江西应用科技学院-河南大学民生学院教务管理系统

2017年河北单招模拟试题及答案卷四（数学）

一、选择题:本大题共1 2小题小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.
1i1i

（ ）
(1i)
2
(1i)
2
A．
i
B．
i
C．
1
Ｄ．１
2
2.若函 数
f(x)sinx
1
(xR)
，则
f(x)
是（ ）
2




B．最小正周期为
π
的奇函数
D．最小正周期为
π
的偶函数
（ ）
A．最小正周期为
π
的奇函数
2
C．最小正周期为
2π
的偶函数
3．下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件的是





4．设

~B(n,p)
，
E
3
，
D


A．
n12,p
9
，则
n
与
p
的值为
4

（ ）
1313
B．
n12,p
C．
n24,p
D．
n24,p

4444
５．已知
{a
n
}
是等差数列，
a
1
a
2
4
，
a
7
a
8
28
，则该数列前10项和
S
10
等 于
( )
A．64 B．100 C．110 D．120
６．下列函数图象中，正确的是 ( )

７．过点A（0,3），被圆（x－1)
2
＋y2
＝4截得的弦长为23的直线方程是（ ）
1
A．y＝
-
x+3
3

1
B．x＝0或y＝
-
x+3
3
1
C．x＝0或y＝

x－3 D．x＝0
3
uuurruuurruuuruuurrr
uuur
uu ur
ABa,ACb,BD3DCa,b
AD
（ ）
A D
８.如图，已知，用表示，则
r
3
r
1
r
3r
1
r
1
r
3
r
1
r
A．< br>ab
B．
ab
C．
ab
D．
ab

4444444
x
2
y
2
1
的左准线为
l
，左、右焦点分别为F
1
，F
2
，抛物线C
2
的准线
９．椭圆
C
1
:
43
为
l
，焦点是F
2
，C
1
与C
2
的一个 交点为P，则|PF
2
|的值等于
A．
8

3
B．
4

3
C．4 D．8
10. 三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的侧面C
1
CBB
1
⊥底面A
1
B
1
C
1
,且A1
C与底面成45°角,AB＝ BC＝ 2,

C
1
A1
B
1
=
90
o
，
则该棱柱体积的最小值为
A.

42

C.
22


B.
32

D.
2

( )
11．定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1 ，f‘(x)为f(x)的导函数，已知函数y= f‘(x)d
的图象如右图所示。若两正数ａ、ｂ满足ｆ（２ａ＋ｂ）＜１，则
围是（ ）
b2
的取值范
a2

A．
(,)
B．
(,)
(3,)
C．
(,3)
D．
(,3)

11
32
1
2
1
2< br>,•2•,•3•,••,•9}
,集合
A、B
都是
U
的子 集，当
AB{1•,•2•,•3}
时，12．已知全集
U{1•
我们 把这样的（
A
，
B
）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有
（ ）
A．36对 B．6！对 C．6
3
对 D．3
6
对

第Ⅱ卷
(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
1
13．当x＞2时，使不等式x+
≥
a
恒成立的实数
a
的取值范围是 ．
x< br>－
2
14．定义在

2,2

上的偶函数
f(x)
，它在

0,2

上的图象是一条如图所 示的线段，
则不等式
f(x)f(x)x
的解集为_________ ．
xy
15．如图,A、B、C分别是椭圆
2
+
2
＝ 1(a＞b＞0)的顶点与焦点,若∠ABC＝ 90°,则
ab
该椭圆的离心率为 .
１６．已知正四面体
ABCD
的棱长为1，球
O
与正四面体的各 棱都相切，
且球心
O
在正四面体的内部，则球
O
的表面积等于___ __________.






三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.


22
uuuruuur
r
uuur
uuu
17、已知
△ABC
的面积为
3
，且满足
0
≤
AB
g
AC
≤
6
，设
AB
和
AC
的夹角为
< br>．
（I）求

的取值范围；
2
（II）求函数
f (

)2sin


π




3cos2

的最大值与最小值．

4


18、 如图，正三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
的所有棱长都为2，D为CC
1< br>中点。
（Ⅰ）求证：AB
1
⊥面A
1
BD；
（Ⅱ）求二面角A－A
1
D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A
1
BD的距离．







19、．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景 点的概率分别是
0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市 时
游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (游览的景点数可以为0.)
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数
f
(
x
) ＝
x
2
－3ξ
x
＋1在区间[2，＋∞
)
上单调递 增”为事件A，求
事件A的概率.

ab
20、已知函数f(x)＝
x
3
+ x
2
－a
2
x(a＞0),且f(x)在x＝ x
1
,x＝ x
2
时有极值,且
32
|x
1
|+|x
2
|＝ 2.
(Ⅰ)求a、b的关系；
(Ⅱ)证明:|b|≤



4
9
3 .

