诗句-入党党小组意见

立几测001试

一、选择题：
1．
a
、b是两条异面直线，下列结论正确的是





2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )
Ａ．
0
Ｂ．
1
Ｃ．
1
或
4
Ｄ．无法确定
3．在正方体
AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
、
N
分别为棱
AA
1
、
BB
1
的 中点，则异面直线
CM
和
D
1
N
所成角
的正弦值为 ( )
Ａ．
A． 过不在
a
、b上的任一点，可作一个平面与
a
、b都平行
B．过不在
a
、b上的任一点，可作一条直线与
a
、b都相交
C．过不在
a
、b上的任一点，可作一条直线与
a
、b都平行
D．过
a
可以且只可以作一个平面与b平行
（ ）
4525
12
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
99
93
4．已知平面


平面

，
m< br>是

内的一直线，
n
是

内的一直线，且
m n
，则：①
m

；②
n

；
③m

或
n

；④
m

且
n

。这四个结论中，不正确的三个是
．．．
( )
Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④
5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
( )
A.
6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R）

2

R

R
B.
R
C.
R
D.
2
4
33
7. 直线
l
⊥平面α，直线m

平面β，有下列四个命题
(1)



lm
(2)



lm
(3)
lm



(4)
lm



其中正确的命题是
( )
A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4)
8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( )
A.
0



6
B.

6




4
C.

4




3
D.

3




2

9．
ABC
中，
AB9
，
AC15
，
BAC120
，
ABC
所在平面

外一点
P
到点
A< br>、
B
、
C
的距离
都是
14
，则
P< br>到平面

的距离为( )
Ａ．
7
Ｂ．
9
Ｃ．
11
Ｄ．
13


10．在一个
45
的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角< br>45
，则此直线与二面角的另一个平面所
成角的大小为 ( )
Ａ．
30
Ｂ．
45
Ｃ．
60
Ｄ．
90

11. 如图,E, F分 别是正方形SD
1
DD
2
的边D
1
D,DD
2的中点,
沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D
1
,D,D
2
重合,记作
D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;
..

③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有: ( )
Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④
12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6

cm,则地球仪的表面积为( )
A. 24

cm B. 48

cm C. 144

cm D. 288

cm
22 22
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 直二面角α—MN—β 中，等腰直角三角形ABC的斜边BC

α，
AC

β，BC与β所 成角的正弦值是
__________。
一直角边
小为
6
，则AB与β所成角大
4
..

14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是
是
15．如图，已知矩形
ABCD
中，
AB1
，
BCa
，
若在
BC
上只有一个点
Q
满足
PQQD
，则
a

P
BC中点,若△VAE的面积
1
,则侧棱VA与底面所成角的大小为
4
A
B
Q
C
D
PA
面
ABCD
。
的值等于______.
16. 六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面
ABCDEF，给出下列四个命题
①线段PC的长是点P到线段CD的距离；
②异面直线PB与EF所成角是∠PBC；
③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；
④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。
其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）

17．(本小题满分10分)
如图，已知直棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
C
B
M
A
ACB90
，
BAC3 0
，
BC1
，
CC
1
的中点。
求证：
AB
1
A
1
M



18．（本小题满分12分）
如图，在矩形
ABCD
中，
AB3 3
，
BC
在平面
ABD
上的射影
O
恰好在
AB
上。
（1）求证：
PB
面
PAD
；
（2）求点






19．（本小题满分12分）
AA
1
6
，
M
是
C
1
B
1
A
1
3
，沿对角线
BD
将
BCD
折起，使点
C
移到
P
点，且
P
A
到平面
PBD
的距离；
（3）求直线
AB
与平面
PBD
的成角的大小
B
C
P(C)
A
D
B
O
A
D
如图,已 知
PA
面
ABC,ADBC
,垂足
D
在
BC< br>的延长线上,且
BCCDDA1

(1) 记
PDx
,
BPC

,试把
tan

表示成
x
的函数,并求其最大值.
P
..

(2) 在直线
PA
上是否存在点
Q
,使得
BQCBAC












20. （本小题满分12分）
正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长；
（2）侧棱与底面所成的角的正切值。








21. （本小题满分14分）
已知正三棱柱ABC-A
1< br>B
1
C
1
的底面边长为8，面的对角线B
1
C=10 ，D为AC
的中点，
（1） 求证：AB
1
平面C
1
BD;
（2） 求异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值;
（3） 求直线AB
1
到平面C
1
BD的距离。

22. （本小题满分14分）
已知A
1
B
1
C
1
-AB C为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC
1
上，
∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA
1
=6.
..

（1）证明平面BDE∥AO；
（2）求二面角A-EB-D的大小；
（3）求三棱锥O-AA
1
D体积.






..

立测试001

答案
一．选择题：(每题5分,共60分)
题号
答案
1
D
2
C
3
C
4
B
5
D
6
B
7
C
8
C
9
A
10
A
11
B
12
C
二．填空题：(每题4分,共16分)
13. 60º 14.
arctan
1

4
15. 2 16. ①④
三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）
17．(10分)解：【法一】
 ACB90
B
1
C
1
AC
11
，又三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
所 以
B
1
C
1

面
A
1
C
，连结
A
1
C
，则
AC
1
是
AB
1
在面
A
1
C
上的射影
在四边形
AAC
11
C
中，
AA
1
AC


11
2
，且
AAC
，
ACM
1111
A
1
C
1
C
1
M
2
AAC
11
 AC
11
M
，
AC
1
A
1
M

AB
1
A
1
M

【法二】以
C
1
B
1
为
x
轴，
C
1
A
1为
y
轴，
C
1
C
为
z
轴建立空间直角 坐标系
由
BC1
，
AA
1
6
，
A CB90
，
BAC30
，
易得
A
1
( 0,3,0)
，
A(0,3,6)
，
M(0,0,
6
)，
B
1
(1,0,0)

2
6
)
< br>2
AB
1
(1,3,6)
，
A
1
M (0,3,
AB
1
A
1
M03(6)
18 ．解：（1）
6
0

AB
1
AM
所以
AB
1
A
1
M

1
2
P< br>在平面
ABD
上的射影
O
在
AB
上，
PO 
面
ABD
。
故斜线
BP
在平面
ABD
上的射影为
AB
。 < br>又
DAAB
，
DABP
，又
BCCD
，BPPD

ADPDD

BP
面
PAD

（2）过
A
作
AE PD
，交
PD
于
E
。
BP
面
P AD
，
BPAE
，
AE
面
BPD
故
AE
的长就是点
A
到平面
BPD
的距离
ADAB
，
DABC

AD
面
ABP

ADAP

在RtABP
中，
APAB
2
BP
2
32
；
在
RtBPD
中，
PDCD33

..

