红河学院教务管理系统-迎接新学期

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考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、
空间几何体的表面积与体积
1.（2010·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是（ ）
12
(A)
3
(B)
3
(C) 1 (D) 2
【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中档题.
【思路点拨】三视图

几何体是直三棱柱

该几何体的体积. 【规范解答】选C.由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的
底面是两直角边长分 别为
2
和1的直角三角形，棱柱的高为
2
，所以该几何
1
V (21)21.
2
体的体积
2.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已 知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，
BC=
2
,则球O的表面积等于（ ）
（A）4

(B）3

(C)2


【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.
【思路点拨】
建立空间坐标系 设球心坐标 球的半径
(D)


球的表面积

【规范解答】选A.
SA
平面ABC，AB，AC

平面ABC，
SAAB
，
SAAC
，
故 可以A为原点，AC所在的直线为
y
轴，AS所在的直线为
z
轴建立如图所示 的空间直
角坐标系A-xyz，则
A(0,0,0)
,
坐标为
B(
63
,,0)
33
,
C(0,3,0)
,
S(0, 0,1)
,设球心O
(x
0
,y
0
,z
0
)
，则点O到各顶点S，A，B，C的距离相等，都等于球的半径R.

x
0
2
y
0
2
z
0
2
R
2

6
2
3
2

(x)(y)(z
0
0)
2
R
2

00


3 3

(x0)
2
(y3)
2
(z0)
2
R
2
00

0
2222


( x
0
0)(y
0
0)(z
0
1)R
x
0
0,y
0

31
,z
0
,R
2
1
22
，
，
解得
2

球的表面 积为
4

R4

14

.故选A.
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- 1 -

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【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，
2.也可用另 外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球
心在过A C和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点
S，A，C的距离都相等， 且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，
3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.
3.（2010·辽宁高考理科 ·Ｔ12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁
条端点处相连能够焊接 成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
(A)（0,
62
） (B)（1,
22
） (C) (
62
,
62
） (D) （0,
22
）
【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系，考查空间想象能力和运算能力.
【思 路点拨】分两种情况，一种是长度为a的棱在一个三角形中，另一种情况是长度为a的棱不在一个三
角形 中，分别讨论.

【规范解答】选A.
对于第一种情况，取BC的中点D连结PD，AD，则
PD＝3， AD＝a
2
1,
在△PAD中，

对于第二种情况同理可以得到
0a22
，
综合两种情况，及
0 a4
，所以a的取值范围是（0,
62
）.
4.（2010·安徽高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图，
该几何体的表面积为（ ）
(A)280 (B)292
(C)360 (D)372
【命题立意】本题主要考查三视图知识，考查考生的空间想
象能力．
【思路点拨】把三视图转化为直观图，进而运算求解.
【规范解答】选 C.由几何体的三视 图可知，该几何体由两个长方
体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4
个侧面面积之和.其中下面的长方体的三边分别为8,10,2, 上面的
长方体的三边分别为6,2,8,所以该几何体的表面积为
2(81082102)2(6828)360
，故C正确.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决此题的关键，由三视图很容
易知道是两个长方体的组合体，画 出直观图，得出各个棱的长度，把几
何体的表面积转化为下面长方体的表面积加上面长方体的4个侧面面 积
之和.
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5.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图
（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
352320
（A）
3
cm3 （B）
3
cm3
224160
（C）
3
cm3 （D）
3
cm3
【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的
识别以及几何体体积的计算，属容易题.
【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积.
【规范解答】选B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为
1320
3
V4
2
22(4
2
8
2
48) cm
33
（cm3）.
【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分为几部分规则的几何体，再求体积和.
6.（2010·北京高考理科·Ｔ3）一个长方体
去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视
图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何
体的俯视图为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力.
【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图.
【规范解答】选C.由主、左视图可知直观图如图所示：

因此，俯视图是选项C.
7.（2010·北京高考理科·Ｔ8）如图，正方体ABCD-
点P，Q分别在棱AD，CD 上，若EF=1，
ＦＱ的体积（ ）
（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
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A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，动点E，F在棱
A
1B
1
上，动
A
1
E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于 零），则四面体PE
D
1
C
1
EF
B
1
- 3 -
A
1
D
A
P
Q
C
B

