关于这就是我的作文-情商多少算高

第5讲 简单几何体的再认识（表面积与体积）
[基础题组练]
1．圆柱的底面积为
S
，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )
A．4π
S

C．π
S

2
B．2π
S

23
D．π
S

3
，故侧面展开图的边长为2π·
π
解析：选A.由π
r
＝
S
得圆柱的底面半径是
＝2π
S
，所以圆柱的侧面积是4π
S
，故选A.
SS
π
2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此 圆锥的侧面积相等，则该
球的半径长为( )
A．5
C．9
B．5
D．3
解析：选B.因为圆锥的底面半径
R
＝4，高h
＝3，所以圆锥的母线
l
＝5，所以圆锥的侧
面积
S
＝π
Rl
＝20π.设球的半径为
r
，则4π
r
＝20π， 所以
r
＝5，故选B.
3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )
2

1
A.
2
3
C.
2
解析：选B.
B．1
D．3

由主视图可得如图的 四棱锥
P
­
ABCD
，其中平面
ABCD
⊥平面
P CD
.
3
由主视图和俯视图可知
AD
＝1，
CD
＝2，
P
到平面
ABCD
的距离为.
2

1 13
所以四棱锥
P
­
ABCD
的体积为
V
＝×S
长方形
ABCD
×
h
＝×1×2×＝1.故选B.
332
4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.
C.
5π

3
π

3
4π
B．
3
2π
D．
3
解析：选D.

几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图， 1
2
11
2
2π
由题意可知几何体的体积为：×1·π×2－× ×1·π×2＝.故选D.
2323
5．(2020·广东茂名一模)在长方体
AB CD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形
ABCD
是边长为2的正方形，
D
1
B
与DC
所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )
A．16π
C．4π
B．8π
D．42π
解析：选A.如图，在长方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，因为
DC
∥
AB
，所以相交直线
D
1
B
与
AB
所
成的角是异面直线
D
1
B
与DC
所成的角．

连接
AD
1
，由
AB⊥平面
ADD
1
A
1
，得
AB
⊥
AD
1
，所以在Rt△
ABD
1
中，∠
ABD
1
就是
D
1
B
与
DC
所成的角，即∠
ABD
1
＝60°，又
AB
＝2，
AB
＝
BD
1
cos 60°，
所以
BD
1
＝＝4，设长方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
外接球的 半径为
R
，则由长方体的体对
cos 60°
角线就是长方体外接球的直径得 4
R
＝
D
1
B
＝16，则
R
＝2，
所以长方体外接球的表面积是4π
R
＝16π.故选A.
6．一个四棱锥的 侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧
面积是________．
2
22
AB

解析：

因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，
由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，
取正方形的中心
O
，
AD
的中点
E
，连接
PO
，
OE
，
PE
，可知
PO
为正四棱锥的高，△
PEO
为直角三角形，则正四 棱锥的斜高
PE
＝2＋1＝5.
1
所以该四棱锥的侧面积
S
＝4××2×5＝45.
2
答案：45
7.已知圆锥
SO
，过
SO
的中点
P
作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底
面作圆柱
PO
，圆柱的下 底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱
PO
的体积与圆
锥
SO
的体 积的比值为________．
解析：设圆锥
SO
的底面半径为
r
，高为
h
，则圆柱
PO
的底面半径是，
2
高为，
2
22
r
h
r

2
h
π
rh1
V
圆柱
PO
3

2
所以
V
圆锥
SO
＝π
rh
，
V
圆柱
PO
＝π
·＝，所以＝.
38
V
圆锥
SO
8
< br>2

2
2
3
答案：
8
8．已知正三棱锥的 高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的
内切球的半径为________．
解析：如图，过点
P
作
PD
⊥平面
ABC
于点D
，连接
AD
并延长交
BC
于点
E
，连接PE
，
因为△
ABC
是正三角形，
所以
AE
是
BC
边上的高和中线，
D
为△
ABC
的中心．
因为
AB
＝
BC
＝23，
所以
S
△ABC
＝33，
DE
＝1，
PE
＝2.

