司法考试用书-jlgwy

第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】 给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
【训练1】 给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
其中错误的命题的序号是________．

考点二 由空间几何体的直观图识别三视图
【例2】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间 直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，
(0,1,1)，(0,0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )．

【训练2】 (2014·济宁一模)点M，N分别是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱A
1
B
1
，A
1
D
1
的中点，用过A，M，
N和D，N，C
1
的 两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视
图依次为图2 中的( )．

考点三 由空间几何体的三视图还原直观图
【例3】 (1)(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．


【训练3】 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．


易错辨析——三视图识图不准致误
【典例】 (2012·陕西 卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视
图为( )．


【自主体验】
(2014·东北三校模拟)如图，多面体ABC D－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则
其正视图和侧视图正确的 是( )．

第2讲 空间几何体的表面积与体积
考点一 空间几何体的表面积
【例1】 (2014·日照一模 )如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体
的表面积是( )．


A．8
C．16
考点二 空间几何体的体积
B．20＋82
D．24＋82
【例2】 (1)(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为1，且AA
1
⊥底面ABC，则 三棱锥
B
1
－ABC
1
的体积为 ( )．
A.
3366
B. C. D.

124124

【训练2】 如图所示，已知E，F分别是棱长为a的 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱 A
1
A，CC
1
的中点，求四棱
锥C
1
－B
1
EDF的体积．

考点三 球与空间几何体的接、切问题
【例3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一 个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、
俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方 形，则该球的表面积是______________．

(2)(2013·辽宁卷)已 知直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O的球 面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，
AA
1
＝12，则球O的半径为
31713
A. B．210 C. D．310
22

【训练3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球
放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积
为 ( )．
500π866π1 372π2 048π
A. cm
3
B. cm
3
C. cm
3
D. cm
3

3333

考点四 几何体的展开与折叠问题
【例4】 (1)如图所示， 在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分
沿OC，OD折 叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．
(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中 ，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC
1
＝3.P是
B C
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值为________(其中PA1
表示P，A
1
两点沿棱柱的表面距离)．

【训练4】 如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6 的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，
点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线 ，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需
要________个这样的几何体， 可以拼成一个棱长为6的正方体．

方法优化——特殊点在求解几何体的体积中的应用
【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，E，F分别为线段AA
1
，B
1
C上的点，则
三棱锥D
1
－EDF的体积为________．

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点一 平面的基本性质及其应用
【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P，Q，R分别是AB，AD，B
1
C
1
的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面
图形是( )．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

考点二 空间两条直线的位置关系
【例2】 如图是 正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体
中，① GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【训练2】 在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是 异面直
线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

考点三 异面直线所成的角
【例3】 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱
形，∠DAB＝ 60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平
面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．


【训练3】 (2014·成都模拟)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是棱A
1
B
1
，A
1
D
1
的中点，则A
1
B与EF< br>所成角的大小为________．

思想方法——构造模型判断空间线面的位置关系
【典例】 (2012·上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )．
A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能

【自主体验】
1．(2013·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β ，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m∥α，m⊥n ，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，
n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4

3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC
1
上的动点，过点
A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_______ _(写出所有正确命题的编号)．①
113
当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ＝时，S为 等腰梯形；③当CQ＝时，S与C
1
D
1
的交点R满足C
1
R
224
136
＝；④当＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.
342

4．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)求A
1
C
1
与B
1
C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A
1
C
1
与EF所成角的大 小．

第4讲 直线、平面平行的判定与性质
考点一 有关线面、面面平行的命题真假判断
【例1】 (1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )．
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )．
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
【训练1】 (1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．
A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α

(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )．
A．3 B．2 C．1 D．0

考点二 线面平行的判定与性质
【例2】 如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1， 点M，N分别为A′B
和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

【训练2】 如图，在四面体A－BCD中 ，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：
直线HG∥平面CEF.

考点三 面面平行的判定与性质
【例3】 (2013·陕西卷) 如图，四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A
1
O⊥底面
ABCD，AB＝AA1
＝2.
(1)证明：平面A
1
BD∥平面CD
1
B
1
；
(2)求三棱柱ABD－A
1
B
1
D
1
的体积．

【训练3】 在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N，P分别是C
1
C，B
1
C
1
，C
1
D
1
的中点，求证：平面PMN∥
平面A
1
BD.



【自主体验】 (2013·福建卷改编)如图 ，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB＝6，DC＝3，若M为PA的中
点，求证：DM∥平面 PBC.




9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABC D中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，
N，D三点的平面交PC于M.
(1)求证：PD∥平面ANC；
(2)求证：M是PC中点．

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
考点一 直线与平面垂直的判定和性质
【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，
E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.

【训练1】 如图，直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥CD，AD⊥AB，AB ＝2，AD＝2，AA
1
＝3，E为CD
上一点，DE＝1，EC＝3.
证明：BE⊥平面BB
1
C
1
C.


考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【例2】 (2014·深圳一模)如图，在三棱柱A BC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1
⊥平面A BC，AB＝BC＝AA
1
，且AC＝2BC，
点D是AB的中点．
证明：平面ABC
1
⊥平面B
1
CD.

【训练2】 如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1D
1
中，AB＝AD＝1，AA
1
＝2，M是棱CC
1
的中点．
证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M.

考点三 平行、垂直关系的综合问题
【例3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E ，F，G，M，N分别为
PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.


【训练3】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.


考点四 线面角、二面角的求法
【例4】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面AB CD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，
E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

【训练4】 在正方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中，BB
1
与平面ACD
1
所成角的余弦值为 ( )
A.
2326
B. C. D.
3333

转化思想：垂直关系的转化

创新突破——求解立体几何中的探索性问题
【典例】 (2012·北京卷) 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD
上的一点 ．将△ADE沿DE折起到△A
1
DE的位置，使A
1
F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A
1
CB；
(2)求证：A
1
F⊥BE；
(3)线段A
1
B上是否存 在点Q，使A
1
C⊥平面DEQ？说明理由.






【自主体验】
1
(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形 ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC中点，
2
将 △ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.
(1)求证：DA⊥BC；
(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.