河南科技学院-一年级音乐教学计划

2019年山东省济南市高三（上）期末数学试卷答案解析
一、选择题（共8题，每题5分）
1．（2019秋•济南期末）已知集合A＝{x|x2
﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1） D．[﹣2，1）
【解答】解：∵集合A＝{x|x
2
﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．
故选：A．
2．（2019秋•济南期末）若复数z满足z（1+i）＝﹣2i（其中i为虚 数单位），则z的共轭复
数是（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：∵z（1+i）＝﹣2i，
∴z＝
则．
，
故选：D．
3．（2019秋•济南期末）设x∈R，则“2
x
＞4”是“ lg（|x|﹣1）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设x∈R，则“2
x
＞4”⇒“lg（|x|﹣1）＞0”，
“lg（|x|﹣1）＞0”⇒“x＞2或x＜﹣2”⇒“2
x
＞4或
∴“2
x
＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
”，
4．（2019秋•济南期末）已知函数则函数y＝f（1﹣x）的图象大致是
（ ）

A． B．
C． D．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x lnx，则令f′（x）＝lnx+1＝0，解得x＝，所以当
0＜x＜时，f（x）单调递减，x＞时 ，f（x）单调递增，
当x≤0时，f（x）＝，则令f′（x）＝e
x
﹣1≥0， 所以当x≤0时，f（x）单调递增，
﹣
作出函数f（x）的图象如图：

又因为f（1﹣x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称，再向左移动一个单位得到的，
故根据f（x）图象可值f（1﹣x）图象为

故选：B．
5．（201 9秋•济南期末）若抛物线y
2
＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线< br>与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：抛物线y
2
＝2px（p＞0）的焦点到准线 的距离为2，可得p＝2，抛物线方程

为：y
2
＝4x，
设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）， 根据抛物线定义，x
1
+x
2
+p＝8，
所以x
1
+x
2
＝6，
∵AB的中点的横坐标为：3，中点到y轴的距离为3，
故选：B．
6．（2019秋•济南期末）已知函数
A．0 B． C．1
，则
D．2
，则f（﹣x）＝lg（﹣x）
＝（ ）
【解答】解：根据题意，函数
+＝﹣lg（﹣x）+，
则f（x）+f（﹣x）＝1，
则有
故选：C．
7．（2019秋•济南 期末）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857
×2＝28571 4，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下
规律：142 +857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出
3 个数字构成一个三位数x，则999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的
概率为（ ）
A． B． C． D．
＝f（ln5）+f（﹣ln5）＝1；
【解答】解：根 据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个
三位数x，共有＝6×5× 4＝120种．
又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组． < br>所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，999﹣x的结果恰好是剩下3
个数字 构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，
所以共有
故
故选：C．
．
＝6×4×2＝48种，

8．（2019秋•济南期末）若F为 双曲线
C的左右两支分别交于A，B两点，则
A． B．
﹣
C．
的左焦点，过原点的直线l与双曲线
的取值范围是（ ）
D．
【解答】解：双曲线的a＝2，b＝，c＝3，
设|AF|＝m，|FB|＝n，F' 为双曲线的右焦点，连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'
为平行四边形，
可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝4，n＝m+4，
且m≥c﹣a＝1，
则﹣＝﹣
+
，设f（m）＝﹣
＝，
，m≥1，
f′（m ）＝﹣
当m＞4时，f′（m）＞0，f（m）递增，1≤m＜4时，f′（m）＜0，f（m）递减，
可得f（m）在m＝4处取得极小值，且为最小值﹣，
当m＝1时，f（1）＝，当m→+∞时，f（m）→0，
则f（m）∈[﹣，]，
故选：D．

二．多选题（共4小题）
9．（2019秋•济南期末）习 总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感
到千千万万普通人最伟大，同时让我感到 幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月

的收入与支出数据的折线图如下：

已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：
在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：
x
1
＝（30+40 +35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，
该企业2019年7月至12月的总利润约为：
（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，
∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；
在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：
（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；
在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，
∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；
在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．
故选：AC．
10．（2019秋•济南期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正 弦函数．纯音的数
学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若 一个复合

