家里的新鲜事-天然地震

单科标准练(二)
(满分：150分 时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合
A
＝{－2，－1,0,1 ,2,3}，
B
＝{
x
|
y
＝lg(
x
－ 1)}，则
A
∩
B
＝( )
A．{0,1,2,3}
C．{1,2}
B．{1,2,3}
D．{2,3}
D [根据题 意可得，集合
B
＝{
x
|
x
＞1，
x
∈R }，所以
A
∩
B
＝{2,3}，故选D.]
1
2
2．在复平面内，设
z
＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
z
－对应的点位于 ( )
2
z
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
111－i191
222
B [∵< br>z
＝1＋i，∴
z
－＝(1＋i)－＝2i－＝－＋i，∴复数
z－对应
2
z
21＋i4442
z
的点位于第二象限．故选B .]
3．已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，当
x≤0时，
f
(
x
)＝8·3－
a
(
a
为常数)，则
f
(1)
＝( )
1216
A. B. C. D.2
223
C [因为函数
f
(
x
)是定义 在R上的奇函数，所以
f
(0)＝8×3－
a
＝0，解得
a
＝8.所以
f
(1)
16
＝－
f
(－1)＝.故选C.]
3
4．圆
C
1
：
x
＋
y
－3x
＝0与圆
C
2
：(
x
－3)＋(
y
－2)＝4的位置关系为( )
A．相交
C．外切
22
2222
0
x
B．内切
D．相离
2
9

3

2
A [圆
C
1：
x
＋
y
－3
x
＝0，整理得其标准方程为

x
－

＋
y
＝，所以圆
C
1
的圆 心坐标为
4

2


3
，0

， 半径
r
＝
3
.圆
C
：(
x
－3)
2
＋(
y
－2)
2
＝4，其圆心坐标为(3,2)，半径
r
＝2.所以圆
C
，

2

1221
2
C
2
的圆心距|
C
1
C
2
|＝< br>
3－
3

＋2
2
＝
5
，又
r
＋
r
＝
3
＋2＝
7
＞
5
，所 以两圆相交．故选A.]

2

12
2222

2
5．某校开设
A
类选修课3门和
B
类选修课4门，小明同学从中 任选2门，则
A
，
B
两类
课程都选上的概率为( )

A.
1

12
2
B.
7
4
D.
7
3
C.
7
D [设3 门
A
类选修课分别为
A
1，
A
2，
A
3, 4门
B
类选修课分别为
B
1，
B
2，
B
3 ，
B
4，小明
同学从中任选2门，基本事件有
A
1
A
2，
A
1
A
3，
A
1
B
1，
A
1
B
2，
A
1
B
3，
A
1
B
4，
A
2
A
3，
A
2
B
1，
A
2
B
2，
A
2
B
3，
A
2
B
4，
A
3
B
1，
A
3
B< br>2，
A
3
B
3，
A
3
B
4，
B
1
B
2，
B
1
B
3，
B
1< br>B
4，
B
2
B
3，
B
2
B
4，
B
3
B
4，共21种，
其中
A
，
B< br>两类课程都选上的有
A
1
B
1，
A
1
B2，
A
1
B
3，
A
1
B
4，
A
2
B
1，
A
2
B
2，
A
2B
3，
A
2
B
4，
A
3
B
1 ，
A
3
B
2，
A
3
B
3，
A3
B
4，共12种，所以
A
，
B
两类课程都选上的概率 为＝.故选D.]
6．已知正项等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且7
S
2
＝4
S
4
，则公比
q
的值为( )
A．1
C.
3

2
1
B．1或
2
D．±
3

2
124
217
C [若
q
＝1，则7
S
2
＝14
a
1,
4
S
4
＝16
a
1
，∵
a
1
≠0，∴7
S
2
≠4
S
4
，不合题意．若
q
≠1，由7
S
2
a
1
1－
q
2

a
1
1－
q
4
33
2
＝4
S
4
，得7×＝4×，∴
q
＝，又< br>q
＞0，∴
q
＝.故选C.]
1－
q
1－
q
42
π
7．将函数
f
(
x
)＝－cos 4x
的图象向右平移个单位长度后得到函数
g
(
x
)的图象，则函
8
数
g
(
x
)( )
π
A．最大值为1，图象关于直线
x
＝对称
2

