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几何体的外接球(附练习题)

几何体的外接球

一、 球的性质回顾
如右图所示：O为球心，O’为球O的一个小圆的圆心，则此
时OO’垂直于圆O’所在平面。





二、 常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）
的求法
1、三角形：
（1）等边三角形：
等边三角形也即正三角形，其满足
正多 边形的基本特征：五心合一，
即内心、外心、重心、垂心、中心
重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；
外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；
重心：各边中线的交点；
垂心：各边垂线的交点；
B
O
C
A
O
O'

中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的
性质进行求解：
r
233
aa
323
（其中a为等边三角形的边长）
（2）直角三角形：
结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一 半；可知：直角三角形的外接圆
圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该
处不做重点说明 。
（3）等腰三角形：
结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三
角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
A
r
r
B
O
D
1

由图可得：
r

C
设：AD=h，BD=a
2
a
(hr)
2
()
2
2





思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置
的区别。

（4）非特殊三角形：
考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形
在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形
常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等
腰梯形，其中正方形与长 方形半径求解方法类
似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围
内，不用掌握。


外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各
个顶点距离相同的点；外接球球心则是 空间中到
几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有
许多相似之处
以三角形为例，过三角 形的外接圆圆心作三角形
所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任
意一点到该三角形三个 顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于
体心位置，其与正方体 任一表面正方形的中心连
线均垂直于该正方形。

从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直
于底面，也即球心落在过底面外 心的垂线上，简单称之为：球心落在
底面外心的正上方。


三、 常见几何体的外接球半径的求法
1、 直（正）棱柱
以三棱柱为例
例：在正三棱 柱
ABCABC
中，三角形ABC是边
111
长为2的正三角形，
AA
的外接球半径.
1
3
，求该三棱柱
A
1
O
R
A
C
1
B
1
分析：如右图，由正三角形的边长可 知
底面的外接圆半径r，要求R，只需确
定OO’的长度，结合正棱柱也是直棱
Cr
O'
B
柱的特征可知，上下两底面三角形的外心连线与
侧棱平行与底面 垂直，从而球心O必位于上下
AA
，从而R两底面外心连线的中点处，即
OO'1
2
1
可求.
由题可得：
r
2
3
3
,OO
1

3
2
,
2
在直角三角形< br>AOO'
中，
Rr
2
OO'
2

从而
R
129
6

2、 棱锥
常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接
球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥
的外接球。
（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的
三棱锥
该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明
如下。
例：在三棱锥P-ABC中， 三角形ABC是边长为
2的正三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，求该三
棱锥的外接球半径 .
分析：如右图
法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC切
割而产生，故该三 棱锥的外接球可转化为原三棱
柱的外接球；
法二：先确定底面三角形ABC的外心
O’，从而球心位于O’的正上方，即
OO’ ⊥平面ABC，同时：OP=OA，
故，过O作OM⊥PA于M，此时M
必为PA中点，从而四 边形OMAO’
A
M
R
r
O'
P
O
CB

3
为矩形，所以
OO'AM
1
在直角三角形OO’A
PA
，
22
中有：
R





2
r
2
OO'
2
.
计算过程略.
（2）正棱锥
以正三棱锥为例
P
R
A
r
O
O'
B
C

在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底
面，即
PO'面ABC
，故球心O落在 直线PO’上.
例：在正三棱锥P-ABC中，三
角形ABC是边长为2的正三角
形 ，PA=3，球该三棱锥的外接
R
A
r
P
R
O
O'
B
C
设PO'=H

球半径.
分析：如图
由底面正三角形边长可得r，在直角三角形
OO’A中，
R
2
r< br>2
OO'
2
，故只需确定OO’的长度即
可，结合图形，OO’=P O’-OP=H-R，带入上式
中即可求解.
由题可知：
r
2
3
3
,H
所以
R
2
PA
2
O'A
2

