心理咨询师考试成绩-贫嘴

2016年安徽省“江南十校”高三联考
数学试题（理科）
注意事项： < br>1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓
名 、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. [来源
第I卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合
题目要求的.
（1）已知集合
Ax2x5x30
，
B
2


xZx2

，则
A B
中的元素个数为
(C)
4
(D)
5
(A)
2
(B)
3

（2）若复数
z
满足
（z1i）1ii
，则
z的实部为
(A)
21

2
(B)
21
(C)
1
(D)
1
a
为奇函数”的
x
21

2
（3）“
a=0
”是“函数
f(x)sinx
(A)充分不必要条件
(C)充要条件
(B)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
x
2
y
2
1
的一条渐近 线，
P
是
l
上的一点，
F
1
,F
2
是
C
的两个焦（4）已知
l
是双曲线
C:
24
 
点，若
PF
，则
P
到
x
轴的距离 为
1
PF
2
0
23
(A) (B)
2

3

26
(C)
2
(D)
3
（5）在平面直角坐标系
xOy
中，满足
x
2
y
2
1,x0,y0
的点
P(x,y)
的集合对应 的平面
图形的面积为

；类似的，在空间直角坐标系
Oxyz
中， 满足
x
2
y
2
z
2
1
，
4
(B)
x0,y0,z0
的点
P(x,y,z)
的 集合对应的空间几何体的体积为
(A)


8



6
(C)


4
(D)


3
（6）在数列
{a
n
}
中，
a
n1
a
n
2
，
S
n
为
{a
n
}
的前
n
项和.若
S
10
50
，则数列
{a
n
a
n1
}

的前
10
项和为
(A)
100


(B)
110

数学答案（理科）•第 1 页 共 10 页

(C)
120
(D)
130


（7）设
D
是
 ABC
所在平面内一点，
AB2DC
，则

1

(A)
BDACAB

2

1

(B)
BDACAB< br>
2

3

(C)
BDAC AB

2

3

(D)
BDACAB

2
（8）执行如图所示的程序框图，如果
输入的
t50
，则输出的
n

(A)
5

(B)
6

(D)
8

（9）已知函数
f(x)sin(

x

)(

0,



(C)
7


开始
输入
t
S0,a2,n0
SSa
a2a1,nn1
是
St
否
输出
n

2
)
的最小正周期 为
4

，且对
xR
，有
结束
f(x)f()
成立，则
f(x)
的一个对称中心坐标是
32

5

2


(A)
(
(B)
(,0)
(C)
(,0)
(D)
(,0)

,0)

33
33


3xy0,

（10）若
x,y
满 足约束条件

xy40,
则
zyx
的取值范围为

1

yx
2
,
2

1

(A)

2,2

(B)

,2

(C)

1,2



2

(D)



1

,1



2

（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体 的表面
积为
(A)
4

1643

(B)
5

1643

(C)
4

1623

(D)
5

1623







（12）已知函数
f(x)alnx

3
3
1

正视图
1
2

侧视图
1

1
2
xbx
存在极小值，且对于
b
的所有可能取值，
f(x)
的
2
1

数学答案（理科）•第 2 页 共 10 页
4

俯视图

极小值恒大于
0
，则
a
的最小值为
(A)
e

3
(B)
e

2
(C)
e
(D)


1
e
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分 ，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答，第22题～第24题为选考题，考生根据要 求做答.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）
2016
年
1
月
1
日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于 生育
二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，
30
岁 以下的
约
2400
人，
30
岁至
40
岁的约
3600
人，
40
岁以上的约
6000
人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容
量为
N
的样本进行调查，已知从
30
岁至
40
岁的女性中抽取的人数为
60
人，则
N
.
（14）(2xy)
5
的展开式中，
x
2
y
3
的系数 为 .
x
2
y
2
（15）椭圆< br>C:
2

2
1(ab0)
的右顶点为
A
，经过原点的直线
l
交椭圆
C
于
P、Q
两
ab
点，若
PQ=a
，
APPQ
，则椭圆
C
的离心率 为 .
（16）已知
S
n
为数列
{ a
n
}
的前
n
项和，
a
1
=1
，
2S
n
=(n1)a
n
，若存在唯一的正整数
n
使得
不等式
a
n
2
ta
n
2t
20
成立，则实数
t
的取值范围为 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
如图，平面四边形
ABCD
中，
A B

5
，
AD22
，

D

C

（Ⅰ）
ADB
；
（Ⅱ）
ADC
的面积
S
.