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（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
【命题立意】本题考查几何体体积的求法，关键是找到易求面 积的底面与高.考查空间想象能力，运算能力.
【思路点拨】把四面体PEFQ的体积表示出来，由于
EFQ
中，
EF1
，Q到EF的距离为侧面的对角线
长，故选择
EFQ
为底面.点P到
EFQ
的距离，即是点P到对角面
A1
B
1
CD
的距离.
2
11
z
V< br>PEFQ
S
EFQ
hS
EFQ
1222
【规范解答】选D.S△EFQ
2
，点P到平面EFQ的距离h=
2
，
1
z
EFQ·h
3
.因此体积只与
z
有关， 而与
x,y
无关.
D
1
C
1
A
1
EF
B
1
D
Q
C
A
P
B
8.（2010·北京高考文科·Ｔ8）如图，正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1

D
1
C
1
的棱长为2，动点E，F在棱
A
.点Q是CD的中点，动点P在
A
EF1
B
1
上
1
B
1
棱AD上，若EF=1，DP =x，
A
1
E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的
D
体积（ ）
Q
C
（A）与x，y都有关
A
P
B
（B）与x，y都无关
（C）与x有关，与y无关
（D）与y有关，与x无关
【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高.
【思路点拨 】把△EFQ看作底面，点P到对角面
A
1
B
1
CD
的距离 即为对应的高.
S
1
1
【规范解答】选C.
EFQ
2
2
EF
1
222
2
x
，点P到平面EFQ 的距离h=
2
.
V
112x
PEFQ

3S
EFQ
h
3
2
2
x
3
,与x有关，与y无关.
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3
S△
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D
1
C
1
EF< br>A
1
B
1
D
A
P
Q
C
B< br>
9.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为< br>a
，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为（ ）
11
27
2

a

a
22

a
3< br>3
（A） （B） （C） （D）
5

a

【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.
【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.
【规范解答 】选Ｂ.设球心为
O
，设正三棱柱上底面为
ABC
，中心为
O
，因为三棱柱所有棱的长为
a
，
则可知
OO



3
21
a
O

Aa
ROO
2
O

A
2
a
3
，又由球的相 关性质可知，球的半径
6
，所以
2
，
7
4

R
2


a
2
3
球的表面积为，故选Ｂ. 10.（2010·福建高考文科·Ｔ3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视
图如图所示，则其 侧面积等于（ ）
(A)
3
(B)2 (C)
23
(D)6
1
【命题立意】本题考查三棱柱的三视图、侧面积.
1 1
【思路点拨】由题意判断几何体的形状，结合三视图的数据求出侧面积.
【规范解答】选D. 由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6.
11.（2010·广东高考理科·Ｔ6）如图，△ ABC为正三角形，
AA


BB


CC

,
CC

⊥平面ABC 且
3
3
AA

=
2
BB

=
CC

=AB,则多面体ABC -
A

B

C

的正视图（也称主视图）是（ ）
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C'
B'
A'
C
AB


