资本主义的本质-古诗作文

第七节 空间中的角(一)

复习目标 学法指导
1.弄清楚空间向量法判断线、面等位置关系
1.利用空间向量解决线面关系. 的基本原理.
2.利用空间向量求异面直线所
成的角、线面角.
2.会求直线的方向向量,平面的法向量.
3.能够利用方向向量或法向量解决异面直线
所成角或线面角问题.


一、利用直线方向向量、平面法向量判定线面关系
1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量.直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l
的方向向量,显然一条直线 的方向向量有无数个.
(2)平面的法向量.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面
α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,此时向量n叫做平面α
的法向量.显然一个平面的法向量 有无数个,且它们是共线向量.
2.判定直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a=(a
1
,b
1
,c
1
),平面α ,β的法向量分别为μ
=(a
2
,b
2
,c
2
), v=(a
3
,b
3
,c
3
).
(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a
1
a
2
+b
1
b
2
+c
1
c
2
=0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a
1
=ka
2
,b
1
=kb
2
,c
1
=kc
2
.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a
2
=λa
3
,b
2
=λb
3
,c
2
=λc
3
.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a
2
a
3
+b
2
b
3
+c
2
c
3
=0.

1.概念理解
(1)直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,它只有方向没有大
小之分,因此与l上的向量共线的向量都可以称为直线l的方向向量.
(2)向量n与平面α内的任意 向量a,只要有n·a=0,那么n就称为α
的法向量,一个平面的法向量没有大小之分.
( 3)利用方向向量与α的法向量判定线、面关系时,不要忽略立体几何
中定理原有的条件要求.
2.与方向向量及法向量相关联的结论
设直线l
1
的方向向量v
1
=(a
1
,b
1
,c
1
),l
2
的方向向量v
2
=(a
2
,b
2
,c
2
) ,则l
1
∥l
2
⇔v
1
∥v
2
⇔(a1
,b
1
,c
1
)=k(a
2
,b
2
,c
2
)(k∈R);l
1
⊥l
2
⇔v
1
⊥v
2
⇔
a
1
a
2
+b
1
b
2
+c
1
c
2
=0.
二、异面直线所成角、线面角的空间向量法
1.求两条异面直线所成的角

< br>设a,b分别是两异面直线l
1
,l
2
的方向向量,a与b的夹角为< br>
,l
1
与l
2
所成的角为θ,则cos θ=|cos

|=
ab
.
ab
2.求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成
的角为θ,a ,n的夹角为

,则sin θ=|cos

|=
an
.
an

1.概念理解
(1)求异面直线所成角时,易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽
视了夹角范围为(0,
π
].
2
(2)求直线与平面所成角时,注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线
面角的正弦值.
2.与异面直线所成角、线面角空间向量法相关联结论
(1)当异面直线 的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是异面直线所
成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其 补角才是异面直
线所成的角.
(2)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时 取其补
角),取其余角即为所求线面角.
(3)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系s in
2
θ+cos
2
θ=1求出
其值.不要误认为直线的方向向量与 平面的法向量所夹角的余弦值为
所求线面角的余弦值.

1.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=
与c的夹角为( C )
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:设c=(x,y,z),a与c的夹角为θ,
由(a+b)·c=7得x+2y+3z=-7,
所以a·c=x+2y+3z=-7,
所以cos θ=
ac
=
ac
7
1414
1 4
,若(a+b)·c=7,则a
=-
1
,
2
所以θ=120°.故选C.
2.(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=1,A A
1
=
异面直线AD
1
与DB
1
所成角的余弦值为( C )
(A)
1
(B)
5
5
6
3
,则
(C)
5
5
(D)
2
2

解析:法一

如图,连接BD
1
,交DB
1
于O,取AB的中点M,连 接DM,OM,易知O为BD
1
的中点,
所以AD
1
∥OM,则∠ MOD或其补角为异面直线AD
1
与DB
1
所成角.
因为在长方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB= BC=1,AA
1
=
所以AD
1
=
AD
2
DD
1
2
3
,
=2,

DM=
DB
1
=

1

AD

AB


2

2
2
=
5
2
,
5
,
5
2
AB
2
AD
2
D D
1
2
=
1
所以OM=
1
AD
1
=1,OD=DB
1
=
22
,
于是在△DMO中,由余弦定理,得

5

5

1


2





2



c os∠MOD=
5
21
2
2
22
=
5
5
,
5
5
即异面直线AD
1
与DB
1
所 成角的余弦值为
故选C.
法二
,

如图,分别以DA,DC,DD
1
所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),
D
1
(0,0,
uuuur
1
3
),B
1
(1,1,
3
),
3
), 所以
AD
=(-1,0,
uuuur
DB
1
=(1,1,
3
),
所以
AD
·
DB
=-1×1+0×1+(
11
uuuuruuuur
3
)
2
=2,
|
AD
|=2,|
DB
|=
11
uuuuruuuur
5
,
所以< br>uuuur
cos<
AD
1
uuuuruuuur
uuuur
AD
1
DB
1
,
DB
1
>=
u uuuruuuur
AD
1
DB
1
=
2
25=
5
5
.