π

B．在

0，

上单调递减，为奇函数
8< br>

3ππ

C．在

－，

上 单调递增，为偶函数
8

8
D．周期为π，图象关于点


3π
，0

对称


8

B [函数
f
(
x
)的 图象经平移后得到函数
g
(
x
)的图象，其对应的解析式为
g
(
x
)＝－cos
π

π

4

x
－

＝－cos

4
x
－
< br>＝－sin 4
x
.A项，
g
(
x
)＝－sin 4
x
的最大值为1，其图象的对称轴
8

2

π
k
ππ
方程为4
x
＝
k
π＋(
k
∈Z)，解得
x
＝＋(
k
∈Z)，所以A项错误；B项，
g
(
x
)＝－sin 4
x
248
的单调递减区间为


k
π
－
π
，
k
π
＋
π

(
k
∈Z)，所以函数
g
(
x
)在

0，
π

上单调递减，且为奇

828

8


2

函数，所以B项正确；C项，
g
(
x
)＝－sin 4
x
为奇函数，所以C项错误；D项，
g
(
x
)＝－sin 4
x

2ππ

k
π
， 0

(
k
∈Z)，所以D项错误．故选B.] 的周期
Τ
＝ ＝，其图象的对称中心为

42

4

8．已知某几何体 的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为( )

A．4 B．5 C.13 D.26
D [三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥
A
­
BCD
，如图，过点
A
作
AE
⊥
BD
于点
E
，过点
C
作
CF
⊥
BD
于点
F
，连接
CE
，
AF
，由三视图可得，< br>AE
＝4，
BD
＝4，
BE
＝3，
ED
＝1 ，
BF
＝2，
FD
＝2，
CF
＝3.所以
CE2
＝
CF
2
＋
FE
2
＝9＋1＝10，
AC
2
＝
CE
2
＋
AE
2
＝10＋16 ＝26，
AB
2
＝
BE
＋
AE
＝9＋16＝25，
AD
＝
AE
＋
DE
＝16＋1＝17，
BC
＝
DC
＝
FD
＋
CF
＝2＋3＝13，所以最
长 的棱为
AC
，其长度为26.故选D.]
22222222222
x
2
y
2
9．双曲线
2
－
2
＝1(
a＞0，
b
＞0)的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率
e
＝3，过点
F
1
作
ab
倾斜 角为
θ
的直线交双曲线的右支于点
M
，若
MF
2
垂 直于
x
轴，则
θ
＝( )
A．30°
C．30°或150°
B．60°
D．60°或120°
2
b
2
|
MF
2
|
bc
222
C [法一 ：设点
M
在
x
轴上方，则|
MF
2
|＝，tan
θ
＝＝，∵
c
＝
a
＋
b
，
e＝＝
a
|
F
1
F
2
|2
aca
3，∴tan
θ
＝
3
，
θ
＝30°；当点
M< br>在
x
轴下方时，同理可得
θ
＝150°.故选C.
3
2
c
，|
MF
2
|
cos
θ
法二：当
θ
为锐角时，在Rt△
MF
1
F
2
中，∠
MF
1
F
2
＝
θ
，|
F
1
F
2
|＝2
c
，|
MF
1
|＝
＝2
c
·tan
θ
，∴2
a
＝|
MF
1
|－|
MF
2
|＝
2
c
2
c
2< br>c
－2
c
·tan
θ
，∴
e
＝＝＝
cos
θ
2
a
2
c
－2
c
·tan
θ
cos
θ
1
1
－tan
θ
cos
θ
cos
θ
13
22
＝＝3，又sin
θ
＋cos
θ
＝1，∴sin
θ
＝，cos
θ
＝，∴
θ
1－sin
θ
22
＝30°；同理可 得，当
θ
为钝角时，
θ
＝150°.故
θ
为30°或150 °.故选C.]