【命题立意】本题考查三视图的画法.
【思路点拨】可由投影的方法得到.
3''
【规范解答】选
D
.由
AA


BB

及3
AA

=
2
BB

可得四边形< br>ABBA
的投影为梯形，再由
3
3
AA

=
2
BB

=
CC

=AB及底面为正三角形可得正视图为
D
.
12.（2010 ·海南宁夏高考·理科T14）正视图为一个三角形的几何体可以是 (写出三种)．
【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图的相关知识.
【思路点拨】一般来说，锥体的正视图中才会出现三角形.
【规范解答】由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱
锥、圆锥、四棱锥等.
【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥（不唯一）
13.（2010·天津高考文科·Ｔ12）一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积为 .
【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，
属于容易题.
【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.
【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角 梯形，则由正视图
和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四 棱柱，所以该几何
1
（1+2）21=3
体的体积为
2
.
【答案】3
【方法技巧】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充 分的空间想象，结合三
视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”与“看 ”中，形体分析的看图
方法是解决此类问题的常见方法.
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14.（2010·湖南高考文科·Ｔ13）如图中的三个直角三角形是一个体
积为20 cm3的几何体的三视图，则h= cm.
【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化
为直观图的能力.
【思路点拨】三视图→直观图，特别注意数据转化.
【规范解答】在长方体ABCD-A1B1C1D1中体会三视图，
得到三视图的直观图是三棱锥D1-DAC，D1D⊥DA，
11
D1D⊥DC，且 DC=5，DA=6，则V=
3
·
2
·DA·DC·h=20,∴h=4cm .
【答案】4
【方法技巧】在把三视图转化为直观图时，常常利用长方体为载体进
行分析，常常注意三个方面：虚线和实线，面高和体高，垂直.
15.（2010·辽宁高考理科·Ｔ 15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的
三视图，则这个多面体最长 的一条棱的长为______.

【命题立意】考查了几何体的三视图和几何体中的简单计算.
【思路点拨】由三视图作出该几何体的直观图，判断出最长的棱，计算得出答案.
【规范解答 】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，（如图）底面ABCD是正方形，
边长是2，
PC底 面ABCD
，高PC＝2，
PB＝PD＝22
，
PA＝2
2
2
2
2
2
＝23
，所以最长的棱是PA，长为
23.
【答案】
23

16.（2010·浙江高考理科·Ｔ12）若某几何体的三视图（单位：cm）
如图所示，则此几何体的体积是___________
cm
.
【命题立意】本题考查三视图、体积的计算公式，考查空间想象能力、
运算能力.
【思路点拨】先由三视图想象出直观图，再分解求体积.
【规范解答】该几何体的直观图：上面是一个正四棱柱
（底面边长4，高2），下面是一个四棱台（上底面边长为4，
下底面边长为8，高为3）.因此，
3
1
4
2
2(4
2
8
2
48)3144
3
其体积为：.
【答案】144
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【方法技巧】（1）在由三视图画直观图时，要注意三视图中的尺寸与直观图中 尺寸间的对应关系.（2）求
复杂几何体的体积一般先把它分成几个简单的几何体，再分别求体积. < br>17.（2010·天津高考理科·Ｔ１2）一个几何体的三视图如图所示，则这
个几何体的体积 为 .
【命题立意】考查三视图的概念及锥体的体积公式.
【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.
【规范解答】由三视图可得该几何体是一个组合体 ，上面是一个高为1的
正四棱锥，其底是边长为2的正方形，下面是一个长为1、宽为1、高为
1410
V22122
333
. 2的长方体，所以所求几何体的体积为
10
【答案】
3

【方法技巧 】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，结合三
视图的形状 ，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”与“看”中，形体分析的看图
方法是解决 此类问题的常见方法.
18.（2010·福建高考理科·Ｔ12）若一个底面是正三角形的三棱柱的
正视图如图所示，则其表面积等于 .
1
【命题立意】本题主要考查三棱柱的三视图与直观图、表面积.
【思路点拨】 把三视图恢复成直观图，求出上、下底面和各个侧
1
1
面的面积，进而求出表面积.
【规范解答】三棱柱的直观图为底面边长为2的正三角形，侧棱 长为1，
1
S
上底面
S
下底面
233
S1236

侧
2
，，
S
表面积
S
上底面
S
下底面
S
侧
336623【答案】
623

.
19．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图 中的三个直角三角形是一个体积为20
cm
的几何体的三视图，
则
h

cm
．
3

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【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化为直观图的能力.
【思路点拨】三视图→直观图，特别注意数据转化.
【规范解答】在长方体ABCD-A1B 1C1D1中体会三视图，得到三视图的直观图是三棱锥D1-DAC，D1D⊥
DA，
11
D1D⊥DC，且DC=5，DA=6，则V=
3
·
2
·DA·DC ·h=20,∴h=4cm.
【答案】4
【方法技巧】在把三视图转化为直观图时，常常利 用长方体为载体进行分析.常常注意三个方面：虚线和实
线，面高和体高，垂直.


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