(18)(本小题满分12分)
EFBD
为等腰梯如图，多面体
ABCDE F
中，四边形
ABCD
是边长为2的正方形，四边形
B

A

1
形，
EFBD
，
EFBD
，平面
EFBD
平面
ABCD
.
CD3
，
CBD30
，
BCD120
，求
2
（Ⅰ）证明：
DE

平面
ACF
;
（Ⅱ ）若梯形
EFBD
的面积为
3
，求二面角
ABFD
的余 弦值.

E






D




A


(19)(本小题满分12分)

数学答案（理科）•第 3 页 共 10 页
F

C

B

第31届夏季奥 林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五
届奥运会中国代表团 和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
第26届亚特兰

第30届伦敦 第29届北京 第28届雅典 第27届悉尼
大
中国
俄罗斯
38
24
51
23
32
27
28
32
16
26
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥 运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶
图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度 （不要求计算出具体数值，给出结论即
可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄 罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设
两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须 在两个代表团中选一个，已知甲、
43
，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结 果
55
互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为
X
，求
X
的分布列及数
学期望
EX
.
乙猜中国代表团的概率都为
中国
1
2
3
4
5


(20)(本小题满分12分)
已知抛物线
C: y
2
2px
经过点
M(2,2)
，
C
在点
M
处的切线交
x
轴于点
N
，直线
l
1
经 过点
N
且垂直于
x
轴.
（Ⅰ）求线段
ON
的长；
（Ⅱ）设不经过点
M
和
N
的动直线
l
2
: xmyb
交
C
于点
A
和
B
，交
l1
于点
E
，若直线
俄罗斯
MA
、
ME
、
MB
的斜率依次成等差数列，试问：
l
2
是否过定点？请说明理 由.


(21)(本小题满分12分)
已知函数
f(x)=eax2ax1
.
（Ⅰ）当
a=
x2
1
时，讨论
f

x

的单调性；
2
（Ⅱ）设函数
g(x)f

(x)
，讨论
g(x)的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出
每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有 穷区间指区间的端点不含有

和
+
的区
间）.




数学答案（理科）•第 4 页 共 10 页

请考生在 第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时
请写清题号.
(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲
如图，过
O
外一点
E
作
O
的两条切线
EA、EB
，其中
A 、B
为切点，
BC
为
O
的一条
直径，连
CA并延长交
BE
的延长线于
D
点.
（Ⅰ）证明：
BEED
；
（Ⅱ）若
AD3AC
,求
AE:AC
的值.







E
B

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
x Oy
中，以坐标原点为极点，
极坐标系中，
A（33，），B（3，）
，圆< br>C
的方程为

C
A
O
D
x
轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，已知在
2cos



23
（ Ⅰ）求在平面直角坐标系
xOy
中圆
C
的标准方程；
．．
（Ⅱ）已知
P
为圆
C
上的任意一点，求
ABP
面积的最大 值.




