傅雷家书阅读答案-春节联欢晚会主持词

专题提能四 立体几何中的创新考法与学科素养

一、选择题
1． 中国古代数学名著《九章算术》第五章“商功”共收录28个题目，其中一个题目如
下：今有城下广四丈 ，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三
视图来解释：某几何体的三视图如 图所示(其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺)，则该几
何体的体积为( )

A．3 795 000立方尺
C．632 500立方尺
B．2 024 000立方尺
D．1 897 500立方尺
解析：由三视图可知该几何体是一个水平放置 的底面是等腰梯形的四棱柱，其体积
V
＝
1
×(20＋40)×50×1 265＝1 897 500(立方尺)，故选D.
2
答案：D
2．中国古代数学 名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其
所穿地，上平下邪．”现有一个 羡除如图所示，四边形
ABCD
，
ABFE
，
CDEF
均为 等腰梯形，
AB
∥
CD
∥
EF
，
AB
＝6 ，
CD
＝8，
EF
＝10，
EF
到平面
ABCD< br>的距离为3，
CD
与
AB
间的距离为10，
则这个羡除的体积 是( )

A．110
C．118
B．116
D．120
解析：如图，过点
A
作
AP
⊥
CD
，
AM
⊥
EF
，过点
B
作
BQ
⊥
CD
，
BN
⊥
EF
，
垂足分别为
P
，
M
，
Q
，
N
，连接
PM
，
QN
，将一侧的几 何体补到另一侧，组
1
成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V
＝15×8
2
＝120.
1

答案：D
3.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将
底面为 长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱
锥称为鳖臑．如图为 一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥
P
­
ADE
为鳖臑，且
P A
⊥平
面
ABCE
，
AD
＝
AB
＝2，< br>ED
＝1，若该鳖臑的外接球的表面积为9π，则该阳马的外接球的体积
为( )
A．23π
C．42π
B．33π
D．43π
解析：由题意 得三棱锥
P
­
ADE
中，
ED
⊥
DA
，又
PA
⊥平面
ABCE
，所以其外接球的直径2
r
＝
PE
，设
PA
＝
x
，则2
r
＝
PA
＋
AD
＋
DE
＝
x
＋2＋1＝
x
＋5， 则其外接球的表面积
S
＝
4π
r
＝π(
x
＋5)＝ 9π，解得
x
＝2.阳马——四棱锥
P
­
ABCD
的外接球 的直径为
PC
，即2
R
＝
22
2222222
PC
＝
PA
2
＋
AD
2
＋
DC
2＝2
2
＋2
2
＋2
2
＝23，所以
R
＝3，故其外接球的体积
V
＝π
R
3
＝
π×(3)＝43π ，故选D.
答案：D
4.《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，
高二丈五尺．问积几何？答曰：四万六千五百尺．”所谓“堑堵”，就是
两底面为直角三角形的 直棱柱．如图所示的几何体是一个“堑堵”，
AB
＝
BC
＝4，
AA
1
＝5，
M
是
A
1
C
1
的中点， 过
B
，
C
，
M
的平面把该“堑堵”分为
两个几何体 ，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为( )
A．40
C．25＋152＋329
B．50
D．30＋202＋329
3
4
3
4
3
解析：如图，设
A
1
B
1
的中点为
N
， 连接
MN
，
BN
，则
MN
∥
BC
，所以< br>过
B
，
C
，
M
的平面为平面
BNMC
，所求三棱台为
A
1
MN
－
ACB
，所以其表面
1
积为
S
△
ABC
＋
S
△
A
1< br>NM
＋
S
梯形
AA
1
MC
＋
S梯形
AA
1
NB
＋
S
梯形
MNBC
＝ ×4×4＋
2
1111
×2×2＋×(22＋42)×5＋×(4＋2)×5＋×(2 ＋4)×29＝
2222
25＋152＋329.
答案：C
5．中国古代 名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算
术》注曰：“倍上袤，下袤从 之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六
而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二 ，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将
下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相 乘；把这两个数值相加，与高相乘，
2

再取其六分之一．已知一个“刍童” 的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，
宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积 的最大值为( )
A.
39

2
B.
D.
75

2
601

8
C．39
918－2
x
解析：设下底面的长为
x
(≤
x
＜9)，则下底面的宽为＝9－
x
.
22
1由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积
V
＝×3×[(3 ×2
6
17
x
3999
22
＋
x
)×2＋ (2
x
＋3)(9－
x
)]＝－
x
＋＋，故当
x< br>＝时，体积取得最大值，最大值为－()
2222
1793975
＋×＋＝.故 选B.
2222
答案：B
6．如图，在正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，底面正三角形的边长为
a，侧棱长为
b
，且
a
≥
b
＞0，点
D
是四边形
BB
1
C
1
C
的两条对角线的交点，则当直线AD
与侧面
ABB
1
A
1
所成角的正切值
取得 最小值时，正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
的体积是( )

