迎国庆的手抄报-保安族服饰

2020
年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（
5
月份）


一、选择题（共
8
小题，每小题
5
分， 满分
40
分）

1
．
i
是虚数单位，则
=
（ ）

A
．﹣+
i B
．﹣
i C
． +
i D
． +
i

2
．方程
e
x
=2
﹣
x
的根位于（ ）

A
．（﹣
1
，
0
）
B
．（
0
，
1
）
C
．（
1
，
2
）
D
．（
2
，
3
）

3
．下列说法正确的是（ ）

A
．命题
“
∃< br>x
0
∈
R
，
2
＞
1”
的否定是“
∀
x
∈
R
，
2
x
≤
1”< br>
B
．命题
“
若
x=y
，则
x
2< br>=y
2
”
的否命题是
“
若
x=y
，则
x
2
≠
y
2
”

C
．
p
：∀
x
∈
R
，
x
2
+
1
≥1
，
q
：在△
ABC
中，若
sinA=
，则< br>A=
命题

D
．若平面
α
⊥平面
β
，直线
a
⊂
α
，直线
b
⊂
β
，则
a
⊥
b

4
．阅读如图的框图，则输出的
S=
（ ）

，则
p
∧
q
为真

A
．
30 B
．
29 C
．
55 D
．
54

5
．如图是函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）（
x
∈
R
）在区间[﹣，]上的图象 ，为了得
到这个函数的图象．只需将
y=cosx
（
x
∈
R
）的图象上的所有点（ ）

A
．向左平移B
．向左平移
个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的
2
倍

个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的
2
倍

个单位长度

个单位长度

C
．把所有点的横坐标缩短到原 来的，再向左平移
D
．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移
6
．若实 数
a
，
b
，
c
满足
2
a
=
，
log
2
b=
，
lnc=
，则（ ）

A
．
a
＜
c
＜
b B
．
a
＜
b
＜
c C
．
b
＜
c
＜
a D
．
c
＜
b
＜
a

7
．抛物线< br>C
：
x
2
=2py
（
p
＞
0
）的焦点为
F
，
l
为
C
的准线，
P
∈< br>C
．且|
PF
|
=6
，过
P
作
l< br>的垂线，垂足为
M
，若△
FMP
为正三角形，则
p=
（ ）

A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

，若
f
（
x
）
=kx< br>有三个不同的根，则实数
k8
．函数
f
（
x
）
=
的取值范围是（ ）

A
．（
0
，）∪（
2
（
2


﹣
2
，]
B
．[
0
，）∪（
2
﹣
2
，]

﹣
2
，]
C
．[
0
，]∪
﹣
2
，]
D
．（
0
，]∪（
2
二、填空题（共
6
小题，每小题
5
分，满分
30
分）

9
．某单位生产甲，乙，丙三种不同型号的产品 ，甲乙丙三种产品数量之比为
3
：
4
：
5
，现用分层抽样的 方法抽出一个容量为
96
的样本，则乙种型号的产品数量
为

．

10
．设集合
P=
{
x
∈
N
|
x
≤
8
}，
Q=
{
x
∈
R||
x
﹣
1
|≤
2
}，则
P
∩
Q=


．

11
．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

．


12
．圆
x
2
﹣
2ax
+
y
2
=4
﹣
a
2
在
y
轴上的截距为
2
，则实数
a=


．
13
．已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，且+
=2
，则
x
+
y
的最小值是

．

，∠
DAB=60°
，
=
，
=< br>，
14
．平行四边形
ABCD
中，|
AB
|
=2
，|
BC
|
=
则


三、解答题（共
6
小题，满分
80
分）

•=


．

15
．（
13
分）在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对 边分别是
a
，
b
，
c
，已知
cosA=
﹣ ，
b=2
，
a=3
．

（
1
）求
sinB
的值；

（
2
）求
sin
（
2B
﹣）的值．
16
．（
13
分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过
30 0
吨的一种紧
缺原材料，总费用不超过
9
万元，此种原材料在甲、乙两个仓储 基地的储存费用
分别为
500
元

