虎兄虎弟观后感-预备党员转正报告

普通高等学校招生全国统一考试（数学文）解析版
第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是 符合题目要求的。
1．若集合
A=

x|1x3

，
B=

x|x>2

，则
AB
等于（ ）
A.

x|2
B.

x|x1

C.

x|2x<3

D.

x|x>2


【答案】A
【解析】
AB< br>=

x|1x3



x|x>2
< br>=

x|2
,故选A.
【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题.
2．计算
12sin22.5
的结果等于( )
A.
2
33
1
B. C. D.
32
2
2
【答案】B
【解析】原式=
cos45=
2
,故选B.
2
【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值.
3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
．．．
A.
3
B.2 C.
23
D.6

【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
2
3
423
，侧面积为
3216
，选D.
4
1

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图 的能力、空间想象能力等基本
能力。
4．
i
是虚数单位,
(
1i
4
)
等于 ( )
1-i
A.i B .-i C.1 D.-1
【答案】C
1i
4
(1i)
2
44
]=i=1
,故选C. 【解析】
()
=
[
2
1-i
【命题意图】本题考查复数的基 本运算,考查同学们的计算能力.

x1

5．若
x，yR< br>，且

x2y30
，则
zx2y
的最小值等

yx

于
A．2

[答案]B
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示：
当直线
zx2y
过点（ 1，1）时，
zx2y
取得最小值3。故选B。
命题意图：本题考查不等式中的 线性规划，在线性约束条件下求目标函数最值问题，
考查同学们数形结合的思想。
6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的
i
值等于
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案]C
解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是输出使和
时的i的值加1。因为
所以当S>11时，计算到i=3，故输出的
i是4，选C。
命题意图：本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。

B．3 C．5 D．9

x
2
+2x-3,x0
f x)=

7．函数
（
的零点个数为 ( )
-2+lnx,x>0

2

A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】当
x0
时，令< br>x2x30
解得
x3
；
当
x0
时，令
2lnx0
解得
x100
，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2
【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。
x
2y
2
1
的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则11．若点
O
和点
F
分别为椭圆
43
3

OPFP
的最大值为
A.2 B.3 C.6 D.8
【答案】C
x
0
2< br>y
0
2
x
0
2
2
1
,解得y
0
3(1)
， 【解析】由题意，F（-1，0），设点P
(x< br>0
,y
0
)
，则有
434
因为
FP(x< br>0
1,y
0
)
，
OP(x
0
,y
0
)
，所以
OPFPx
0
(x
0
1)y
0
2

x
0
2
x
0
2
)
=
x
0
3
，此二次函数对应的抛物线的对称轴为=
OP FPx
0
(x
0
1)
3(1
4
4
2
2
x
0
2
，因为
2x
0
2
，所以当
x
0
2
时，
OPFP
取得最大值236
，选C。
4
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向 量的数量积的坐标运算、二次函数的
单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综 合应用能力、运算能力。
12．设非空集合
S|x|mxl|
满足：当
xS
时，有
xS
。给出如下三个命题工：①
2
若
m 1
，则
S|1|
；②若
m
命题的个数是
2
111
m0
。其中正确，则
l1
；③若
l
，则< br>
2
242
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】
【命题意图】

第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
x
2
y
2
1
13. 若双曲线-
2
=1(b>0)的渐近线方程式为y=
x
，则ｂ等于 。
4b
2
【答案】1
【解析】由题意知
b1

，解得b=1。
22
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频
4

率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。
【答案】60
【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为
2x,3x,4x, 6x,4x,x
，则
1234
，所以前三组数据的频率分别是
,,
，
20202020
2n3n4n
故前三组数据的频数之和等于

= 27，解得n=60。
202020
，解得
x
2x3x4x6x 4xx
【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。
15. 对于平面上的点集

，如果连接

中任意两点的线段必定包 含于

，则称

为平面上的
凸集，给出平面上4个点集的图形如下（ 阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。
【答案】②③
【解析】略
【命题意图】
16. 观察下列等式：
① cos2a=2
cosa
-1;
② cos4a=8
cosa
- 8
cosa
+ 1;
③ cos6a=32
cosa
- 48
cosa
+ 18
cosa
- 1;
④ cos8a=128
cosa
- 256
cosa
+ 160
cosa
- 32
cosa
+ 1;
⑤ cos10a= m
cosa
- 1280
cosa
+ 1120
cosa
+ n
cosa
+ p
cosa
- 1.
可以推测，m – n + p = .
108642
8642
642
42
2
5

【答案】962
9
【解析】因为
22,82,322 ,1282,
所以
m2512
；观察可得
n400
，
1357
p50
，所以m – n + p =962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。
三、解答题 ：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分 ）
1

1

数列{
a
n
} 中
a
＝，前n项和
S
n
满 足
S
n1
-
S
n
＝

3
< br>3

( I ) 求数列{
a
n
}的通项公式
a
n
以及前n项和
S
n
；
n1
（n

N
）.
*
（II）若S
1
, t ( S
1
+S
2
), 3( S
2
+S
3
) 成等差数列，求实数t的值。

17．本小题主要考查数列、等差数列、等比数 列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想、化归与转化思想。满分12分。
解：（I）得又，故从而，