A.
C.
3
3
a

4
3
3
a

12
B.
D.
3
3
a

8
3
3
a

24
解析：如图所示，取
BC
的中点
E
，连接
DE
.过点
E
作
EF⊥
AB
于点
F
，
过点
D
作
DG
∥
EF
交平面
ABB
1
A
1
于点
G，连接
AG
，
FG
，
AE
.
易知
D E
是△
BCB
1
的中位线，所以
DE
∥
BB
1
.
因为平面
ABB
1
A
1
⊥平面
A BC
，平面
ABB
1
A
1
∩平面
ABC
＝
AB
，
EF
⊥
AB
，
所以
EF
⊥ 平面
ABB
1
A
1
.
又
DG
∥
EF
，所以
DG
⊥平面
ABB
1
A
1
.则 ∠
DAG
是直线
AD
与侧面
ABB
1
A
1
所成的角．
因为
DE
∥
BB
1
，
DE< br>⊄平面
ABB
1
A
1
，
BB
1
⊂平 面
ABB
1
A
1
，所以
DE
∥平面
ABB
1
A
1
.
因为平面
DEFG
∩平面
AB B
1
A
1
＝
FG
，
所以
DE
∥
FG
，又
DG
∥
EF
，所以四边形
DEFG
是平行四边形．
3

13113
所以
GD
＝
EF
＝×sin 60˚×
AC
＝
a
，
FB
＝×cos 60˚
AC
＝
a
，所以
AF
＝
a
. 24244
11
22
又
FG
＝
DE
＝
CC
1
＝
b
，所以
AG
＝
AF
＋
FG
＝
22
3
a
4
9
2
1
2a
＋
b
164
3
a
4
2
＋
1
b
2
2
＝
9
2
1
2
a
＋
b
.
164
GD
在Rt△
DAG
中，tan∠< br>DAG
＝＝
AG
＝
3
a
9
a
＋4< br>b
2
＝
2
3
a
22
＝
9
a
＋4
b
2
3

2
，
4
b
9＋
2
a
b
2
因为
a
≥
b
＞0， 所以
b
≤
a
，得0＜
2
≤1，所以tan∠
DAG
＝
a
22
3
2
≥
4
b
9＋
2
3
＝
9＋4×1
a
3939
，当且仅当
a＝
b
时取等号，故直线
AD
与侧面
ABB
1
A
1
所成角的正切值的最小值是，
1313
133
3
此时正三 棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
的体 积
V
＝·
a
·
a
··
a
＝
a.故选A.
224
答案：A
二、填空题
7．在古代将四个面都为直 角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体
A
­
BCD
为鳖臑，
AB
⊥平面
BCD
，且
AB
＝
BC
＝
____ ____．
383
CD
，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为
63
解析：四面体
A
­
BCD
为鳖臑，则由题意可知△
BCD< br>中只能∠
BCD
为直角，则四面体
A
­
BCD
113 383
的体积为××
CD
·
CD
·
CD
＝，解得< br>CD
＝43.易知外接球的球心为
AD
的中点，
32663
易 求得
AD
＝214，所以球的半径为14，所以球的表面积为56π.
答案：56π
8．如图，已知在四棱锥
P
­
ABCD
中，
PA
⊥ 底面
ABCD
，
PA
＝22，底面
ABCD
是边长为4的正方形，
M
，
N
分别是
AB
，
AD
上的动点，
E
为
MN
上一点，满足
MN
⊥平面
PA E
，且
PE
＝2
AE
，
则△
PMN
的面积 的最小值是________．

解析：∵
MN
⊥平面
PAE，
PE
⊂平面
PAE
，∴
MN
⊥
PE
，
MN
⊥
AE
，又
PE
＝2
AE
，∴S
△
PMN
＝2
S
△
AMN
，则求△
PMN
的面积的最小值转化为求△
AMN
的面积的最小值．∵
PA
⊥ 底面
ABCD
，∴
PA
⊥
AE
，又
PE
＝ 2
AE
，∴∠
APE
＝

π
，则
AE＝22.设
AM
＝
m
，
AN
＝
n
，则 在Rt△
AMN
中，
AM
·
AN
4
4