），
，则
Q'
（
x
）
=
， ，记
Q
（
x
）
=
令
Q'
（
x
）＞
0
，得
0
＜
x
＜
1
；令
Q'
（
x
）＜
0
，得
x
＞
1
，
∴
Q（
x
）在（
0
，
1
）上是增函数，在（
1，
+∞
）上是减函数，且
Q
（
x
）
max=Q
（
1
）
=1
，
∴当
2a
＞
1
，即
a
＞

时，
f'
（
x
）
=0
无解，∴
f
（
x
）无极值点，
当
2a=1
，即
a=
时，
f'
（
x
）
=0
有一解，
2a
∴
f
（
x
）无极值点，
当
0
＜
2a
＜
1
，即
0
＜
a
＜时，
f'
（
x
）
=0
有两解，∴
f
（
x
）有
2
个极值点，
当
2a≤0
，即
a≤0
时，
f'
（
x
）
=0
有一解，∴
f
（
x
）有一个极值点，
综上所述：当
a
时，
f
（
x
）无极值点；
0
＜
a
＜时，
f
（
x
）有
2
个极值点；当
a≤0
时，
，即
lnx-2ax+1 ≤0
，
f'
（
x
）
≤0
恒成立，
f
（
x
）有
1
个极点；
（
2
）
g
（
x
）
=xlnx-ax
2
-x
，
g'
（
x
）
=lnx-2ax
（
x
＞
0
），
令
g'
（
x
）< br>=0
，则
lnx-2ax=0
，∴
2a=
记
h
（
x
）
=
，则
h'
（
x
）
=< br>，
，
由
h'
（
x
）＞
0
得0
＜
x
＜
e
，由
h'
（
x
） ＜
0
，得
x
＞
e
，
∴
h
（x
）在（
0
，
e
）上是增函数，在（
e
，+∞
）上是减函数，
h
（
x
）
max
=h（
e
）
=
，
当
x
＞
e
时，
f
（
x
）＞
0
，
∴当
0
＜2a
＜即
1
＜
a
＜时
g
（
x
）有
2
个极值点
x
1
，
x
2
，
由得，
ln
（
x
1
x
2
）
=lnx
1
+lnx
2
=2a
（
x
1
+x
2），
∴，
不妨设
x
1
＜
x
2
，则
1
＜
x
1
＜
e
＜
x
2
， ∴
x
1
+x
2
＞
x
2
＞
e
，
又
h
（
x
）在（
e
，
+∞
）

上是减函数，
∴
=2a=
，
∴
ln
（
x
1
+x
2
）＜
ln
（
x
1
x
2
），
∴
x
1
+x
2
＜x
1
x
2
．


第7页，共13页

（
1
）曲线
C
的极坐标方程是
ρ-6cosθ=0
，转换为直角坐标方程为（
x-3
）
2
+y
2
=9
．
22.
解：
直线
l
过点
M
（
0
，
2
），倾斜角为．整理得参数方程为（
t
为参数）．
（
2
）将直线
l
的参数方程代入曲线
C
的直角坐标方程得
整理得
所以：
所以求
+=
，
，
t
1
t
2
=4
，
．


，
23.
解：（
1
）当
a=1
时，
f
（
x
）
=|x+1|+|x-2|=
∵
f
（
x
）＜
4
，∴
∴或
-1≤x≤2
或
或
，∴
}
．
或
，
，
．
∴不等式的解 集为
{x|
（
2
）∵对任意的实数
m
，若总存在实数
x
，使得
m
2
-2m+4=f
（
x
），
∴
m
2
-2m+4
的取值范围是
f
（
x
）值域的子集．
∵
f
（
x
）
=|x+1|+|x-2a| ≥|2a+1|
，∴
f
（
x
）的值域为
[|2a+1|，
+∞
），
又
m
2
-2m+4=
（
m-1
）
2
+3≥3
，∴
|2a+1|≤3
，
∴
-2≤a≤1
，
∴实数
a
的取值范围为
[-2
，
1]
．


