徐志摩情诗-见习报告

综合仿真练(九)
1．设全集
U
＝{
x
|
x
≥3，
x
∈N}，集合
A
＝{
x
|
x< br>≥10，
x
∈N}，则∁
U
A
＝________.
解析：∵全集
U
＝{
x
|
x
≥3，
x
∈ N}，
A
＝{
x
|
x
≥10，
x
∈N}＝ {
x
|
x
≥10，
x
∈N}，∴∁
U
A< br>＝{
x
|3≤
x
≤10，
x
∈N}＝{3}．
答案：{3}
2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了
n
名学生的课外 阅读时间，所得数据都在
[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的 频数为100，则
n
的值为
________．
2
2

解析：由图可知，在[50,75)上的频率为0.1，所以
n
＝
答案：1 000
2＋i
3．若复数
z
满足
z
＋i＝，其中i为虚数 单位，则|
z
|＝________.
i
2＋i2＋i
2
解析：由
z
＋i＝，得
z
＝－i＝－2i＋1－i＝1－3i，则|
z
|＝1＋－3
ii
10.
答案：10
4．在如图所示的算法流 程图中，若输出的
y
的值为26，则输入的
x
的值为________．
2
100
＝1 000.
0.1
＝

解析：由图 可知
x
－2
x
＋2＝26，解得
x
＝－4或
x＝6，又
x
<4，所以
x
＝－4.
答案：－4
5． 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的
概率为__ ______．
2

解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取 2个数，基本事件总数
n
＝15，所取2
个数的和能被3整除包含的基本事件有：(1 ,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共有5个，
51
所以所取2个数 的和能被3整除的概率
P
＝＝.
153
1
答案：
36．已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＝9，
S
5
＝25，则
S
7
＝________.
解析：设
S
n
＝
An
＋
Bn
，


S
3
＝9
A
＋3
B
＝9，
由 题知，


S
5
＝25
A
＋5
B
＝25，

2

解得
A
＝1，
B
＝0，
∴
S
7
＝49.
答案：49
7.如图，正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，
A B
＝4，
AA
1
＝6.若
E
，
F
分别是棱
BB
1
，
CC
1
上的点，则三棱锥
A
­< br>A
1
EF
的体积是________．







解析：因为在正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
∥BB
1
，
AA
1
⊂平面
AA
1
C1
C
，
BB
1
⊄平面
AA
1
C
1
C
，所以
BB
1
∥平面
AA
1
C1
C
，从而点
E
到平面
AA
1
C
1< br>C
的距离
就是点
B
到平面
AA
1
C
1
C
的距离，作
BH
⊥
AC
，垂足为点
H
，由于△
ABC
是
正三角形且边长为4，所以
BH
＝23，从而三棱 锥
A
­
A
1
EF
的体积
VA
­
A
1
EF
111
＝
VE
­
A
1
AF
＝
S
△
A
1
AF
·
BH
＝××6 ×4×23＝83.
332
答案：83
8．(2020·兴化中学模拟)已知椭圆 和双曲线有共同的焦点
F
1
，
F
2
，
P
是 它们的一个交点，
2π31
且∠
F
1
PF
2
＝，记 椭圆和双曲线的离心率分别为
e
1
，
e
2
，则
2< br>＋
2
等于________．
3
e
1
e
2
解析：如图所示，设椭圆的长半轴长为
a
1
，双曲线的实半轴长
为< br>a
2
，则根据椭圆及双曲线的定义：
PF
1
＋
PF< br>2
＝2
a
1
，
PF
1
－
PF
2
＝2
a
2
，
2π
∴
PF
1
＝
a
1
＋
a
2
，
PF
2
＝
a
1
－
a
2
，设
F
1
F
2
＝2
c
，∠
F
1
PF
2
＝，则在△
PF
1
F
2
3