(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
f(x)x2 x1
，记
f(x)1
的解集为
M
.
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）已知
aM
,比较
a
2
a1
与
1
的大小.
a
………………10分
2016 年安徽省“江南十校”高三联考



数学答案（理科）•第 5 页 共 10 页

数学（理科）试题参考答案与评分标准



 1 

（1）B【解析】
A 

x   x  3

，
A  B 

0,1, 2

，
A  B
中有 3 个元素，故选 B


2

（2）A【解析】由
（z 1  i） 1  i  i
，得
z 



2  i ( 2  i)(1  i)

2 1

2  1

 i
，
1  i (1  i)(1  i) 2 2
z
的实部为


2 1
，故选 A

2
（3）C【解析】
f ( x)
的定义域为
x x  0
，关于原点对称

当
a=0
时，
f ( x)  sin x 
，



f ( x)  sin( x) 

1
1 1
  sin x   (sin x  )   f ( x)
，故
f ( x)
为奇函数；

( x)
x x



1
x

1

反之，当
f ( x)  sin x   a
为奇函数时，
f ( x)  f ( x)  0

x
又
f ( x)  f ( x)  sin( x) 

1 1

 a  sin x   a  2a
，故
a=0

( x) x
1
x
所以“
a=0
”是“函数
f ( x)  sin x   a
为奇函数”的充要条件，故选 C


（4）C【解析】
F
1
(

6, 0), F
2
( 6, 0)
，不妨设
l
的方程为
y 

2x
，设
P( x
0
, 2x
0
)




由
PF
1
 PF
2
 (

6  x
0
, 

2 x
0
)  ( 6  x
0
, 

2 x
0
)  3x
2
0


 6  0
P
到
x
轴的距离为
2 x
0

 2
，故选 C
得
x
0
 

2
，故
（5）B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，
1
为半径的球位 于第一卦限的部分，体
1 4
3


积为


1
，故选 B
8 3 6

a
1
 a
2
 a
2
 a
3
  a
10
 a
11


（6）C【解析】
{a
n
 a
n1
}
的前
10
项和为

2(a
1
 a
2
  a
10
)  a
11
 a
1
 2S
10
 10  2  120
，故选 C





      

1
  
3


（7）D【解析】
BD  AD  AB  AC  CD  AB  AC 
AB  AB  AC 

AB
，故

2 2
选 D

数学答案（理科）•第 6 页 共 10 页

（8）B【解析】第一次运行后
s  2, a  3, n  1
；第二次运行后
s  5, a  5, n  2
；第三

次 运 行 后
s  10, a  9, n  3
； 第 四 次 运 行 后
s  19, a  17, n  4
； 第 五 次 运 行 后



s  36, a  33, n  5
；第六次运行后
s  69, a  65, n  6
；此时不满足
s  t
，输出
n  6
，

故选 B



f ( )
恒
2 3


1
   




，得


，故

成立，所以
f ( x)
max


f ( )
，即
 

  2k

(k  Z )
，由
3 2 3 2

2 3

1


2

1



x  2k



(k  Z )
，故
f ( x)
的对称

f ( x)  sin( x 
)
.令
x   k

(k  Z )
，得
2 3 2 3 3
2

2

中心为
(2k

 ,0)(k  Z )
，当
k  0
时，
f ( x)
的对称中心为
( ,0)
，故选 A

3 3
（9）A【解析】由
f ( x)  sin(

x 

)
的最小正周期为
4

，得


.因为
f ( x) 
1
（10）B【解析】作出可行域，设直线
l : y  x  z
，平移直线
l
，易知当
l
过
3x  y  0
与


1
x  y  4  0
的交点
(1, 3)
时，
z
取得最大值
2
；当
l
与抛物线
y  x
2
相切时
z
取得最小值

2



z  y  x



1 1

2
由
消去
y
得：
x 2 x  2 z  0
，由
  4  8z  0
，得
z  
，故


 z  2
，
 1
2
，
2 2
y  x

2

故选 B
（11）D【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的


1
两个侧面面积之和为
2  4  2  16
，两个底面面积之和为
2   2 

3  2
3
；半圆柱的
2
1
侧面积为

 4  4

，两个底面面积之和为
2  

1
2


，所以几何体的表面积为

2





D
5

 16  2
3
，故选



a  x

2
 bx  a
（12）A【解析】
f

( x)   x  b 
x x
因为
f ( x)
存在极小值，所以方程
 x
2
 bx  a  0
有两个不等的正根


 x
1
+x
2
 b  0



故

x
1
 x
2

 a  0

 b  2 a

  b
2
 4a  0


b  b
2
 4a

b  b
2
 4a

由
f

(
， ，分析易得
f ( x)  0
得
x
1
 x
2
 x)
的极小值点为
x
1
，

2 2

数学答案（理科）•第 7 页 共 10 页

2

b  b 4a2a
因为
b  2

a
，所以
x
1
   (0,

a )