（II）由（I）得。从而由成等差数列可得：
，解得t=2.
18.（本小题满分12分）
设平顶向量
a
m
＝ （ m , 1）,
b
n
= ( 2 , n )，其中 m， n

{1,2,3,4}.
（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；
（II）记“使得
a
m

（
a
m
-
b
n
）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。
18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求 解能力、应用意思，考查化归与
转化思想、必然与或然思想。满分12分。
解：（I）有序数 组（m,n）的所有可能结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），
6

（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（ 3，4），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4）共16个。
（II）由得，即 。由于，故事
件A包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共2个。又基本事件的总数为16，故所 求的概率
为。
19.（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2px(p0)
过点A （1 , -2）。
（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点 ）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，
且直线OA与L的距离等于
2
5
？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。
5
19．本小题主要考查直线、抛物线 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考
查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想 、分类与整合思想。满分12分

解：（I）将（1，-2）代入
，其准线方程为x=-1.
，得，所以p=2故所求 的抛物线C的方程为
(II)假设存在符合题意的直线
l
，其方程为y=-2x+t. 由得因为直
线
l
与抛物线C有公共点，所以解得。
另一方面，由直线OA与 t的距离可得，解得因为
所以符合题意的直线
l
存在，其方程为2x+y-1=0.
20. （本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD – A
1
B1
C
1
D
1
中，E，H分别是棱A
1
B
1
,D
1
C
1
上的点（点E与B
1
不重合），且
EHA
1
D
1
。过EH的平面与棱BB
1
,CC< br>1
相交，交点分别为F，G。
7

（I）证明：AD平面EFGH；
（II）设AB=2AA
1
=2a。在长方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内随机选取 一点，记该
点取自于几何体A
1
ABFE – D
1
DCGH内的概 率为p。当点E，F分别在棱A
1
B
1
,
B
1
B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

20．本小题 主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等
基础知识，考查空间想象 能力、推理论证能力、运算能力，考查函数与方程思想、数形结合
思想、化归与转化思想、必然与或然思 想。满分12分。
（1）证明：在长方体中，，又

（II）设BC=b，则长方体
的体积
的体积几何体
，


当且仅当
号成立。从而
时等
故
最小值等于
当且仅当时等号成立，所以p的

21．(本小题满分12分)
某港口O
要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港
口O
北偏西30°且与该港口相距20海里的
A
处，并正以30海里小时的航行速度 沿正东方向
8

匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以

海里 小时的航行速度匀速行驶，经过
t
小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小 艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在

，使得小艇以

海里小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船
相遇？若存在，试确定

的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．本小题主要 考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、
运算求解能力、应用意识，考 查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12
分。
（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

故当t= 时，
海里小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 即，小艇以
（II）设小艇与轮船在B处相遇。
由题意可得：
化简得：
v
2

40060013
2
900400()675

t
2
tt4
，即。
v取得最小值
1013
由于
所以当
2
时，
1
t
即小艇航行速度的最小值为< br>1013
海里小时

于是
400u600u900v0……()

小艇总能有两种不同 的航行方向与轮船相遇，等价于方程
()
应有两个不等正根，即：
22
9

22


6001600(900v)0
解得

2


900v0

所以，v的取值范围是
解法二：

（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又 轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正，为
正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。在Rt⊿OA C中，
0
OC=20cos
30
=
103
,AC=30t ，OC=vt.此时，轮船航行时t=，
，即，小艇以
行距离最小。
（II）（III）同解法一
22.（本小题满分14分）
已知函数f（x） =
海里小时的速度航行，相遇时小艇的航
1
3
xx
2
a xb
的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
3
(Ⅰ)求实数a,b的值；
(Ⅱ)设g（x）=f(x)+
m
是[
2,
]上的增函数。
x1
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点 Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图
形，则这两个封闭图形的面积总相等?若 存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

22.本小题主要考查函数、导数等基础知 识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能
力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转 化思想、分类与整合思想，满分14分。
解法一：（I）由及题设得即
（II）（i）由< br>∵g(x)是[2，+∞）上的增函数，∴
在[2，+∞）上恒成立，即
得
在[ 2，+∞）上恒成立，即
在[2，+∞）上恒成立。

10

设∵x∈[2，+∞），∴t∈[1，+∞）,即不等式
在[1，+∞）上恒成立，
，t∈[1，+∞）。
在[1，+∞）上恒成立，
当m≤0时，设
当m> 0时，设
因为
因此
∵
又m＞0,故0＜m≤3

，所以函数在[1，+∞）上单调递增

综上，m的最大值为3
（ii）由（i）得
明如下：
，其图象关于点Q（1，）成中心对称。证
∵
∴

因此
上式表明，若点A（x,y）为函数g(x)的图象上的任意一点，则点B（2-x. -y）也一定在 函数
g(x)的图象上，而线段AB中点恒为点Q（1，），由此即知函数g(x)的图象关于点Q成中 心对
称。
这也就表明，存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成 两个封闭图形，
则这两个封闭图形的面积总相等。


11