在
RtPAD
中，由面积关系，得
AE
（3）连结BE
，

APAD323
6

PD
33
AE
面
BPD
，
BE
是
AB
在平面< br>BPD
的射影
ABE
为直线
AB
与平面
BPD
所成的角
在
RtAEB
中，
sinABE
AE2
2

，
ABEarcsin

AB3
3
19．(1)
PA
面
ABC
,
BDAD,BCPD
,即
PDB90 .

21
,tanCPD
,
xx
21

xx

x
(
x1
)
tan

tanBPCtan(BPDCPD)
21
x
2
2
1
xx
在
RtPDB
和
RtPDC
中,
tanBPD

1
x
2
x

1
22

2
2
,当且仅当
x2
时,
tan

取到最大值.
4
4
(2)在
RtADB
和
RtDC
中 ,
tanBAD
=2,
tanCAD1


tanBACtan(BADCAD)
2112


12134
故在
PA
存在点
Q
(如
AQ 1
)满足
12
tanBQC
,使
BQCBAC

34
20. (12分)解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E
∵三棱锥V—ABC是正三棱锥 ∴O为△ABC的中心
则OA=
233
133
aa
，OE=
aa

323
326
又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60°
则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=
3a
a3

62
在Rt△VAO中，VA=
VOAO
22
aa7a
2

4312
22
21a

6
即侧棱长为
21
a

6
..

< br>a
VO3
（2）由（1）知∠VAO即为侧棱与底面所成角，则tan∠VAO=

2

AO2
3
a
3
21 (12分)解 ：（1）连结BC
1
交B
1
C于点E，则E为B
1
C的中点 ，并连结DE
∵D为AC中点 ∴DE∥AB
1

而DE

面BC
1
D， AB
1

面BC
1
D
∴AB
1
∥面C
1
BD
（2）由（1）知AB
1
∥DE，则∠DEB或其补角为异面直线AB
1
与BC
1
所成的角
由条件知B
1
C=10， BC=8 则BB
1
=6
∵E三棱柱中 AB
1
=BC
1
∴DE=5
又∵BD=
3
843

2
BE
2DE
2
BD
2
2525481

∴在△BE D中
cosBED

2BDDE25525
故异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为
1

25
（3）由（1）知A到平面BC
1
D的距离即为直线AB
1
到平面BC
1
D的距离
设A到平面BC
1
D的距 离为h，则由
V
ABC
1
D
V
C
1
 ABD
得
SCC
1
11

S
BC
1
D
hS
ABD
C
1
C
即h=
ABD
33
S
BC
1
D
由正三棱柱性质得BD⊥C
1
D 则
S
BC
1
D

1
BD:C
1
D

2
1
B DADCC
1
ADCC
1
46241213
∴
h
2


22
1
C
1
D13
52
64
BDC
1
D
2
即直线AB
1
到平面的距离为
22. (14分)
证明： ①设F为BE与B
1
C的交点，G为GE中点
∵AO∥DF
∴AO∥平面BDE
②α=arctan
2
-arctan
1213

13
2
或arcsin13
2
③用体积法V=


..
11
××6×h=1
32

..

立几测试002


一、选择题（12×5分）
1．已知直线a、b和平面M，则ab的一个必要不充分条件是（ ）


A．aM, bM
C．aM, b

M
B．a⊥M，b⊥M
D．a、b与平面M成等角
2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（ ）
3333
B． C． D．
2643
3．
a
, b是异面直线，A、B∈
a
, C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则
a
与b所成的角为（ ）
A．
A．30° B．60° C．90° D．45°
4．给出下面四个命题：
①“直线
a
、
b
为异面直线”的 充分非必要条件是：直线
a
、
b
不相交；
②“直线
l垂直于平面

内所有直线”的充要条件是：
l
⊥平面

；
③“直线
a
⊥
b
”的充分非必要条件是“
a
垂 直于
b
在平面

内的射影”；
④“直线
a
∥平面

”的必要非充分条件是“直线
a
至少平行于平面

内的一 条直线”．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设
l
1

、
l
2
为两条直线，
a
、
β为两个平面，给出下列四个命题：
，
l
1
∥
β
，
l
1
∥
a则
a
∥
β
. (2)若
l
1
⊥
a
，
l
2
⊥
a
，则
l
1
∥
l
2
(3)若
l1
∥
a
，
l
1
∥
l
2
，则
l
2
∥
a
(4)若
a
⊥
β
，
l
1


，
则
l
1
⊥
β

(1)若
l
1


,
l
2

其中，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧面
AA
1
B
1< br>B

底面
ABC
，

直线
A
1< br>C
与底面成
60
角，
ABBCCA2
，
A
1

C
1

A
C
H
B
E
C
F
B
1

AA
1
A
1
B
，则该棱柱的体积为（ ）
A．
43
B．
33
C．
4
D．
3

7．已知直线
l
⊥面α，直线
m
面β，给出下列命题：
（1）

B
S
G
A


lm
（2）



lm



（3）
lm



（4）
lm

其中正确的命题个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．正三棱锥
SABC
的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底
ab

2
ab

4
2
ab

2
边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（ ）
A.
ab
B. C. D.
9．已知平面α、β、γ，直线
l
、
m
，且
l
< br>m,



,



m,


l
，给出下列四个结论：①


< br>；
②
l

；③
m

；④


.则其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
D
1

A
1

M
10．在正方体
ABC D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
是棱
DD
1
的中点，
O
是底面
AB CD
的中心，
P
是棱
A
1
B
1
上任意一点 ，则直线
OP
与支线
AM
所成角的大小为（ ）
A
.45º
B
.90º
C
.60º
D
.不能确定
..
D
O
A

