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2017年吉林省长春市中考数学模拟试卷（1）



一、选择题

1．（3分）如图，在数轴上点M表示的数可能是（ ）


A．1.5 B．﹣1.5 C．﹣2.4 D．2.4

2．（3分）正 方形网格中的图形①～④如图所示，其中图①、图②中的阴影三角
形都有一个角是60°的直角三角形， 图③、图④中阴影三角形都是有一个角是60°
的锐角三角形，以上图形能围成正三棱柱的图形是（ ）

A．①和④ B．③和④ C．①和② D．②③④

3．（3分）20 16年“十一”期间，长春市净月潭国家森林公园累计接待游客14.50
万人次，将14.50万这个 数据用科学记数法表示正确的是（ ）

A．1.450×10 B．1.450×10
5
C．14.50×10
4
D．0.1450×10
6

4．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数 轴上表示如图，则该不等
式组的解集是（ ）


A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1

5．（3分）如图，矩形ABCD 的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，
则∠2的度数为（ ）


A．30° B．45° C．60° D．75°

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6．（3分）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部 分的面积分别是m，
n，则m﹣n等于（ ）


A．2 B．3 C．4 D．无法确定

7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边 形，则∠
ADC的大小为（ ）


A．45° B．50° C．60° D．75°

8．（3分）函数y=kx
2
﹣kx+m（k，m都是常数且k ≠0）的图象如上图，如果x=a
时，y＜0，那么x=a﹣1时，函数值（ ）


A．y=m B．y＜0


二、填空题

C．y＞m D．0＜y＜m

9．（3分）一个矩形的面积为a
2
+2a，若一边长为a，则另一边长为 ．

10．（3分）3月12日某班50名学生到郊外植树，平均每人植树a棵，则该班一
共植树 棵．

11．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC= cm．

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12．（3分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．


13．（3分）正方形ABCD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中，点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，
点A的坐标为（3 ，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH的周长为10，面
积为6，则点F的坐标为 ．


14．（3分）已知A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点 （即横、
纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作
出三个 正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，
则阴影部分的面积总和是 ．（用含π的代数式表示）




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三、简答题

15．（6分）已知a
2
﹣2a﹣2=0，求代数式的值．

16． （6分）在一个不透明的口袋中装有3个球，分别印有“学”、“数”、“学”，它
们除所印文字不同外 没有任何其他区别，从袋中随机摸出1个球记下文字后放
回，搅匀后，再随机摸出1个球，请用画树状图 （或列表）的方法，求两次摸到
的球上文字都是“学”的概率．

17．（6分）一辆 汽车从A地驶往B地，前路为普通公路，其余路段为高速公
路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 kmh，在高速路上行驶的速度为
100kmh，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，普通公路和高 速公路各是多少km？

18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一 边向外作等边三角形ACD，
点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

< br>19．（7分）如图，有一热气球到达A处时，仪器显示其正前方一高楼顶部B的
仰角是43°， 与楼的水平距离AC为12米，为了安全飞越高楼，气球应至少再上
升多少米？（结果精确到0.1米）

【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93 ]】


20．（7分）某校学生会为了了解本校2000名学生的上学方式，采用问 卷的方式
对一部分学生进行了调查，在确定调查对象时，大家提出了两种方案：（A）在全
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校随机抽取150名学生进行调查．（B）在七 年级随机抽取150名学生进行调查，
学生会选择了其中的一种正确的调查方案，在问卷调查时，每位被 调查时，每位
被调查的学生都选择了问卷中的一种上学方式，学生会将收集到的数据进行整
理， 绘制成如下的统计表．

某校150名学生上学方式统计表

方式

步行

骑车


划记


频数

15

51

45

30

9

150

乘公共交通工具

乘私家车

其他

合计






（1）学生会在确定调查对象时选择的正确方案是 （填“A”或“B”）．

（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名上学方式的情况绘制成合适
的统计图（绘制一 种即可）

（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地，请你结合
上述统计的全过程 ，再提出一条合理化建议．

21．（8分）某汽车租赁公司对某款汽车的租赁方式按时段计费 ，该公司要求租
赁方必须在9天内（包括9天）将所租汽车归还．租赁费用y（元）随时间x（天）的变化图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．