故选C.
3.如图,正三棱柱AB C-A
1
B
1
C
1
的所有棱长都相等,E,F,G分别为< br>AB,AA
1
,A
1
C
1
的中点,则B
1< br>F与平面GEF所成角的正弦值为( A )

3
(A)
5

(B)
5

6
(C)
3
10
3

(D)
3
10
6

解析:

设正三棱柱 的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG
所在的直线为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B
1
(0,
E(
1
,
2
3
2
3
,2),F(1,0,1),
,0),G(0,0,2),
,-
3
2
uuuur
uuu r
1
B
1
F
=(1,-
3
,-1),
EF
=(
2
,1),
uuur
GF
=(1,0,-1).
设平面GEF的法向量n=(x,y,z),

uuur


EFn0,
则

uuur

GFn0,



13

x
即

22
yz 0,


xz0,

取x=1,则z=1,y=
故n =(1,
3
,
3
,1)为平面
uuuur
1
GEF的一个法向量,
3
所以cosBF
>=
131
=-
5
,
55
3
所以B
1
F与平面GEF所成角的正弦值为
5
.
故选A.

考点一 利用空间向量解决线面关系
[例1] 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形, 侧棱PA⊥底面ABCD,且
PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.

求证:(1)PB∥平面EFH;
(2)PD⊥平面AHF.
证明:

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则
A(0,0,0),B (2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0< br>,0).
(1)因为
PB
=(2,0,-2),
uuur
EH
=(1,0,-1),
uuur
所以
PB
=2
EH
,
所以PB∥EH.
因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,
所以PB∥平面EFH.
证明:
(2)
PD
=(0,2,-2),
AH
=(1,0,0),
AF
=(0,1,1),
所以
PD
·
AF
=0×0+2×1+(-2)×1=0,
uuuruuuur
PD
·
AH
=0×1+2×0+(-2)×0=0, < br>uuuruuur
uuuruuuuruuur
uuuruuur
所以PD⊥A F,PD⊥AH,
又因为AF∩AH=A,
所以PD⊥平面AHF.
(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运
用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量
的数量积为零,或证直线的方 向向量与平面内的不共线的两个向量共
面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说 明
直线在平面外即可.这样就把几何证明问题转化为向量运算.

(3)证明线 线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;证明线面垂
直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线 的两个向量垂直即可.
当然也可证直线的方向向量与平面的法向量平行;证明面面垂直:①
证明 两平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能
证明一个平面内的一条直线的方向向量为 另一个平面的法向量即可.

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯 视图,
在直观图中,点M是BD的中点,AE=
1
CD,侧视图是直角梯形,俯视图是
2
等腰直角三角形,有关数据如图所示.

(1)求证:EM∥平面ABC;
(2)试问在棱CD上是否存在一点N,使MN⊥平面BD E?若存在,确定点N
的位置;若不存在,请说明理由.
解:

以A为原 点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0), D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),
AE
uuur

=(0,0,2),
DB
=(2,2,-4),
DE
=(2,0,- 2),
DC
=(0,0,-4),
DM
=(1,1,-2),
uuu ur
EM
uuuruuur
uuur
uuuur
=(-1,1,0) .
uuur
(1)由图易知
AE
为平面ABC的一个法向量,
因为
AE
·
EM
=0×(-1)+0×1+2×0=0,
所以
AE
⊥
EM
,
即AE⊥EM,
又EM⊄平面ABC,
故EM∥平面ABC.
解:
(2)假设在DC上存在一点N满足题意,
设
DN
=λ
DC
=(0,0,-4λ),λ∈[0,1],
则
NM
=
DM
-
DN
=(1,1,-2)-(0,0,- 4λ)=(1,1,-2+4λ),
uuuuruuur

NMDB0,
22816

0,
所以

即


ruuur

uuuu

248

0,
N MDE0,



uuur
uuur
uuuur
uuuur
uuuuruuur
uuuur
uuuur
uuuur
解得λ=
3
∈[0,1].
4
所以棱DC上存在一点N,满足NM⊥平面BDE,此时,DN=
3
DC.
4
考点二 利用空间向量求异面直线所成角、线面角
[例2] 如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E
是PC的中点.已知AB=2,AD=2< br>2
,PA=2.求:

(1)△PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

解:(1)因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又AD⊥CD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
因为 PD=
2
2
22

=2
3
,CD=2, 2
所以△PCD的面积为
1
×2×2
2
3
=2
3
.
解:(2)如图,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2
E(1,
2
,1),
2
,0),P(0,0,2),
uuur
uuur
AE
= (1,
2
,1),
BC
=(0,2
2
,0).
设AE与BC的夹角为θ,则
cos θ=||
uuuruuur
AEB C
uuuruuur
AEBC
=
4
222
=
2< br>2
,
所以θ=
π
.
4
由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是
π
.
4
(1)可从两个不同角度求异面直线所成的角,一是几何法:作
—证—算;二是向 量法:把角的求解转化为向量运算,应注意体会两种
方法的特点,“转化”是求异面直线所成角的关键, 一般地,异面直线
AC,BD的夹角β的余弦值为cos β=
uuuruuur
ACBD
uuuruuur
ACBD
. < /p>

(2)利用向量求线面角的方法:①分别求出斜线和它在平面内的射影
直线的方向 向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过
平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐
角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

(2019·台州模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PC垂直平面ABCD,AB⊥
AD, AB∥CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E为PB的中点.

(1)证明:平面EAC⊥平面PBC;
(2)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.
(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC.
又AB=2,CD=1,AD⊥AB,
所以AC=BC=
2
.
故AC
2
+BC
2
=AB
2
,
即AC⊥BC.
所以AC⊥平面PBC,
所以平面EAC⊥平面PBC.
(2)解:法一 因为PC⊥平面ABCD,故PC⊥CD.
又PD=2,所以PC=
3
.
过点P作PF垂直CE,垂足为F.
由(1)知平面ACE⊥平面PBC,所以PF⊥平面ACE.

由面积法得CE·PF=
1
PC·BC.
2
又点E 为PB的中点,CE=
1
PB=
2
所以PF=
30
5
5
2
.
.
又点E为PB的中点,
所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.
连接BD交AC于点G,则GB=2DG.
所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半,即
1
PF.
2
所以直线PD与平面AEC所成角的正弦值为
法二
1
PF
2
PD
=
30
20
.

如图,取AB的中点F,如图建立坐标系.
因为PD=2,所以CP=
3
.
所以有C(0,0,0),D(0,1,0),
P(0,0,
3
),A( 1,1,0),B(1,-1,0),E(
1
2
,-
1
,
2
3
2
3
2
).
uuuruuur
uuur
1
PD
=(0,1,-
3),
CA
=(1,1,0),
CE
=(
2
,-
1
,
2
).
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),

xy0,
则



xy3
z0,


2

22
取x=1,得y=-1,z=-
2
3
3
.
即n=(1,-1,-
2
3
3
).
设直线PD与平面AEC所成角为θ,

则sin θ=|cosPD
>|=
考点三 易错辨析
uuur
14
22
3
=
30
20
.
[例3] 如图所示,四棱锥S- ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是
底面边长的
2
倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一 点E,使得BE∥平面PAC?
若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
(1)证明:

连接BD,设BD交AC于O,则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD,
以O为坐标原点,
OB
,
OC,
OS
分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直
角坐标系如图.
设底面边长为a,
则高SO=
D(-
2
2
6
2< br>uuuruuuruuur
a,于是S(0,0,
2
2
6
2< br>a),
2
2
a,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),

uuur
2
OC
=(0,
2
a,0),
S D
=(-
uuur
2
2
a,0,-
6
2
a ),
则
OC
·
SD
=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)解:棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下:
由已知条件知
DS
是平面PAC的一个法向量,
且
DS
= (
uuur
2
2
uuuruuur
uuur
a,0,
2
2
6
2
a),
CS
=(0,-
uuur
2
2
a,
6
2
a),
uuur
2
BC
=(-
2
a,a,0).
设
CE
=t
CS
(0则
BE
=
BC
+
CE

=
BC< br>+t
CS
=(-
uuur
uuur
uuuruuur
2
2
uuuruuur
uuur
uuuruuur
a,
2< br>2
a(1-t),
6
2
at),
由
BE
·
DS
=0⇒t=
1
.
3
即当SE∶EC=2∶1时,
BE
⊥
DS
.
又BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC.
对于“是否存在”型问题的探索方式有两种
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出 点或线的位
置,然后再加以证明,得出结论.
(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达 已知条件,根据题目进行
求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或
线 ,否则不存在.