11．将边长为1的正方形
ABCD沿对角线
BD
折起，使得点
A
到点
A
’
的位置 ，且
A
’
C
＝1，则折起后二面角
A
’
－
DC
－
B
的大小为（ ）
A.
arctan
12. 正方体


2
B. C.
arctan2
D.
2
43
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
，E、F分别是
AA
1
、CC
1
的中点，P是
CC
1
上的动点（包括端 点），过E、D、
B. 线段CF
D. 线段
C
1
F
和一点C
P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（ ）
A. 线段
C
1
F

C. 线段CF和一点
C
1

二、填空题（4×4分）
13．矩形AB CD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D—AC—B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为 .
14．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为


（不计损耗）.
15. 四面体ABCD中，有如下命题：
①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；
②若E、 F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心
④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。
其中正确的是：______。（填上所有正确命题的序号）
16．直三棱柱ABC—A1
B
1
C
1
的每一个顶点都在同一个球面上，若
AC 2,BCCC
1
1
，
A
1
D
1

C
1


ACB
，则A、C两点之间的球面距离为 .
2
三、解答题（12+12+12+12+12+14分）
17．已知长方体A C
1
中，棱AB=BC=1，棱BB
1
=2，连结B
1
C，
过B点作B
1
C的垂线交CC
1
于E，交B
1
C于 F.
（1）求证A
1
C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A
1
B
1
C的距离；
（3）求平面A
1
B
1
CD与直线DE所成角的正弦值.

B
B
1

E
A F
C

D
18．在平行四边形ABCD中，
AB32
，
AD 23
，
ADB90
,沿BD将其折成二面角A－BD－C，若
折后ABCD
。





19．在棱长AB =AD=2，AA’=3的长方体AC
1
中，点E是平面BCC
1
B
1
上动点，点F是CD的中点。
D
1
A
1
(1)试确定E的位置，使D
1
E⊥平面AB
1
F。
(2)求二面角B
1
－AF－B的大小。
..
A
D
E
B C
B
（1）求二面角
ABDC
的大小；
（2）求折后点C到面ABD的距离。
B
1
C
1
A

F

D

20．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱
A
1
B
1
C
1
ABC
中，
D
、
E< br>分别是棱
BC
、
CC
1
的中点，
ABAA
1
2
。
（Ⅰ）证明：
BEAB
1
；（Ⅱ）求二面角< br>BAB
1
D
的大小。





21．如图，在直三棱柱
A
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，
BCAA
1
4，AC3
，∠ACB ＝90°，D是
A
1
B
1
的中点。
D
B
C
A
1
B
1
E
C
1
（1）在棱
BB
1
上求一点P，使CP⊥BD；
（2）在（1）的 条件下，求DP与面
BB
1
C
1
C
所



22．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，
点E，点F分别是PC ，AP的中点.



（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A—BE—F的平面角.
E
F
C
A
B
P
∠BCA=90°，PB=BC=CA=
4
成的角的大小。
2
，
..

立几测试002答案

一、选择题（12×5分）
1．已知直线a、b和平面M，则ab的一个必要不充分条件是（D）


A．aM, bM
C．aM, b

M
B．a⊥M，b⊥M
D．a、b与平面M成等角
2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（B）
3333
B． C． D．
2643
3．
a
, b是异面直线，A、B∈
a
, C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则
a
与b所成的角为（B）
A．
A．30° B．60° C．90° D．45°
4．给出下面四个命题：
①“直线
a
、
b
为异面直线”的 充分非必要条件是：直线
a
、
b
不相交；
②“直线
l垂直于平面

内所有直线”的充要条件是：
l
⊥平面

；
③“直线
a
⊥
b
”的充分非必要条件是“
a
垂 直于
b
在平面

内的射影”；
④“直线
a
∥平面

”的必要非充分条件是“直线
a
至少平行于平面

内的一 条直线”．
其中正确命题的个数是（B）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设
l
1

、
l
2
为两条直线，
a
、
β为两个平面，给出下列四个命题：
，
l
1
∥
β
，
l
1
∥
a则
a
∥
β
. (2)若
l
1
⊥
a
，
l
2
⊥
a
，则
l
1
∥
l
2
(3)若
l1
∥
a
，
l
1
∥
l
2
，则
l
2
∥
a
(4)若
a
⊥
β
，
l
1


，
则
l
1
⊥
β

(1)若
l
1


,
l
2

其中，正确命题的个数是（B）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧面
AA
1
B
1< br>B

底面
ABC
，

直线
A
1< br>C
与底面成
60
角，
ABBCCA2
，
A
1

C
1

A
C
S
H
B
E
C
F
G
A
B
1

AA
1
A
1
B
，则该棱柱的体积为（B）
A．
43
B．
33
C．
4
D．
3

7．已知直线
l
⊥面α，直线
m
面β，给出下列命题：
（1）

B


lm
（2）



lm



（3）
lm




其中正确的命题个数是（B）
A. 1 B. 2
8．正三棱锥
S
（4）
lm

D. 4 C. 3
ABC
的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底
ab

2
ab

4
2
ab

2
边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（C）
A.
ab
B. C. D.
9．已知平面α、β、γ，直线
l
、
m
，且
l
< br>m,



,



m,


l
，给出下列四个结论：①


< br>；
②
l

；③
m

；④


.则其中正确的个数是（C）
A．0 B．1 C．2 D．3
D
1

A
1

M
的中心，
P
是 棱
A
1
B
1
上任意一点，则直线
OP
与支线
AM
所成角
的大小为（B）
10．在正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M是棱
DD
1
的中点，
O
是底面
ABCD
..
D
O
A

B
.90º
C
.60º
D
.不能确定
11．将边长为1的正方形
ABCD
沿对角线
BD
折起，使得点
A
到点
A
’
的位置，且
A’
C
＝1，则折起后二面角
A
’
－
DC
－B
的大小为（C）
A.
arctan
12. 正方体
A
.45º


2
B. C.
arctan2
D.
2
43
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
，E、F分别是
AA
1
、CC
1
的中点，P是
CC
1
上的动点（包括端 点），过E、D、
B. 线段CF
D. 线段
C
1
F
和一点C
P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（C）
A. 线段
C
1
F