【解析】
1.
解：∵
M={x|x≤2}
，
N={x|-2
＜
x
＜
3}
，
∴
M∩N={x|-2
＜
x≤2}
．
故选：
C
．
可以求出集合
M
，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.
解：
z=
（
1-2i
）•
i=2+i
，
=2-i
在复平面内所对应的点（
2
，
-1
）位于第四象限．
故选：
D
．
利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，
属于基础 题．
3.
解：∵
log
3
3
＜
log
3
8
＜
log
3
9
，∴
1
＜
a< br>＜
2
，
∵
2
1.1
＞
2
1
=2
，∴
b
＞
2
，
∵
0
＜
0 .8
3.1
＜
0.8
0
=1
，∴
0
＜c
＜
1
，
∴
c
＜
a
＜
b
，
故选：
D
．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
第8页，共13页

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审 题，注意对数函数和指数函
数的性质的合理运用．
4.
解：∵（
2x-< br>）
5
的的展开式的通项公式：
T
r
+1
=
（
2x
）
5-
r
（
-
）
r
=
（
-1
）
r
2
5-
r
x
5-2
r
．
令
5-2r=-1
，或
5-2r=0
，
解得
r=3
，
r=
（舍去）．
2
2
∴（
x+1
）（
2x-
）
5
的展开式中常数项：（
-1
）
3
×=-40
．
故选：
A
．
利用通项公式即可得出
本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
5.
解：由题意可知：小正方形的边长为
3-2=1
，面积为
1
，
大正方形的边长为：
2+3=5
，面积
25
，
设飞镖投中小正方形（阴影）区域为事件
A
，
由几何概型中的面积型可得
P
（
A
）
=
．
故选：
A
．
由图形可知小正方形的边长为
3-2=1
，大 正方形的边长为：
2+3=5
，分别求解面积，由
几何概型中的面积型即可求解．
本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属基础题．
6.
解：由f
（
-x
）
=f
（
+x
）可知函数关于
x=
对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，
故
φ=
故选：
B
．
由
f
（
-x
）
=f
（
+x
）可知函数关于
x=
对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可< br>求
φ
，然后代入即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
7.
解：根据题意 ，函数
f
（
x
）
=
（
3
x
-3< br>-
x
）
log
3
x
2
，其定义域为
{x|x≠0}
，
且
f
（
-x
）
=
（< br>3
x
-3
-
x
）
log
3
x
2
=-
（
3
x
-3
-
x
）
lo g
3
x
2
）
=-f
（
x
），即函数
f
（
x
）为奇函数，排除
A
、
C
，
又 由
x→0
时，（
3
x
-3
-
x
）
→0
，则
f
（
x
）
→0
，排除
D
；
故选：
B
．
根据题意，分析可得
f
（
x）为奇函数，且
x→0
时，
f
（
x
）
→0，由排除法分析可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题．
8.
解：在直角三角形
AFB
中，
AO
⊥
BF
，
由射影定理可得
OA
2
=OF
•
OB
，
即
b
2
=ac
，
所以
a
2
-c
2
=ac
，
整理可得e
2
+e-1=0
，解得
e=
因为
e
∈（0
，
1
），
所以
e=
，
第9页，共13页
φ=
，
k
∈
Z
，
，
f
（）
=2sin
（）
=0
．
，

故选：
D
．
由题意和直角三角形的射影定理可得
a
，
b
，
c
之间的关系，进而求出离心率．
考查椭圆的性质及直角三角形的射影定理的应用，属于基础题．
9.
解：
f
（
x
）
=2sinsin
（
+
）
-x= 2sincos-x=sinx-x
，
对于①，因为
f
（
-x）
=sin
（
-x
）
-
（
-x
）=-sinx+x=-f
（
x
），所以函数
f
（
x）为奇函数，关
于原点对称，而圆
x
2
+y
2
=1也是关于原点对称，所以①正确；
对于②，因为
f
（
x+π
）
=sin
（
x+π
）
-
（
x+π
）
=-sinx-x-π≠f
（
x
），所以
f
（
x
）的周期不是
π
，即②错误；
对于③，因为
f'
（
x）
=cosx-1≤0
，所以
f
（
x
）单调递减，所以
f
（
x
）在区间（
-∞
，
+∞
）
上至多有
1
个零点，
即③错误；
对于④，
f'
（
x
）
=cosx-1≤0
，所以
f
（
x
）单调递 减，即④正确．
故选：
C
．
=sinx-x
，先利用诱导公式和 二倍角公式将函数化简为
f
（
x
）因为单位圆既是轴对称图形，
也是 中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而即可判断①，利用函数的周期
性可判断②，利用导数 判断函数单调递减，从而可以判断③④．
本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，以及利用导 数判断函数的单调性，考
查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题．
y=
（
kx+c
）由题意可得直线
l
的方程为：与渐近线
y=x
联立可得
x=k
•
10.
解：
因为
OA=OF
， 属于
x
2
+y
2
=c
2
，
即（）
2
+
（）
2
=c
2
，
y=
，，
由
3a=4b
，即
b=a
，
所以整理可得
解得
k=
，
故选：
B
．
由题意设直线
l
的方程与渐近线
y=x
联立求出
A
的坐标， 再由
|OA|=|OF|
即
3a=4b
可得
k
的值．
考查双曲线的性质，及直线的交点坐标的求法，属于基础题．
11.
解：如右图， 过
O
作
OD
⊥
AB
于
D
，
OE< br>⊥
AC
于
E
，

