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2015年上海高考数学（文科）试题解析版
一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）
1、函数
f
< br>x

13sin
2
x
的最小正周期为 _________.
分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。
答案：
π

2、设全集
UR
，若集合
A

1,2,3,4

，
B

x|2x3

，则
AC
U
B
_________.
分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。
答案：
{1,4}

3、若复数
z
满足
3zz 1i
，其中
i
为虚数单位，则
z
___________.
分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。
_
11
i
答案：
42

4、设
f
1

x

为
f

x

x
的反函数，则
f
2x1
1

2


___________.
分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
2
答案：
3



x3

23
c
1

5、若线性方程组的增广矩阵为


01< br>c


，解为

y5
，则
c
1< br>c
2

___________.
2

< br>分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。
答案：
16

6、若正三棱柱的所有棱长均为
a
，且其体积 为
163
，则
a
___________.
分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。
答案：
4

7、抛物线
y
2
2px

p0

上的动点
Q
到其焦点距离的最小值为1，则
p< br>___________.
分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义， 将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题
目就非常容易解决掉。
答案：
2

8、方程
log
2
9
x1
5log
2
3
x1
22
的解为________ ___.
分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。
答案：
2




xy0

9、若
x,y
满足

xy2
，则目标函数
f

x

x2y
的最大值为___________. < br>
y0

分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直 接，并没有拐弯难为学生。
答案：
3

10、在报名的3名男教师和6名 女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种
数为 （结果用数值表示）
分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度 不算大，可以用容易来形容。
答案：
120

1

11 、在

2x
2

的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
x

6
分析：考察了二项式定理的通项公式，知识 点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理
统计的内容在考卷中连续出现两题 ，而且较为简单，往年高考中很少见到。
答案：
240

x
212、已知双曲线
C
1
、
C
2
的顶点重合，
C
1
的方程为
y
2
1
，若
C
2
的一条渐近线的斜率是
C
1
的一条渐近线的斜率
4
的2倍，则
C
2
的方程为___________.
分析：考察了共渐近线的双曲线方程 求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改
成“倾斜角的2倍”，所考 查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。
22
xy4
答案：

13、已知平面向量
a ,b,c
满足
ab
，且
a,b,c
为___________.



1,2,3

，则
abc
的 最大值
rr
分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法 就是数形结合，因为已知
a
和
b
之
间的关系，在通过向量平行且同向 时相加模最大，就能够很容易解决本题目。
答案：
35

14、已知函数
f

x

sinx
，存在
x
1
,x
2
,x
m
，满足
0x
1
x
2< br>x
m
6

，且
f

x
1< br>
f

x
2

f

x
2

f

x
3

f

x
m1

f

x
m

12,m2, mN

，则
m
的最小值为____.

分析：本题属 于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其
次是 要理解绝对值的含义，因为要求
m
得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大， 所以会利用正
弦函数的最大值和最小值。
答案：
8

二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
15、设
z
1,z
2
C
，则“
z
1
、
z
2
均为实数”是“
z
1
z
2
为实数”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件下 D、既不充分也不必要条件

分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。
答案：
A

16、下列不等式中，与不等式
x8
x2x 3
2
2
解集相同的是（ ）
A、

x8

x
2
2x32
B、

x8

2x
2
2x3

x
2
2x31
2
C、
2
D、



x82
x8
x2x3
1

分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。
答案：
B

17、已知点
A
的坐标为
43,1，将
OA
坐标原点
O
逆时针方向旋转
A、


至
OB
，则
B
点的纵坐标为（ ）
3
3353
1113
B、 C、 D、
22
22
分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题 目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了
一下数据。
答案：
D

18、设
P
n

x
n
,y
n

是 直线
2xy
y1
n
22

（ ）
nN

与圆
xy2
在第一象限的交点，则极限
lim
n
n
x
n
1
n1

1
A、< br>1
B、

C、1 D、2 < br>2
分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为
P< br>n

x
n
,y
n

的极限位置为
( 1,1)
点，
而题目中所要求的是
P
n

x
n,y
n

与
(1,1)
构成的斜率的极限，由于两点都在圆上， 而且无线逼近，可以得到斜率的极
限为过
(1,1)
与圆相切时的斜率。
答案：
A

三、解答题（本题共5大题，满分74分）
19、（本 题满分12分）如图，圆锥的顶点为
P
，底面圆心为
O
，底面的一条直径为< br>AB
，
C
为半圆弧
AB
的中点，
E
为劣弧< br>BC
的中点，已知
PO2
，
OA1
，求三棱锥
P AOC
的体积，并求异面直线
PA
与
OE
所成角。
< br>分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线， 把已知
直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。
10
1
arccos
10
答案：
3
，

20、（本题满分14分）已知函数
f

x

ax
2

，其中
a
为常 数，
（1）根据
a
的不同取值，判断
f

x
< br>的奇偶性，并说明理由；
（2）若
a

1,3

，判断
f

x

在
[1,2]
上的单调性，并说明 理由。
分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论 写在前面，然后再
去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符 号。总体来说本题考查的知
识点偏基础。
答案：（1）
a0
时，
f(x)
为奇函数；
1
x
a0
时，
f(x)
非奇非偶。
（2）单调递增。
21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
、
如图，
A
，
B
，
C
三地有直道相通，
AB5
千米，
AC3
千米，
BC4
千米．现甲、乙两警员同 时从
A
地
出发匀速前往
B
地，经过
t
小时，他们之 间的距离为
f(t)
（单位：千米）．甲的路线是
AB
，速度为5千米小时，
乙的路线是
ACB
，速度为8千米小时．乙到达
B
地后在原地等待． 设
tt
1
时，乙到达
C
地．
（1）求
t
1
与
f(t
1
)
的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当
t
1
t1
时， 求
f(t)
的表达式，并判断
f(t)
在
[t
1
, 1]
上
的最大值是否超过3? 说明理由．

