个人简历特长怎么写-回复函范文

课下层级训练(三十五) 空间几何体的表面积与体积
[A级 基础强化训练]
1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍
C．2倍
B．22倍
3
D．2倍
4
3
【答案】B [由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积
V
＝π
R
，知体积扩大到原来的22倍．]
3
2．在△
ABC
中，
AB
＝2，
BC
＝1.5，∠
ABC
＝120°(如 图所示)，若将△
ABC
绕直线
BC
旋转一周，则形成的旋
转体的体 积是( )

9π
A．
2
5π
C．
2
7π
B．
2
3π
D．
2
【答案】D [依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，

OA
＝
AB
·cos 30°＝2×
313π
2
＝ 3，所以旋转体的体积为π·(3)·(
OC
－
OB
)＝.]
23 2
3．(2019·山东东营模拟)表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ( )
A．12π
32π
C．
3

B．8π
D．4π
1

【答案】A [设正方体的棱长为
a
，因为表面积为24，即6
a
＝24，得
a
＝ 2，正方体的体对角线长度为
23
2222
2＋2＋2＝23， 所以正方体的外接球半径为
r
＝＝3， 所以球的表面积为
S
＝4π
r
＝12π.]
2
4．(20 18·全国卷Ⅰ)在长方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
BC
＝2，
A C
1
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角为30 °，则该长方
体的体积为( )
A．8
C．82
【答案】C [如图，连接
AC
1
，
BC
1
，
AC
.
B．62
D．83
2

∵
AB
⊥平面
BB
1
C
1
C
，
∴∠
AC
1
B
为直线
AC
1
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角，
∴∠
AC
1
B
＝30°.又
AB
＝
BC
＝2，在Rt△
ABC
1
中，
AC
1
＝
在Rt△
ACC
1
中，
CC
1
＝
AC
1
－
AC
＝4－2＋ 2
∴
V
长方体
＝
AB
×
BC
×
C C
1

＝2×2×22＝82.]
5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长 、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的表面积为< br>________.
【答案】14π [∵长方体的顶点都在球
O
的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．
设球的半径为
R
，
则2
R
＝3＋2＋1＝14.
∴球
O
的表面积为
S
＝4π
R
＝4π×

2
222
22222
2
＝4，
sin 30°
＝22，

14

2

＝14π.]

2

6．(2017·江苏卷)如图，在圆柱
O
1
O
2
内有 一个球
O
，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱
O
1
O< br>2
的体积为
V
1
，球
O
的体积为
V
2
，则的值是________.
V
1
V
2

2

3
【答案】 [设球
O
的半径为
R
，
2
∵球
O
与圆柱
O
1
O
2
的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱
O
1
O
2
的高为2
R
，底面半径为
R
.
V
1
π
R
2
·2
R
3
∴＝＝.]
V
2
42
3
π
R
3
7．现有橡皮泥制作的 底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新
制作成总体积与高均 保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
1
2
1
222
【答案】7 [设新的底面半径为
r
，由题意得π
r
·4＋π
r
·8＝π×5×4＋π×2×8，解得
r
＝7.]
33
8．(2019·山东潍坊检测)已知正三棱锥
P
﹣
ABC
的侧面是直角三角形，
P
﹣
ABC
的顶点都在球O
的球面上，
正三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为36，则球
O
的表面积为________.
【答案】108π [∵正三棱锥
P﹣
ABC
，
PA
，
PB
，
PC
两两垂 直，∴此正三棱锥的外接球即以
PA
，
PB
，
PC
为
23
R
三边的正方体的外接球
O
，设球
O
的半径为
R
，则正方体的边长为，∵正三棱锥
P
﹣
ABC
的体积为36，
3
11123
R
23
R
23
R
2
∴
V
＝×
S
△
PAC
×
PB
＝××××＝ 36，∴
R
＝33，∴球
O
的表面积为
S
＝4π
R
＝108π.]
332333
9．如图(a)，在直角梯形
ABCD
中，∠
ADC
＝90°，
CD
∥
AB
，
AB＝4，
AD
＝
CD
＝2，将△
ADC
沿
AC< br>折起，使平
面
ADC
⊥平面
ABC
，得到几何体
D< br> ­
ABC
，如图(b)所示．

(1)求证：
BC
⊥平面
ACD
；
(2)求几何体
D
­
ABC
的体积．

3

【答案】(1)证明 在图中，可得
AC
＝
BC
＝22，
从而
AC
＋< br>BC
＝
AB
，故
AC
⊥
BC
，
又 平面
ADC
⊥平面
ABC
，平面
ADC
∩平面
AB C
＝
AC
，
BC
⊂平面
ABC
，∴
BC< br>⊥平面
ACD
.
(2)解 由(1)可知，
BC
为三棱锥
B
­
ACD
的高，
BC
＝22，
222
S
△
ACD
＝2，∴
V
B
­
ACD
＝
S
△< br>ACD
·
BC
＝×2×22＝
1
3
1
342
，
3
42
由等体积性可知，几何体
D
­
ABC
的体积为.
3
[B级 能力提升训练]
10．(201 7·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱
的体 积为( )
A．π
π
C．
2
3π
B．
4
π
D．
4
【答案】B [设圆柱的底面半径为
r
，球的半径为
R
，且
R
＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r
，
R
及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴
r
＝
3

1

22
1－

＝.