1

10．已知数列{
a
n
} ，
a
1
＝2，点

a
n
，
a
n< br>＋1
＋1

在函数
f
(
x
)＝2
x
＋3的图象上．数列{
b
n
}满足

2


b
n
＝
2
，
T
n
为数列{
b
n
}的前
n
项和，则
T
n
＝ ( )
a
n
－1
A．2
n

C.
B.
D.
1

4
n
－1
2
1
n

2
n
＋1
n

22
n
＋1
1
C [由题意得
a
n
＋ 1
＋1＝2×
a
n
＋3，即
a
n
＋1
－< br>a
n
＝2，又
a
1
＝2，所以数列{
a
n< br>}是以2为首项、
2
11
2为公差的等差数列．所以数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝2＋(
n
－1)×2＝2
n
.所以
b
n
＝
2
＝
4
n
－12

1
－
1

.于是
T
＝
1

1－
1

＋

1
－
1
< br>＋…＋

1
－
1

＝
n
.故选C .]

2
n
－12
n
＋1

n

3

35

2
n
－12
n
＋1

2
n
＋12

11．如图， 已知正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1D
1
的棱长为1，
M
，
N
分别是棱
AA
1
，
BC
上的动点，若
MN
＝2，则线段
MN
的 中点
P
的轨迹是( )
A．一条线段
B．一段圆弧
C．一个球面区域
D．两条平行线段
B [连接
AN
，
AP
(图略)，易知△
MAN
为直角三角形．因为
MN
＝2，
P
为线段
MN
的中点，
所以
AP
＝
22
，因此点
P
到点
A
的距离为定值，所以点
P
在以点
A
为球心，为半径的球面上
22
运动，记此球为球
O
，分别取
A
1
B
1
，
D
1
C
1
，
DC
，
AB
的中点
E
，
F
，
G
，
H
，并顺次连接，则
MA
∥平
面
EFGH
.记< br>AN
∩
HG
＝
Q
，则易知
HQ
为△
ABN
的中位线，故
Q
为
AN
的中点．连接
PQ
( 图略)，则
PQ
为△
AMN
的中位线，得
MA
∥
P Q
，又点
Q
在平面
EFGH
内，
MA
∥平面
EFGH
，所以点
P
在平面
EFGH
内运动，故点
P的轨迹为平面
EFGH
与球
O
的球面的交线，所以点
P
的轨迹是一段圆弧．故
选B.]
e－2
xa
12．若函数
f
(
x
)＝＋在区间(2,3)上有唯一的极值点，则实数
a
的取值范围是< br>3
x
2
xx
( )
e

－，＋∞

A.



4

2
e

－，0

B.



4

2

e

C.

2－，2



4

x
2
2

e

D.

2－，＋∞



4

xx
2
e－2
xa
e
a
－2ex
－3
a
－2
C [法一：因为
f
(
x)＝＋＝
3
＋，所以
f
′(
x
)＝－
2
.依题意，知
34
xxxxxx
e
x
－3
a
－2
x
2
－
2
＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即e(x
－3)－(
a
－2)
x
＝0，所以
a
－2＝
4
x
xx

e
x
－3 e
x
－3e
x
－4
x
＋6
.令
g
(
x
)＝，则
g
′(
x
)＝.因为
x< br>∈(2,3)，所以
g
′(
x
)＞0，所
223
xx x
2
xxx
e

e

以
g
(x
)在(2,3)上单调递增，所以
g
(
x
)∈(
g< br>(2)，
g
(3))，即
g
(
x
)∈
－，0

，因此应满足－
4

4

e
＜
a
－2＜0，故2－＜
a
＜2.
4
2
2
2
e－2
xa
e
a
－2e
x
－3
a
－2e
x
－3
法二：因为
f
(
x
)＝ ＋＝
3
＋，所以
f
′(
x
)＝－
2
.依题 意，知
344
x
2
xxx
xxxxxxx
－
a－2
x
2
2
＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即e(
x
－3)＝(
a
－2)
x
.
x
令
g
(
x
)＝e(
x
－3)，
h
(
x
)＝(
a
－2)
x
，易知函数
g
(
x
)在
x
＝2处取得极小值
g
(2)＝－e.
x
22
在同一平面 直角坐标系中分别画出函数
g
(
x
)，
h
(
x)的图象(如图)，由图象可知要使两个函数