音的数学模型是函数
A．2π是f（x）的一个周期
B．f（x）在[0，2π]上有3个零点
C．f（x）的最大值为
D．f（x）在

上是增函数
，则下列结论正确的是（ ）
【解答】解：∵y＝sinx的周期为2π，y＝
的周期为2π，故A正确；
由的周期为π，∴
＝0，得sinx+sinxcosx＝0，得sinx＝0或cosx＝﹣1，
∵x∈[0，2π]，∴x＝0，x＝π，x＝2π，则f（x）在[0，2π]上有3个零点，故B正 确；
函数的最大值在[0，]上取得，
）时，cosx
由f′（x）＝cosx+ cos2x＝2cos
2
x+cosx﹣1＝0，可得cosx＝，当x∈（0，
单调 递减，原函数单调递增，
当x∈（
大值为sin
∵f（
在
，
+
+
）时，cosx单调递减，原函数单调递减，则当x＝
＝
＝
， 故C正确；
＞1，f（）＝sin
时，原函数求得最
）＝sin＝1，∴f（x）< br>上不是增函数，故D错误．
故选：ABC．
11．（2019秋•济南期末）给定两 个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①
③
为同时与，垂直的向量；②，，
．规定：
三个向量构成右手系（如图1）；
．如图2，在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝
AD＝2，AA
1
＝4，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D1
的体积
【解答】解：∵
垂直，∴
由题意，
∵，∴
与< br>∵
与
∴|
＝
共线同向，
|＝，且与共线同向，故C正确；
＝2×2×4＝16，故D
共线同向，
，与共线同向，，
，故A正确；
，，故B错误；
＝，且




，且分别与

成立．
故选：ACD．
12．（2019秋• 济南期末）若实数a，b满足2
a
+3a＝3
b
+2b，则下列关系式中可能 成立的是（ ）
A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b
【解答】解：由2
a
+3a＝3
b
+2b，
设f（x）＝ 2
x
+3x，g（x）＝3
x
+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，
画出f（x），g（x）的图象如下：绿色，蓝色的分别是f（x），g（x）的图象，

根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），
0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；
当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝f（b）可能成立，B正确；
当a＝b时，显然成立，
当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，
故选：ABD．

三．填空题（共14小题）
5
13．（201 9秋•济南期末）（2x﹣y）
的展开式中，含x
3
y
2
项的系数为 80 ．（用数字作答）．
【解答】解：二项式（2x﹣y）
5
的展开式的通项为T
r+1
＝2
5r
（﹣1）
r
C
5
r
x
5r
y
r
，
﹣﹣
令r＝2，可得含x
3y
2
的项的系数是2
3
C
5
2
＝80
故答案为：80．

14．（2019秋•济南期末）已知
【解答】解 ：由于
所以：
整理得：
所以：tan
则：
故答案为：﹣4．
，
＝﹣4，
，
，
，
，则tan2α＝ ﹣4
15．（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足
，则λ+ μ的值为 ．
，
，若
【解答】解：平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点 N满足
所以
＝+（
＝
），
+μ（），
则根据平面向量基本定理可得，，
解可得，λ＝﹣1，μ＝，
则λ+μ＝，
故答案为：．

16．（2019秋•济南期末）如图，矩形ABCD中，，AD＝ 2，Q为BC的中点，点M，
N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重 合），且MN∥
AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大 值为

1 ；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为 ．

【解答】解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，
∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，
此时V< br>D
﹣
MNQ
＝
∴当t＝
此时MB＝
＝＝﹣，
时，V
D
﹣
MNQ
取最大值，最大值为1，
，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，
∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：
则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，
设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，
∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的 外接球的球心O，∴OH＝
又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝
∴三棱柱MNQ ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝
∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR
2
＝
故答案为：1；．
，
，
＝，


四、解答题（共6题，共计70分）

17．（2019秋•济南期末）在①， ②acosB＝bsinA，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
【解答】解：取②acosB＝bsinA ，
由正弦定理可得：sinAacosB＝sinBsinA≠0，∴tanB＝1，B∈（0，π），
∴B＝．∴C＝π﹣A﹣B＝
+）＝
＝
，
+＝
，解得a＝．
．
，，求△ABC的面积．
sinC＝sin（
由正弦定理可得：
∴△ABC的面积S＝×＝．
，AB ＝18．（2019秋•济南期末）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为
2EF，E F∥平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．
（1）求证：BE∥平面APQ；
（2）已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P﹣AF﹣E的余弦值．