2
2
b  b 4a





1
x
2
 bx

f ( x) =f ( x )  a ln x
1 1 1
极小值
2
1




1
x
2
 x
2
 a  a ln x


1
x
2
 a

 a ln x
1 1 1
2
1
2
1

1
设
g ( x)  a ln x  x
2
 a(0  x  a )
，则
f ( x)
的极小值恒大于
0
等价于
g ( x)
恒大于
0

2


2
a a  x
 0
，所以
g ( x)
在
(0,
a )
单调递减
因为
g

( x)   x 

x x

3

a  e
3
，故
a

min
 e
3
，故选 故
g ( x)  g (
a )  a ln a 
a  0
，解得
A
2
3600

60
（13）
200
【解析】由题意可得
=
，故
N  200

2400+3600+6000 N


（14）
40
【解析】
xy
的系数为
C
5
 2 (1) 40
2 3 3 2 3



PQ
a

2 5
（15） 【解析】不妨设点
P
在第一象限，由对称性可得
OP 
因为
AP  PQ


，

5
2 2

在
RtPOA
中，
cos POA 

1 1 3

，故
POA  60

，易得
P( a,

a)
，代入椭圆

OA 2 4 4
OP






3a

2
2 5

1
2 2 2 2
e 
方程得：


 1
，故
a 5b 5(a c)
，所以离心率
16 16b
2
5


 S
n
（16）
2  t
或
 t  1
【解析】
n  2
时，
a
n
 S

 1
n 1

a
n 1
a
n

整理得


，又
a a
1
=1
，故
n
 n
n n 1





1
2



(n  1)a
n
na
n 1


2 2


不等式
a  ta  2t  0
可化为：
n tn  2t  0
n n
设
f (n)  n
2
 tn  2t
2
，由于
f (0)  2t
2
 0
，由题意可得

2 2 2 2


2

1


f (1)  1  t  2t  0
，解得
2  t  1
或
 t  1

2
2



f (2)  4  2t  2t  0
(17) 【解析】（Ⅰ）在
BCD
中，由正弦定理得：



CD

3 3
BD  sin BCD 
  3
，
1
2
sin CBD
2
在
ABD
中，由余弦定理得：
…………………2 分


数学答案（理科）•第 8 页 共 10 页

AD
2
 BD
2
 AB
2

cos ADB 
2 AD  BD

(2 2 )
2
 3
2
 ( 5)
2
2  2 2  3


所以
ADB  45
2


2


…………………4 分
…………………6 分

（Ⅱ）因为
CBD  30

，
BCD  120

，所以
CDB  30





6  2
因为
sin ADC  sin(45

 30

) 

4

1

所以
S 
AD  CD  sin ADC

2


…………………8 分
6  2 3  3

1

  2 2  3 

2 4 2
由
EF BD, EF  BD
，得
EF OD, EF  OD

所以四边形
EFOD
为平行四边形，故
ED OF
又
ED 
平面
ACF
,
OF 
平面
ACF
所以
DE
平面
ACF
E


…………………12 分

（18）【解析】（Ⅰ）设
AC、BD
的交点为
O
，则
O
为
BD
的中点，连接
OF
1
2
…………………3 分
…………………6 分

P

F



D

O
M
B
C

A
（Ⅱ）方法一：因为平面
EFBD 
平面
ABCD
，交线为
BD
，
AO  BD
所以
AO 
平面
EFBD
，作
OM  BF
于
M
，连
AM
 AO 
平面
BDEF
，
 AO  BF
，又
OM  AO=O
 BF 
平面
AOM
，
 BF  AM
,
故
AMO
为二面角
A  BF  D
的平面角. ……………………8 分
取
EF
中点
P
，连接
OP
，因为四边形
EFBD
为等腰梯形，故
OP  BD
因为
S



