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- 2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

（2010上海文数）6.已知四棱椎
PABCD
的底面是边长为6 的正方形，侧 棱
PA
底面
ABCD
，且
PA8
，则该四棱椎的体积是 96 。
解析：考查棱锥体积公式
V

（2010湖南文 数）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm
2
的几何体的三视图，则
h = 4 cm
1
36896

3

（2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
__ _________
cm
.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中
所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示
的空间几何体的识别以及几何 体体积的计算，属容易题





（2010辽宁文数）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，
在其上用粗线画
出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的
长为 . 3

解析：填
23
画出直观图：图中四棱锥
PABCD< br>即是，
所以最长的一条棱的长为
PB23.




（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，
在其上用粗线 画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的
一条棱的长为______.
【答案】
23

【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最
值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能
力。


【 解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的
正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥 ，所以最长棱
长为
2
2
2
2
2
2
2 3





（2010江西理数）16.如图，在三棱锥
OABC
中，三条棱
OA
，
OB
，
B
A
C
P
D

OC
两两垂直，且
OA
>
OB
>
OC
,分别经过三条棱
OA
，
OB
，OC
作
一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为
S
1
，S
2
，
S
3
，则
S
1
，
S< br>2
，
S
3
的大小关系为 。
【答案】
S
3
S
2
S
1

【解析】考查立体图 形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结
论，特殊化，令边长为1，2，3得< br>S
3
S
2
S
1
。
（2010北京文数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是
yf(x)
，则
f(x)
的最小正周期为 ；
yf(x)
在其两个相邻零点间的图像与x轴
所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和
沿x轴负方向滚动。沿x轴正方 向滚动是指以顶点A为
中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继 续，

类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
答案：4

1


（2010北京理数）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC
沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的轨迹方程是
yf(x)
，则
f(x)
的最小
正周期为 ；
yf(x)
在其两个相邻零点间的图
像与x轴所围区域的面积为
说明：“正方形PABC沿

轴滚动”包括沿

轴正方向和沿

轴负方向滚动。沿

轴正方向
滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转， 当顶点B落在

轴上时，再以顶点B为中心顺
时针旋转，如此继续。类似地，正方形P ABC可以沿

轴负方向滚动。
答案：4

（2010四川 理数）（15）如图，二面角

l

的大小是60°，线段
AB 

.
Bl
，

1



A

AB
与
l
所成的角为30°.则
AB
与平面

所成的角的正弦值是 .
解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角

l

的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为
AB
与平面

所成的角
设AD＝2，则AC＝
3
，CD＝1
AB＝

B


B

A
C
D

AD
＝4
sin30
0
AC3


AB4
∴sin∠ABC＝
答案：
3

4

（2010天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的

计算，属于容易题。
由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合
三个 试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为
1
（1+2）21 =3

2
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底 面的形状，本
题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。

（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所
示，则这个几何体的体积为

【答案】
10

3
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体
积的计算，属于容易题。 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2
的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正 四棱锥
组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥
的体积为
41
1
3
4410
，所以该几何体的体积V=2+ =
333
1
哦。
3
【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形 状，结合正视图与侧视图便可得到几何体
的形状，求锥体体积时不要丢掉

（2010 四川文数）（15）如图，二面角

l

的大小是60°，线段
AB

.
Bl
，


A

AB
与
l
所成的角为30°.则
AB
与平面

所成 的角的正弦值是 .
解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角

l

的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为
AB
与平面

所成的角
设AD＝2，则AC＝
3
，CD＝1

AB＝

B


B

A
C
D

AD
＝4
0
sin30

∴sin∠ABC＝
AC3


AB4
答案：
3

4

（2010湖北文数）14 .圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的
珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水 恰好淹没最上面的球（如图所示），
则球的半径是____cm.
【答案】4
4< br>【解析】设球半径为r，则由
3V
球
V
水
V
柱< br>可得
3


r
3


r
2
8

r
2
6r
,
3
解得r=4.

（2010湖南理数）13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20
cm
的几何体的三视图，
则
h

cm
．
3



（2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相
同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如

图所示），则球的半径是 cm。
13.【答案】4
4
【解析】设球半径为r，则由
3V
球
V
水
V
柱
可得
3


r
3


r
2
8

r
2
6r
,解得r=4.
3
（2010福建理数）
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．

【答案】
6+23

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
23
423
，侧面积为
3216
，所以其表面积为
6+ 23
。
4
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间 想象能力等基本
能力。