a
－2＜0，
的图象在(2,3)上有唯一的交点，应满足


h
2＞
g2，


e
解得2－＜
a
＜2.
4
2
]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题 为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．已知平面向 量
a
，
b
满足|
a
|＝1，|
b
|＝2， (3
a
－
b
)⊥(
a
＋2
b
)，则向量< br>a
与
b
的夹角
为________．
60° [∵(3a
－
b
)⊥(
a
＋2
b
)，∴(3
a
－
b
)·(
a
＋2
b
)＝3
a
＋ 5
a·b
－2
b
＝3＋5
a·b
－8＝
0，∴5< br>a·b
－5＝0，∴
a·b
＝1，设
a
与
b
的夹角为
θ
，则cos
θ
＝
夹角为60°.]
14．已知曲线
f
(
x
)＝
x
ln
x< br>＋
x
在点
A
(
x
0
，
y
0
)处的切线平行于直线
y
＝3
x
＋19，则点
A
的
坐标为________．
(e,2e) [由题意知，函数
f
(
x
)的定义域为{
x
|
x
＞0}，
f
′(
x
)＝(
x
ln
x
)′＋1＝ln
x
＋2.
∵曲线
f
(
x
)在点
A
(
x
0< br>，
y
0
)处的切线平行于直线
y
＝3
x
＋1 9，∴ln
x
0
＋2＝3，∴ln
x
0
＝1，

22
a·b
1
＝，∴
a
与
b
的
| a||b|
2

∴
x
0
＝e.此时
y
0
＝
f
(
x
0
)＝
x
0
ln
x
0
＋
x
0
＝e＋e＝2e，故点
A的坐标为(e,2e)．]
y
≥0，


15．已知实数x
，
y
满足不等式组

y
≤
x
，

x
＋
y
－
m
≤0，
180，则实 数
m
的值为________．

且目标函数
z
＝3x
－2
y
的最大值为
60 [当
m
≤0时，不合题意； 当
m
＞0时，画出不等式组表示的平
3
z
面区域如图中阴影部分所示 ，目标函数
z
＝3
x
－2
y
可变形为
y
＝
x
－，
22
3
作出直线
y
＝
x
并 平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点
A
(
m,
0)
2
时，
z
＝3
x
－2
y
取得最大值180，所以3
m
－0＝180，解得
m
＝60.]
16．设正三棱柱
ABC­
A
1
B
1
C
1
的外接球
O
的半径为定值，当该正三棱柱的底面边长与侧棱长
之和取最大值时，球
O
的表面积与该 正三棱柱底面三角形外接圆的面积比为________．
28
[设球
O
的半径为
R
，△
ABC
外接圆的圆心为
D
，半径为
r
，连接
OA
，
OD
，
AD
(图略)，
3
令∠
OAD
＝
θ
，易知△
OAD
为直角三角形，∠
ADO
＝90°，∴
r
＝
R
cos
θ
，
AB
＝2
R
cos
θ
cos 30°
＝3
R
cos
θ
，
OD
＝
R
sin
θ
，∴
A A
1
＋
AB
＝2
R
sin
θ
＋3
R
cos
θ
＝7
R
sin(
θ
＋
φ
)，其中sin
φ
＝
2127π
，cos
φ
＝.当sin(
θ< br>＋
φ
)＝1，即
θ
＋
φ
＝时，该正三棱柱的底面边长 与侧
772
π
21
R
21
S
球
O
4π
R
2

棱长之和取得最大值．此时，cos
θ
＝cos

－
φ

＝sin
φ
＝，∴＝，∴＝
7
r
3
S
圆
D
π
r2

2

28
＝.]
3
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分1 2分)如图，在梯形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，∠
BCD
＝
1
2∠
BAD
，
BD
＝2，
AB
＝6，cos∠
BCD
＝－.
3
(1)求
AD
的长；
(2)求cos∠
CBD
的值．
1
[解] (1)因为∠
BCD
＝2∠
BAD
，cos∠
BCD
＝－，
3
11
22
所以cos∠
BCD
＝2cos∠
BA D
－1＝－，得cos∠
BAD
＝.
33
3