21、已知两 定点
F
1
2,0,F
2

uuuuruuur
2,0
，满足条件
PF
2
PF
1
2
的点P
的轨迹是曲

线
E
，直线
ykx1
与曲 线
E
交于
A,B
两点，如果
AB63
，且曲线
E
上存在
uuuruuuruuur
点
C
，使
OAOBm OC
，求
m
的值和
ABC
的面积
S
．







22、由函数
y=f
(
x
)确定数列{
a
n
}，
a
n
=f< br>(
n
)，函数
y=f
(
x
)的反函数
y=f
–1
(
x
)能确定数列
{
b
n
}，
b
n
= f
–1
(
n
)，若对于任意
n
N
*
，都有
b
n
=a
n
，则称数列{
b
n
}是数列{
a
n
}的“自
反数列”。
(Ⅰ) 若函数
f
(
x
)=
px1
确定数列{
a
n
}的自反数列为{
b
n
}，求
a
n
；
x1
1
n
(
c
n
+
)。写出
S
n
表达式，并证明你的
c
n
2
(Ⅱ)已知正数数列{
cn
}的前
n
项之和
S
n
=
结论；
( Ⅲ)在(Ⅰ)和(Ⅱ)的条件下，
d
1
=2，当
n
≥2时，设
d
n
=
1
2
，
D
n
是数列{
d
n
}的前
a
n
S
n
n
项之和，且
D
n
>log
a
(1–2
a
)恒成立，求
a
的取值范围．

参考答案：
一、选择题：
ＣＤBＡB C BＢAＣ ＣD
二、填空题：
51

13、（
-
∞，4]； 14、[-2,1) ； 15、 ； 16、.
2
2
三、解答题：
，B，C
的对边分别为
a，b，c
， 17、解：（Ⅰ）设
△ABC
中角
A
1
2

ππ

∴



，

．．．．．．．４

42

2
（Ⅱ）
f(

)2sin

则由
bcsin< br>
3
，
0
≤
bccos

≤
6< br>，可得
0
≤
cot

≤
1
，
π

π






3c os2



1cos

2

< br>
3cos2


2

4



(1sin2

)3cos2

π

sin2

3cos2

12sin

2



1
．．．．．．．．６
3

π

π2π

ππ

∵



，

，
2



，

，
3

63


42

π
< br>∴2
≤
2sin

2



1< br>≤
3
．．．．．．．．．．８
3

即当


5π
π
时，
f(

)
max
3；当


时，
12
4
f(

)
min
2
．．．．．．．．．．．．．．．．１０
18、解：解法一：（Ⅰ）取
BC
中点
O
，连结
AO
．
Q△ABC
为正三角形，
AO⊥BC
．
Q
正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
中，平面
ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，
AO⊥
平面
BCC
1
B
1
．．．．．．．．．2
连结
B
1
O
，在正方形
BB
1
C
1
C
中，
O，D
分别为

BC，CC
1
的中点，
B
1
O⊥BD
，
AB
1
⊥BD
．
在正方形
ABB
1
A
1
中，
AB
1
⊥A
1
B
，
AB
1
⊥
平面
A
1
BD
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．４
（Ⅱ）设
AB
1
与
A
1
B交于点
G
，在平面
A
1
BD
中，作
GF⊥A< br>1
D
于
F
，连结
AF
，
由（Ⅰ）得
AB
1
⊥
平面
A
1
BD
．
AF⊥A
1
D
，
∠AFG
为二面角
AA
1
DB
的平面角．
在
△AA
1
D
中，由等面积法可求得
AF
又
QA G
45
，
5
1
AB
1
2
，
2
sin∠AFG
AG210