1
所以
S
表
＝3××23×2＋33＝36＋33.
2
1
因为
PD
＝1，所以三棱锥的体积
V
＝×33 ×1＝3.
3
设球的半径为
r
，以球心
O
为顶点，三棱锥 的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小
棱锥，
33
则
r
＝＝2－1.
36＋33
答案：2－1
9．已知一个几何体的三视图如图所示．

(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点
P
，
Q
在正视图中所示位置，
P
为所在线段的 中点，
Q
为顶点，求在几何体表
面上，从
P
点到
Q
点的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积 是圆锥
的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S
圆锥侧
＝(2 π
a
)·(2
a
)＝2π
a
2
，
S圆柱侧
＝(2π
a
)·(2
a
)＝4π
a
2< br>，
S
圆柱底
＝π
a
2
，
所以
S
表
＝2π
a
＋4π
a
＋π
a
＝(2＋5) π
a
.
(2)沿
P
点与
Q
点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
2222
1
2

则
PQ
＝
AP
＋
AQ
＝
a
＋（π
a
）＝
a
1＋π， 所以从
P
点到
Q
点在侧面上的最短路径的长为
a
1＋π .
10.如图，四边形
ABCD
为菱形，
G
为
AC
与
BD
的交点，
BE
⊥平面
ABCD
.
(1)证明：平面
AEC
⊥平面
BED
；
2
22 222

(2)若∠
ABC
＝120°，
AE
⊥
EC
，三棱锥
E
­
ACD
的体积为
6
，求该三棱 锥的侧面积．
3
解：(1)证明：因为四边形
ABCD
为菱形，所以
AC
⊥
BD
.
因为
BE
⊥平面
ABCD
，所以
AC
⊥
BE
.
故
AC
⊥平面
BED
.
又
AC
平面
AEC
，
所以平面
AEC
⊥平面
BED
.
(2)设
AB< br>＝
x
，在菱形
ABCD
中，由∠
ABC
＝120°， 可得
AG
＝
GC
＝
因为
AE
⊥
EC
，所以在Rt△
AEC
中，可得
EG
＝
3
x
.
2
2
x
.
2
3
x
x
，
GB
＝
GD
＝. < br>22
由
BE
⊥平面
ABCD
，知△
EBG
为 直角三角形，可得
BE
＝
116
3
6
由已知得，三棱锥E
­
ACD
的体积
V
三棱锥
E
­
AC D
＝×·
AC
·
GD
·
BE
＝
x
＝，故
x
＝2.
32243
从而可得
AE
＝
EC
＝
ED
＝6.
所以△
EAC
的面积为3，△
EA D
的面积与△
ECD
的面积均为5.
故三棱锥
E
­
ACD
的侧面积为3＋25.
[综合题组练])

1.如图，以棱长为1的正方体的顶点
A
为球心 ，以2为半径作一
个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )
A.
C.
3π

4
3π

2
B．2π
9π
D．
4
解析：选C.正方体的表面被该 球面所截得的弧长是相等的三部分，
1
如图，上底面被球面截得的弧长是以
A
1
为圆心，1为半径的圆周长的，
4
2π3π
所以所有弧长之和为3×＝.故 选C.
42
2．(2020·江西萍乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的 是某几何体
的三视图，则该几何体的体积为( )

A.
23

6
7
B．
2
D．4
7
C.
6
解析：选A.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB
1
­
DCC
1
，

挖去一个三棱锥
E
­
FCG
所形成的，故所求几何体的体积为 11

1
23

×(2×2)×2－×

×1 ×1

×1＝.
23

2
6

故选A.
3．(2020·福建厦门外国语学校模拟)已知等腰直角三角形
ABC
中，∠
ACB
＝90°，斜边
AB
＝2，点
D
是斜边
AB
上一点(不同于点
A
，
B
)．沿线段
CD
折起形成一个三 棱锥
A
­
CDB
，则
三棱锥
A
­
CDB< br>体积的最大值是( )
A．1
1
C.
3
1
B．
2
1
D．
6
解析：选D.设
AD
＝
x
，将△
ACD
折起使得平面
ACD
⊥平面
BCD
.在△
ACD
中，由面积公式
11
x
得
CD
·
h
1
＝
AD
·1(
h
1
为点
A
到直线
CD
的距离)，则
h
1
＝ .由题易知
h
1
为点
A
2
22
1＋（
x< br>－1）
11

1

到平面
BCD
的距离，故 三棱锥
A
­
CDB
体积为
V
＝
S
△
BCD
·
h
1
＝×

BD
·1

·
h
1
＝
33

2

22
12
x
－
x
12－
t
1

2

2
·
2
，
x
∈(0，2)．令
t
＝
x< br>－2
x
＋2，则
t
∈[1，2)，故
V
＝·＝·
－
t

.
66
t
6

t< br>
x
－2
x
＋2
211
由于－
t
是 减函数，故当
t
＝1时，
V
取得最大值为×(2－1)＝.故选D.
t
66
4．设
A
，
B
，
C
，
D
是同一个半径为4的球的球面上的四点，△
ABC
为等边三角形且其面