吨和
200
元
吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨
能给公司带来的收益分别为
0 .3
万元和
0.2
万元．问该公司如何分配在甲、乙两
个仓储基地的储存量， 才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

17
．（
13
分） 在棱长为
2
的正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
D
，
E
分别是
BC
，< br>BB
1
的中
点．

（
1
）求证：
A
1
B
∥
AC
1
D

（
2
）求证：
CE
⊥面
AC
1
D

（
3
）求二面角
C
﹣
AC
1
﹣
D
的正弦值．

来源学科网

18
．（
13
分）在公比为
m
的等比数列{
a
n
}中，
a
3
=2
，
a
1
+
a
2
+
a
3
=6
．

（
1
）求
m
．

（
2
）求{na
n
}的前
n
项和
T
n
．

19
．（
14
分）椭圆
C
：
菱形面积为
2
．

+
=1
（
a
＞
b
＞
0< br>）的离心率为，各个顶点围成的
（
1
）求
C
的方程；

（
2
）过右顶点
A
的直线
l
交椭圆
C于
A
，
B
两点．

①若|
AB
|
=
，求
l
的方程；

=3
，求
y
0
．

②点
P
（0
，
y
0
）在线段
AB
的垂直平分线上，且
2 0
．（
14
分）
f
（
x
）
=ax
2
+
3x
﹣（
a
+
3
）
lnx
（
a
＞﹣）

（
1
）当
a=1
时，求曲线< br>y=f
（
x
）在
x=1
处的切线方程，

（
2
）讨论
f
（
x
）的单调性，

（
3
）∀
a
∈[
1
，
2
]，∀
x
∈[
1
，
3
]，
f
（
x
）≥< br>ta
2
恒成立，求实数
t
的取值范围．

2020
年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（
5
月
份）

参考答案与试题解析



一、 选择题（共
8
小题，每小题
5
分，满分
40
分）

1
．
i
是虚数单位，则
=
（ ）

A
．﹣+
i B
．﹣
i C
． +
i D
． +
i

【解答】解：
故选：
C
．



2
．方程
e
x
=2
﹣
x
的根位于（ ）

A
．（﹣
1
，
0
）
B
．（
0
，
1
）
C
．（
1
，
2
）
D
．（
2
，
3
）

【解答】解：设
f（
x
）
=e
x
+
x
﹣
2
，则
f
（
0
）
=1
﹣
2=
﹣
1
＜
0
，

f
（
1
）
=e
+1
﹣
2=e
﹣
1
＞
0
，

所 以根据零点存在性定理，在区间（
0
，
1
）上函数
f
（x
）存在一个零点，

即程
e
x
=2
﹣
x
的根位于（
0
，
1
）．

故选
B
．



3
．下列说法正确的是（ ）

A
．命题
“
∃
x
0
∈
R，
2
＞
1”
的否定是
“
∀
x
∈
R
，
2
x
≤
1”

=
，
< br>B
．命题
“
若
x=y
，则
x
2
=y
2
”
的否命题是
“
若
x=y
，则
x
2
≠
y
2
”

C
．
p
：∀x
∈
R
，
x
2
+
1
≥
1，
q
：在△
ABC
中，若
sinA=
，则
A=
命题

D
．若平面
α
⊥平面
β
，直线a
⊂
α
，直线
b
⊂
β
，则
a
⊥
b

【解答】解：对于
A
，命题
“
∃
x
0
∈
R
，
2
确；

＞
1”
的否定是
“
∀
x
∈
R
，
2
x
≤
1”
，
A
正
，则
p
∧
q
为真

对于
B
，命题
“
若
x=y
，则
x
2
=y
2
”
的否命题是
“
若
x
≠
y
，则
x
2
≠
y
2
”
，则B
不正确；

对于
C
，
p
：∀
x∈
R
，
x
2
+
1
≥
1
，成立 ，
p
真；
q
：在△
ABC
中，若
sinA=
，则
A=
或，
q
假，

则
p
∧
q
为假命题，则
C
不正确；
对于
D
，若平面
α
⊥平面
β
，直线
a
⊂
α
，直线
b
⊂
β
，则
a
，
b< br>平行、相交或异面，
则
D
不正确．