可得
D
，
E
为
AB
，
AC
的中点，
则
=
（
=
=
2
=
（
-k
）
2
，
k＞
0
，
•
+
=
•（
）•
-
）
=
+
-
）•
-

-
（
-
-0
•


+
+0-
•
2
=×
（
36-16
）
=10
．
第10页，共13页

故选：
C
．
作
OD
⊥
AB
于
D
，
OE
⊥
AC
于
E
，根据向量数量 积的几何意义即可得到答案．
本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量 积的几何意
义，属于中档题．
12.
解：如图，以
AC
中点O
为坐标原点，
OB
所在直线为
x
轴，
AC
所 在直线为
y
轴，

建立空间直角坐标系，设
M
（
0
，
-1
，
a
），
N
（，
0
，b
），
Q
（
0
，
1
，
c
），
不妨设
N
为直角，
，
∴
S=
=
．
故选：
B
．
由题意画出图形，以
AC
中点
O为坐标原点，
OB
所在直线为
x
轴，
AC
所在直线为< br>y
轴，
建立空间直角坐标系，设
M
（
0
，
- 1
，
a
），
N
（，
0
，
b
），< br>Q
（
0
，
1
，
c
），不妨设
N为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式求最
，
，


值．
本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等< br>式求最值，是中档题．
13.
解：根据题意可得
y
′
=2xlnx+x-
，
则当
x=1
时，
y=0
，
y
′
=-1
，
所 以曲线在
x=1
处的切线方程为
y=-
（
x-1
），整理得
x+y-1=0
，
故答案为：
x+y-1=0
．
根据条 件求出
x=1
时
y
、
y
′的值即可表示出切线方程．
本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．
14.
解：由余弦定理 可得
a
2
-b
2
-c
2
=-2bccosA
，
△
ABC
的面积为
又因为
S
△
ABC
=
所以
tanA=-
，
=-
=-
，
，
由
A
∈（
0
，
π
）可得
A=
．
故答案为：

由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．
本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．
第11页，共13页