积为93，则三棱锥
D
­
ABC
体积的最大值为( )
A．123
C．243
B．183
D．543
解析：选 B.如图，
E
是
AC
的中点，
M
是△
ABC
的重心，
O
为球心，连接
BE
，
OM
，
OD，
BO
.
因为
S
△
ABC
＝
3
2
AB
＝93，
4

2
所以
AB
＝6，
BM
＝
BE

3
＝
2
AB
2
－
AE
2
＝23.易知OM
⊥平面
ABC
，所以在Rt△
OBM
中，
OM＝
OB
2
－
BM
2
＝2，所以
3
1< br>当
D
，
O
，
M
三点共线且
DM
＝< br>OD
＋
OM
时，三棱锥
D
­
ABC
的体积取 得最大值，且最大值
V
max
＝
S
3
△
ABC1
×(4＋
OM
)＝×93×6＝183.故选B.
3
5.如 图所示，已知三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为1，且
AA
1
⊥底面
ABC
，则三棱锥< br>B
1
­
ABC
1
的体积为________．
解析 ：三棱锥
B
1
­
ABC
1
的体积等于三棱锥
A­
B
1
BC
1
的体积，三棱锥
A
­
B
1
BC
1
的高为
311133
，底面积为，故其体积为×× ＝.
2232212
3

12
答案：
6．已知半球
O
的半径
r
＝2，正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
内接于半球
O
，其中底面
ABC
在半球
O
的大圆面内，点
A
1
，
B
1
，
C
1
在半球
O
的球面上．若正三棱柱
ABC
­A
1
B
1
C
1
的侧面积为63，则
其侧棱的长 是________．
解析：依题意
O
是正三角形
ABC
的中心， 设
AB
＝
a
，分析计算易得0<
a
<23，
AO< br>＝
在Rt△
AOA
1
中，
A
′
O
＝
r
＝2，则
AA
1
＝
r
－
AO
＝
面积
S
＝3
a
·
AA
1
＝3
a< br>4－＝3
3
22
3
a
，
3
4－，所以正三棱 柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
的侧< br>3
422
a
2
a
2
－＋4
a
＝63 ，整理得
a
－12
a
＋36＝0，解得
a
＝6，
3
a
4
2

即
a
＝6，此时侧棱
AA< br>1
＝2.
答案：2
7.如图，正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
P
为
BC
边的中点，
Q
为线段
CC
1
上的 动点，
过点
A
，
P
，
Q
的平面截正方体所得的截面 为
S
，当
CQ
＝1时，
S
的面积为________．


解析：当
CQ
＝1时，
Q
与
C
1
重合．如图，取
A
1
D
1
，
AD
的中 点分别为
F
，
G
.连接
AF
，
AP
，PC
1
，
C
1
F
，
PG
，
D
1
G
，
AC
1
，
PF
.
因为
F
为
A
1
D
1
的中点，
P
为
BC
的中点，
G
为
AD
的中点，
所以
AF
＝
FC
1
＝
AP
＝
PC
1
＝
由题意易知
CD
綊
C
1
D
1
，
所以
PG
綊
C
1
D
1
，所以四边形
C< br>1
D
1
GP
为平行四边形，
所以
PC
1< br>綊
D
1
G
，所以
PC
1
綊
AF，
所以
A
，
P
，
C
1
，
F
四点共面，
所以四边形
APC
1
F
为菱形．
因 为
AC
1
＝3，
PF
＝2，过点
A
，
P< br>，
Q
的平面截正方体所得的截面
S
为菱形
APC
1< br>F
，
116
所以其面积为
AC
1
·
PF
＝×3×2＝.
222
答案：
6

2
5
，
PG
綊
CD
，
AF
綊
D
1
G
.
27
8．已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
SB
所成角的余弦值为，
SA
与圆锥底面所成角为45°.
8
若△
SAB
的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图所示，设
S< br>在底面的射影为
S
′，连接
AS
′，
SS
′.△SAB
的面积为
1115
2222
·
SA
·
S B
·sin∠
ASB
＝·
SA
·1－cos∠
ASB
＝·
SA
＝515，所以
SA
＝80，
SA
＝45.2216
因为
SA
与底面所成的角为45°，所以∠
SAS
′＝ 45°，
AS
′＝
SA
·cos 45°＝45×
2
＝2

1
210.所以底面周长
l
＝2π·
AS′＝410π，所以圆锥的侧面积为×45×410π＝402
π.
答案：402π



2