（1）当租赁时间不超过3天时，求每日租金．

（2）当6≤x≤9时，求y与x的函数解析式．

（3）甲、乙两人租赁该款汽车各 一辆，两人租赁时间一共为9天，甲租的天数
少于3天，乙比甲多支付费用720元．请问乙租这款汽车 多长时间？

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22．（9分）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．


（1）请你以 MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出
图形，并简要说明构造的方法；
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．
< br>23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE
（点G在 E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示DG的长；

（2）求点H落在AD上时t的值；

（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t
之间的函 数关系式；

（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．


24．（12分）如图一条抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）与x轴 有两个交点，那么以该
抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”< br>
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=﹣ x
2
+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的
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值；

（3）如图，△OAB是抛物线y =﹣x
2
+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在
以原点O为对称中心的 矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表
达式；若不存在，说明理由
（4）当抛物线y=mx
2
+nx（m＜0，n＞0）的“抛物线三角形”每边上任意一点 到其
他两边的距离之和总保持不变时，直接写出m、n取值范围．





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2017年吉林省长春市中考数学模拟试卷（1）

参考答案与试题解析



一、选择题

1．（3分）如图，在数轴上点M表示的数可能是（ ）


A．1.5 B．﹣1.5 C．﹣2.4 D．2.4

【考点】13：数轴．

【分析】根据数轴上点M的位置，可得点M表示的数．

【解答】解；点M表示的数大于﹣3且小于﹣2，

A、1.5＞﹣2，故A错误；

B、﹣1.5＞﹣2，故B错误；

C、﹣3＜﹣2.4＜﹣2，故C正确；

D、2.4＞﹣2，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查了数轴，数轴上点的位置关系是解题关键．



2．（3分）正方形网格中的图形①～④如图所示，其中图①、图②中的阴影三角
形都有一个角是60°的直角三角形，图③、图④中阴影三角形都是有一个角是60°
的锐角三 角形，以上图形能围成正三棱柱的图形是（ ）

A．①和④ B．③和④ C．①和② D．②③④

【考点】I7：展开图折叠成几何体．

【分析】利用正三棱柱 及其表面展开图的特点解题，正三棱柱是上下底面是全等
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的两正三角形，侧面是矩形，侧棱平行且相等的棱柱，并且上下底面的中心连 线
与底面垂直，也就是侧面与底面垂直．

【解答】解：∵正三棱柱上、下两底面是全等的两正三角形，

∴只有①和④2个图形符合要求，

故选：A．

【点评】本题考查 了三棱柱表面展开图，利用上、下两底面应在侧面展开图长方
形的两侧，且都是三角形得出是解题关键．



3．（3分）2016年“十一”期间，长春市净月潭国家森林公园累 计接待游客14.50
万人次，将14.50万这个数据用科学记数法表示正确的是（ ）

A．1.450×10 B．1.450×10
5
C．14.50×10
4
D．0.1450×10
6

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a× 10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原 数的绝对值＜1时，n
是负数．

【解答】解：将14.50万这个数据用科学记数法 表示正确的是1.450×10
5
，

故选：B．

【点评 】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10
n
的
形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．


4．（3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等
式组的解集是（ ）


A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．

【解答】解：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．

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故选：C．

【点评】本题考查了不等式组的解集的表示， 不等式的解集在数轴上表示出来的
方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜ ”空心圆点向左
画折线，“≤”实心圆点向左画折线．



5．（ 3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，
则∠2的度数 为（ ）


A．30° B．45° C．60° D．75°

【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质．

【分析】首先过点D作DE∥a ，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠
2+∠3，继而求得答案．

【解答】解：过点D作DE∥a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，

∵a∥b，

∴DE∥a∥b，

∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，

∴∠2=90°﹣30°=60°．

故选：C．


【点 评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此
题的关键．



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6．（3 分）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，
n，则m﹣n等于（ ）


A．2 B．3 C．4 D．无法确定

【考点】K3：三角形的面积．

【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．

【解答】解：设空白出图形的面积为x，

根据题意得：m+x=9，n+x=6，

则m﹣n=9﹣6=3．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出 关系式
是解决问题的关键．



7．（3分）如图，四边形ABC D内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠
ADC的大小为（ ）


