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立体几何中有关体积的求法
一、常见图形的面积求解方法。





二、空间中常见几何体的体积公式。




三、空间中常见求体积问题变换方法。
等价转换法：当所给几何体的体积不能直接 套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，
可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
，P
分别是棱
A
1
B
1
1.在边长为
a
的正方体
ABCDA，A
1
D，A
1
A
上的点，且满足
1
B
1
C
1
D
1
中，
M，N
1
A
1
M
< br>1
3
A
1
B
1
，
A
1
N 2ND
1
，
A
1
PA
1
A
（如图1）， 试求三棱锥
A
1
MNP
的体积．
2
4





2.（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱 < br>ADAB
,
AB2
,
AD2
,
AA
1
3
,
E
为
CD
上一点,
DE1
,ABCDA
1
BC
11
D
1
中,
ABCD< br>,
EC3
.求三棱锥
B
1
EAC
11
的 体积．

割补法：割补法也是体积计算中的 一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体
积之比时经常要用到分割法． < br>3.如图2，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
E，F
分别为
AB，AC
的中点，平面
EB
1
C
1
F
将三棱柱分成两部分，
求这两部分的体积之比










4 .如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知
AB4,BC3,AE5,BF8,CG12
，求几何体
G
ABCDEFGH
的体积。










5.如图，直四棱柱ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是菱形，

H
F
E
D
C
A
B
E
、
F
分别是侧棱
AA
ABC 60
0
，其侧面展开图是边长为
8
的正方形。
CC
1
上的动点，
AECF8
．
1
、
问多面体
AEBC FB
1
的体积
V
是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求
V的取值范围．

真题演练：

【2014全国2，文7】正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长为
2
，侧棱长为
3
，
D
为
B C
中点，求三棱锥
AB
1
DC
1
的体积
A< br>1
B
1
C
1
A
D
B
C



1．【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角 三角形,PA=6,顶
点P在平面ABC内的正投影为点,D在平面ABP内的正投影为点E,连接PE 并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作 出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF
的体积．
P
A
G
E
D
B

C

2. 【2014高考北京文第17题】（ 本小题满分14分）如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直于底面，
ABBC
，
AA
1
AC2，
E
、
F
分别为
AC
11
、
BC的中点.
（1）求证：平面
ABE
平面
B
1
BCC
1
；（2）求证：
C
1
F
平面
ABE
；
（3）求三棱锥
EABC
的体积.









A
1
E
B
1
C
1
A
B
F
C
3. 【2015高考北京，文18 】（本小题满分14分）如图，在三棱锥
VC
中，平面
V
平面< br>C
，
V
为等边三角形，
CC
且
 CC2
，

，

分别为

，
V
的中点．
（I）求证：
V
平面
C
；（II）求证： 平面
C
平面
V
；（III）求三棱锥
VC
的体积．

4. 【2014高考广东卷.文.18】(本小题满分13分)如图2,四边形
ABCD
为矩形,
PD
平面
ABCD
,
AB1
,
BCPC2
,作如图3折叠,折痕
EFDC
.其中点
E.
F
分别在线段
PD
.
PC
上,沿
EF
折叠后点
P
在线
段
AD
上的点记为
M
,并且MFCF
.(1)证明：
CF
平面
MDF
；
(2) 求三棱锥
MCDE
的体积.






AB
A
M
B
D
C
E
D
F
图3
C
P
图2
P




ABADAC3
，
PA
平面
ABCD
，5. [2 016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥
PABC
中，
AD

BC
，
PABC4
，
M
为线段
AD
上一点，
AM2MD
，
N
为
PC
的中点．


（I）证明
MN

平面
PAB
；
（II）求四面体
NBCM
的体积.

6. 【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形
ABCD
中，
ADBC,BAD

2
,ABBC
1
ADa
，
2
E
是
AD
的中点，
O
是OC
与
BE
的交点，将
ABE
沿
BE
折起到 图2中
A
1
BE
的位置，得到四棱锥
；
A
1< br>BCDE
.(I)证明：
CD
平面
AOC
1
BC DE
时，四棱锥
A
1
BCDE
的体积为
362
， 求
a
的值. (II)当平面
A
1
BE
平面







7. 【2015高考新课标1，文 18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
BE平面ABCD< br>，

（I）证明：平面
AEC
平面
BED
；
（II）若
ABC120
，
AEEC,
三棱锥
EACD
的体积为



6
，求该三棱锥的侧面积.
3

8.【2014福建,文19】（（本小题满分12分）
如图，三棱锥
ABCD< br>中，
AB
平面
BCD,CDBD
.
（1）求证：
CD
平面
ABD
；
（2）若
AB BDCD1
，
M
为
AD
中点，求三棱锥
AMBC< br>的体积.





9.【2014辽宁文19】（本小题满分12分）
0
如图，
ABC和
BCD
所在平面互相垂直，且
ABBCBD2
，
A BCDBC120
，E、F、G
分别为AC、DC、AD的中点.
（Ⅰ）求证：
EF
平面BCG；
A
E
（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.









D
G
B
F
C

补充练习
1、如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
=2AC=2BC，D是AA
1
的中点，CD⊥B
1
D．
（1）证明：CD⊥B
1
C
1
；
（2）平面CDB
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

2．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=
∠BAD =120°，E，G分别是BC，PC的中点．求三棱锥P﹣GED的体积．
，AB=1，AD=2，

3.在棱长为2的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为DD
1
、 DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC
1
D
1
；
（2）求证：EF⊥B
1
C；
（3）求三棱锥
V
B
1
EFC
的体积．
4.在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面A BCD，E为PD的中点，
PA=2AB=2．求三棱锥P﹣ACE的体积V．