．
AF
4 5
4
5
所以二面角
AA
1
DB
的大小为
arcsin
10
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８
4
（Ⅲ）
△A
1
BD
中，
BDA
1
D5，A
1
B22，S
△A
1
BD
6
，
S
△B CD
1
．
在正三棱柱中，
A
1
到平面
BCC< br>1
B
1
的距离为
3
．
设点
C
到平 面
A
1
BD
的距离为
d
．
由
V
A
1
BCD
V
CA
1
BD
得
S△BCD
g3
０
1
3
1
S
△A
1
BD
gd
，．．．．．．．．．．．．．１
3

d
3S
△BCD
2
．

S
△A
1
BD
2

点
C
到平面
A
1
BD
的 距离为
2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２
2
解 法二：（Ⅰ）取
BC
中点
O
，连结
AO
．
Q△ABC
为正三角形，
AO⊥BC
．
Q
在正三棱柱< br>ABCA
1
B
1
C
1
中，平面
ABC⊥< br>平面
BCC
1
B
1
，
AD⊥
平面
BCC
1
B
1
．
uuur
uuuu
r
r
uuu
取
B
1
C
1
中点
O
1
，以
O
为原点，
OB
，
OO
1
，
OA
的方向为
x，y，z
轴的正方向建
0 ，3)
，
，0，0)
，
D(11，，0)
，
A
1
(0，2，3)
，
A(0，
立空间直角坐标系，则
B(1
B
1
(1，2，0)
．．．．．．．．３
uuuruuur
uuur
1，0)
，
BA
1
(1AB
1
(1，2， 3)
，
BD(2，
，2，3)
．
uuuruuuruuur uuur
Q
AB
1
g
BD2200
，
A B
1
g
BA
1
1430
，
uuuru uuruuuruuur
AB
1
⊥BD
，
AB
1
⊥BA
1
．
AB
1
⊥
平面
A
1
BD
．．．．．．．．．．．．．．．．．．５
（Ⅱ）设平面
A
1
AD
的法向量为
n(x，y，z)
．
uuur
uuur
AD(11，，3)
，
AA
1
(0，2，0)
．
uuur
uuur
Qn⊥
AD
，
n⊥AA
1
，
uuur


xy3z0，


y0，

n
g
AD0，




< br>

uuur




2y0，

x3z
．

n
g
AA
1
0，
0，1)
为平面
A
1
AD
的一个法向量． 令
z1
得
n(3，
由（Ⅰ）知
AB
1
⊥
平面
A
1
BD
，
uuur
AB
1
为平面< br>A
1
BD
的法向量．

uuur
uuurn
g
AB
1
336
cosn
，
AB1

．
uuur

4
2
g
2 2
n
g
AB
1

二面角
AA
1
DB
的大小为
arccos
6
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．９
4
uuur
（Ⅲ）由（Ⅱ），
AB
1
为平面< br>A
1
BD
法向量，
uuuruuur
0
，，
0)AB
1
(1
，
2
，
3)
．
Q
BC(2
，

点
C
到平面
A
1BD
的距离
uuuruuur
BC
g
AB
1
 2
2
d
uuur

．．．．．．．．．．．．．．．１２
2
22
AB
1

19、解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A
1
，A
2
，A
3
. 由已知A
1
，A
2
，A
3
相互独立，P（A
1
）=0.4，P （A
2
）=0.5，P（A
3
）
=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可
能取值为3，2 ，1，0，所以

的可能取值为1，3.
P（

=3）=P（A
1
·A
2
·A
3
）+ P（
A
1
A
2
A
3
）
= P（A< br>1
）P（A
2
）P（A
3
）+P（
A
1)P(A
2
)P(A
3
)
）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，．．．．．４


P（

=1）=1－0.24=0.76.


P
1 3
0.76 0.24

所以

的分布列为 E

=1×0.76+3×0.24=1.48.．．．．．．．8
22
（Ⅱ）解法一 因为
f(x)(x

)1

,

3
2
9
4
2
[

,)
上单调递增， 所以函数
f(x)x3

x1在区间
3
2
要使
f(x )在[2,)
上单调递增，当且仅当

2,即


3
2
4
.

3
从而
P(A)P(

)P(

1)0.76.
．．．．．．．．．．．．．．．１２
4
3

解法二：

的可能取值为1，3.
2
当

=1时，函数
f(x)x3x1在区间[2,)
上单 调递增，
2
当

=3时，函数
f(x)x9x1在区间[2 ,)
上不单调递增，
所以
P(A)P(

1)0.76.

20、解:(Ⅰ)由题意知f′(x)＝ ax
2
+bx－a
2
,且f′(x)＝ 0的两根为x
1
、x
2
.
b
∴x
1
+x
2
＝ －
x
1
x
2
＝ －a
a
Qa0
∴x
1
、x
2
两根异号
∴|x
1
|+|x
2
|=| x
2
－x
1
|
∴(|x
1
|+|x
2
|)
2
＝ (x
2
+x
1
)
2
－4x
1
x
2
＝ 4.
－b
2
∴(
)+4a＝ 4.
a
∴b
2
＝ (4－4a)a
2
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分
(Ⅱ)由(1)知b
2
＝ (4－4a)a
2
≥0,且0＜a≤1
令函数g(a)＝ (4－4a)a
2
＝ －4a
3
+4a
2
(0＜a≤1)
3
2
g′(a)＝ －12a+8a＝ 8a(1－ a)
2
2
令g'(a)＝ 0 ∴a
1
＝ 0,a
2
＝
.
3
22
函数g(a)在(0,
)上为增函数,( ,1)上为减函数.
33
216
∴g(a)
max
＝ g(
)＝ .
327
16
∴b
2
≤
.
27
43
∴|b|≤
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
．
9