1 1

(EF  BD)  OP   ( 2  2 2 )  OP  3

梯形EFBD
 
2 2
2

1 10


，得
BF  OF 

OP
2
 PF
2

所以
OP 2
.由
PF  OB 
2 2 2

数学答案（理科）•第 9 页 共 10 页

因为
S



1 1
OP 

OM  BF
FOB
 OB 
2 2



OB  OP

2 10

3 10
2 2
所以
OM  
，故
AM 

OA OM 
…………………10 分

BF 5 5
OM 2

所以
cos AMO  

AM 3

2

…………………12 分
故二面角
A  BF  D
的余弦值为
3
方法二：取
EF
中点
P
，连接
OP
，因为四边形
EFBD
为等腰梯形，故
OP  BD
，又平面
EFBD 
平面
ABCD
，交线为
BD
，故
OP 
平面
ABCD
，如图，以
O
为坐标原点，分
别以
OA
，
OB
，
OP
的方向为
x
轴、
y
轴、
z
轴的正方向，建立空间直角坐标系
O  xyz
.


E



z
P
F



D
O
C


y
x
A
1 1


因为
S
梯形EFBD
  (EF  BD)  OP   ( 2  2 2 )  OP  3

2 2
2
0), B(0，2 ,0), C (
2 ,0，
所以
OP 
2
,
A(
2 ,0，
0), F (0， , 2 )

2
 
2

0), BF  (0, 

，2 )

因此
AB  (
2, 2，
2

设平面
ABF
的法向量为
n  ( x, y, z)


…………………8 分


 


 2 x 

2 y  0


n  AB  0



由 ，得 ，令
z  1
，则
n  (2, 2,1)


 

2

y 
2 z  0




n  BF  0

 2

因为
AO  BD
，所以
AO 
平面
EFBD
，




故平面
BFD
的法向量为
OA  ( 2, 0, 0)


…………………10 分
 

OA  n

2 2 2


于是
cos  OA, n 


 

2 2
OA  n
2 2 1  2
3


数学答案（理科）•第 10 页 共 10 页

2
由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角
A  BF  D
的余弦值为

3

…………………12 分
(19) 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下

中国
俄罗斯

1
2
3
4
1 5







6
8
2 8

4 3 7 6
2









…………………3 分

通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的
平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。
…………………6 分
（Ⅱ）解：
X
的可能取值为
0,1, 2, 3
，设事件
A、B、C
分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，


则



4 32
P( X  0)  P( A)  P(B)  P(C )  (1  )
2
 (1  ) 

5 5 125
P( X  1)  P( ABC )  P( ABC )  P( ABC )
4 34 3 19
1
4
 C
2
  (1  )  (1  )  (1  )
2
 

5 5 5 5 5 125
4 34 4 3 56

  (1  )  
P( X  2)  P( ABC )  P( ABC )  P( ABC )
 ( )
2
 (1  )  C
1
2
5 5 5 5 5 125
4 3 48
P( X  3)  P( A)  P(B)  P(C )  ( )
2
 


5 5 125
故
X
的分布列为





X

0
2
125



1
19
125

2
56
125

3
48
125
…………………10 分
…………………12 分

P







2195648
11
EX  0 

 1

 2 

 3



125 125 125 125 5
(20) 【解析】（Ⅰ）由抛物线
C : y
2
 2 px
经过点
M (2, 2)
，得


2
2
 4 p
，故
p  1
，
C
的方程为
y
2
 2x




………………2 分


C
在第一象限的图象对应的函数解析式为
y 
2 x
，则
y


1

2x

数学答案（理科）•第 11 页 共 10 页

故
C
在点
M
处的切线斜率为 ，切线的方程为
y  2  ( x  2)

令
y  0
得
x  2
，所以点
N
的坐标为
(2, 0)