π

因为∠
BAD
∈

0，

，所以cos ∠
BAD
＝.
2

3

在△
ABD中，由余弦定理得
BD
＝
AD
＋
AB
－2
AD
·
AB
·cos∠
BAD
，
222

即4＝
AD
＋6－2
AD
×6×
2
3
，得
AD
＝2.
3
π
222
(2) 由(1)可得
AD
＋
BD
＝
AB
，所以∠
ADB< br>＝，
2
所以sin∠
ABD
＝
36
，cos∠ABD
＝.
33
因为
AB
∥
CD
，所以∠< br>BDC
＝∠
ABD
，
所以sin∠
BDC
＝
36
，cos∠
BDC
＝.
33
122
因为cos∠
BCD
＝－，所以sin∠
BCD
＝.
33
所以cos∠
CBD
＝－cos(∠
BCD＋∠
BDC
)＝sin∠
BCD
sin∠
BDC
－co s∠
BCD
cos∠
BDC
＝
×
3166
＋×＝.
3333
18．(本小题满分12分)五面体
ABCDEF
中，四边形
ABCD
是矩形，
∠
FAD
＝90°，
EF
∥
A D
，平面
ADEF
⊥平面
ABCD
，
AF
＝
AB
＝2，
BC
＝4，
22
3
FE
＝1.
(1)求证：
BE
⊥
AC
；
(2)求平面
ACE
分五面体
ABCDEF
所成的两部分三棱锥
D
­
ACE与多面体
EFABC
的体积比．
[解] (1)作
EH
⊥AD
于
H
，连接
BH
，则
EH
⊥平面
ABCD
⇒
EH
⊥
AC
.
1
易知
AH< br>＝
FE
＝1，∴tan∠
ABH
＝＝tan∠
ACB
，
2
∴∠
ABH
＝∠
ACB
，
∴∠
C AB
＋∠
ABH
＝∠
CAB
＋∠
ACB
＝90°，
∴
AC
⊥
BH
，
又
AC
⊥
EH
，
EH
∩
BH
＝
H
，∴
AC
⊥平 面
EHB
，
∴
AC
⊥
BE
.
1111
(2)∵
V
五面体
ABCDEF
＝
V
B
­
AFE
＋
V
E
­
ABCD
＝·
S
△
AEF
·
AB
＋·
S
矩形
ABCD
·< br>EH
＝×1×2＋×8×2＝6，
3333
118810
且
V
E
­
ADC
＝
S
△
ACD
·
E H
＝×4×2＝，∴
V
多面体
EFABC
6－＝，
33333
810
∴三棱锥
D
­
ACE
与多面体
EFABC
的体积比为∶＝4∶5.
33
19．(本小题满分12分)NBA球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，以
下是2 017～2018赛季NBA常规赛中，球员J和H在某15场常规赛中，每场比赛得分的茎叶
图：

(1)根据茎叶图估计球员J在本赛季的场均得分以及 球员H在本赛季参加的75场常规赛
中，得分超过32分的场数；
(2)效率值是更能反映球 员能力和水平的一项指标，现统计了球员J在上述15场比赛中
部分场次的得分与效率值如下表：
场次

得分
x
效率值
y
1

18

19

2

21

20.5

3

27

26.5

4

30

28.8

5
31
30.2
若球员J每场比赛的效率值
y
与得分
x
具有线性 相关关系，试用最小二乘法求出
y
关于
x
^^^
的回归直线方程y
＝
bx
＋
a
，并由此估计在上述15场比赛中，球员J的效率 值超过31的场数(精
确到0.001)．
nn
∑ 
x
i
－
x