69
3

r
2
(HR)
2

69
解得：
R
9
46



（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底
面）的三棱锥
该类问题的求解难点在 于球心位置的寻找，确定
球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的
垂线，球心位于两垂线的 交点处。
例：在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三
角形ABC和三角形PAB均 为等边三角形，且
AB=3，求该几何体外接球半
径.
分析：设△ABC和△PAB 的
O''
A
M
B
P
O
R
r
O'< br>C

球心分别为O’,O’’，取AB中点M，球心设为O，
则OO’ ⊥平面ABC，OO’’ ⊥平面PAB，从而
四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，
在三角形OO’ C中结合沟通定理即可求解.
由题可得：
OO'O''M
13
3
PM
2
,r
3
3
AB3

所以
R r
2
OO'
2

15
2

练习题组一
1．某几何体的三视图如图，若该几 何体的所有
顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为
（ ）

A．4π B．π C．π D．20π
2．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面
上，已知PA 、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，
当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的< /p>

距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
3．体积为的 球有一个内接正三棱锥P﹣
ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥
P﹣ABC 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．四面体ABCD的四个顶点都在某个球O的 表
面上，△BCD是边长为3的等边三角形，当A
在球O表面上运动时，四面体ABCD所能达 到
的最大体积为，则四面体OBCD的体积为
（ ）
A． B． C．9 D．
5．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，
AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2 ，AD=3，
则该球的表面积为（ ）
A．7π B．14π C． D．
6． 已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，
AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，< br>则球O的表面积为（ ）
A．36π B．16π C．12π D．π
7．已知 直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的各顶点都在球
O 的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的

体积为
（ ）
，则这个直三棱柱的体积等于
A． B． C．2 D．
8．已知正三棱锥P﹣AB C，点P，A，B，C都
在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相
垂直，则球心到截面 ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都 在球O的
球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为
球O的直径，该三棱锥的体积为，则 球O的
表面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
10．四 棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，
PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则PA=（ ）
A．3 B． C．2 D．

练习题组二
1 ．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都
为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P
﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，
AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的
球面上，则球O的表面积为（ ）
A．8π B．12π C．20π D．24π
2．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在 同一球
面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，
PA=2AB=2，则该球的表面 积为（ ）
A．8π B．16π C．32π D．36π
3．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、

D都在球O的表 面上，AC⊥平面BCD，BC⊥
CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面
积为（ ）

A．12π B．7π C．9π D．8π
4．已知A，B，C三点都在以 O为球心的球面
上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC
的体积为，则球O的表面积 为（ ）
A． B．16π C． D．32π
5．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在 球O的球
面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面
ABCD，△PAD为正三角形，AB =2AD=4，则球
O的表面积为（ ）
A． B． C．24π D．
6．已 知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，
AB⊥BC，PA=AC=2，且该三棱锥所有顶点都在< br>球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．4π B．8π C．16π D．20π < br>7．点A，B，C，D在同一个球的球面上，
AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABC D体积

的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
8．三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，且
AB⊥BC，AB=BC=AA
1
=2，若 该三棱柱的所有
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．48π B．32π C．12π D．8π
9．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，
则当三棱锥 P﹣ABC的三个侧面的面积和最大
时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
10．如图1，ABCD是边长为2的正方形 ，点E，
F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，
△FDA分别沿AE，EF，F A折起，使B，C，D
三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在
同一个球面上，则该球 的表面积是（ ）
A．

B．6π C． D．12π
11．如图某 空间几何体的正视图和俯视图分别为
边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体
的外接球的 表面积为（ ）

A． B． C．16π D．21π 的正方形，底面中心为O，以PO
12．已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱都相等，底
面是 边长为
（ ）
A． B．

为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为
C． D．

一、1．B；2．B；3．C；4．C；5．B；6．B；
7．B；8．A；9．A；10．B ；

二、1．C；2．B；3．A；4．B；5．B；6．B；
7．D；8．C；9．D；


．B；11．B；12．C； 10