1
2
1
2
故线段
ON
的长为
2

………………5 分
l
2
恒过定点
(2, 0)
，理由如下：

（Ⅱ）


由题意可知
l
1
的方程为
x  2
，因为
l
2
与
l
1
相交，故
m  0


b  2

b  2

，故
E(2,  )

由
l
2
: x  my  b
，令
x  2
，得
y  
m

m

A( x
1
, y
1
), B( x
2
, y
2
)

设

x  my  b

2
消去
x
得：
y  2my  2b  0
由


2

y  2 x

则
y
1
 y
2
 2m
，
y
1
 y
2
 2b

直线
MA
的斜率为
1
………………7 分







2
y 2

y
1
 2

2
，同理直线
MB
的斜率为


2

y


x
1
 2

1
y 2y
2
 2

 2
1

2

2 


b 2

m

直线
ME
的斜率为
4
因为直线
MA
、
ME
、
MB
的斜率依次成等差数列，所以
b 2

2 
2 2
m
 1 
b  2



 2 

y
1
 2

y
2
 2 4 2m




2( y
1
 y
2
 4)


4  y
1
y
2

b  2

即
 1 
 1 

2( y
1
 y
2
)  y
1
y
2
 4 2( y
1
 y
2
)  y
1
y
2
 4 2m



………………10 分


b  2
整理得：

b  2

，
2m  b  2 2m

因为
l
2
不经过点
N
，所以
b  2

所以
2m  b  2  2m
，即
b  2

l
2
的方程为
x  my  2
，即
l
2
恒过定点
(2, 0)
故 ………………12 分



(21) 【解析】（Ⅰ）当
a=1
时，

f ( x)=e
x
 x  1
易知
f ( x)
在
R
上单调递增，且
f (0)  0
， ………………2 分

数学答案（理科）•第 12 页 共 10 页

因此，当
x  0
时，
f

( x)  0
；当
x  0
时，
f

( x)  0



故
f ( x)
在
(, 0)
单调递减，在
(0, )
单调递增

…………………5 分
x

( x)  e 2a
（Ⅱ）由条件可得
g ( x)  e 2ax  2a
，
g

x
（i）当
a  0
时，
g ( x)  e 0
，
g ( x)
无零点

x
（ii）当
a  0
时，
g

( x)  0
，
g ( x)
在
R
上单调递增

g (0)  1  2a, g (1)  e  0

1
①若
1  2a  0
，即
a 
时，
g (0)  1  2a  0
，
g ( x)
在
(0,1)
上有一个零点


2

②若
1  2a  0
，即
a 
时，
g (0)  0
，
g ( x)
有一个零点
0



1
2
③若
1  2a  0
，即
0  a 
时，
g (
零点

1
2
2a 1

)
 e
2a
2 a 1
2 a



2a 1


1  0
，
g ( x)
在
, 0

上有一个



2a

………………8 分

（iii）当
a  0
时，令
g

( x)  0
，得
x  ln(2a)
；令
g

( x)  0
，得
x  ln(2a)
所以
g ( x)
在

, ln(2a)

单调递减，在

ln(2a), 

单调递增，



g ( x)
min
 g (ln(2a))  2a

ln(2a)  2

e
2

①若
ln(2a)  2  0
，即
  a  0
时，
g ( x)  0
，
g ( x)
无零点
2
e
2

②若
ln(2a)  2  0
，即
a  
时，
g (2)  0
，
g ( x)
有一个零点
2
2

e
2
③若
ln(2a)  2  0
，即
a  
时，
g (1)  e  0
，
g (ln(2a))  0
，
g ( x)
在

1, ln(2a)