C. 线段CF和一点
C
1

二、填空题（4×4分）
13．矩形AB CD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D—AC—B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为
21
.
7
14．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为
（不计损耗）.
15. 四面体ABCD中，有如下命题：
①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；

，球的表面积为


6
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心
④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。
其中正确的是：___①③____。（填上所有正确命题的序号）
16．直三棱柱ABC— A
1
B
1
C
1
的每一个顶点都在同一个球面上，若
AC2,BCCC
1
1
，
A
1
D
1

C
1



ACB
，则A、C两点之间的球面距离为 .
2
2
三、解答题（12+12+12+12+12+14分）
17．已知长 方体AC
1
中，棱AB=BC=1，棱BB
1
=2，连结B
1
C，
过B点作B
1
C的垂线交CC
1
于E，交B
1C于F.
（1）求证A
1
C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A
1
B
1
C的距离；
（3）求平面A
1
B
1
CD与直线DE所成角的正弦值.
解：（1）连结AC，则AC⊥BD
∵AC是A
1
C在平面ABCD内的射影∴A
1
C⊥BD；
B
1

E
A
B
F
C
D
又∵A
1
B
1
⊥面B
1
C
1
CB ，且A
1
C在平面B
1
C
1
CB内的射影B
1C⊥BE，
A
1
CBE又

BD

BE BA
1
C面EBD

（2）易证：AB平面A
1
B< br>1
C，所以点B到平面A
1
B
1
C的距离等于点A到平面A< br>1
B
1
C的距离，又BF⊥平面A
1
B
1
C ，
∴所求距离即为
BF
21
2
2
1
2< br>
25
.

5
（3）连结DF，A
1
D，< br>EFB
1
C,EFA
1
C

EF面A
1
B
1
C
，∴∠EDF即为ED与平面A
1
B
1
C所成的角.
..

由条件AB=BC=1，BB
1
=2，可知
B
1
C5
，
FCBB
1
1FCBF5
25455
,EC.

,B
1
F,CF,

EF
B
1
F1 0B
1
F2
555
BF
EDEC
2
CD< br>2

5
.
2
sinEDF
EF1
.

ED5

18．在平行四边形ABCD中，
AB32
，
AD23
，
ADB90
,沿BD将其折成二面角A－BD－C，若折后
ABCD
。
（1）求二面角
ABDC
的大小；
（2）求折后点C到面ABD的距离。
解法一：设A点在面BCD内的射影为H，
连结BH交CD于E，连DH，在ΔADB中，
AB=AD+BD，∴AD⊥DB。
又AH⊥面DBC，∴BH⊥DH。
∴∠ADH为二面角A—BD—C的平面角。
由AB⊥CD，AH⊥面DBC，∴BH⊥CD。 易求得CE=
22
，DE=
2
。
又∵Rt△DEH∽Rt△CEB ∴DH=
3
。
在RtΔADH中，
c osADH
∴二面角A—BD—C的大小为
222
A
D
E
B C
B
1

,ADH
，
23

。
3
法二：在△BCD中，由余弦定理得
cos BDC
3
,ADBDBC90
。
3
∵
DABD,BCDB,二面角的大小就是DA,BC
。
∵
ABDC,ABDC0,即(DBDA)CD0
，
即
DBCDDACD0,故DBCDDACD
。
cosDA ,BC
DABC
=
DA(DCDB)
=
(DADC)(D ADB)
=
DBDC

12
12
2323
| DA||BC|
DBDCcos(DB,DC)
12
632
3
3

1

2
==
12
(DA,BC)60

(2)由对称性成等积性知：C到面ABD的距离等于A到面BCD的距离



19．在棱长AB=AD=2，AA’=3的长方体AC
1
中，点E是平面 BCC
1
B
1
上动点，点F是CD的中点。
(1)试确定E的位置，使D
1
E⊥平面AB
1
F。

(2)求二面角B
1
－AF－B的大小。
..
AHADsinADH23
3
3 (12分)

2
A
1
B
1
C
1
D
1
A

F

D

解：(1)建立空间直角坐标系，如图

A(0，0，0)，F(1，2，0)，B
1
(2，0，3)，D
1
(0，2，3)，

设E(2，y，z)

D
1
E(2,y2,z3)
，
AF(1,2,0)
，
AB
1
(2,0,3)




D
1
EAF0
由D
1
E⊥平面AB
1
F


，即


D
1
EAB
1
0

< br>y1

22(y2)0

5


5
∴E(2，1，)为所求。

z
3

43(z 3)0

3

4
(2)当D
1
E⊥平面AB< br>1
F时，
D
1
E(2,1,)
，
B
1
B(0,0,3)

3
又
B
1
B
与< br>D
1
E
分别是平面BEF与平面B
1
EF的法向量，则
二面角B
1
-AF- B的平面角等于<
B
1
B
，
D
1
E
>。
∵cos<
B
1
B
，
D
1
E
>=
4
3()
3
4
32
2
1()
2
3

461

61
∴B
1
-AF- B的平面角为
arccos
35
461
或用传统法做(略) (
arctan
)
61
4
C
1
20．（本小题满 分14分）如图，在正三棱柱
A
1
B
1
C
1
AB C
中，
D
、
E
分别是棱
BC
、
CC
1
的中点，
ABAA
1
2
。
（Ⅰ）证明：
BEAB
1
；（Ⅱ）求二面角
BAB
1
D
的大小。
A
1
解：如图建立空间直角坐标系，则
（Ⅰ）证明：因为
B(1,0,0)
，
E(1,0,1)
，
B
1
E
A(0,3,0)
，
B
1
(1,0,2)< br>，
所以
BE(2,0,1)
，
AB
1
(1 ,3,2)
，故
BEAB
1
2(1)0(3)120
，
因此，有
BEAB
1
；
（Ⅱ）设
n
1
(x,y,z)
是平面
ABB
1
的法向
因为
AB
1
(1,3,2)
，
BB
1
(0,0,2)
，< br>A
1
C
A
B
z
D
量，
C
1
所以由
B
1
E
x
y
AB
D
C
..