15.
解：依题意，当
n≥2
时，由
2S
n
+1=a
n
+1
，可得
2S
n
-1
+1=a
n
，
两式相减，可得
2a
n
=a
n
+1
-a
n
，
即
a
n
+1
=3a
n
（
n≥2
）．
∵< br>a
2
=2S
1
+1=2a
1
+1=3
， < br>∴数列
{a
n
}
是以
1
为首项，
3
为公比的等比数列．
∴
a
n
=3
n
-1
，
n
∈
N*
．
∴
==3
．
故答案为：
3
．
本题先根据
a
n
=S
n
-S
n
-1
（
n≥2
），进一步计算可发现数列
{ a
n
}
是以
1
为首项，
3
为公比的
等比数 列．然后根据等比数列的通项公式和求和公式可计算出表达式的结果．
本题主要考查等比数列的判别以 及等比数列的性质应用．考查了转化思想，公式法的应
用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题 ．
16.
解：∵△
ABC
，
AC=4
，
sin C=2sinA
即
=2
．
根据阿波罗尼斯圆的性质，
∴点
B
的轨迹为：以
AC
的中点
O
为圆心，
2
为半径 的圆上（去掉
A
，
C
两点）．
∴
OB
⊥
AC
时，△
ABC
的面积最大．
此时
OB=AC=2
．
故答案为：
2
．
△ABC
，
AC=4
，
sinC=2sinA
即
=2．
fg
根据阿波罗尼斯圆可得：点
B
的轨迹为：以
AC
的中点
O
为圆心，
2
为半径的圆上（去掉
A
，
C< br>两点）．进而得出结论．
本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考 查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
17.
（
1
）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；
（
2
）把数列
{a
n
}
的通项公式代入，再由裂项相消法求数列{b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前
n
项和， 是中档题．
18.
（
1
）连接
D
1
C
，则
D
1
C
⊥平面
ABCD
，推导出
BC
⊥
D
1
C
，连接
AC
，过点
C
作
CG
⊥
AB
于点
G
，推导出
BC
⊥
AC< br>，由此能证明
BC
⊥平面
AD
1
C
．
（< br>2
）以
C
为坐标原点，分别以
CA
，
CB
，
CD
1
，所在直线为
x
轴，
y
轴，
z轴，建立空
间直角坐标系，利用向量法能求出平面
ABC
1
D
1
与平面
ABCD
所成锐二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二 面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中 档题．
19.
（
1
）由于猪的体重
X
近似服从正态分布
X
～
N
（
70
，
23
2
），根据 参考数据求出对
应的概率，再求出结果；
（
2
）根据题意，写出
Y
的分别列，求出数学期望，再求出总利润．
考查正态分布及其应用，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题．
20.
（
1
）由题意可知：，求出
p
的值，从而得到抛物线
C
的 方程；
（
2
）设直线
PA
斜率为
k
1
， 则
PA
方程为
y-1=k
1
（
x-2
），即
k
1
x-y+1-2k
1
=0
，利用直线
PA
与 圆相切，可得，设直线
PB
斜率为
k
2
，同理得
第12页， 共13页

，所以
k
1
，
k
2
< br>是方程（
4-r
2
）
k
2
+8k+4-r
2
=0
的两个根，从而
得到，
k
1
k
2
= 1
，联立直线
PA
与抛物线方程，由韦达定理得
x
1
=4k
1
-2
，同理
，再根据
r
的范围即可求出直线
AB
斜
x
2
=4k
2
-2
，代入直线
AB的斜率公式得
k
AB
=
率的取值范围．
本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
21.
（
1
）先求出
f'
（
x
）
=lnx+x
记< br>Q
（
x
）
=
-2ax=lnx-2ax+1
（
x
＞
0
），令
f'
（
x
）
=0
，得
2a=
，
，则函数
f
（
x
）的极值点个数转化 为函数
Q
（
x
）与
y=2a
的交点个数，
再利用导 数得到
Q
（
x
）在（
0
，
1
）上是增函数 ，在（
1
，
+∞
）上是减函数，且
Q
（
x
）
max
=Q
（
1
）
=1
，对
a
分情况讨论，即可得到函数
f
（
x
）的极值点个数情况；
（
2
）
g
（
x
）
=xlnx-ax
2
-x
，
g'
（
x
）
=lnx-2ax
（
x
＞
0
），令
g'
（
x
）
=0
，则
lnx-2ax=0
，所以
2a=
，记
h
（< br>x
）
=
，利用导数得到
h
（
x
）在（
0
，
e
）上是增函数，在（
e
，
+∞
）上
是减函数，
h
（
x
）
max
=h
（
e< br>）
=
，当
x
＞
e
时，
f
（
x
）＞
0
，所以当
0
＜
2a
＜即
1
＜
a
＜时
g
（
x
）有
2
个极值点
x
1
，
x
2
，从而得到
x
1
+x
2
＜
x
1
x
2
．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．
22.
（
1
）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（
2
）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识 要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程
根和系数关系式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
型．
23.
（
1）将
a=1
代入
f
（
x
）中，再利用零点分段法解不等 式
f
（
x
）＜
4
即可；
（
2
） 根据条件可知，
m
2
-2m+4
的取值范围是
f
（
x
）值域的子集，然后求出
f
（
x
）的值
域和
m< br>2
-2m+4
的取值范围，再求出
a
的范围．
本题考查了绝 对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，
属中档题．

，所以
ln
（
x
1
+x
2
）＜
ln（
x
1
x
2
），即
第13页，共13页