2

2
33π
2
∴圆柱的体积为
V
＝π
rh
＝π×1＝.]
44
11．在三棱锥
P
­
A BC
中，
PA
⊥平面
ABC
且
PA
＝2，△
ABC
是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表
面积为( )
4π
A．
3
C．8π
B．4π
D．20π
【答案】C [由题意得，此三棱锥外接球即为以△
ABC
为底面、以
PA< br>为高的正三棱柱的外接球，因为△
ABC
的外接圆半径
r
＝
3 2
×3×＝1，外接球球心到△
ABC
的外接圆圆心的距离
d
＝1， 所以外接球的半径
R
＝
23
r
2
＋
d
2< br>＝2，所以三棱锥外接球的表面积
S
＝4π
R
2
＝8π.]
12．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，< br>SB
互相垂直，
SA
与圆锥底面所成角为30°.若△
SAB
的面积为8，则该圆锥的体积为________.
1
2
【答案】8π [在Rt△
SAB
中，
SA
＝
SB
，
S
△
S AB
＝·
SA
＝8，
2
解得
SA
＝4.
设圆锥的底面圆心为
O
，底面半径为
r
，高为
h
，
在Rt△
SAO
中，∠
SAO
＝30°，

4

所以
r
＝23，
h
＝2，
11
2 2
所以圆锥的体积为π
r
·
h
＝π×(23)×2＝8π.] 33
13．(2018·天津卷)已知正方体
ABCD
­
A
1< br>B
1
C
1
D
1
的棱长为1，除面
ABCD< br>外，该正方体其余各面的中心分别为
点
E
，
F
，
G< br>，
H
，
M
(如图)，则四棱锥
M
­
EFGH
的体积为________.

121
【答案】 [依题意，易知四棱锥
M
­
EFGH
是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.
1222
1

2

2
11
故
V< br>M
­
EFGH
＝×

×＝.]
3
2

212
14．(2019·广东茂名模拟)如图，在四棱锥
P
­
ABCD
中，
PA
⊥底面
ABCD
，底面
AB CD
为菱形，∠
ABC
＝60°，
PA
＝
AB
＝2 ，过
BD
作平面
BDE
与直线
PA
平行，交
PC< br>于点
E
.

(1)求证：
E
为
PC
的中点；
(2)求三棱锥
E
­
PAB
的体积．
【答案】(1)证明 如图，连接
AC
，设
AC
∩
BD
＝
O
，连 接
OE
，则
O
为
AC
的中点，且平面
PAC
∩平面
BDE
＝
OE
，

∵
PA
∥平 面
BDE
，∴
PA
∥
OE
，∴
E
为
PC
的中点．
(2)解 由(1)知，
E
为
PC
的中点 ，∴
V
三棱锥
P
­
ABC
＝2
V
三棱锥
E
­
ABC
.
由底面
ABCD
为菱形，∠
ABC
＝60°，
AB
＝2，得
S
△
ABC
＝
1123
∴
V
三棱 锥
P
­
ABC
＝
S
△
ABC
·
PA
＝×3×2＝.
333
又
V
三棱锥
P
­< br>ABC
＝
V
三棱锥
E
­
ABC
＋
V
三棱锥
E
­
PAB
，
13
∴
V
三棱锥
E
­
PAB
＝
V
三棱锥
P
­
ABC
＝.
23

5
3
2
×2＝3，
4

< br>15．(2019·贵州贵阳质检)如图，△
ABC
内接于圆
O
，AB
是圆
O
的直径，四边形
DCBE
为平行四边形，
D C
⊥
平面
ABC
，
AB
＝2，
EB
＝3.

(1)求证：
DE
⊥平面
ACD
；
(2)设< br>AC
＝
x
，
V
(
x
)表示三棱锥
B
－
ACE
的体积，求函数
V
(
x
)的解析式及最大 值．
【答案】(1)证明 ∵四边形
DCBE
为平行四边形，
∴
CD
∥
BE
，
BC
∥
DE
.
∵
DC
⊥平面
ABC
，
BC
⊂平面
ABC
，∴
DC
⊥
BC
.
∵
AB
是圆
O
的直径，∴
BC
⊥
AC
，且
DC
∩
AC
＝
C
，
DC
，
AC
⊂平面
ADC
，
∴
BC
⊥平面
ADC
.
∵
DE
∥
BC
，∴
DE
⊥平面
ADC
.
(2)解 ∵
D C
⊥平面
ABC
，∴
BE
⊥平面
ABC
.
在Rt△
ABE
中，
AB
＝2，
EB
＝3. 在Rt△
ABC
中，∵
AC
＝
x
，∴
BC＝4－
x
(0<
x
<2)，
11
2
∴
S
△
ABC
＝
AC
·
BC
＝
x
·4－
x
，
22
∴
V
(
x
)＝
V
三棱锥
E
­
ABC
＝
22
2
3
x
·4－
x
2
(0<
x
<2)．
6
x< br>2
＋4－
x
2

2
3

22
∵
x
(4－
x
)≤

＝4，当且仅当
x
＝4－
x
，即
x
＝2时取等号，∴当
x
＝2时，体积有最大 值.

2
3





6