y
i
－
y
∑
x
i< br>y
i
－
nx

y
^
i
＝1
^^
i
＝1
参考公式：
b
＝＝，
a
＝
y< br>－
b

x
.
nn
222
∑ 
x
i
－
x
∑
x
i
－
nx
i
＝1
55
2
i
＝1
参考数据：∑
x
i
y
i
＝3 288.2，∑
x
i
＝3 355.
i
＝1
i
＝1
[解] (1)由茎叶图可得球员J在15场比赛中的场均得分为
1
(15＋18＋21＋22＋22 ＋24＋27＋30＋32＋33＋36＋37＋38＋39＋41)＝29(分)．
15
故估计球员J在本赛季的场均得分为29分．
由茎叶图可得球员H在15场比赛中，得分超过32分的有6场，以频率作为概率，
6
故估计球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数约为×75＝30.
15
55
2
(2)由表格可得
x
＝25.4，
y< br>＝25，又∑
x
i
y
i
＝3288.2，∑
x
i
＝3 355，
i
＝1
5
i
＝1
∑
x
i
y
i
－5
x

y
^
i
＝1
3 288.2－5×25.4×25
所以
b
＝＝≈0.876，
52
3 355－5×25.4
22
∑
x
i
－5< br>x
i
＝1
^^
于是
a
＝
y
－
b

x
≈25－0.876×25.4≈2.750，
故回归直线方程为
y
＝0.876
x
＋2.750.

由于
y
与
x
正相关，且当
x＝32时，
y
＝0.876×32＋2.750＝30.782＜31，
当x
＝33时，
y
＝0.876×33＋2.750＝31.658＞31， 所以估计在这15场比赛中，当球员J得分为33分，36分，37分，38分，39分，41分
时 ，效率值超过31，共6场．
20．(本小题满分12分)已知抛物线
C
：
x
＝2
py
(
p
＞0)的焦点到直线
l
：
y
＝－
x
的距离为
2
.
8
(1)求抛物线
C
的方程；
2

1

(2)直线
l
′与抛物线
C
相交于
A
，
B
两点，与直线
l
相交于点
M
，且|
AM
|＝|MB
|，
N

－，0

，

2

求△
ABN
面积的取值范围．
[解] (1)易知抛物线
C< br>：
x
＝2
py
(
p
＞0)的焦点为

0，

，

2

2

p
< br>p
由题意得
2
2
＝
2
p
21
＝，解 得
p
＝，
482
2
所以抛物线
C
的方程为
x
＝
y
.
(2)易知直线
l
′的斜率存在且不为0，
由题意可设
M
(－
m
，
m
)(
m
＞0)，直线
l
′：
y
－
m
＝
k
(
x
＋
m
)(
k
≠－1且
k
≠0)，


y
－
m
＝
k

x
＋
m
，
联立方程，得

2

x
＝
y
，


消去
y
，得
x
－
kx
－< br>km
－
m
＝0，由题意知，
Δ
＝
k
－4(－
22
km
－
m
)＝
k
2
＋4
km
＋4
m
＞0.①
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
x
1
＋
x
2
＝
k
，x
1
x
2
＝－
km
－
m
，
因为|
AM
|＝|
MB
|，所以
x
1
＋
x
2
＝－2
m
，所以
k
＝－2
m
，所以x
1
x
2
＝2
m
－
m
.
1
将
k
＝－2
m
代入①中，解得0＜
m
＜1，又k
≠－1，所以0＜
m
＜1且
m
≠，
2
1< br>
2
故直线
l
′的方程为
y
＝－2
mx< br>－2
m
＋
m

0＜
m
＜1且
m≠

，
2

|
m
－2
m
＋
m
|2|
m
－
m
|
点
N
到直线
l
′的距离
d
＝＝.
22
1＋4
m
1＋ 4
m
又|
AB
|＝1＋4
m
|
x
1
－
x
2
|
＝1＋4
m
2
2
22
2

x
1
＋
x
2
－4
x
1< br>x
2

2
2
＝21＋4
mm
－
m
2
，
1
22
所以
S
△
ABN
＝|
AB
|·d
＝2|
m
－
m
|·
m
－
m
.
2
令
t
＝
m
－
m
，则
S△
ABN
＝2
t
，

23

11

1

3
因为0＜
m
＜1且
m
≠，所以0＜
t
＜，所以2
t
∈

0，

，
22

4


1

所以< br>S
△
ABN
∈

0，

，
4


1

所以△
ABN
的面积的取值范围为

0，

.

