厦门招商银行-长沙环保学院

专题过关检测（十五） 空间几何体与空间位置关系
A级——“12＋4”提速练
1．已知直线
a
与直线
b
平 行，直线
a
与平面
α
平行，则直线
b
与
α
的关系为( )
A．平行
C．直线
b
在平面
α
内
B．相交
D．平行或直线
b
在平面
α
内
解析：选D 依题意，直线
a
必与平面
α
内的某直线平行，又
a
∥
b
，因此直线
b
与平
面
α
的位置关系是平行或直线
b
在平面
α
内．
2.如图，正方形
O
′
A
′
B
′
C
′的边长为2 cm，它是水平放置的
一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A．12 cm
C．4(1＋3)cm
B．16 cm
D．4(1＋2)cm
解析：选B 由直观图可得原图如图所示，且
OA
＝2 cm，
OB
＝2
O
′
B
′＝42 cm，所以
AB
＝6 cm，所以周长为16 cm.

3．(2019· 广东省七校联考)如图，在正方体
ABCD
­
A
1
B
1C
1
D
1
中，异
面直线
AC
与
A1
B
所成的角为( )
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°
解析：选C 如图，连接
CD
1
，
AD
1
，则
A
1
B
∥
CD
1< br>，∴∠
ACD
1
是异面
直线
AC
与
A
1
B
所成的角或其补角．易知△
ACD
1
是等边三角形，∴∠ACD
1
＝60°，∴异面直线
AC
与
A
1
B
所成的角为60°.故选C.

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表
面积为( )

A．2π
C．8π
B．5π
D．10π
1
解析：选C 由题得几何体原图是球被切割后剩下的，所以它的表面积 由三个部分组
4
111
222
成，所以
S
＝×4π×2＋× π×2＋×π×2＝8π.
422
5．已知
α
，
β
是两个 平面，
m
，
n
是两条直线，则下列命题中错误的是( )
A．如 果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
⊥
β
，那么
α
⊥
β

B．如果
m
⊂
α
，
α
∥
β
，那么
m
∥
β
C．如果
α
∩
β
＝
l
，
m
∥
α
，
m
∥
β
，那么
m
∥
l
D．如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
∥
β
，那么
α
⊥
β

解析：选D 对于A，如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，则
n
∥
α
或
n
⊂
α
，因为< br>n
⊥
β
，则
α
⊥
β
，
故正确；对于 B，如果
m
⊂
α
，
α
∥
β
，那么
m
与
β
无公共点，则
m
∥
β
，故正确；对于C，< br>如果
α
∩
β
＝
l
，
m
∥
α
，
m
∥
β
，则
m
∥
l
，故正确； 对于D，如果
m
⊥
n
，
m
⊥
α
，
n
∥
β
，那
么
α
与
β
的关系不确定，故错 误．
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的
三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )

A．2
C．4＋42
B．4＋22
D．4＋62
解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
，其直
观图如图所示，其中
AB
＝AA
1
＝2，
BC
＝
AC
＝2，∠
C
＝90°，侧面为
三个矩形，故该“堑堵”的侧面积
S
＝(2＋22)×2＝4＋42 .

7.如图，在三 棱锥
P
­
ABC
中，不能证明
AP
⊥
BC
的条件是( )
A．
AP
⊥
PB
，
AP
⊥
PC

B．
AP
⊥
PB
，
BC
⊥
PB

C．平面
BPC
⊥平面
APC
，
BC
⊥
P C

D．
AP
⊥平面
PBC

解析：选B A中， 因为
AP
⊥
PB
，
AP
⊥
PC
，
PB
∩
PC
＝
P
，所以
AP
⊥平面
PBC
.又
BC
⊂平面
PBC
，所以
AP
⊥
BC
，故A正确；C中，因为平面
BPC
⊥平面
APC
，平面
B PC
∩平面
APC
＝
PC
，
BC
⊥
PC< br>，所以
BC
⊥平面
APC
.又
AP
⊂平面
A PC
，所以
AP
⊥
BC
，故C正确；D中，由A知D正
确； B中条件不能判断出
AP
⊥
BC
，故选B.
1
8．如图， 圆锥形容器的高为
h
，容器内水深为
h
1
，且
h
1
＝
h
，若将圆锥形容器倒置，
3
水深为
h
2
，则
h
2
＝( )