分析：本题是解三角形与函数 最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础
知识——余弦定理的 应用及二次函数求最值求法.
答案：（1）
t
1

AC3
15
=h
，设此时甲运动到
P
点，则
APv
甲
t
1
=km
，在
VAPC
中，
f

t
1

PC
v
乙
8
8
341

8
AC
2
AP
2
2ACAPcosA

（2）当
t
1
t
7
时，乙在
CB
上，设为
Q
点，设此时甲在
P
点，则：
QBACCB8t78t< br>，
8
PBABAP55t


f(t)PQQB
2
PB
2
2QBPBcosB25t
2
42t 18
，
当
7
t1
时，乙在
B
点不动，设此时 甲在
P
点，则：
f(t)PBABAP55t
，
837

2
25t42t18,t


88
f(t)


7

55t,t1

8

341
341
3
]
，且
3

f(t)
的最大值超过了
3km
.

当
t 1
时，
f(t)[0,
8
8
8
22、（本题满分16分） 本题共有2个小题．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

22已知椭圆
x2y1
，过原点的两条直线
l
1
和
l< br>2
分别与椭圆交于点
A
、
B
和
C
、
D
，记得到的平行四边形
ACBD
的面积为
S
．
（1）设
A(x
1
,y
1
)
，
C(x
2
, y
2
)
，用
A
、
C
的坐标表示点
C
到直线
l
1
的距离，并证明
S2x
1
y
2x
2
y
1
；

33


，
S
1
，求
k
的值； （2）设
l
1
：
ykx
，
C

,

33

3< br>
（3）设直线
l
1
和
l
2
的斜率之积为
m
，求
m
的值，使得无论
l
1
和
l
2
如何变动，面积
S
保持不变。
分析：本题属于中等偏易的题目.考察了 学生直线方程求法和点到直线的距离公式，题目中语言的叙述和问题的提
出具有引导作用，很有层次感， 只是在整个运算过程中多为字母运算，提升了运算的难度，侧面也反应出计算能力
的提升为考试的主要趋 势。第一问面积的求法，在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目，当时是文科填空第二
题，主要是 考察利用矩阵求三角形面积；第二问只需联立直线与椭圆的方程，解出
A(x
1
,y< br>1
)
然后再带入第一问的公
式即可求出
k
；第三问考查了一个 恒成立问题，直线
l
1
和
l
2
的斜率无论怎么变化
S
始终不变，所以只需得出的等式
中，将斜率作为未知量，其余作为已知量，然后未知量的系数 为0即可。
解：（1）直线
l
1
的方程为：
y
y
1
x
，
x
1
y
1
x
2
y< br>2
x
1

y

1

1


x
1

2
2
则点
C
到直线l
1
的距离为：
d(C,l
1
)
y
1x
2
x
1
y
2
xy
2
1
2
1
，
（方法1）又
AB2AO2x
1
y
1
，

SABd(C,l
1
)
2x
1
y
2
x
2
y
1
.
（方法2）
2< br>S2
1
x
1
2
x
2
x
1y
1
y
2
1
1
y
1
1x
1
y
1
x
2
y
1
x
1
y< br>2
x
2
y
1
x
1
y
2
x
1
y
1
2x
1
y
2
x
2
y
1

1
（2）
5
或
1


m
（3）
1
2

23、（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知数列
（1）若
{a
n
}
与
{b
n
}
满足
a
n1
a
n
2(b
n 1
b
n
)
，求数列

nN
，.
b< br>n
3n5
{a
n
}
的第
，且
a
1
1
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
n
0
a
n
0
a
n
(nN

)
{b}
n
项是最大项，即，求证：数列
n
的第
0
项是最大项 ；
a
m
1
(,6)
a
1
3λ0
b
n
λ
n
(nN

)
a0
a6
（3）设，，求
λ
的取值范围，使得对任意的
m
、
n
，< br>n
，且
n
。
分析：作为压轴题，本题的第一问比较简单，只要通过题 目给出的等量关系转化就可以完成；第二问给出的条件较
为抽象，没有具体的通项公式，而且题干中的条 件比较少，所以难度跳跃很大，考查了累加法的你运用，由简到繁
的运算是很多上海考生所想不到的；第 三问的难点在于如何一步步缩小
λ
的取值范围；首先依题意把

a
n

的通项公
式求出来，然后根据
m
、
n
的任意性， 找出特殊值
a
2
与
a
1
的关系， 根据指数函数性质，可以 确定出
a
2
为最大值，
a
1
为最小值，进而求出题目结论。
答案：（1）
（2）设
a
n
6n5

，
Q
a
n1
a
n
2(b
n1
b
n
)2c
n
当
a
n
0
a
n
，

a
n
0
a
n
0

nn
0
时，
a
n
0
a
n
 (a
n
0
a
n
0
1
)(a
n
0
1
a
n
0
2
)L(a
n1
a
n
)

2c
n
0
2c
n0
1
2c
n
0
2
L2c
n1
2(c
n
0
c
n
0
1
c
n
0
2
Lc
n1
)2[(b
n
0
1
b
n
0
)(b
n
0
2b
n
0
1
)L(b
n
b
n1)]
2(b
n
b
n
0
)0
b
n
0
b
n
0
同理，当
综上，

时，

nn
0
b
n
0
b
n
0
< br>b
n
0
b
n
0

(nN)
恒 成立，即
{b
n
}
的第
n
0
项是最大项； 对
1
λ
0
（3）
4