故选：
A
．



4
．阅读如图的框图，则输出的
S=
（ ）


A
．
30 B
．
29 C
．
55 D
．
54

【解答】解：模拟程序的运行，可得

S=0
，
i=1

执行循环体，
i=2
，
S=4

不满足条件
i＞
4
，执行循环体，
i=3
，
S=4
+
9=1 3

不满足条件
i
＞
4
，执行循环体，
i=4，
S=13
+
16=29

不满足条件
i
＞< br>4
，执行循环体，
i=5
，
S=29
+
25=54< br>
此时，满足条件
i
＞
4
，退出循环，输出
S
的值为
54
．

故选：
D
．



5
．如图是函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）（
x
∈
R
）在区间[﹣，]上的图象，为了得

< br>到这个函数的图象．只需将
y=cosx
（
x
∈
R
） 的图象上的所有点（ ）


A
．向左平移
B
．向左平移
个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的
2
倍

个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的
2
倍

个单位长度

个单位长度

，]上的图象可
C
．把 所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移
D
．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移< br>【解答】解：根据函数
y=Asin
（
ωx
+
φ
）（
x
∈
R
）在区间[﹣
得
A=1
，

T==
+
=π
，∴
ω=2
；

）+
φ=0
，∴
φ=
），

）
=cos2
（
x
+）；

，

再根据五点法组图可得
2
×（﹣
∴函数的解析式为
y=sin（
2x
+
可化为
y=sin
（
2x
++）=cos
（
2x
+
把
y=cosx
（
x
∈
R
）的图象向左平移
来的倍，

个单位，再把所得各点的横坐标 缩短到原
或把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移
可得
y=sin
（
2x
+
故选：
C
．



）的图象．

个单位长度，

6
．若实数
a
，
b
，
c
满足
2
a
=
，log
2
b=
，
lnc=
，则（ ）

A
．
a
＜
c
＜
b B
．
a
＜
b
＜
c C
．
b
＜
c
＜
a D
．
c
＜
b
＜
a

【解答 】解：∵
2
a
=
，∴
log
2
=a
，即< br>log
2
a=
﹣
a
，

作出
y=l og
2
x
，
y=
﹣
x
，
y=lnx
和
y=
的函数图象，

如图所示：


由图象可知

∴
0
＜
a
＜
1
，< br>c
＞
b
＞
1
．

∴
a
＜
b
＜
c
．

故选：
B
．



7
．抛物线
C
：
x
2
=2py
（
p
＞
0
）的焦 点为
F
，
l
为
C
的准线，
P
∈
C
．且|
PF
|
=6
，过
P
作
l
的 垂线，垂足为
M
，若△
FMP
为正三角形，则
p=
（ ）

A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5

【解答】解：设准线
l
与
y
轴相交于
N
，

由|
PF
|
=6
，△
FMP
为正三角形，则丨MF
丨
=6
，∠
PMF=
由
PM
⊥
l
，∠
FMN=
，


∴丨
FN
丨
=3
，即
p=
丨
FN
丨
=3
，

∴
p=3
，

故选：
B
．

8
．函数
f
（
x
）
=
的取值范围是（ ）

A
．（
0
，）∪（
2
（
2
， 若
f
（
x
）
=kx
有三个不同的根，则实数
k﹣
2
，]
B
．[
0
，）∪（
2
﹣
2
，]

﹣
2
，]
C
．[
0
，]∪
﹣
2
，]
D
．（
0
，]∪（
2
【解答】解：作出
f
（
x
）与y=kx
的函数图象如图所示：


若直线
y=kx
过 （
4
，
1
），则
k=
，

若直线
y=kx
过（
2
，
3
），则
k=
，
若直线
y=kx
与
y=x
2
﹣
2x
+
3
相切，设切点坐标为（
x
0
，
y
0
），

则，解得
x
0
=
，
y
0
= 6
﹣
2
，
k=2
﹣
2
，

∴当< br>0
≤
k
＜或
2
故选
B
．



＜
k
≤时，直线
y=kx
与
f
（
x
）的图象有
3
个交点，

二、填空题（共
6
小 题，每小题
5
分，满分
30
分）

9
．某单位生产 甲，乙，丙三种不同型号的产品，甲乙丙三种产品数量之比为
3
：
4
：
5
，现用分层抽样的方法抽出一个容量为
96
的样本，则乙种型号的产品数量
为
32
．

