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2020年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。共4页，满分150分。考试用时150分钟.考 试结束后，将本卷和答
题卡一并交回。
注意事项：
1. 答题前，考试务必用0. 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡
和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水 签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，
不能写在试卷上；如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、
修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤.
参考公式:如果 事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P(A)* P(B)
第Ⅰ卷 （共60分）

一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(
A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是(
A. 1 B. 3 C. 5 D.9
（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x+
（A）-2 （B）0
2


(
)
)
) ,则f(-1)=
（C）1 （D）2
的正三棱柱,若P（4）已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面垂直,体积为
为底面A
1
B
1
C
1
的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为
（A） （B）
,底面积是边长为
( )
（C） （D）
（5）将函数y=sin（2x +φ）的图像沿x轴向左平移
个可能取值为
（A）

个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一
8
（B） （C）0 （D）

2xy20，

（6） 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：

x2y10，
所表示的区域上一 动点，则直线OM

3xy80

斜率的最小值为
（A）2 （B）1 （C） （D）
（7）给定两个命题p，q。若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的
（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为

22
（9）过点（3，1）作圆（x-1）+y=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线A B的方程为
（A）2x+y-3=0 （B）2X-Y-3=0
（C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0
（10）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
22

（11）抛物线C
1
：y= x(p＞0)的焦点与双曲线C
2
：- y=1的右焦点的连线交C
1
于第一象限的点M。
若C
1
在点M处的 切线平等于C
2
的一条渐近线，则p=
（A） （B） （C）
22
（D）
（12）设正实数x,y,z满足x-3xy+4y-z=0.则当取得最大值时，
（A）0 （B）1 （C） （D）3

212

的最大值为
xyz
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
（13）执行右面的程序框图，若输入的∈的值为0.25，则输入的n的值为___.
< br>(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为____ .

ruuur
uuuruuuruuur
uuur
uuu
uuur
0，
(15)已知向量
AB
与
AC
的夹角120 且|
AB
|=3，|
AC
|=2，若
AP

AB AC
，
uuuruuur
且
APBC
，则实数

的值为_____.

（16）定义“正对数”：lnx=
ln

x

+
+b+

0,0x1,
现有四个命题：

lnx,x1
①若a＞0，b＞0，则ln（a）=blna
+++
②若a＞0，b＞0，则ln（ab）=lna+lnb
③若a＞0，b＞0，则ln（
+
+
a
++
）≥lna- lnb
b
++
④若a＞0，b＞0，则ln（a+b）≤lna+lnb+ln2
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=
7
。
9
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值。

（18）（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA =BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，
AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于 点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

（Ⅰ）求证：ABGH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值
（19）本小题满分12分
甲、乙两支排球 队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概
率是
12
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是假设每局比赛结果互相独立。
23
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
（2）若比赛结果为3 ：0或3：1，则胜利方得3：分，对方得0分；若逼骚结果为3：2，则胜利方得
2分、对方得1分， 求乙队得分x的分布列及数学期望。
（20）（本小题满分12分）
设等差数列｛a
n
｝的前n项和为S
n，
且S
4=
4S
2
，a
2n
2a
n
1

（Ⅰ）求数列｛a
n
｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛bn｝的前n项和T< br>n，
且
T
n

的前n项和R
n。

（21）（本小题满分12分）
设函数
f

x


a
n
1
+
cb
（λ为常数），令（n∈N）.求数列 ｛c
n
｝


n2n
n
2
x
c (e2.71828......是自然对数的底线，cR
.
e
2x
（ Ⅰ）求
f

x

的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于< br>x的方程式

lnx

f

x

根的个数。

（22）（本小题满分13分）
x
2
y
2< br>3
椭圆C：
C:
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别是F1.F2,离心率为过F,且垂直于x轴的直
2
ab
线被椭圆C 截得的线段长为l.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 ，连接PF
1
,PF
2
,设∠F
1
PF
2
的角平分线
PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下 ，过点p作斜率为k的直线
l
，使得
l
与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线PF
1
,PF
2
的斜率分别为k
1
，k
2
，若k≠0，试证明



答案
DCABB CADAB DB
13.3 14.
15.
11

为定值，并求出这个定值。
k
1
k
2
1

3
7
16. ①③④
12
102
17.（1）a=3,c=3(2)
27
4
18.(1)略 (2)-
5
884
19.（1）
P(A)=

，P(B)=，P(C )=
272727

（2）EX=
7

9
20.（1）a
n
=2n-1
43n11
n1
()

994
11
21.( 1)f(x)的增区间（
-，
），减区间（
，+
）
22
11
（2）当
2
c0,即c
2
时，方程有且只有一个根
ee
11
当
2
c0,即c
2
时，方程有两 个不等的实根
ee
11
当
2
c0,即c
2
时，方程没有根
ee
x
2
y
2
1
22.（1）
4
33
（2）
m(,)

22
(2)
R
n

（3）略