2

有一个零点； ………………10 分
设
h( x)  e x( x  1)
，则
h

( x)  e 2 x
，设
u( x)  e 2x
，则
u

( x)  e 2
，
当
x  1
时，
u

( x)  e 2  e  2  0
，所以
u( x)  h

( x)
在
[1, )
单调递增，
x
x 2 x x x


h( x)  h(1)  e  2  0
，所以
h( x)
在
[1, )
单调递增，
h( x)  h(1)  e 1  0
，即
x  1

时，
e x
，故
g ( x)  x 2ax  2a

x 2 2
设
k ( x)  ln x  x( x  1)
，则
k

( x)  1 
1
x
1  x
 0
，所以
k ( x)
在
[1, )
单调递减，

x

k ( x)  k (1)  1  0
，即
x  1
时，
ln x  x

数学答案（理科）•第 13 页 共 10 页

e
2

因为
a  
时，
2a  e
2
 1
，所以
ln(2a)  2a
，
2

又
g (2a)  (2a) 2a(2a)  2a  2a  0
，
g ( x)
在

ln(2a), 2a

上有一个零点，故

2

g ( x)
有两个零点

2
e
综上，当
a  
时，
g ( x)
在

1, ln(2a)

和

ln(2a), 2a

上各有一个零点，共有两个零
2



1

e
2
e
2
点；当
2
；当
0  a 
时，

a  
时，
g ( x)
有一个零点
  a  0
时，
g ( x)
无零点；当
2 2 2

1 1

2a 1

g ( x)
在
, 0 g ( x) g ( x)
上有一个零点；当
a 
时，有一个零点
0
；当
a 
时，在

2a

2 2
 
(0,1)
上有一个零点。

………………12 分
(22) 【解析】（Ⅰ）连接
AB
、
OE
，因为
EA
、
EB
为圆
O
的切线，所以
OE
垂直平分
AB


又
BC
为圆
O
的直径，所以
AB  CD
，所以
OE CD



………………5 分
又
O
为
BC
的中点，故
E
为
BD
的中点，所以
BE  ED


（Ⅱ）设
AC  t (t  0)
，则
AD  3t
，
CD  4t



在
RtBCD
中，由射影定理可得：
BD
2
 DA  DC  12t
2


1
 BD  2 3t
，在
RtABD
中，
AE  BD  3t

2
 AE : AC
=
3
C
………………10 分


O

A
.
E D




B


(23) 【解析】（Ⅰ）由

 2 cos

，可得：

2
 2

cos

，所以
x
2
 y
2
 2x

2
故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：
（x - 1） y
2
 1

………………5 分


3 3 3
（Ⅱ）在直角坐标系中
A（0，3 3），B（
，

）
2 2



数学答案（理科）•第 14 页 共 10 页

3 33
所以
AB 
(  0)
2
 (

 3

3)
2

 3
，直线 AB 的方程为：
3x  y  3 3
2 2
所以圆心到直线 AB 的距离
d 



3  3 3

C 的半径为 1，

3
，又圆

4
所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为
3  1


故
ABP
面积的最大值为
S 
1
2
（


3  1） 3 
3

3  3

2



x

 1, x  0
(24) 【解析】（Ⅰ）
f ( x) 
x  2 x  1 


3

x
1


 1,0  x 
2






 x  1, x 
1

2




0 
1


1


由
f ( x)  1
，得



x  0

或

x 


x 



x  1  1





2
或

2

3x  1  1


 x  1  1
解得：
0  x  2


故
M  {x 0  x  2}

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
0  a  2

因为
a
2
 a  1 
1
a

a
3
 a
2
 a  1

(



a

a  1)(a
2
 1)
a

当
0  a  1
时，
(a  1)(a
2
 1)
 0
，所以
a
2
 a  1 
1


a
a

当
a  1
时，
(a  1)(a
2
 1)

a
 0
，所以
a
2
 a  1 
1
a



当
1  a  2
时，
(a  1)(a
2
 1)
 0
，所以
a
2
 a  1 
1

a
a


综上所述：当
0  a  1
时，
a
2
 a  1 
1
a


当
a  1
时，
a
2
 a  1 
1
a



当
1  a  2
时，
a
2
 a  1 
1
a



数学答案（理科）•第 15 页 共 10 页

………………10 分
………………5 分
10 分



………………