A．45° B．50° C．60° D．75°

【考点】M6：圆内接四边形的性质；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理．

【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得
出β即可解决问题．

【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴∠ABC=∠AOC；

第11页（共31页）

，求

∵∠ADC=β，∠ADC=α；而α+β=180°，

∴，

解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，

故选：C．

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活
运用．



8．（3分）函数y=kx
2
﹣kx+m（k，m都是常数且k ≠0）的图象如上图，如果x=a
时，y＜0，那么x=a﹣1时，函数值（ ）


A．y=m B．y＜0 C．y＞m D．0＜y＜m

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【分析】由题意抛物线的对称轴x=，观察图 象可知，a﹣1＜0，由此即可解决
问题．

【解答】解：∵抛物线的对称轴x=﹣
∵x=a时，y＜0，

∴x=a﹣1＜0，

关系图象可知：x=a﹣1时，函数值y＞m，

故选：C．

【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知 识解决
问题，属于中考选择题中的压轴题．



二、填空题

9．（3分）一个矩形的面积为a
2
+2a，若一边长为a，则另一边长为 a+2 ．

第12页（共31页）

=，

【考点】4H：整式的除法．

【分析】根据矩形的面积和已知边长，利用多项式除以 单项式的法则计算即可求
出另一边长．

【解答】解：∵（a
2
+2a）÷a=a+2，

∴另一边长为a+2，

故答案为：a+2．

【点评】本题主要考 查多项式除以单项式的法则；熟练掌握多项式除以单项式的
法则是解决问题的关键．



10．（3分）3月12日某班50名学生到郊外植树，平均每人植树a棵，则该班一
共植树 50a 棵．

【考点】32：列代数式．

【分析】先根据平均每人植树a棵，得出50名学生植树的棵树，即可得出答案．

【解答】解：∵每人植树a棵，

∴50名学生植树50a棵，

∴该班一共植树50a棵；

故答案为：50a．

【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，列出代数式，是一道基
础题．



11．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC= 6 cm．


【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】延长 原矩形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACB，
根据翻折变换的性质可得∠1=∠ ABC，从而得到∠ABC=∠ACB，再根据等角对等
边可得AC=AB，从而得解．

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【解答】解：如图，延长原矩形的边，

∵矩形的对边平行，

∴∠1=∠ACB，

由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AC=AB，

∵AB=6cm，

∴AC=6cm．

故答案为：6．


【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记
各性 质是解题的关键，难点在于作出辅助线．



12．（3分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．


【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【分析】找出OB边上的格点C，连接AC， 利用勾股定理求出AO、AC、CO的长
度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根 据余弦=
即可得解．

【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，

根据勾股定理，AO=
AC=
OC=

计算
=2，

=
=
，

，

第14页（共31页）

所以，AO
2
=AC
2
+OC
2
=20，

所以，△AOC是直角三角形，

cos∠AOB=
故答案为：
=
．

=．


【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格
点C 并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．



13．（3分）正方形A BCD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴
或y轴，其中，点A，E在直线OM上， 点C，G在直线ON上，O为坐标原点，
点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形 EFGH的周长为10，面
积为6，则点F的坐标为 （7，5），（8，5） ．


【考点】LE：正方形的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性
质．
【分析】由A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1得出直线OM的解析
式， 再求出C点的坐标利用待定系数法求出直线ON的解析式；设矩形EFGH的
宽为a，则长为5﹣a，再 根据面积为6即可得出a的值，由点E在直线OM上设
点E的坐标为（e，e），由矩形的边长可用e表 示出F、G点的坐标，再根据G
点在直线ON上得出e的值，即可得出结论．

【解答】解：∵A的坐标为（3，3），

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∴直线OM的解析式为y=x，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴C（4，2），

设直线ON的解析式为y=kx（k≠0），

∴2=4k，

解得k=，

∴直线ON的解析式为：y=x；

设矩形EFGH的宽为a，则长为5﹣a，

∵矩形EFGH的面积为6，

∴a（5﹣a）=6，

解得：a=2或a=3，

当a=2即EF=2时，EH=5﹣2=3，

∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），

∴F（e，e﹣2），G（e+3，e﹣2），

∵点G在直线ON上，

∴e﹣2=（e+3），

解得：e=7，

∴F（7，5）；

当a=3即EF=3时，EH=5﹣3=2，

∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），

∴F（e，e﹣3），G（e+2，e﹣3），

∵点G在直线ON上，

∴e﹣3=（e+2），

解得：e=8，

∴F（8，5）．

故答案为：（7，5），（8，5）．

【点评 】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、一次函数解析式的求法；根据
题意得出直线ON的解析式是解 答此题的关键，在解答时要注意进行分类讨论．