4

21．(本小题满分 12分)已知函数
f
(
x
)＝
ax
ln
x
，
g
(
x
)＝
x
－(2－
a
)
x
，
a
∈R.
(1)若
a
＝1，证明：∀
x1
∈[1，e]，∃
x
2
∈[1，e]，使得
f
(x
1
)＝
g
(
x
2
)；
(2)若< br>f
(
x
)≤
g
(
x
)恒成立，求实数
a
的取值范围．
[解] (1)当
a
＝1时，
f
′(
x
)＝1＋ln
x
，
当
x
∈[1，e]时，
f
′(
x
)＞0，
∴函数
f
(
x
)在[1，e]上单调递增，
∴
f
(1)≤
f
(
x
)≤
f
(e)，即0≤
f
(
x
)≤e，
∴当
x
∈[1，e]时，
f
(
x
)的值域为[0，e]．
当
a
＝1时，
g
′(
x
)＝3
x
－2
x
＝
x
(3
x
－2)，
当
x
∈[1，e]时，
g
′(
x
)＞0，
∴函数
g
(
x
)在[1，e]上单调递增，
∴
g
(1)≤
g
(
x
)≤
g
(e)，即0≤
g
(
x
)≤e－e，
∴当
x
∈[1，e]时，
g< br>(
x
)的值域为[0，e－e]．
∵e－e＝e(e－e)＞e，
∴[0，e]⊆[0，e－e]，
∴∀
x
1
∈[1，e]，∃x
2
∈[1，e]，使得
f
(
x
1
)＝
g
(
x
2
)．
(2)法一：由
f
(
x
)≤
g
(
x
)得
ax
ln
x
≤
x
－(2－
a
)
x
，
∵
x
＞0，∴
a
ln
x
≤
x
－(2－
a
)
x
，
整理得
a
(ln
x
－
x
)≤
x
－2
x
.
令
G
(
x
)＝ln
x
－
x
，
x
∈(0，＋∞)，
11－
x
则
G
′(
x
)＝－1＝，
2< br>2
32
32
322
32
32
2
32
xx
当
x
∈(0,1)时，
G
′(
x
)＞0，当< br>x
∈(1，＋∞)时，
G
′(
x
)＜0，
∴
G
(
x
)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴
G
(
x
)
max
＝
G
(1)＝ －1＜0，
∴ln
x
－
x
＜0恒成立，
x
2
－2
x
故
a
≥恒成立．
ln x
－
x
x
2
－2
x
令
h
(< br>x
)＝，
x
∈(0，＋∞)，
ln
x
－
x


1

2
2
x
－2ln
x
－
x
－

－1


x
－2
x


x
－12ln
x
－
x
－2< br>
x

则
h
′(
x
)＝＝，
22
ln
x
－
x
ln
x
－
x

令
k
(
x
)＝2ln
x
－
x
－2，
x
∈(0，＋∞)，
22－
x
则
k
′(
x
)＝－1＝，
xx
当
x
∈(0,2)时，
k
′(
x
)＞0，当
x
∈(2，＋∞)时，
k
′(
x
)＜0，
∴
k
(
x
)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
∴
k
(
x
)
max
＝
k
(2)＝ 2ln 2－4＝2(ln 2－2)＜0，
∴当
x
∈(0,1)时，
h< br>′(
x
)＞0，当
x
∈(1，＋∞)时，
h
′(x
)＜0，
∴
h
(
x
)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
1－2
∴
h
(
x
)
max
＝
h< br>(1)＝＝1，
0－1
∵
a
≥
h
(
x)恒成立，∴
a
≥1，
∴实数
a
的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由
f
(
x
)≤
g
(
x
)得
ax
ln
x
≤
x
－(2－
a
)
x
，
设
F
(
x
)＝
ax
ln
x
－< br>x
＋(2－
a
)
x
，则
F
(
x)≤0，
根据
F
(1)＝－1＋2－
a
＝1－
a≤0，得
a
≥1，
下面证明当
a
≥1时，
F
(
x
)≤0恒成立．
11－
x
记
m
(
x
)＝ln
x
－
x
＋1，
x
∈[0，＋∞)，则
m
′(
x
)＝－1＝，
32
32
xx
当
x
∈(0,1)时，m
′(
x
)＞0，当
x
∈(1，＋∞)时，
m
′(
x
)＜0，
∴
m
(
x
)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
∴
m
(
x
)
max
＝
m
(1)＝ 0，
∴
m
(
x
)≤0，即ln
x
≤
x
－1.
∴
ax
ln
x
≤
ax
(
x
－1)，
∴
F
(
x
)≤
ax
(
x
－1)－
x
＋(2－a
)
x
＝－
x
＋2
x
－
ax
＝－
x
[(
x
－1)＋
a
－1]≤0，
故实数
a
的取值范围为[1，＋∞)．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
设极坐标系的极点与直角坐 标系的原点重合，极轴与
x
轴的非负半轴重合．曲线
C
1
：
ρ
＋2
ρ
cos
θ
－8＝0，曲线
C
2
：