n
1
AB< br>1
x3y2z0


n
1
AB
1


可取
n
1
(3,1,0)
；




n
1
BB
1

n
1
BB
1
2z0
同理，
n
2
(2 ,0,1)
是平面
AB
1
D
的法向量。
设二面角
BAB
1
D
的平面角为

，则 cos

|cosn
1
,n
2
|
|n
1
n
2
|
1515


arcco s
。
55
|n
1
||n
2
|
21．如 图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中， BCAA
1
4，AC3
，∠ACB＝90°，D是
A
1< br>B
1
的中点。
（1）在棱
BB
1
上求一点P，使CP⊥BD；
（2）在（1）的 条件下，求DP与面
BB
1
C
1
C
所成的角的大小。
解法一：（1）如图建立空间直角坐标系

设
P

4，0，z

，则
CP

4，0，z



3


3

0，0

， D

2，，4

得：
BD

2，，
由
B

4，
4


2
2



由CP⊥BD，得：
CP·BD0

z2

所以点P为
BB
1
的中点时，有CP⊥BD
（2）过D作DE⊥B
1
C
1
，垂足为E，
易知E为D在平面
BC
1
上的射影，
∴∠DPE为DP与平面
BC
1
所成的角


3


3

4

得：
PD

2 ，，
由（1），P（4，0，z），
D

2，，
2


2


2


∵
E(2,0,4)
，∴< br>PE(2,0,2)
。
PDPE|PD||PEcosDPE
，
∴
cosDPE
482482
，∴
DPEarccos。
4141
482
。
41
即DP与面
BB
1
C
1
C
所成的角的大小为
arccos
解法二： 取
B
1
C
1
的中点E，连接BE、DE。 显然DE⊥平面
BC
1

∴BE为BD在面
BC
1
内的射影，若P是
BB
1
上一点且CP
CP⊥BE
∵四边形
BCC
1
B
1
为正方形，E是
B
1
C
1
的中点
..
⊥BD，则必有

∴点P是
BB
1
的中点， ∴
BB
1
的中点即为所求的点P
（2）连接DE，则DE⊥
B
1
C
1
，垂足为E，连接PE、DP

DPE
为DP与平面
BC
1
所成的角
由（1）和题意知：
DE

tanDPE

3
,PE22

2
DE3232

,DPEarctan
PE88
即DP与面
BB
1
C
1
C
所成的角的大小为
arc tan

32

8
22．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面A BC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=
4
中点.






解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，

又∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC

∴侧面PAC⊥侧面PBC.

（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线
y
轴，

建立空间直角坐标系，由条件可设
A
（3）求二面角A—BE—F的平面角.
C
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
E
F
2
，点E，点F分别是PC，AP的
P
B
P(0,0,42), B(0,0,0),C(0,42,0),A(42,42,0)
则E(0,22,22),F( 22,22,22)
AE(42,22,22),BF(22,22,22),
A EBF16,|AE||BF|242,


cosAE,BF

22

,AE与BF所成的角是a rccos
33
（3）平面EFB的法向量
a
=(0,1,1)，平面ABE 的法向量为
b
=（1，1，1）


cosa,b
..
6
,

3

二面角ABEF的平面角为arccos


6
.

3
..

立几测试003


一．选择题（请将选择题的答案填在第二页的表格中）
(31236)

1．设M={平行六面体}，N={正四棱柱}，P={直四棱柱}，Q={长方体}，则这些集合之间的关系是
(A)
MNPQ
(B)
QMNP

(C)
NQPM
(D)以上都不正确
2．空间四边形的对角线相等且互相垂直，顺次连接这个空间四边形的各边中点所得的四边形为
(A)平行四边形 (B)梯形 (C)矩形 (D)正方形
3．两个平行平面间的距离为
d
，则到这两个平面的距离为
2:1
的 点的轨迹是
(A)一个平面 (B)两个平面 (C)三个平面 (D)四个平面
4．在正四面体
PABC
中，如果
E、F
分别为
PC
、
AB
的中点，那么异面直线
EF
与
PA所成的角为
(A)
90
(B)
60
(C)
45
(D)
30

5．已知在
ABC
中，
AB9,AC1 5
，
BAC120
，
ABC
所在平面

外一 点
P
到三角形的三个顶
点的距离均为14，则点
P
到平面的距离为
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
6．三棱锥
PABC
中，
PA
底面
ABC
，
ABC
是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有
(A)２个 (B)３个 (C)至多２个 (D)２个或３个
7．正方体的棱长为１，
P
为
DD
1
的中点，
O
为底面
ABCD
的 中心，则
DD
1
与平面
PAO
所成角的正切值为

0000
(A)
2
(B)
2
(C)
22
(D)以上皆非
2
2
8．已知球内接正方体的全面积是
a
，则这个球的表面积是
(A)

a
2
3
(B)

a
2
2
(C)
2

a
(D)
3

a

2
2
9．正
n
棱 锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成二面角的度数为
(A)


3
(B)


2
(C)


6
(D)与
n
的取值有关
1 0．设长方体的三条棱长分别为
a,b,c
，若其所有棱长之和为２４，一条对角线的长度为５ ，体积为２，则
111

为
abc
(A)
114112
(B) (C) (D)
411211
..

11．一长为< br>a
的线段夹在互相垂直的两平面间，它和这两平面所成角分别为30°和45°，由线段端点作平 面
交线的垂线，则垂足间的距离为
(A)
2a
2a
aa
(B) (C) (D)
23
23
12．在下列的四个命题中：
①
a,b
是异面直线，则过
a,b
分别存在平面

,

，使



；
②
a,b
是异面直线，则 过
a,b
分别存在平面

,

，使

< br>
；
③
a,b
是异面直线，若直线
c,d
与
a,b
都相交，则
c,d
也是异面直线；
④
a,b
是异 面直线，则存在平面

过
a
且与
b
垂直．
真命题的个数为
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二．填空题．
(4416)

13．
A
是两条异面直线
a,b
外的一点，过
14．二面角

A
最多可作 个平面，同时与
a,b
平行．
l

内一点
P
到平面

,

和棱
l
的距离之比为
1:3:2，则这个二面角的平面角是
__________
度．
15．在北纬
60
圈上有甲乙两地，它们在纬度圈上的弧长为
为 ．
16．若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其六条棱长的一组可能值是 (只
须写出一种可能值即可)．
三．解答题
(12448)

17．
ABCD
是边长为1的正方形，
M,
面角
ABMNCD< br>
(1)求证：平面
ADC
平面
AMD
；
(2)设
AM






..