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14．（3分）已知A，B，C是反比例函数y=（x ＞0）图象上的三个整点（即横、
纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线 段为边作
出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，
则阴 影部分的面积总和是 6﹣π ．（用含π的代数式表示）


【考点】GB：反比例函数综合题．

【专题】15 ：综合题．

【分析】由于A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、
纵坐标均为整数的点） ，利用整除性易得A点坐标为（1，4），B点坐标为（2，2），
C点坐标为（4，1），则三个正方 形的边长分别为1，2，1，而每个正方形内的阴
影部分的面积都等于正方形的面积减去一个圆的面积， 则根据正方形和圆的面积
公式得到阴影部分的面积总和=1﹣π•（）
2
+4﹣π•1
2
+1﹣π•（）
2
．

【解答】解：∵A，B，C是反比 例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、
纵坐标均为整数的点），

∴A点坐标为（1，4），B点坐标为（2，2），C点坐标为（4，1），

∴三个正方形的边长分别为1，2，1，

∴阴影部分的面积总和=1﹣π•（）2
+4﹣π•1
2
+1﹣π•（）
2

=6﹣π．

故答案为6﹣π．

【点评】本题考查了反比例函数综 合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐
标满足图象的解析式；运用正方形的性质和圆的面积公式进 行计算．

第17页（共31页）

三、简答题

15．（6分）已知a
2
﹣2a﹣2=0，求代数式< br>【考点】6D：分式的化简求值．

的值．

【专题】11 ：计算题．

【分析】将分母因式分解，同时将除法转化为乘法，通过约分计算分式的乘法，< br>将分母利用完全平方公式展开，由已知可得a
2
﹣2a=2，整体代入可得．

【解答】解：原式=
=
=


．

∵a
2
﹣2a﹣2=0，

∴a
2
﹣2a=2．

∴原式=．

【点评】本题 主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法
则是解题的关键，同时考查整体代入思 想．



16．（6分）在一个不透明的口袋中装有3个球，分别印有“学 ”、“数”、“学”，它
们除所印文字不同外没有任何其他区别，从袋中随机摸出1个球记下文字后放< br>回，搅匀后，再随机摸出1个球，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸到
的球上文字都是“ 学”的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：画树状图如下：


由树状图可知共有9种等可能结果，其中两 次摸到的球上文字都是“学”的有4种
结果，

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∴两次摸到的球上文字都是“学”的概率为．

【点评】本 题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重
不漏的表示出所有可能的结果．用到 的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．



17．（6 分）一辆汽车从A地驶往B地，前路为普通公路，其余路段为高速公
路，已知汽车在普通公路上行驶的速 度为60kmh，在高速路上行驶的速度为
100kmh，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，普通 公路和高速公路各是多少km？

【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】由题意得：从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公
路．得到：高速公路的长度 =普通公路长度的两倍；汽车从A地到B地一共行驶
了2.2h．最简单的是根据在普通公路的时间和在 高速公路的时间提出问题，再设
未知数，列方程组，解答问题．

【解答】解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）．

根据题意，得

，

解得，

答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．

【点评】本题考查了二元一 次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根
据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程， 再求解．



18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以 AC为一边向外作等边三角形ACD，
点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

第19页（共31页）

【考点】L6：平行 四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角
形的性质．

【分析 】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等
边三角形的性质可得A D=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠
CDE=30°，再有∠DCB=15 0°可证明DE∥CB；

（2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形． 根据（1）中所求
得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．

【解答】（1）证明：连结CE．

∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴CE=AB=AE．

∵△ACD是等边三角形，

∴AD=CD．

在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB．


，

（2）解：当AC=
理由：∵AC=
∴∠B=30°，

或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，

，∠ACB=90°，

第20页（共31页）

∵∠DCB=150°，

∴∠DCB+∠B=180°，

∴DC∥BE，又∵DE∥BC，

∴四边形DCBE是平行四边形．


【点评】此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四
边形 的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．