【解答】解：（1）连结BD，交AQ于点M，连结PM，
∵△BMQ～△DMA，BQ＝
∵EP＝，∴PM∥BE，
，∴BM＝，
∵PM⊂平面APQ，BE⊄平面APQ，
∴BE∥平面APQ．
（2）解：以A为坐标原点，分别以
标系，
为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐< /p>

则A（0，0，0），C（，，0），D（0，2
＝
，0），E（0，0 ，2），F（，0，2），
，2）， 设P（x，y，z），∵DP＝2PE，∴
则P（0， ，），∴
，则（x，y﹣2
，），
，z）＝（0，﹣2
＝（0，
设平面AFP的法向量为＝（x，y，z），
∵＝（，0，2），
∴，取x＝，则＝（），
平面AEF的法向量＝（0，1，0），
设二面角P﹣AF﹣E的平面角为θ，
则cosθ＝＝．
∴二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．

19．（201 9秋•济南期末）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了
以下猜想：（n∈ N）是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F
5
＝641×6700417，
该数 不是质数．已知S
n
为数列{a
n
}的前n项和，且S
n
＝ log
2
（F
n
﹣1）﹣1（n∈N
+
）
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若b
n
＝（n +1）log
2
a
n+1
，设为数列
1≤T
n
＜2 ．

的前n项和，求出T
n
，并证明：对任意n∈N
+
，

【解答】解：（1）S
n
＝log
2
（F
n
﹣1）﹣1＝log
2
2﹣1＝2
n
﹣1，
﹣﹣
当n＝1时，a
1
＝S
1
＝1，n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
＝2
n
﹣1﹣2
n1+1＝2
n1
，对n＝1也成立，
则a
n
＝2
n1
，n∈N*；
﹣
（2）b
n
＝（n+1）log
2
a
n+1
＝（n+1）log
2
2
n
＝n（n+1），
＝＝2（﹣），
）＝2（1﹣）， 则T
n
＝2（1﹣+﹣+…+﹣
由于2（1﹣）随着n的增大而增大，可得T1
≤T
n
＜2，
即对任意n∈N
+
，1≤T
n
＜2．
20．（2019秋 •济南期末）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速
公路达到14. 26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注
的重点．如图是某部门公布 的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经
成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急 刹车时的停车距离等于反应距离与制动距
离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示 行车速度，单位：kmh；
d
1
，d
2
分别表示反应距离和制动距离 ，单位：m）
道路交通事故成因分析
v
d
1

64
13.4
72
15.2
80
16.7
89
18.6
97
20.1
105
21.9
113
23.5
121
25.3
128
26.8
135
28.5
（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1 起属
于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；
（2）已知d
2
与v的平方成 正比，且当行车速度为100kmh时，制动距离为65m．
（i）由表中数据可知，d
1< br>与v之间具有线性相关关系，请建立d
1
与v之间的回归方程，
并估计车速为1 10kmh时的停车距离；
（ii）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100kmh时，应该与 同车道前车保持100m
以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．
参考数据：，，，，

参考公式：对于一组数据（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
n
，y
n
），其回归直线的斜
率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【解答】解：（1）由题意知，P
i
＝
故所求的概率为P
1
＝• •
•
＝
•
；
，
（2）由d
2
与v的平 方成正比，设d
2
＝kv
2
，
当行车速度为v＝100kmh时，制动距离为d
2
＝65m；
即k•100
2
＝65，解得k＝0.0065，
所以d
2
＝0.0065v
2
；
（i）由d
1< br>与v之间具有线性相关关系，且＝
（d
1
）
i
＝×210＝2 1；
v
i
＝×1004＝100.4，＝
又，，，
所以＝＝
＝≈0.21，