x
＝3＋5cos
α
，


y
＝4＋5sin
α
2
32322

(
α
为参数)．
(1 )求曲线
C
1
的直角坐标方程，曲线
C
2
的极坐标方程；
(2)求曲线
C
1
与曲线
C
2
交点所在的直线的极 坐标方程，并判断在极坐标系中点


2π

，

是

24


否在该直线上．
[解] (1)曲线
C
1
的直角坐标方程为
x
＋
y
＋2
x
－8＝0，即(
x
＋1)＋
y
＝9. 曲线
C
2
的直角坐标方程为(
x
－3)＋(
y
－4)＝25，即
x
＋
y
－6
x
－8
y
＝ 0，
∴曲线
C
2
的极坐标方程为
ρ
－8
ρ
sin
θ
－6
ρ
cos
θ
＝0.


ρ
＋2
ρ
cos
θ
－8＝0，①< br>(2)联立方程，得

2


ρ
－8
ρsin
θ
－6
ρ
cos
θ
＝0，②
2
2
2222
2222


①－②，得
ρ
sin
θ
＋
ρ
cos
θ
－1＝0，
∴曲线
C
1
与曲线
C
2< br>交点所在直线的极坐标方程为
ρ
sin
θ
＋
ρ
cos
θ
－1＝0.
∵
2π2π
sin＋cos －1＝0，
2424
∴点


2π

，

在曲线
C
1
与曲线
C
2
交点所在的直线上．

24

23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数
f
(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|< br>x
－1|，
a
∈R.
(1)当
a
＝3时，求不等式
f
(
x
)≥
x
＋9的解集；
(2)若
f
(
x
)≤|
x
－4|的解集包含[0,2]，求
a
的取值范围．
－2
x
－2，
x
≤－3，


[解] ( 1)当
a
＝3时，原不等式化为
f
(
x
)≥
x＋9，
f
(
x
)＝

4，－3＜
x
＜ 1，


2
x
＋2，
x
≥1，
1111< br>当
x
≤－3时，由－2
x
－2≥
x
＋9，解得
x
≤－，故
x
≤－；
33
当－3＜
x
＜1时， 由4≥
x
＋9，解得
x
≤－5，故不等式无解；
当
x≥1时，由2
x
＋2≥
x
＋9，解得
x
≥7，故
x
≥7.
11

综上，
f
(
x
)≥
x
＋9的解集为

－∞，－

∪[7，＋∞)．
3

(2)
f
(
x
)≤|
x
－4|的解 集包含[0,2]等价于|
x
＋
a
|≤|
x
－4|－|x
－1|在
x
∈[0,2]上恒成
立．
当
x
∈[0,1]时，|
x
＋
a
|≤|
x
－4|－|
x
－1|＝3，
∴－3－
a
≤
x
≤3－
a
在[0,1]上恒成立，∴－3≤
a
≤2.
当
x
∈(1,2]时， |
x
＋
a
|≤|
x
－4|－|
x
－1|＝ 5－2
x
，
∴2
x
－5≤
x
＋
a
≤5－2
x
在(1,2]上恒成立，
5－
a


x
≤，
3
∴



x
≤5＋
a



对任意的
x
∈(1,2]恒成立，

5－
a


≥2，
∴

3


5＋
a
≥2，

解得－3≤
a
≤－1.
综上，得－3≤
a
≤－1.
故
a
的取值范围为[－3，－1]．