2
A.
h

3
6
C.
h

3
3
B.
19
h

27
3
D.
19
h

3
4
解析：选D 设圆锥形容器的底面积为
S
，则倒置前水面的面积 为
S
，所以水的体积
V
9
11419
S
′

h
2

2
Sh
2
＝
Sh
－×< br>S
(
h
－
h
1
)＝
Sh
.设倒置后 水面的面积为
S
′，则＝

，所以
S
′＝
2，所
33981
S

h

h
3
33< br>1
Sh
2
19
Sh
2
19
以水的体积
V
＝
S
′
h
2
＝
2
，所以
Sh
＝
2
，解得
h
2
＝
h
.
33< br>h
813
h
3
9．在正方体
ABCD
­
A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
为 棱
CC
1
的中点，则异面直线
AE
与
CD
所成角的 正切值
为( )
A.
2

2
B.
3

2
2

C.



5

2
D.
7

2
解析：选C 如图，连接
BE
，因为
AB
∥
CD
，所以
AE
与
CD
所 成的角
为∠
EAB
.在Rt△
ABE
中，设
AB
＝ 2，则
BE
＝5，则tan ∠
EAB
＝＝
所以异面直线
A E
与
CD
所成角的正切值为
5
.
2
BE
AB
5
，
2
10．(2019·贵州适应性考试)设
m
，< br>n
是两条不同的直线，
α
，
β
，
γ
是三个不 同的平
面，给出下面四个命题：
①若
α
⊥
β
，
β
⊥
γ
，则
α
∥
γ
；②若
α
⊥β
，
m
⊂
α
，
n
⊂
β
，则< br>m
⊥
n
；③若
m
∥
α
，
n
⊂
α
，则
m
∥
n
；④若
α
∥
β< br>，
γ
∩
α
＝
m
，
γ
∩
β< br>＝
n
，则
m
∥
n
.
其中正确命题的序号是( )
A．①④
C．②③④
B．①②
D．④
解析：选D 对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，
在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；
对于 ③，直线
m
与
n
可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命 题④正确．故
正确命题的序号是④，选D.
11．如图，以等腰直角三角形
ABC< br>的斜边
BC
上的高
AD
为折痕，把△
ABD
和△ACD
折成
互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①< br>BD
⊥
AC
；②△
BAC
是等边三角形；③三棱锥
D
­
ABC
是正三棱锥；④平面
ADC
⊥平面
ABC
.
其中正确的结论是( )
A．①②④
C．②③④
B．①②③
D．①③④
解析：选B 由题意知，
BD
⊥平面
ADC
， 故
BD
⊥
AC
，①正确；
AD
为等腰直角三角形
A BC
的斜边
BC
上的高，平面
ABD
⊥平面
ACD
，所以
AB
＝
AC
＝
BC
，△
BAC
是等 边三角形，②正确；
易知
DA
＝
DB
＝
DC
，结合 ②知③正确；由①知④不正确．故选B.
12.如图，已知△
EAB
所在的平面与矩 形
ABCD
所在的平面互相垂