2
R
（
R
为地球的半径），则 甲乙两地的球面距离
N
分别为
DA,BC
上的点，且
MNAB
，沿
MN
将正方形折成直二
x
(0x1)
，点
N< br>与平面
ADC
间的距离为
y
，试用
x
表示
y
．

18．某人在山顶
P
处观察地面上相距
2800 m
的
A，B
两个目标，测得Ａ在南偏西
67
，俯角为
30< br>，同时测
得
B
在南偏东
83
，俯角为
45
， 求山高．



19．已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面是边长为1的正三角形，
AA
1
B
1
AA
1
C
1
45
，顶点
A
到底面
距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．






20．长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
(1)求证：
AE
平 面
A
1
D
1
E
；
(2)求二面角
EAD
1
A
1
的正切值；
(3)求三棱椎
AC
1
D
1
E
的体积．


A
1
B
1
C
1
和侧面
B
1
C
的
AD1
，
BB
1
2
，
E
为
BB
1
的中点．


答案
一、选择题（3×12=36）
1．D 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A
10．A
13．1
14．90或150
15．
00
11．A 12．B
二、填空题

3
R

16．1，2，2，2，2，2或1，1，2，2，2，2或1，1，1，2，2，2
三、解答题（4×4=16）
17．解：
（1）MN⊥AM，MNCD
（12）∴CD⊥AM
又CD⊥DM
∴CD⊥平面ADM
∴平面ADC⊥平面ADM
..

∵MNCD MN

平面ADC CD

平面ADC
∴MN平面ADC
∴M、N到平面ADC的距离相等
过M作MP⊥AD
∵平面ADM⊥平面ADC
∴MP⊥平面ADC
（2）∵MN⊥DM
∴∠AMN=90
在Rt△ADM中
0
MN⊥AM
MP
x(1x)
x(1x)
22

∴
yMP
x(1x)
2x2x1
2

18．解：设PQ垂直于地面，Q为垂足
（12）∵PQ⊥平面AQB
∴∠AQB=67+83=150
∠PAQ=30
设PQ=h
在Rt△AQP中，AQ=
3h

在Rt△PQB中 QB=h
在△AQB中，由余弦定理
0
000
∠PBQ=45
0AB
2
AQ
2
QB
2
2AQQBcos15 0
0
3h
2
h
2
2h3h
h
2
4002800h4007(m)

19．解：作AO⊥平面A
1
B
1
C
1
，O为垂足
（12）∵∠AA
1
B
1
=∠AA
1
C
1
=45
∴O在∠C
1
A
1
B
1
的平分线上
连结 A
1
O并延长交B
1
C
1
于D
1
点
∵A
1
C
1
=A
1
B
1

∴A
1
A⊥B
1
C
1

∴BB
1
⊥B
1
C
1

∴四边形BB
1
C
1
C为矩形
取BC中点D，连结AD DD
1

∵DD
1
BB
1

∴B
1
C
1
⊥DD
1
又B
1
C
1
⊥A
1
D
1

∴B
1
C
1
⊥平面A
1
D
1
DA
∴平面A
1
ADD
1
⊥平面B
1
C
1CB
过A作AN⊥DD
1
，则AN⊥平面BB
1
C
1
C
∴AN=AO
∵四边形AA
1
D
1
D为
□

∴A
1
D
1
⊥B
1
C
1

0
3
h7h
2
2800
2
2
..

∴A
1
D
1
=DD
1
∴
DD
1

3
2

AA
1

3
2

S
32363
侧
21
2

2

2
1
2

2

20．解（1）：
A
1
E2AE2

（12）AA
1
=2
∴A
1
E⊥AE
又AE⊥A
1
D
1

∴AE⊥平面A
1
D
1
E
（2）取AA
1
中点F，过F作FP⊥AD
1

∵EF⊥平面AA
1
D
1
D FP⊥AD
1

∴EP⊥AD
1

∴∠FPE即为E- AD
1
-A
1
的平面角
在Rt△AA
5
1
D
1
中，可求
PF
5

tanFPE
EF
FP
5

（3）∵EFC
1
D
1

∴EF平面AC
1
D
1

∴VA-C
1
D
1
E
=V
E
-AC
1
D
1

=V
F
-AC
1
D
1

=
V
C
1
-AFD
1


1< br>3
S

AFD
1
C
1
D
1

=
1
3
(
1
4
12)1

=
1
6



..

立几测试004

一、选择题
1．如果a、b是异面直线，直线c与a、b都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若平面α上有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则平面α与平面β的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上三种情况都有可能
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
4．已知a、b、c是三条直线，则下列命题正确的是 ( )
A．a∩b∩c=P

a、b、c共面 B．a∥b∥c

a、b、c共面
C．a∥b,b⊥c

a、b、c共面
D．
a
3．四 面体PABC中，若P到AB、BC、CA边的距离相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的( )
bP,bcQ,caS
(P,Q,S是不同的三点)

a,b,c共面
5．设直线m在平面α内，则平面α平行于平面β是直线m平行于平面β的（ ）
A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.棱长为a的正方体ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，异面直线DD
1
与BC
1
之间的距离为( )
A．a B．
2
c．
a
2
2a
D．
3a

7．若 a,b是异面直线,
a

,b

且

=l
,则 ( )
A．
l
与a、b分别相交; B.
l
与a、b都不相交
C.
l
至少与a、b中的一条相交; D.
l
至多与a、b中的一条相交
8．四棱柱作为平行六面体的充分不必要条件是 （ ）
(A)底面是矩形 (B)侧面是平行四边形 (C)一个侧面是矩形 (D)两个相邻侧面是矩形
9．如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所 截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27，则这时棱锥的高
被分成上、中、下三段之比为 （ ）
3
(A) 1:
(
3
21)
:
(
3
3
3
2)
(B)1:
2
:
3
3