在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AD=AA
1
=1,AB=2,点E在棱AB上移动, 则直线
D
1
E与A
1
D所成角的大小是 ,若D
1
E⊥EC,则
AE= .
uuur
uuur< /p>

解析:长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD
1
为
z轴,建 立空间直角坐标系,又AD=AA
1
=1,AB=2,点E在棱AB上移动,
则D( 0,0,0),D
1
(0,0,1),A(1,0,0),A
1
(1,0,1 ),C(0,2,0),

设E(1,m,0),0≤m≤2,
则
DE
=(1,m,-1),
AD
=(-1,0,-1),
11
uuuuruuuur
所以
DE
·
AD
=-1+0+ 1=0,
11
uuuuruuuur
所以直线D
1
E与A
1
D所成角的大小是90°.
因为
DE
=(1,m,-1),
1
uuuur
uuur
EC
=(-1,2-m,0),D
1
E ⊥EC,
所以
DE
·
EC
=-1+m(2-m)+0=0,
1
uuuur
uuur
解得m=1,所以AE=1.
答案:90° 1

空间线面位置关系的证明及空间角的求解
[例题] 如图,在直棱柱ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中,AD∥BC,∠ BAD=90°,AC⊥
BD,BC=1,AD=AA
1
=3.

(1)证明:AC⊥B
1
D;

(2)求直线B
1< br>C
1
与平面ACD
1
所成角的正弦值.
(1)证明:

易知AB,AD,AA
1
两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD, AA
1
所在直线
分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设AB=t,t>0,
则有A(0,0,0),B(t,0,0),
B
1
(t,0,3),C(t,1,0),C
1
(t,1,3),D(0,3,0),D< br>1
(0,3,3).
从而
BD
=(-t,3,-3),
AC
=(t,1,0),
BD
=(-t,3,0).
1
uuuur
uuur
uuur
因为AC⊥BD,
所以
AC
·
BD
=-t
2
+3+0=0,
解得t=
uuuur
1
uuur
uuur
3
或t=-3
(舍去).
于是
BD
=(-
uuur
uuur1
uuur
3
,3,-3),
AC
=(
3
,1 ,0).
因为
AC
·
BD
=-3+3+0=0,
所以
AC
⊥
BD
,即AC⊥B
1
D.
1
uuuur
uuuur
(2)解:由(1)知,
AD
=(0,3,3 ),
1
uuuur
uuuur
uuur
AC
=(
3
,1,0),
B
1
C
1
=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面ACD
1
的一个法向量,
uuur


3xy0,

nAC0,
则

uuuu
即


r

3y3z0.
nAD0,


1

令x=1,则n=(1,-
3
,
3
).

设直线B
1
C
1
与平面ACD
1
所成角为θ,则
uuuur
uuuur
nB
1
C
1
sin θ= |cosB
1
C
1
>|=|
uuuur
n B
1
C
1
|=
3
7
=
21
.
7
21
.
7
即直线B
1
C
1
与 平面ACD
1
所成角的正弦值为

规范要求: (1)空间直角坐标系的建立,关键点的坐标一定要一一列
出.
(2)探求直线的方向向量与 平面的法向量要有具体的解答过程,尤其
求法向量n的过程必不可少.
温馨提示:(1)对于本题中AB=t的设法很关键.
(2)在法向量的探求中,因为法向量 的大小不定,我们会令x=1(或y=1
或z=1),这是可取之处.
(3)线面角与向量所成的夹角注意分清楚.

类型一 利用空间向量解决线、面关系
1.设l
1
的方向向量为a=(1,2,-2),l< br>2
的方向向量为b=(-2,3,m),若l
1
⊥l
2
,则m 等于( B )
(A)1 (B)2 (C)
1
(D)3
2
解析:由l
1
⊥l
2
可得a·b=0,
所以-2+2×3-2m=0,
所以m=2.
故选B.