【解答】解：根据分层抽样原理，当样本容量为
96
时，

抽取乙种型号的产品数量为
96
×
故选：
32
．




10
．设集合
P=
{
x
∈
N
|
x
≤
8
}，
Q=
{
x
∈
R
||
x
﹣
1
|≤
2
}，则
P
∩
Q=
{
0
，
1
，
2
，
3
} ．
=32
．

【解答】解：集合
P=
{
x
∈
N
|
x
≤
8
}
=
{
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
}，

Q=
{x
∈
R
||
x
﹣
1
|≤
2
}
=
{
x
∈
R
|﹣
2
≤
x
﹣
1
≤
2
}
=
{
x
∈
R
|﹣
1
≤
x
≤
3
}，

则
P∩
Q=
{
0
，
1
，
2
，
3< br>}．

来源学科网
故答案为：{
0
，
1
，< br>2
，
3
}．



11
．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．


【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥

由于底面为边长为
2
的正方形，故
S=2
×
2=4

而棱锥的高
h=2

故
V=
×
S
×
h=
×
4
×
2=

故答案为：



12
．圆
x
2
﹣
2ax
+
y< br>2
=4
﹣
a
2
在
y
轴上的截距为
2
，则实数
a=

【解答】解：∵圆
x
2
﹣
2ax
+
y
2
=4
﹣
a
2
在
y< br>轴上的截距为
2
，

令
x=0
，得
y=∴
2=2
，解得
a=
．

，

．

．

故答案为：


13
．已知
x
＞
0
，
y
＞
0
，且+
= 2
，则
x
+
y
的最小值是
+
=2
，

．

【解答】解：∵
x＞
0
，
y
＞
0
，且
则
x
+< br>y=
（
3x
+
y
）+（
x
+
2y< br>）
=
[（
3x
+
y
）+（
2x
+
4y
）]
=


≥
=
，当且仅当
y=2x=
时取等号．

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故答案为：


．

14
．平 行四边形
ABCD
中，|
AB
|
=2
，|
BC|
=
，∠
DAB=60°
，
=
，
=
，
则
•=

2
+ ．

=4
，
+（
=2
，
）
=
+
=2
×
，

=
，

【解答】解：
=

=
∴
=
（+
，

•
）（
=
）++
=
++
=2
+

．
故答案为：
2
+．

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三、解答题（共
6
小题，满分
80
分）

15
．（
13
分）在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，已知
cosA=
﹣，
b=2
，
a=3
．

（
1
）求
sinB
的值；

（
2
）求
sin
（
2B
﹣）的值．

＜
A
＜
π
，则
sinA==
，

【解答】解：（
1
）
cosA=
﹣，
由正弦定理
∴
sinB
的值；

（
2
）由
0
＜
B
＜，则
cosB=
=
，则
sinB=
，

=
，

，

则
sin2B=2sinBcosB=
sin
（
2B
﹣
=
=
sin
（
2 B
﹣


×
）
=sin2Bcos
﹣
，

）的值
×，

，
cos2B=2cos
2
B
﹣
1=
﹣
cos2Bsin
，

．

1 6
．（
13
分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过
300吨的一种紧
缺原材料，总费用不超过
9
万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的 储存费用

分别为
500
元

吨和
200
元

吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨
能给公司带来的收益分别为< br>0.3
万元和
0.2
万元．问该公司如何分配在甲、乙两
个仓储基地的 储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