(C)1:
11
: (D)1:1:1
23

10、一凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面的多边形的内角总和为（ ）
A、5400 B、6480 C、7200 D、7920
二、填空题
11．若两个平行平面之间的距离为12cm，一条直线和它们相交，且夹在这 两个平面间的线段长为24cm，则这条
直线与该平面所成角为__________________ _.
12．已知二面角α—m—β的平面角为60，点P在半平面α内，点P到半平面β的距离为h， 则点P到棱m的
距离是________________.
13．已知集合A={平行六面体}, B={正四棱柱}, C={长方体}, D={四棱柱}, E={正方体}，写出这些集合之间的
连续包含关系

14．正方体的表面积为m，则正方体的对角线长为
..
0

15．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得 BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为



三、解答题
16、如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E是AB的中点，F、G分
别是BC、CD上的点，且
CFCG1

. (1)设平面EFG∩AD=H,AD=λAH, 求λ的值
CBCD3

A

(2)试证明四边形EFGH是梯形．









H

E

D

G

B

F

o
C

17、AB为圆O的直径，圆O在平面α内，SA⊥α，∠ABS=3 0,P在圆周上移动（异于A、B），M为A在SP上
的射影，
(Ⅰ)求证：三棱锥S—ABP的各面均是直角三角形；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面SPB；

18．菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60，将面ABC沿对
棱锥B- ABD，当三棱锥B-ACD的体积最大时，求
的体积是多少？


是边长为2的正方形，GC⊥平面AC, M,N
GC=1，
求点B到平面GMN的距离。
C
B
M
D
N
G0
角线AC折起，组成三
此时的三棱锥B- ACD
分别是AB,AD的中点，且


A

20、在正三 棱柱A
1
B
1
C
1
—ABC中，
点，F是A
1
B的中点.
(Ⅰ)求证：DF‖平面ABC；
..
AA
1
=AB=a，D是CC
1
的中

（Ⅱ）求证：AF⊥BD；
（Ⅲ）求平面A
1
BD与平面ABC所成的锐二面角的大小。




参考答案：

1、C
2、D
3、B
4、D
5、A
6、A
7、C
8、A
9、D
10、B
11、30
0
12、
23
h
3
13、E B C A D
2m
14、
2
2
3
15、 a
4
16、 =2
17、证明 （略）
..

18、a
3
8



..

立几测试005

一、 选择题(每小题只有一个正确的答案，每小题4分)：
1、下列命题中，正确的是 （ ）
A、空间三点确定一个平面 B、空间两条垂直的直线确定一个平面
C、一条直线和一点确定一个平面 D、 空间任意的三点一定共面
2．有下列三个命题：
命题1：垂直于同一平面的两个平面互相平行
命题2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
命题3：一条直线与一个平面的无数条直线垂直，则此直线垂直于该平面
其中正确命题的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3．在下列命题中，真命题是 ( )
（A） 垂直于一个平面的斜线的直线一定垂直于它的射影
（B） 过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
（C） 过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条
（D） 若
a
和
b
是异面直线，
a∥c
，则
b
和
c
也是异面直线
；

4．下列说法中正确的是 ( )
A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一直线的两个平面平行
C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行
5.已知直线a、b、c及平面α,β下列命题中正确的是 ( )
A.若m∥α, n α,则m∥n B.若m⊥n , n α, 则m ⊥α
C.若α∥β, mα, n β则m∥n D.若m⊥β, mα,则α⊥β
6.已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧 棱分成上、下两线段的
比为 ( )
A.2∶ 1 B.
2
∶ 1 C.1∶ (
2
-1) D.1∶ (
3
2
-1)
7．图中给出的是长方体形木料想象沿图中平面所示位置截长方体，若那么截面图形是下面四个图形中的
( )

A B C D
8．如图所示，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的侧面
AB
1
内有一
直线
BC
的距离 相等，则动点
P
所在曲线的形状为

A
1
P
A
A
BA
B
1
A
1
P
BA
B
1
A
1
P
B
B
1
A
A
D
A
1
D
1
1
B
C
1
动点
P
到直线
A
1
B
1
与
（ ）

P
•
A
1
B
P
D
B
C
B
1


二、填空（每小题4分）：
C
9．设M={正方体}，N={直四棱柱}，O={长方体}，P={正四棱柱}，则它们 的包含关系为_________
..

10．球的体积是
32
π，则此球的表面积是
3
11．一个三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱与底面所成的角为60° ，则这个棱柱的体积
为
12．在一个坡 面的倾斜角为60°的斜坡上，有一条与坡脚的水平线成30°角的直线，沿这条道行走到20m时人
升 高了 米（坡面的倾斜角为坡面与水平面所成的二面角的平面角）
13． 已知点A、B到平面

的距离分别为3cm、9cm，P为线段AB上一点，且AP：BP＝1 ：2，则P到平面

的距
离为
..

三、解答题（答题要求：请写出规范的完整的解答过程，每题12分，）：
14．已知：如图，长方体AC’中，AD＝AA’＝4，E为AB上任意一点
（1） 求证：EC’ ⊥ A’D



（2） 若M为B’C’的中点，求直
线AB与平面DMC的距离。







15．在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC中点．

（1）求证：PA∥平面EDB．

（2）求EB和底面ABCD成角正切值．





D

A


P

D'
A'
B'
D
B
E< br>C'
C
A
E

C
B

..

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABC D，且PA=AD=2a，AB=a，∠ABC=60°
（1）求证平面PDC⊥平面PAC．

（2）求异面直线PC与BD所成的角的余弦值．









17．已知：如图，直棱柱ABC－A’B’C’的各棱长都相等，D为BC中点，CE⊥C’D于E
（1） 求证：CE⊥平面ADC’
（2） 求二面角D－AC’－C的平面角的大小















参考答案
一、1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C

二、9．
MPQN

10．
16


3
ab
11．
8
2
P
A
B C
D
A'
B'
C'
A
B
E
D
C< br>12．
53

13．5cm或1cm

三、14．（2）
8
5
5

..

15．（2）
arctan
5
5

3
16．（2）
arccos
7

17．(2)
arcsin
10
5

..