2π
22222
中，由余 弦定理得4
c
＝(
a
1
＋
a
2
)＋(a
1
－
a
2
)－2(
a
1
＋
a
2
)(
a
1
－
a
2
)cos ，化简得 3
a
1
＋
a
2
＝
3
31
2
4
c
，该式可变成
2
＋
2
＝4.
e
1
e
2
答案：4
9．如果函数
y
＝3 sin(2
x
＋
φ
)的图象关于点

________．
5π
解析：由题意可知当
x
＝时，
y
＝0，
6< br>即有sin


5π
，0

中心对称，则|
φ
|的最小值为


6


5π
＋
φ

＝0，


3

5π
解得
φ
＝
k
π－，
k
∈Z，
3
π
化简得< br>φ
＝(
k
－2)π＋，
k
∈Z，
3
π
所以|
φ
|的最小值为.
3
π
答案：
3
10．(2020·江苏模拟)在直角三角形
ABC
中，tan
A
＝2，
D
为斜边
AB
延长线上靠近
B
―→―→< br>的一点，若△
CBD
的面积为1，则
CA
·
CD
＝_ _______.




解析：如图，过
C
作
CE
⊥
AB
，垂足为
E
，
1
∴
S
△
CBD
＝
CE
·
BD
＝1，
2
∴
CE
·
BD
＝2.
―→―→
∵CA
⊥
CB
，∴
CA
·
CB
＝0，
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
∴
CA
·
CD
＝
CA
·(
CB
＋
BD
)＝
CA
·
CB
＋
CA
·
BD
＝
CA
·
BD
＝|
CA
―→
|·|
BD
|cos(π－
A
)
AE
―→―→
＝－|
CA
|·|
BD
|cos
A
＝－
CA
·
BD
·
CA

＝－
BD
·
AE
＝－
BD
·
1
＝－×2 ＝－1.
2
答案：－1
1
＝－
BD
·
CE

tan
A
2
CE
11．已知正实数
a
，
b
满足9
a
＋
b
＝1，则的最大值为________．
3
a
＋
b< br>22
abab
2·3
ab
9
a
＋
b
2
解析：法一： ≤＝≤＝，当且仅当3
a
＝
b
时等号成立，
3
a
＋
b
23
ab
12
6262
22< br>ab
又因为9
a
＋
b
＝1，
a
>0，
b
>0，所以当
a
＝

3
a
＝cos
θ
，

法二：令



b
＝sin θ
，
22
22
ab
2
，
b
＝时，取得 最大值为.
623
a
＋
b
12

θ
∈< br>
0，

，则
2


π


ab
1sin
θ
cos
θ
＝·.令
t
＝cos
θ
3
a
＋
b
3cos
θ
＋sin θ
π

π

π

π3π

π

＋sin
θ
＝2sin

θ
＋

.因为
θ
∈

0，

，所以
θ
＋∈

，

，则sin

θ
＋

∈
4

2

4

4

4

4

ab
1

2

所以
t
∈(1，2]．所以＝·

，1

，
3
a
＋
b
3

2

cos
θ
＋sin θ
－1
2
2
1
t
－11

1

＝·＝

t
－

.
cos
θ
＋sin
θ
6
t
6

t
< br>2
1
ab
2
因为
y
＝
t
－在
t
∈(1，2 ]上单调递增，所以当
t
＝2时，取得最大值为.
t
3
a
＋
b
12
答案：
2

12
1 001
*
12．已知数列{
a
n
}的首项
a
1
＝1，前
n
项和为
S
n
，且满足2< br>a
n
＋1
＋
S
n
＝2(
n
∈N)， 则满足
1 000
<
S
2
n
11
<的
n< br>的最大值为________．
S
n
10
解析：由2
an
＋1
＋
S
n
＝2，①
可得当
n
≥ 2时，2
a
n
＋
S
n
－1
＝2.②
①－ ②得2
a
n
＋1
－2
a
n
＋
a
n
＝0，所以2
a
n
＋1
＝
a
n
.
1
a
n
＋1
1
因为
a
2
＝，所以
a
n
≠0，所以＝(
n
≥2)．
2
a
n
2
a
2
1
a
n
＋1
11
又因为＝，所以 ＝，所以数列{
a
n
}是以1为首项，为公比等比数列，所以
S
n< br>＝
a
1
2
a
n
22