直，
EA
＝
EB
＝3，
AD
＝2，∠
AEB
＝60°，则多面体
E
­
ABCD
的外接球的表面积为( )
A.
16π

3
B．8π
D．64π C．16π

解析：选C 由题知△
EAB
为等边三角形，设球心为
O
，
O
在平面
AB CD
的射影为矩形
ABCD
的中心，
O
在平面
ABE
上的射影为△
EAB
的重
心
G
，又由平面
EAB
⊥平面
ABCD
，则△
OGA
为直角三角形，
OG
＝1，< br>AG
＝3，所以
R
＝4，所以多面体
E
­
ABCD< br>的外接球的表面积为4π
R
＝
16π.
13．(2019·北京高考 )已知
l
，
m
是平面
α
外的两条不同直线．给出下列三个论 断：
①
l
⊥
m
； ②
m
∥
α
； ③
l
⊥
α
.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
___________ _____________.
解析：已知
l
，
m
是平面
α
外的两条不同直线，
由①
l
⊥
m
与②
m
∥
α
，不能推 出③
l
⊥
α
，因为
l
可以与
α
平行，也可 以相交不垂直；
由①
l
⊥
m
与③
l
⊥
α
能推出②
m
∥
α
；
由②
m
∥
α
与③
l
⊥
α
可以推出①
l
⊥
m
.
故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.
答案：若
m
∥
α
且
l
⊥
α
，则
l
⊥
m
成立(或若
l
⊥
m
，
l
⊥
α
，则
m
∥
α
)
14.如图，在正三棱柱
ABC
­
A
1
B< br>1
C
1
中，
D
为棱
AA
1
的中点． 若
AA
1
＝4，
22
AB
＝2，则四棱锥
B
­
ACC
1
D
的体积为________．
解析：取
A C
的中点
O
，连接
BO
(图略)，则
BO
⊥
AC
，
所以
BO
⊥平面
ACC
1
D
.
因为
AB
＝2，所以
BO
＝3.
因为
D
为棱
AA
1
的中点，
AA
1
＝4，所以
AD
＝2，
1
所以
S
梯形
ACC
1
D
＝× (2＋4)×2＝6，
2
1
所以四棱锥
B
­
ACC
1
D
的体积为×6×3＝23.
3
答案：23
15．在棱长为 3的正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1D
1
中，
P
在线段
BD
1
上，且
上的 动点，则三棱锥
M
­
PBC
的体积为________．
BP1
＝，点
M
为线段
B
1
C
1
PD1
2

解析：因为
BP
11
＝，所以点
P
到平面
BCC
1
B
1
的距离是
D
1
到平面
BCC
1
B
1
距离的，即三棱
PD1
23
D
1
C
1
19
＝1.
M
为线段
B
1
C
1
上的动点，所以
S
△
M BC
＝×3×3＝，所以
V
M
­
PBC
＝
V
P
­
MBC
322
锥
P
­
MBC
的高< br>h
＝
193
＝××1＝.
322
3
答案：
2
16．(2020届高三·广东七校联考)在四棱锥
P
­
ABCD
中，四边形
ABCD
是边长为2
a
的正
方形，
PD
⊥底面
ABCD
，且
PD
＝2
a
，若在这个四棱锥内放一 个球，则该球半径的最大值为
________．
解析：由题意知，球内切于四棱锥
P
­
ABCD
时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为
O
，半径为
r
，连接
OA
，
OB
，
OC
，
O D
，
OP
，则
V
P
­
ABCD
＝
V
O
­
ABCD
＋
V
O
­
PAD
＋
V
O
­
PAB
＋
V
O
­
PBC
＋
V
O
­
PCD
，即
11
1
< br>2

×2
a
×2
a
×2
a
＝×
4
a
＋2××2
a
×2
a
＋2××2
a
×22
a

×
r
，解得
r
＝(2－2 )
a
.
22
3

答案：(2－2)
a

B级——拔高小题提能练
1．(2019·沈阳质量监测(一))如图，四棱锥
P< br>­
ABCD
的底面为矩形，
矩形的四个顶点
A
，
B< br>，
C
，
D
在球
O
的同一个大圆上，且球的表面积为1 6π，
点
P
在球面上，则四棱锥
P
­
ABCD
体积 的最大值为( )
A．8
C．16
2
1
3
8
B.
3
D.
16

3
解析：选D 设球的半径为
R
，由题知4π
R
＝16π， 则
R
＝2，再设大圆内的矩形长、
宽分别为
x
，
y
，由题知
x
＋
y
＝16，则矩形面积
xy
≤
22< br>x
2
＋
y
2
2
＝8，当且仅当
x
＝
y
时上式取等
号，即底面为正方形时，底面面积最大．四棱锥
P
­< br>ABCD
的高的最大值为2，故四棱锥
P
­
ABCD
116< br>体积的最大值为×8×2＝，选D.
33
2．(2019·合肥第二次质量检测)如图 ，正方形网格纸中的实线图形
是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )
A．2对
C．4对
B．3对
D．5对
解析：选C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与