立几测试006


一、选择题（计60分）
1、条件甲：直线a、b是异面直线；条件乙：两条直线a 、b无公共点，则甲是乙的
( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2、若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（ ）
A．3倍
3
B．27倍 C．3
3
倍 D．
3
倍
3、如果直线a∥平面

，那么直线a与平面

内的 （ ）
A、一条直线不相交 B、两条相交直线不相交
C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交
4、已知
P
是三角形
ABC
所在平面外的一点，且
P
到三角形三个顶点的距离相 等，那么
P
在平面
ABC
内的射
影一定是三角形
ABC的( )
A、垂心 B、外心 C 、内心 D、重心
5、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为 （ ）
33
a
A、
a
B、
2a
C、
2
D、
27a

( )
A、24 B、32 C、18 D、16
6、已知一个凸多面体面数为8，各面多边形的内角总和为16

，则它的棱数为
7、正方形ABCD与正方形ABEF成90° 的二面角，则异面直线AC与BF所成的角为
( )
A、45° B、60° C、30° D、90°
8、在正方体ABCD—ABCD中，BC与截面BBDD所成的角为（ ）

A．
3


B．
4
C．
6
D．arctan2
9、有一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A、一定都是直角三角形 B、至多只能有一个直角三角形
C、至多只能有两个直角三角形 D、可能都是直角三角形
10、已知球面上的三点
A
，
B
，
C
，且
AB6cm
，
BC 8cm
，
AC10cm
，球的半径为
13cm
，则球
心到 平面
ABC
的距离是( )
A、11
cm
B、12
cm
C 、13
cm
D、14
cm

11、方程x-6x+9x-10=0的实根个数是 （ ）
..
32

A、3 B、2 C、1 D、0
12、一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的 水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状
可以是(1)三角形(2)菱形(3)矩形(4)正方 形(5)正六边形其中正确的是 ( )

A、(1)(2)(3)(4)(5)B、(2)(3)(4)C、(2)(3)(4)(5)D、(3 )(4)
二、填空题（计16分）
13、正方形ABCD中，AB=10㎝，PA垂直于A BCD所在的平面且PA=5㎝，则P到DC的距离为____________；
14、函数f(x)= x-6x+9x(015、已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体与正方体的体积之比是< br>_______________；
16、将边长为2，锐角为60的菱形ABCD沿较短对角 线BD折成四面体ABCD，点E、F分别为AC、BD的中点，
则下列命题中正确的是______( 将正确的命题序号全填上)
① EF∥AB ②EF是异面直线AC与BD的公垂线
③当四面体ABCD的体积最大时，AC=
6
④AC垂直于截面BDE
三、解答题（74分）
0
32
17、等腰直角三 角形ABC中，∠C=90°，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB边的中点，若PC=AB=24 ，
求：
（1）PC与平面ABC所成的角
（2）
P
P点到直线AC，BC的距离。（12分）
A
D
C
B





18、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，
求①斜高与棱锥高之比
②相邻两个侧面所成二面角的大小。（12分）





..

19、在立体图形V-AB C中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，①平面VAB与平面VBC有何种位置关系？请说明理
由。②若BC=BA=
1
VA=4，试求A点到平面VBC的距离（12分）
2
V
B
C




A

20、如图，直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1< br>的底面ABC为等腰直角三角形，AC=1，C点到AB
1
的距离为CE=
A CB90
，
D为AB的中点. (12分)
（1）求证：AB
1
⊥平面CED；
（2）求异面直线AB
1
与CD之间的距离；
（3）求二面角B
1
—AC—B的平面角.










21、已知实数a≠0，函数f(x)=ax(x-2)(x∈R)有极大值32。
（1）求实数a的值；
（2）求函数f(x)的单调区间。（12分）







..
2
3
，
2

C
1

A
1

B
1

E

A

C

D

B

22、如图所示，正方形的边长为3a，E、F、G、H是正方形边AB、
CD的三等分点，将正方形沿EH、FG对折成一个三棱柱
AEF-DHG求：（14分）
①异面直线EA与FD所成的角
②求二面角F-HD-G大小
③求棱锥A-DHF的体积
A E F B
D H G C

..
E F
A
H G
D

2004—2005学年第二学期第二次月考
数学答题卷
一、选择题（60分）
题
号
答
案
二、填空题
13、5
5
； 14、（0，1）和（3，5）；15、1∶3； 16、②③④
三、解答题
17、（1）60 ；（2）6
14
；
18、（1）
3
∶
2
；（2）

-arccos
0
1
A
2
C
3
D
4
B
5
A
6
D
7
B
8
C
9
D
10
B
11
C
12
C
1
；
3
19、（1）垂直 ；（2）
85
；
5
1
；（3）arctan
2
；
2
2
21、（1）a=27 ；（2） x

(-

,)和x

(2,+

)单调 第增；
3
2
x

(,2)单调递减
3
20、（1）略 ；（2）
22、（1）arccos


103
3
；（2）arctan2
3
；（3）a
204
..

立体007

一、 选择题(本大题共 12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的)
1、在空间中，
l
，
m
，
n
，
a
，b
表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A、若
l
∥α，
m
⊥
l
，则
m
⊥α

B、 若
l
⊥
m
，
m
⊥
n
，则
m
∥
n
C、若
a
⊥α，
a
⊥
b
，则b
∥α

D、若
l
⊥α，
l
∥
a
，则
a
⊥α
2、在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC =BD，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与AC所成角为( )
A、90° B、60° C、45° D、30°
3、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为
6:2
，则侧面与底面的夹角为（ ）。
（A）


（B）
12
6
（C）


4
（D）


3
4、 在斜棱柱的侧面中，矩形最多有 （ ）个。
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
5、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )
(A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45度
(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上
6、已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（ ）
．
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，
m
7、下列命题中，正确命题的个数是（ ）
（1） 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
（2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形
（2） 简单多面体就是凸多面体
（4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆
Ａ.0个 Ｂ.1个 Ｃ.2个 Ｄ. 3个

，则α⊥β
8、已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6

和8

，则两平行截 面间的距离是（ ）．
A．1 B．2 C．1或7 D．2或6
9、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等.则该棱锥一定不是( )
A.六棱锥 B.五棱锥 C.四棱锥 D.三棱锥
10、地球半径为R ，在北纬30 圈上有两点A 、B ，A 点的经度为东经120 ，B 点的经度为西经60 ，
则A 、B 两点的球面距离为（ ）．
000
A．

3
R
B．
3
12

R
C．

R
D．

R

2
23
11、空间有不共线的三点，过其中一点到另外两个点等距离的平面的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D无数个
..