＝﹣＝21﹣0.21×100.4＝﹣0.084，
＝0.21v﹣0.084；
所以d
1
与v间的回归方程为
v＝1 10时，＝0.21×110﹣0.084＝23.016．
d
2
＝0.0065×110
2
＝78.65，
所以估计 车速为110kmh时的停车距离为d＝23.016+78.65＝101.666≈102（m）；
（ii）v＝100时，＝0.21×100﹣0.084＝20.916．
d
2
＝0.0065×100
2
＝65，
车速为100kmh时的停车距离为d＝20.916+65＝85.916≈86（m）；
车速超过100kmh时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大，
要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m以上的距离．
21．（2019秋• 济南期末）已知F
1
，F
2
分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦
点 ，P为C上的动点，其中P到F
1
的最短距离为1，且当△PF
1
F
2
的面积最大时，△PF
1
F
2
恰好为等边三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．
（i）求圆E的方程；
（ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切， 若存在求出定点Q的
坐标；若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）由题意可得：a﹣c＝ 1，面积最大时P为短轴的顶点，再由△PF
1
F
2
恰
好为等边三角 形，可得b＝
解得：a
2
＝4，b
2
＝3，
所以椭圆的标准方程为：+＝1；
，a
2
＝b
2
+c
2
，
（2）（i）由（1）得圆E的圆心坐标为（0，0），半径为a＝2，
所以圆E的方程为：x
2
+y
2
＝4；
（ii）解法一：假设存在满足条件的定点Q，

由题意可知定点Q必在x轴上 ，设Q（m，0），P（x
0
，y
0
），则
由（i）可知，圆E的圆 心为坐标原点O，半径为2，
设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，
r＝，即G（，），r＝，
，
因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，
所以＝2﹣，其中y
0
2
＝3﹣x
0
2
，
，化简得（m
2
﹣1）（x
0
2
﹣4）＝0， 两边平方并 整理得：4﹣mx
0
＝2
上式对任意x
0
∈[﹣2，2]恒成立，
故m
2
﹣1＝0，解得m＝±1，
所以，当定点Q恰好为椭圆的焦点时，符合题意．
解法二：存在满足条件的定点Q，
由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q（m，0），P（x
0
，y
0
），则
由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，
设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝
，
，
即G（，），r＝，
因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，
所以
整理得
设Q′（﹣m，0），则|PQ′|+|PQ|＝4，
又因为P在椭圆
|PF
1
|+|PF
2
|＝4，
故Q，Q′分别与F
1
，F
2
重合，
上，设F
1
，F
2
分别为椭圆的左右焦点，
＝2﹣，
，

所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．
解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，
由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，
设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径 为r，则G为线段PQ的中点，则r＝
因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，即|OG|＝2﹣< br>所以2|OG|+|PQ|＝4，
设Q′为 Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，
所以2|OG|＝|PQ′|，
所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；
，
，
解法四：假设存在 满足条件的定点Q，设M（m，n），P（x
0
，y
0
），则
由（i ）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，
设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝

，即G
（，），r＝，
因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，
所以
整理得
＝2﹣
+
，
＝4，
设Q（﹣m，﹣n），因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．
22．（2019秋•济南期末）已知函数
然对数的底数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．
的极大值为，其中e＝2.71828…为自
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：x
2
f（x）＞asinx+x
2
﹣1．
【解答】解：（1）f'（x）＝，x＞0，

当x∈（0，e）时，f'（x ）＞0，f（x）递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递
减；
所以f（x）的极大值为f（e）＝
故k＝1；
（2）（i）根据题意，任意x∈（ 0，+∞），g（x）≥af（x），即
化简得xe
x
﹣alnx﹣ax﹣a≥0，令 h（x）＝xe
x
﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，
h（x）＝e
lnx< br>e
x
﹣alnx﹣ax﹣a＝e
lnx+x
﹣a（lnx+x）﹣a，
令lnx+x＝t，t∈R，设H（t）＝e
t
﹣at﹣a，H'（t）＝e
t
﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，
当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，所以H（
不成立；
当a＝0时，H（t）≥0显然成立；
当a＞0时，由H'（t）＝e
t
﹣ a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）
递增，
H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，
由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，
综上0≤a≤1；
（ii）证 明：要证x
2
f（x）＞asinx+x
2
﹣1，只需证明
化简得x lnx+1＞asinx，只需证
设F（x）＝lnx+，G（x）＝x﹣sinx，
由F'（x）＝
递增；
所以F（x）≥F（1）＝1，
由G'（x）＝1 ﹣cosx≥0，G（x）在（0，+∞）递增，故G（x）＞G（0）＝0，得x＞sinx，
又由（i）0≤a≤1，所以
所以F（x）＞
故原命题成立．

成立，
，
，当x∈（0，1）时，F（x）递减；x∈（1，+∞）时，F（x）
，
，
）＜1﹣a（﹣1）﹣a＝0，
，
，