21、解：由双曲线的定义可知，曲线
E
是以< br>F
1

2,0

,F
2

2,0

为焦点的双曲线的左
支，
且
c2,a1
，易知
b1

故曲线< br>E
的方程为
x
2
y
2
1

x 0

．．．．．．．．３
设
A

x
1,y
1

,B

x

ykx1
2
,y
2

，由题意建立方程组


x
2< br>y
2
1

消去
y
，得

1 k
2

x
2
2kx20

又已知直线与双曲线左支交于两点
A,B
，有


1k
2
0


2
2


2k
8


1k

0

xx
2k
0
解得
2k1
．．．．．．．．．５

12

1 k
2



x
2
1
x
21k
2
0
又∵
AB1k
2
x
2< br>1
x
2
1k

x
1
x
2

2
4x
1
x
2

2
1k
2



2k

2

1k
2

2k
2


1k
2


4
1k
2
2


1k
2

2
依题意得
2

1k2

2k
2

42

6
整理后 得
28k55k250

1k
2

2
3

∴
k
2< br>
5
7
或
k
2

5
4
但
2k1
∴
k
5
2

故直线< br>AB
的方程为
5
2
xy10
．．．．．．．．．．．． ．．．．７
设
C

x,y
uuuruuuruuur
cc

，由已知
OAOBmOC
，得

x
1
,y
1



x
2
,y
2
< br>

mx
c
,my
c


∴

mx

xx
2
y
1
y
2
c
,my
c



1
,

mm


，

m0


又
x
2k
1
x
2

k
2
1
 45
，
yx
2k
2
2
1
y
2
 k

x
1

2

2
k
21
2
k
2
1
8

∴点
C


458



m
,
m



．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．９
将点
C
的坐标代入曲线
E
的方程，得
8064
1

m
2
m
2
得
m 4
，但当
m4
时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴
m4
，
C
点的坐标为
5,2


C
到
AB
的距离为
5
521
2
 

5

2

1

2
2

1

3
∴
ABC
的面积
11
S633
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２
23

22、
解：
解：(Ⅰ)由题意的：
f
–1
(
x
)=
px1
1x
=
f
(
x
)=，所以
p =
–1.所以
a
n
=
x1
xp
n1
………………………………………………………… ………………3分
n1
(Ⅱ)因为正数数列{
c
n
}的前
n
项之和
S
n
=
1
n
(
c
n< br>+
)，
c
n
2
1
1
所以
c
1
=(
c
1
+
)，解之得：
c
1
=1，
S
1
=1
c
1
2
当
n
≥ 2时，
c
n
=
S
n
–
S
n
–1
，所以2
S
n
=
S
n
–
S
n
–1
+
n
，
S
n
S
n1
S
n
+
S
n
–1
=
n
22
，即：
S
n
S
n1
=
n
，
S
n
S
n1
22
22
22
所以，
S
n1
S
n2
=
n–
1，
S
n2
S
n3
=
n–
2，……，
S
2
S
1
=2，累加得：
2
S
n
S
1
2
=2+3+4+……+
n
，

S
n
=1+2+3+4+……+
n
=
2
n(n1)
，
2

S
n=
n(n1)
………………………………………………８
2
（Ⅲ)在(1)和(2)的条件下，
d
1
=2，
当n
≥2时，设
d
n
=
1
11
2
< br>==2()，
2
a
n
S
n
n1n
n( n1)
由
D
n
是{
d
n
}的前
n
项之和，
11111111

)]
D
n
=
d
1
+
d
2
+……+
d
n
=
2[1 +(

)+(

)+(

)+……+(
12233 4n1n
=2(2–
1
)…………………………………………………………………１０
n
因为
D
n
>log
a
(1–2
a
)恒成立，即log
a
(1–2
a
)恒小于
D
n
的最小值，
显然
D
n
的最小值是在
n
=1时取得，即(
D
n
)< br>min
=2，
所以log
a
(1–2
a
)<2 ，1–2
a
>0，所以0<
a
<
2
–1……………………… １２