19 ．（7分）如图，有一热气球到达A处时，仪器显示其正前方一高楼顶部B的
仰角是43°，与楼的水平 距离AC为12米，为了安全飞越高楼，气球应至少再上
升多少米？（结果精确到0.1米）

【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93]】


【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】在直角三角形ABC中，利用正切值的定义求出BC的长即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，tan43°=，

即BC=AC•tan43°=12×0.93=11.16≈11.2（米），

答：气球应至少再上升约11.2米．

【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生 能借助仰角俯角构造直角三角形并
解直角三角形．



第21页（共31页）

20．（7分）某校学生会为了 了解本校2000名学生的上学方式，采用问卷的方式
对一部分学生进行了调查，在确定调查对象时，大 家提出了两种方案：（A）在全
校随机抽取150名学生进行调查．（B）在七年级随机抽取150名学 生进行调查，
学生会选择了其中的一种正确的调查方案，在问卷调查时，每位被调查时，每位
被 调查的学生都选择了问卷中的一种上学方式，学生会将收集到的数据进行整
理，绘制成如下的统计表．< br>
某校150名学生上学方式统计表

方式

步行

骑车


划记


频数

15

51

45

30

9

150

乘公共交通工具

乘私家车

其他

合计






（1）学生会在确定调查对象时选择的正确方案是 A （填“A”或“B”）．

（ 2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名上学方式的情况绘制成合适
的统计图（绘制一种即 可）

（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑
车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地，请你结合
上述统计的全过程，再 提出一条合理化建议．

【考点】VE：统计图的选择；V4：抽样调查的可靠性；V7：频数（率）分布表．

【分析】（1）根据抽取的样本是否具有随机性和代表性进行判断；

（2）根据抽样调查的结果，绘制成合适的统计图，如条形统计图，扇形统计图；

（3）根据抽样调查的结果，结合实际情况，提出一条合理化建议即可．

【解答】解 ：（1）∵（A）在全校随机抽取150名学生进行调查，具有代表性；
（B）在七年级随机抽取150 名学生进行调查，不具有波动性，

∴学生会在确定调查对象时选择的正确方案是A，

第22页（共31页）

故答案为：A；

（2）答案不唯一，绘制条形统计图或扇形统计图如下：


（3）乘私家车 上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域．（答
案不唯一）

【 点评】此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用以及抽样调查的随机性，根
据统计表得出各部分所占比 例是解题关键．



21．（8分）某汽车租赁公司对某款汽车的租赁方式 按时段计费，该公司要求租
赁方必须在9天内（包括9天）将所租汽车归还．租赁费用y（元）随时间x （天）
的变化图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．

（1）当租赁时间不超过3天时，求每日租金．

（2）当6≤x≤9时，求y与x的函数解析式．

（3）甲、乙两人租赁该款汽车各 一辆，两人租赁时间一共为9天，甲租的天数
少于3天，乙比甲多支付费用720元．请问乙租这款汽车 多长时间？


【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）根据函数图象由总租金÷租期就可以得出每天的租金；

（2）直接运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；

（3）设乙租这款 车a天，就有甲租用的时间为（9﹣a）天，分别表示出甲乙的
租金从而建立方程求出其解即可．

第23页（共31页）

【解答】解：（1）由函数图象，得

450÷3=150元；


（2）设BC的解析式为y=kx+b，由函数图象，得

，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为：y=210x﹣450（6≤x≤9）；


（3）设乙租这款车a（6＜a＜9）天，就有甲租用的时间为（9﹣a）天，由题意，
得

∴甲的租金为150（9﹣a），

乙的租金为210a﹣450，

∴210a﹣450﹣150（9﹣a）=720，

解得：a=7．

答：乙租这款汽车的时间是7天．

【点评】本题考查了单价=总价÷数量的运用，待 定系数法求一次函数的解析式
的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时三个问题是递进关系， 必须
依次解决每个问题才能求出最后一个问题．



22．（9分）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．


（1）请你以 MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出
图形，并简要说明构造的方法；
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

第24页（共31页）

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）以点N为圆心，以MQ长 度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ
长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．< br>
（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC
≌
△BCA ，得：
∠
B =∠E，
AB=CE
，
根据等量代换可以求得答案．

【解答】解：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，
以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．


