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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为______________ . < br>例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表
面积为
24
，则 该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个 长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为
1,2,3
，则此球 的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32



3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已 知该
六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长
为
3
， 则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为
x
，高为
h
，则有

6x3



93
2

xh

6
4

8

h3


1


x
2

9
8

∴正六棱柱的底面圆的半径
r
，球心到底面的距离
d
接球的半径
Rr
2
d
2
. 体积：
V
4

3
R
.
3
1
2
3
.∴外
2
小结 本题是运用公式
R
2
r
2
d
2
求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三 条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外
接球的表面积是____________ ___.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外
接球的表面积是 .
故其外接球的表面积
S
4

r
2

9< br>
.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为a,b,c
，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体
对角线的长就是该三 棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
R
，则
有
2Ra
2b
2
c
2
. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 < br>【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
a,b,c
，则
体对角线 长为
la
2
b
2
c
2
，几何体的外接球直径 为
2R
体对角线长
l

即
R



a
2
b
2
c
2

2

练习：在四面体
ABCD
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为






例 6一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此
球的表面积为（ ）
A.
3

B.
4

C.
33

D.
6


例7 已知 球
O
的面上四点A、B、C、D，
DA平面ABC
，
ABBC< br>，

DAABBC3
，则球
O
的体积等于 .
1,6,3
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。球的表 面积为
S
4

R
2

16


解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利
用长方体模型很快便可找到 球的直径，由于
DA平面ABC
，
ABBC
，
联想长方体中的相 应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为
DAABBC3
，则此长方体为正方体， 所以
CD
长即为外接球的直
径，利用直角三角形解出
CD3
.故球
O
的体积等于

.（如图4）





B
A
B
C
A
9
2
D
O
O
图4
C
D
图5

AB平面BCD，2、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，
DCBC
，
若
AB6,AC213,AD8
，则球的体积是
解析：首先可联想到 例7，构造下面的长方体，于是
AD
为球的
直径，O为球心，
OBOC4
为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出
BOC
即可，在
RtABC
中，求出
BC4
，所以
BOC60

，
故B、C两点间的球面距离是

.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，
则这个球的表面积是
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32

.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直
径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥
SABCD
的底面边长和各侧棱长都为
2
，点

S,A,B,C,D
都在同一球面上，则此球的体积为
4
3
S
解:设正四棱锥的底面中心为
O
1
，外接球的球心为
O
，
如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
OO
1
平面ABCD< br>.
又
SO
1
平面ABCD
，∴球心
O
必 在
SO
1
所在的直线上.
∴
ASC
的外接圆就是外接球 的一个轴截面圆，外接
圆的半径就是外接球的半径.
在
ASC
中，由SASC2,AC2,得SA
2
SC
2
AC
2
，
A
D
O
1
图3
B
C

∴
ASC是以AC为斜边的直角三角形
.
∴
AC4

1
是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
V
球


.
23
五 .确定球心位置法
例5 在矩形
ABCD
中，
AB4,BC3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角BACD
，则四面体
ABCD
的外接球的体
积为
A.
5

B.

C.

D.


12963
D
C
B
A
O
图4
解:设矩形对角线的交点为
O
，则由矩 形对角线互相平分，
可知
OAOBOCOD
.∴点
O
到四面体 的四个顶点
A,B,C,D
的距离相
等，即点
O
为四面体的外接球的 球心，如图2所示.∴外接球的半径
ROA
54125
.故
V
球


R
3


.
236
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角
形斜边中点。
【例题 】：已知三棱锥的四个顶点都在球
O
的球面上，
ABBC
且
PA 7,PB5,PC51,AC10
求球
O
的体积。
解：
ABBC
且
PA7,PB5,PC51,AC10

因为
7
2
(51)
2
10
2
所以知:
AC
2
PA
2
PC
2

所以
APPC
所以可得图形为：
在
RtABC
中斜边为
AC

在
RtAPC
中斜边为
AC

取斜边的中点，

在
RtABC
中
OAOBOC

在
RtAPC
中
OPOBOC

所以在几何体中
OPOBOCOA
，即为该四面体的外接球的球心
R
AC4500
5
所以该外接球的体积为
V
球

R
3



233
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。


1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在 该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
（ ）
3
A．
3
4
B．
3
C．
3
3
4
D．
3

12
答案 B
2. 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
 2
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。
解:在
ABC
中
ABAC2
,
BAC120
, 可得
BC23
,由正弦定理,可
得
ABC

外接圆半径 r=2,设此圆圆心为
O

，球心为
O
，在
RTOBO< br>
中，易得
球半径
R5
，故此球的表面积为
4
< br>R
2
20

.
3．正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A,B
两点的球面距离
为

，则正三棱柱的体积为 ．
答案 8

4.表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球
的体积为
A．
D．
22


3
2
12

B．

C．


3
3
3
答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为
a
的正三角形，所以由
3a
2< br>823
知，
4
a1
，则此球的直径为
2
，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是
A.2
2
B.
答案 D
6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3

D. 1∶9
答案 C
7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，


且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
．
答案
4


3
9
8
32

，那么正方体的棱长等于（ ）
3
234243
C. D.
333

8. （天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个
顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．答案
14π

9.（全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的
球 面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为
cm
2
.
答案
242

10.（辽宁）如图，半径 为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF
，
则此正六棱锥的侧面积是________．
答案
67

11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

C
B


A
F
D
E
P
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2



12.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接



球的表面积为 （ ）
A．
3


C．
16


3
B．
2


D．以上都不对
答案C

23
13.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
3

A．

B．2π C．4π D．


答案C
8
3
4
3