底面垂直，且顶点在底面 上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥
S
­
ABCD
，平面
SCD
⊥平面
ABCD
.因为
AD
⊥
DC
，
BC
⊥
DC
，且平面
SCD
∩平面
AB CD
＝
DC
，所以
AD
⊥平面
SCD
，
B C
⊥平面
SCD
，所以平面
SAD
⊥平面
SCD
， 平面
SBC
⊥平面
SCD
.又由三视图知
SC
⊥
S D
，
同时由
AD
⊥平面
SCD
，知
AD
⊥
SC
，又
SD
∩
AD
＝
D
，所以
SC
⊥平面
SAD
，所以平面
SBC
⊥平面
SAD
.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C.
3．(2019·沈阳质量监测) 如图，在正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，下面
结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号 )
①
BD
∥平面
CB
1
D
1
；
②
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1
；
③异面直线
AC
与
A
1
B
成60°角；
④
AC
1
与底面
ABCD
所成角的正切值是2.
解析：对于①，
BD
∥
B
1
D
1
，
BD< br>⊄平面
CB
1
D
1
，
B
1
D
1
⊂平面
CB
1
D
1
，∴
BD
∥平面< br>CB
1
D
1
，①正确；
对于②，∵
AA
1< br>⊥平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，∴
AA
1
⊥
B
1
D
1
，连接
A
1
C
1
，又
A
1
C
1
⊥
B
1
D
1
，∴
B
1
D
1
⊥平面< br>AA
1
C
1
，
∴
B
1
D
1
⊥
AC
1
，同理
B
1
C
⊥
AC< br>1
，∴
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1< br>，②正确；对于③，易知
AC
∥
A
1
C
1
， 异面直线
AC
与
A
1
B
所成的角为∠
BA
1
C
1
，连接
BC
1
，又△
A
1
C
1
B
为等边三角形，∴∠
BA
1
C
1
＝ 60°，异面直
线
AC
与
A
1
B
成60°角，③正 确；对于④，
AC
1
与底面
ABCD
所成的角的正切值是
≠ 2，故④不正确．故正确的结论为①②③.
答案：①②③
4．已知在正四棱锥
S< br>­
ABCD
中，
SA
＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为< br>________．
解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为
a
，高为
h
，因为在正四棱锥
S
­
ABCD
中，
SA
1< br>2
2
3222
＝63，所以＋
h
＝108，即
a＝216－2
h
，所以正四棱锥的体积
V
S
­
ABCD
＝
ah
＝72
h
－
h
，
233
2
32
令
y
＝72
h
－
h
，则
y< br>′＝72－2
h
，令
y
′>0，得0<
h
<6，令< br>y
′<0，得
h
>6，所以当该棱锥
3
的体积最大时，它的高 为6.
答案：6

5．已知球
O
是正三棱锥(底面为正三角形， 顶点在底面的射影为底面中心)
A
­
BCD
的外
接球，
BC
＝3，
AB
＝23，点
E
在线段
BD
上，且
BD
＝3
BE
，过点
E
作球
O
的截面，则所得的
截面中面积最小的截面圆的面积是________．
解析：如图，设△
BDC的中心为
O
1
，球
O
的半径为
R
，
连接
AO
1
，
O
1
D
，
OD
，< br>O
1
E
，
OE
，
CC
1
12＝＝
AC
2
2
a
2

2
则
O
1
D
＝3sin 60°×＝3，
3AO
1
＝
AD
2
－
DO
2
1
＝3，
在Rt△
OO
1
D
中，
R
＝3＋(3－< br>R
)，解得
R
＝2，
∵
BD
＝3
BE
，∴
DE
＝2，
在△< br>DEO
1
中，
O
1
E
＝3＋4－2×3×2cos 30°＝1，
∴
OE
＝
O
1
E
＋
OO< br>1
＝2，
过点
E
作球
O
的截面，当截面与
OE
垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为2－2＝2，面积为2π.
答案：2π



22
22
22