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所谓开放型试题是指凡是答案不唯一或者条件不确定或者具有多种不同的解法的试题，称之为开放 型
试题。1. 条件开放型2. 策略开放型3. 结论开放型4. 综合开放型
它的解答有以下几个特点:（1） 解答的多样性（2）解答的完备性（3）解答的深刻性
数学的灵魂在于思维:广泛性、深刻性、批判性、完备性。开放性问题能体现这些思维品质。

[2007福建理]中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合
A
中元素之间的一个关系“

”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意
aA
，都有
aa
；
（2）对 称性：对于
a，bA
，若
ab
，则有
ba
；
（3）传递性：对于
a，b，cA
，若
ab
，
bc
，则有
ac
．
则称“

”是集合
A
的一个等价 关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”
不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出 三个等价关系：______．

[1998全国高考]如图，在直四棱柱A
1B
1
C
1
D
1
-ABCD中，当底面四边
形A BCD满足条件________时，有A
1
C⊥B
1
D
1
（只填一种正确条件即
可）
该题的难度不大，分值又小，开放度也很低。虽然在当年被作为< br>一个高考新题型的信号引起一定的关注，但由于在接下来的几年内并
没有类似高考题出现，因此， 其对中学的影响也不是很大。这个时期
的高考每年都要尝试一些新题型，显然，出现这道开放题也只是一 种偶然现象，并不是在高
考中倡导数学开放题的自觉行为。
值得一提的是，在这个时期的后期 ，在高考、中考试卷中大量出现的结论不明显的所谓
“探索性问题”、“猜想－证明类问题”，被很多中 学教师称作“开放题”进行研究。这种对
“数学开放题”概念泛化的现象，一方面对倡导数学教育的开放 化作出了一定的贡献，在当
时壮大了数学开放题的研究队伍，为数学开放题进入考试也作了一些铺垫和准 备；另一方面，
也在一定程度上阻碍了数学开放题进入考试的进一步发展。
如果我们把审视这 一时期的镜头从“数学考试”拉到“数学教育”的全镜头，我们可以
看到，我国对数学开放题的研究也在 这个时期逐渐兴起，特别是90年代中叶，“数学开放题：
数学教学的新模式”被列为全国九五重点课题 后，由课题组发起，于1998年11月在上海金
汇学校召开了全国第一届“数学开放题及其教学”学术 研讨会，数学开放题逐步成为一个数
学教育的研究热点，并一直保持到现在。
我们可以把20 世纪末的这个时期，特别是最后10年，称为我国数学开放题进入考试的
萌芽期。
【例8】（ 2002年全国高考试题）（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），
要求用其中一块剪拼 成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积
都与原三角形的面积相等，请设计 一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简
要说明；
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给 出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全
面积与给出的三角形的面 积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说

明。
这是一 道在高考难得一见的开放题，教育部考试中心对该题作出了很高的评价，认为该
题“别开生面，要求考生 自行设计，将正三角形纸片剪拼成正三棱锥、正三棱柱模型，通过
动手剪接的实际操作，要求考生把握数 学规律的内存本质，自己动手解决实际问题，这种题
型有较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动 探究精神，显现出研究性学习的特点，
对于培养考生的初中能力和创新意识有重要的意义”。
同时，这也是一道引起争议最多的一道高考题，据不完全统计，至少有24篇文章对该
题发表各种评论， 主要是对提出了参考答案提出了批评。而事实上，除了极少部分的文章以
外，大多数文章并没有对本题作 出较为详尽的论述。
命题组提供的参考答案如下：
解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三 个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边
长的
1
4
［
2
］
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出
的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
（II）依上面剪拼方法，有
V
柱
V
锥
．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1 的正
三角形，其面积为
2
3
3
4
．现在计算它们的高： < br>3
2
h
锥
1(
2
)
1
3
6
3
4
，
h
柱

3
(< br>3
6
1
2

tg30
6
9
)
3
4
3
6

．
322
24
0

V
柱
V
锥
(h
柱
－h
锥
)
所以
V
柱
V
锥
．
（III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的 中点
为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边
作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成
为一个缺上底 的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
文[3]对本题的解法作了比较详尽的研究。文[4]对本题的问题 背景作了比较深入的研究，
指出了它与“波尔约－盖尔文定理”，以及希尔伯特的23个问题中的第3个 问题的关系，同
时对这道高考试题的处理作出了中肯的评议。高考数学试题能和世界数学史上的著名问题 相
联系，这也是我国考试园地的一道别样风景。
我们认为：首先，这是一道非常精彩的开放性 试题，在高考中出现更是难得，教育部考
试中心在试卷评价报告中不惜用140个字对该题作出的高度评 价并不为过；其次，命题组在
对本题的处理上，开放题意识不强也是显见的，无论在试题的设问方式上， 还是在参考答案
的给出、评分标准的制定上，都没有把该题按开放题处理，一方面没有很好地发挥该题应 有
的功能，另一方面也使参考答案出