主要根据“SSS”判定三角形的全等．

（2）如图3，


延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．．

∵∠ACB+∠DAC=180°，∠DAC+∠EAC=180°

∴∠ACB=∠EAC

在△EAC和△BAC中，


∴△EAC≌△BCA （SAS）

∴∠B=∠E，AB=CE

∵∠B=∠D，

∴∠D=∠E

∴CD=CE

∴CD=AB．

第25页（共31页）

【点评】本题考查了尺规作图方法以及三角形全等的判定方法，解答本题的关键
是要 学会辅助线的作法，给解题创造更便捷的方法．



23．（10分）如图 ，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点
E从点B出发，以每秒1 个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE
（点G在E上方），以EG为对角线作 正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示DG的长；

（2）求点H落在AD上时t的值；

（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t
之间的函 数关系式；

（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．


【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）由于点E在射线BD上移 动，所以点G有两种情况：①点G在线段
BD上，②点G在BD的延长线上；

（2） 正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别
计算出点H在AD上、点 G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；

（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当 点E与点D重合时，计算出△BHF的
面积即可．

【解答】解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

第26页（共31页）

由勾股定理可知：BD=4，

当点G在线段BD上时，DG=4﹣3t，

当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t﹣4；


（2）在等腰直角△DHE中，

DE=4﹣t

∴DH=DE=4﹣t，

在等腰直角△DHG中，

DG=3t﹣4，

∴DH=DG=3t﹣4

∴4﹣t=3t﹣4

∴t=2；


（3）当点G与点D重合时，

此时，BE+EG=BD

∴t+2t=4

∴t=，

当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，

当点E与D重合时，

此时，BE=BD=4

∴t=4，

如图2，当0≤t≤时，

此时，HE=EG=t，

∴S=HE
2
=2t
2
，

如图3，当
此时，HE=GE=
时，

t，DE=4﹣t，DG=3t﹣4

正方形EFGH的面积为：HE
2
=2t
2
，

第27页（共31页）

∴S=2t
2
﹣（3t﹣4）
2
﹣[
=t
2
+10t﹣4，

+t][t﹣]

如图4，当2＜t≤4时，

此时，DE=4﹣t，

∴S=

+（4﹣t）
2
=t
2
﹣6t+12，

（4）当点E到达点D时，

连接BH，BF，

∴线段FH扫过的图形为△BHF，

此时，GD=HF=8，BD=4，

∴△BHF的面积为：×8×8=32．



第28页（共31页）

【点评】本题考查动点问题，涉及到正方形和等腰直角三角形的性质，需要学生
对其进行分类讨论，考 查学生的分析能力和灵活运用知识的能力．



24．（12分）如图一条 抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该
抛物线的顶点和 这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”

（1）“抛物线三角形”一定是 等腰 三角形；

（2）若抛物线y=﹣x
2
+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的
值；

（ 3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x
2
+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在
以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表
达式；若不 存在，说明理由

（4）当抛物线y=mx
2
+nx（m＜0，n＞0）的“ 抛物线三角形”每边上任意一点到其
他两边的距离之和总保持不变时，直接写出m、n取值范围．

第29页（共31页）

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两 交点连线的垂直平分线上，因此
这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．

（2）观 察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点
在第一象限，而这个“抛物线三 角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、
纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值 ．

（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩
形 ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是
等边三角形，首 先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等
量关系求出b′的值，进而确定A 、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定
系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．

（4）由（3）可得结论．

【解答】解：（1）如图；

根据抛物 线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，
即：“抛物线三角形”必为 等腰三角形．

故填：等腰；


（2）当抛物线y=﹣x
2
+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

该抛物线的顶点（，
则b=2；


），满足=（b＞0）．

（3）存在．

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．

当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，

第30页（共31页）

又∵AO=AB，

∴△OAB为等边三角形．

∴∠AOB=60°，

作AE⊥OB，垂足为E，

∴AE=OE tan∠AOB=
∴
∴b′=2
∴A（
∴C（﹣
=•
．
，3），B（2，0）．

，0）．

OE．

（b＞0）．

，﹣3），D（﹣2
设过点O、C、D的抛物线为y=mx< br>2
+nx，则

，

解得．

x；

故所求抛物线的表达式为y=x
2
+2

（4）由（3）得，m＜0，n=2．


【点评】本题主要考查了二次函数 的性质且融入了新定义的形式，关键是掌握二
次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、 矩形的判定和性质等
知识．



第31页（共31页）