1

n

1×

1－


2


1

n

1

2
n

＝2×

1－

，所以
S
2
n
＝2×

1－

，
1

2< br>
2

1－
2


1

2
n

1

2
n
2×
< br>1－

1－

S
2
n
1 001S
2
n
11

2

2


1

n
从而＝＝＝1＋

.由不等式<<，
S
n
1

n

1

n
1 000
S
n
10

2


2×

1－

1－


2

2

得
1 0011

1

n
1

1

n
11
<1＋

<，所以<
< br><，
1 0001 000

2

10

2

10
解得4≤
n
≤9，所以满足条件的
n
的最 大值为9.
答案：9
23
22
13．(2020·海安中学模拟)已知< br>a
>0，
b
>0，且＋＝1，则
P
＝
a
＋< br>b
＋
a
＋
b
的最小值
ab
为_______ _．
xy
23
解析：如图，考虑直线
l
：＋＝1，因为＋＝1，不 难发现，直线
abab
l
过点
P
(2,3)，构造圆
C：(
x
－
r
)
2
＋(
y
－
r
)
2
＝
r
2
，与直线
l
切于点
T
，显
然圆
C
与
x
轴、
y
轴分别切于点M
(
r,
0)，
N
(0，
r
)．易得
A
(
a,
0)，
B
(0，
b
)，|
AB< br>|＝
a
2
＋
b
2
，
所以
P
＝
a
＋
b
＋
a
＋
b
＝|
OA< br>|＋|
OB
|＋|
AB
|＝|
OA
|＋|
O B
|＋|
TA
|＋|
TB
|＝|
OA
|＋|
OB
|
＋|
AM
|＋|
BN
|＝|
OM
|＋|
ON
|＝2
r
.
由于点
P
(2,3)在圆 外，故有(2－
r
)＋(3－
r
)≥
r
，
整理得
r
－10
r
＋13≥0，解得
r
≥5＋23(
r< br>≤5－23舍去)．
故
P
＝
a
＋
b
＋a
＋
b
的最小值为10＋43.
答案：10＋43
14．已 知函数
f
(
x
)＝e－
ax
－1，
g
(< br>x
)＝ln
x
－
ax
＋
a
，若存在
x
0
∈(1,2)，使得
x
22
2
222
22< br>f
(
x
0
)
g
(
x
0
)< 0，则实数
a
的取值范围为________．
解析：若存在
x
0
∈(1,2)，使得
f
(
x
0
)
g
(x
0
)<0，
即[e
x
0
－(
ax
0
＋1)][ln
x
0
－
a
(
x
0
－1)]<0.
在同一直角坐标系下作出函数
y
＝e，
y
＝
ax
＋1，< br>y
＝ln
x
，
y
＝
a
(
x
－1)的图象(图略)．
当
a
<0时，
f
(
x
0
)>0，
g
(
x
0
)>0恒成立，不满足题意；
当
a
＝1，
x
>1时，e>
x
＋1，ln
x
<
x
－1恒成立，满足题意；
当
a
>1，
x
>1时，ln
x
－
a(
x
－1)<
x
－1－
a
(
x
－1) ＝(1－
a
)(
x
－1)<0，此时只需存在
x
1
e－1e－1
∈(1,2)，使得e
x
1
>
ax
1
＋1，则e>2
a
＋1，解得
a
<，所以1<
a
<； 22
2
22
x
x
当0<
a
<1，
x< br>>1时，e－(
ax
＋1)>
x
＋1－(
ax
＋1) ＝(1－
a
)
x
>0，此时只需存在
x
2
∈(1, 2)，
使得ln
x
2
<
a
(
x
2
－1)，则ln 2<
a
(2－1)，解得
a
>ln 2，所以ln 2<
a
<1.
e－1

综上所述，实数
a
的取值范围为

ln 2，
.
2


2
x

e－1
答案：

ln 2，


2


2