2.空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为
( C )
(A)共线 (B)共面
(C)不共面 (D)无法确定
解析:< br>AB
=(2,0,-4),
AC
=(-2,-3,-5),
AD
=(0,-3,-4),由不存在实数λ,
使
AB
=λ
AC
成立知 ,A,B,C不共线,故A,B,C,D不共线;假设A,B,C,D
共面,
则可设
AD
=x
AB
+y
AC
(x,y为实数),

02x2y,
即

由于该方程组无解,

33y,

44x5y,

uuuruuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
故A,B,C,D不共面,故选C.
3.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3) ,c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,
则λ等于( B )
(A)9 (B)-9 (C)-3 (D)3
解析:由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ) =x(2,1,-3)+y(-1,2,3),

2xy7,
所以


x2y6,


3x3y

,

解得λ=-9.故选B.
4.已知平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2,ADEF< br>是正方形,在正方形ADEF内部有一点M,满足MB,MC与平面ADEF所成
的角相等,则点 M的轨迹长度为( C )
1648
(A)
4
(B) (C)π (D)π
3393

解析:根据题意,以D为原点,分别以DA,DC,DE所 在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系Dxyz,如图1所示,则B(2,1,0),C(0,2 ,0),设
M(x,0,z),易知直线MB,MC与平面ADEF所成的角分别为∠AMB,∠DMC ,
均为锐角,且∠AMB=∠DMC,
所以sin∠AMB=sin∠DMC⇒
即2|MB|=|MC|,
因此2

2x

2
AB
MB
=
CD
MC
,
1
1
z
2
=
x
2
2
2
z
2
,
22
16
整理得(x-
8
)+z=
9
,
3
由此可得,点M在正方形ADEF内的轨迹是以点O(
8
,0,0)为圆心,半径< br>3
π
为
4
的圆弧M
1
M
2
,如图2 所示,易知圆心角∠M
1
OM
2
=,所以
33
¼
M
1
M
2
44
=
π
×=π.故选C.
339

类型二 利用空间向量求角问题
5.直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BCA=90°,M,N分别是A
1B
1
,A
1
C
1
的中
点,BC=CA=CC< br>1
,则BM与AN所成角的余弦值为( C )
12
(A)
10
(B)
5
(C)
30
10
(D)
2
2

解析:

建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设BC=2,

则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),
N(1,0,2),
所以
BM
=(1,-1,2),
AN
=(-1,0,2),
故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ=
uuuuruuur
BMAN
uuuuruuur
BMAN
uuuur
uuur
=
3
6 5
=
30
10
,故选C.
6.如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的
正三 角形,侧棱长为3,则BB
1
与平面AB
1
C
1
所成的角的 大小
为 .

解析:以B为坐标原点,以与BC垂直的直线为x轴,BC为y轴,建立空
间直角坐标系, < br>则A(
uuuur
3
,1,0),B
1
(0,0,3),C< br>1
(0,2,3),
AB
1
=(-
3
,-1,3),
uuuuruuur
B
1
C
1
=(0,2,0),
BB
1
=(0,0,3).
设平面AB
1
C
1
的一个法向量为n=(x,y,z),
则
AB
·n=0,
BC
·n=0,
111
uuuuruuuur
即-
3
x-y+3z=0,2y=0,
3
,0,1), 取z=1,则得n=(
因为
uuur
uuur1
n
cos<
BB
1
,n>=
BB
uuur
BB
1
n
=
1
,
2
所以BB
1
与平面AB
1
C
1
所成的角的正弦值为
1
, 2
所以BB
1
与平面AB
1
C
1
所成的角为< br>π
.
6

答案:
π

6
7. 在菱形ABCD中,AB=2,∠BCD=60°,现将其沿对角线BD折成直二面
角A- BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .

解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,
可知OB,OC,OA两两垂直,
建立空间直角坐标系,

由题意可知A(0,0,
所以
AB
=(1,0,-
所以
uuur
3
),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,
3
,0),
uuur
3
),
CD
=(-1,-
3
,0),
1
1
=
2

=-.
2
4
uuuruuur
r
uuur
uuu
ABCD< br>cos <
AB
,
CD
>=
uuuruuur
ABC D
故所求异面直线所成角的余弦值为
1
.
4
答案:
1

4
8.棱长都为2的直平行六面体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中,∠BAD=60° ,则A
1
C与
平面BDC
1
所成角的正弦值为 .
解析:

以底面中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则C
1
(0,
3
,2),B(1,0,0),
3
,2), D(-1,0,0),A
1
(0,-
C(0,
uuuur
AC
1
3
,0),
3
,-2), =(0,2
uuuur
uuur
DB
=(2 ,0,0),
BC
1
=(-1,
3
,2).
设平面BDC
1
的法向量是n=(x,y,z),

则


2x0,


x3y2z0,

3
, 令y=2,则z=-
得n=(0,2,-
所以
uuuurcos<
AC
1
3
),
,n>=
uuuur
AC
1
n
uuuur
ACn
1
=
63
4 7
21
=
3
14
,
21
即A
1
C与平面BDC
1
所成角的正弦值为
3
14
.
21
答案:
3
14