【解答】解：设公司在甲、乙两个仓 储基地储存的原材料分别为
x
吨和
y
吨，总
收益为
z
元，

由题意得即

目标函数为
z=3000x
+
2000y
．
…
（
3
分）

作出二元一次不等式组所表示的平面区域．如图所示< br>…
（
6
分）

（注：图象没画或不正确扣
3
分）

作直线
l
：< br>3000x
+
2000y=0
，即
3x
+
2y=0< br>．

平移直线
l
，从图中可知，当直线
l
过
M
点时，

目标函数取得最大值．
…
（
8
分）

联立解得
x=100
，
y=200
．

∴点
M
的坐标为（
100
，
200
）．

∴
z
max
=3000x
+
2000y=700000（元）
=70
（万元）
…
（
11
分）

答：该公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为
100
吨和
200
吨 ，才能使
公司的收益最大，最大收益是
70
万元．
…
（
12
分）




17
．（
13
分） 在棱长为
2
的正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
D
，
E
分别是
BC
，< br>BB
1
的

中点．

（
1
）求 证：
A
1
B
∥
AC
1
D

（
2
）求证：
CE
⊥面
AC
1
D

（
3
）求二面角
C
﹣
AC
1
﹣
D
的正弦值．


【解答】解：（
1
）如图，连接
A
1
C
交
AC
1
于点
F
，则
F为
AC
1
的中点，

∴
DF
为△
A< br>1
BC
的中位线，故
DF
∥
A
1
B
，

A
1
B
⊄面
AC
1
D
，DF
⊂面
AC
1
D
，

∴
A
1
B
∥面
AC
1
D
；


（2
）∵正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
D
，
E
分别是
BC
，
BB
1
的中点，

∴
AD
⊥面
B
1
B CC
1
，∴
AD
⊥
CE
，

在正方形B
1
BCC
1
中，∵
D
，
E
分别是< br>BC
，
BB
1
的中点，可得△
ECB
≌
DC
1
C
，

∴∠
ECB=
∠
DC
1
C
，

即 ∠
CDC
1
+∠
ECB=90°
．∴
CE
⊥
DC
，

且
AD
∩
CD=D
，∴
CE< br>⊥面
AC
1
D
；

（
3
）如图由（
2
）得
CE
⊥面
AC
1
D
，设
C E
交
DC
1
于
H
，连接
HF
，

则∠
HFC
就是二面角
C
﹣
AC
1
﹣D
的平面角，

在正方形
BB
1
C1
C
中，由射影定理得
CC
1
2
=C
1
D•C
1
H
，⇒
由，⇒
CH=
．

．

．


在
Rt
△
CHF中，
sin
∠
HFC=
∴二面角
C
﹣
AC1
﹣
D
的正弦值为



18
．（< br>13
分）在公比为
m
的等比数列{
a
n
}中，
a
3
=2
，
a
1
+
a
2
+a
3
=6
．

（
1
）求
m
．

（
2
）求{na
n
}的前
n
项和
T
n
．

【解答】解：（
1
）公比为
m
的等比数列{
a
n
}中，
a
3
=2
，
a
1
+
a
2< br>+
a
3
=6
．

∴
=2
，
=6
，

解得
m=1
，
a
1
=2
或
m=
﹣，
a
1
=8
．

∴
m=1
，或
m=
﹣．

（
2
） 由（
1
）可得：
a
n
=2
或
a
n
=
①
a
n
=2
时，
na
n
=2n
．

∴{
na
n
}的前
n
项和
T
n
=
②
a
n
=
．
na
n
=8n< br>×
=n
2
+
n
．

．

+
…
+
+
…
+（
n
﹣
1
）×+n
×
，

．

．

∴{
na
n
}的前
n
项和
T
n
=8
∴
T< br>n
=8

∴
∴
T
n
=


=8
﹣×
+
…
+
．

n
×．
来源学科网
Z,X,X,K]

19
．（< br>14
分）椭圆
C
：
菱形面积为
2
．

+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心 率为，各个顶点围成的
（
1
）求
C
的方程；

（< br>2
）过右顶点
A
的直线
l
交椭圆
C
于
A
，
B
两点．

①若|
AB
|
=
，求
l
的方程；

=3
，求
y
0
．

②点
P
（0
，
y
0
）在线段
AB
的垂直平分线上，且
【 解答】解：（
1
）由题意可知，解得
a=
，
b=1
，
c=
，

∴椭圆
C
的方程为
（
2
）①< br>A
（
．

），

，
0
），设直线< br>l
的方程为
y=k
（
x
﹣
联立方程组，消元得：（< br>1
+
3k
2
）
x
2
﹣
6k
2
x
+
9k
2
﹣
3=0
，

设< br>B
（
x
1
，
y
1
），∵
x=
是此方程的一个解，∴
x
1
=
，

∴|
AB
|
=
∴
k=
±，

•< br>（﹣
x
1
）
=•=
，解得
k
2
=< br>，

∴直线
l
的方程为
y=
±（
x
﹣
②由①知
B
（，
）．

），设
AB
的中点为
D
，则
D
（，
），

∴
k
PD
=
，解得
y
0< br>=
，

∴
=
（，），
=
（，），

∴
=
+
=3
，化简得
9k
4
+
8 k
2
﹣
1=9k
4
+
6k
2
+
1
，解得
k
2
=1
，

∴
k=
±
1
，

∴
y
0
=


20
．（
14分）
f
（
x
）
=ax
2
+
3x
﹣（
a
+
3
）
lnx
（
a
＞﹣）

（
1
）当
a=1
时，求曲线
y=f
（
x
）在
x=1
处的切线方程，

（
2
）讨论
f
（
x
）的单调性，

（
3
）∀
a
∈[
1
，
2
]，∀
x
∈[
1
，
3
]，
f
（
x
）≥< br>ta
2
恒成立，求实数
t
的取值范围．

【解答】解 ：（
1
）
f
（
x
）
=x
2
+3x
﹣
4lnx
的导数为
f′
（
x
）
=x
+
3
﹣，

可得曲线
y=f
（
x）在
x=1
处的切线斜率为
1
+
3
﹣
4=0< br>，切点为（
1
，），

故曲线
y=f
（
x< br>）在
x=1
处的切线方程为
y
﹣
=0
（
x< br>﹣
1
），

即有
y=
；

（
2
）
f
（
x
）
=ax
2
+
3x
﹣（
a
+
3
）
lnx
（
a
＞﹣） 的导数为：

f′
（
x
）
=ax
+
3﹣
=
，

，当
0
＜
x
＜
1< br>时，
f′
（
x
）＜
0
，
f
（
x
）递减；

或
y
0
=
﹣．

当
a=0
时，
f′
（
x
）
=
当
x
＞
1
时，
f′
（
x
）＞
0
，f
（
x
）递增．

当
a
＞
0
时，﹣＜
1
，可得当
0
＜
x
＜
1
时，f′
（
x
）＜
0
，
f
（
x
） 递减；

当
x
＞
1
时，
f′
（
x
）＞
0
，
f
（
x
）递增．

当﹣ ＜
a
＜
0
时，﹣＞
1
，可得当
0
＜
x
＜
1
或
x
＞﹣时，
f′
（
x
）＜
0
，
f
（
x
）

递减；

当
1
＜
x
＜﹣，时，
f′
（
x
） ＞
0
，
f
（
x
）递增．

综上可得，当< br>a
≥
0
时，
f
（
x
）在（
0
，
1
）递减，在（
1
，+∞）递增；

当﹣＜
a
＜
0
时，
f
（
x
）在（
0
，1
），（﹣
增．

（
3
）由题意可知，对任意
a
∈[
1
，
2
]及
x
∈[
1
，< br>3
]时，恒有
f
（
x
）≥
ta
2
恒 成立
等价于

f
（
x
）
min
≥
ta
2
，

由（
2
）可得当
a
≥
0
时，
f
（
x
）在
x
∈[
1
，< br>3
]上递增，
f
（
x
）的最小值为
f
（1
）
=a
+
3
，

任意
a
∈[
1
，
2
]时，
a
+
3
≥
ta
2
恒成立，

∴
t
≤+，
a
∈[
1
，
2
]时恒成立，
+，由
g′
（
a
）
=
﹣﹣
•
＜
0
，

，+∞）递减；在（
1
，﹣）递
令
g（
a
）
=
可得
g
（
a
）在[
1
，
2
]递减，即有
g
（
a
）的最小值为
g
（
2
）
=1
，

则实数
t
的取值范围为
t
≤
1
．