绿山墙的安妮读后感-休斯顿有哪些大学

第三节

空间点、直线、平面间的位置关系


[知识能否忆起]
一、平面的基本性质
名称 图示 文字表示
如果一条直线上的两
公理1

点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内
过不在一条直线上的
公理2

三点，有且只有一个平
面
如果两个不重合的平
公理3


二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类

相交直线：同 一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线



平行直 线：同一平面内，没有公共点；



异面直线：不同在任何一个平面内，没 有公共点.
符号表示
A∈l，B∈l，且A∈α，
B∈α⇒l⊂α

面有一个公共点，那么
它们有且只有一条过
该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β
＝l，且P∈l



2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点 O作直线a′∥a，b′∥b，把a′
与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
π
0，

. (2)范围：


2


三、直线与平面的位置关系
位置关系
直线l在平面α内
直线l与平面α相交

直线l与平面α平行

四、平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行

两个平面相交


1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上
的点在 平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平
面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．







典题导入

平面的基本性质及应用
α∩β＝l 无数个(这些公共点均在交线l上)
图示 符号表示
α∥β
公共点个数
0个

l∥α 0个
图示

符号表示
l⊂α
l∩α＝A
公共点个数
无数个
一个

[例1] (2012·湘潭模拟)如图所示，在正方 体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为 AB的中点，F
为A
1
A的中点，
求证：CE，D
1
F，DA三线共点．
[自主解答]
1
∵EF綊
CD
1
，
2
∴直线D
1
F和CE必相交．
设D
1
F∩CE＝P，
∵P∈D
1
F且D
1F⊂平面AA
1
D
1
D，
∴P∈平面AA
1
D
1
D.
又P∈EC且CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA
1
D
1
D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA
1
D
1
D＝AD.
∴P∈AD.
∴CE、D
1
F、DA三线共点．

本例条件不变试证明E，C，D
1
，F四点共面．
证明：∵E，F分别是AB和AA
1
的中点，
1
∴EF綊
A
1
B.又A
1
D
1
綊B
1
C
1
綊BC.
2
∴四边形A
1
D
1
CB为平行四边形．
∴A
1
B∥CD
1
，从而EF∥CD
1
.
∴EF与CD
1
确定一个平面．
∴E，C
1
，F，D四点共面．

由题悟法
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直
线上．

2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线 (或点)确
定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别
确定平面，再证平面重合．
以题试法
1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是( )
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①
正确；
由顶点 A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，
其垂足是△BCD的三条高线的交点，故② 错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，
故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依 次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四
边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱 中点的连线也过它们的交点，故④正确．
答案：(1)C (2)①④



典题导入
[例2] (2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三 棱柱的顶点或所在棱的中点，
则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有 正确答案的序号)
异面直线的判定

[自主解答] 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
[答案] ②④
由题悟法
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行
或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此
法在异面直线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直 线，与平面内不过该
点的直线是异面直线．
以题试法
2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：
①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．
③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．
则四个结论中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B ①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面， 当点P在这个平
面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的
平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取
一点 作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．



异面直线所成角

典题导入
[例3] (2012·大纲全国卷)已 知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，E，F分别为BB
1
，CC
1
的
中点，那么异面直线AE与D1
F所成角的余弦值为________．
[自主解答] 连接DF，则AE∥DF，
∴∠D
1
FD即为异面直线AE与D
1
F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D
1
D＝a，DF＝
55
a，D
1
F＝a， < br>22
∴cos∠D
1
FD＝

5
a

2
＋

5
a

2
－a
2
2

2

3
55
2·a·a
22
＝
.
5
3
[答案]
5
由题悟法
求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：
(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角， 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，
如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
以题试法
3．(2012·唐山模拟)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABC D是边长为2的
正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )
25
A.
5
4
C.
5

B.
5

5
3
D.
5
解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形 ，故CD
∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△
PAB内，P B＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知：
PA
2
＋AB
2
－ PB
2
5＋4－5
5
cos ∠PAB＝＝＝.
2×PA×AB
2×2×5
5

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )

A．异面
C．不可能平行
B．相交
D．不可能相交
解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能 为平行直
线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．
2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0
C．2








B．1
D．3
解析：选C ①④错误，②③正确．
3．已知空间中有三条线段AB，BC 和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的
位置关系是( )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：选D 若三条线段共面，如果AB ，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD
相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线A B与CD是异面直
线．
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，E，
F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B
1
C与EF所成的角的大小为
________．
解析：连接B
1
D
1
，D
1
C，
则B
1
D
1
∥EF，
故∠D
1
B
1
C为所求，又B
1
D
1
＝B
1
C＝D
1
C，
∴∠D
1
B
1
C＝60°.
答案：60°
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中既与AB共面又与CC
1
共面的棱的 条
数为________．

解析：如图，与AB和CC
1
都 相交的棱有BC；与AB相交且与CC
1
平行的棱有AA
1
，
BB< br>1
；与AB平行且与CC
1
相交的棱有CD，C
1
D
1
，故符合条件的棱共有5条．
答案：5


第四节

直线、平面平行的判定及性质


[知识能否忆起]
一、直线与平面平行
1．判定定理

文字语言
平面外一条直线与此平
判定定理 面内的一条直线平行，则
直线与此平面平行

2．性质定理

文字语言
一条直线与一个平面平
性质定理
行，则过这条直线的任
一平面与此平面的交线
与该直线平行


二、平面与平面平行
1．判定定理

文字语言 图形语言 符号语言

图形语言 符号语言

图形语言 符号语言


a⊄α


b⊂α

⇒a∥α
b∥a


a∥α


a⊂β

⇒a∥b
α∩β＝b



一个平面内的两条相交
判定定理 直线与另一个平面平
行，则这两个平面平行



a⊂α
b⊂α


a∩b＝P
⇒α∥

a∥β


b∥β
β

2．两平面平行的性质定理

文字语言
如果两个平行平面同时
性质定理 和第三个平面相交，那
么它们的交线平行





1. 平行问题的转化关系：
线∥线判定
判定
性质
图形语言 符号语言
α∥β



α∩γ＝a

⇒a∥b
β∩γ＝b


―→
面∥面性质 线∥面
―
性质< br>判定
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，
但也要注 意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．辅助线(面)是求证平行问 题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有
关平行性质的应用．





典题导入
[例1] (2011·福建高考)如图，正方体 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝ 2，
点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB
1
C，则线段EF的长度等于________．
线面平行、面面平行的基本问题

[自主解答] 因为直线EF∥平面AB
1
C，EF⊂平面ABCD， 且平面AB
1
C∩平面ABCD＝
AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点， 所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF
1
＝
AC.又因为在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，所以AC ＝22.所以EF＝2.
2
[答案] 2

本例条件变为“E是AD中点 ，F，G，H，N分别是AA
1
，A
1
D
1
，DD
1
与D
1
C
1
的中点，
若M在四边形EFGH及其内部运动 ”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A
1
C
1
CA.
解：如图，
∵GN∥平面AA
1
C
1
C，
EG∥平面AA
1
C
1
C，
又GN ∩EG＝G，
∴平面EGN∥平面AA
1
C
1
C.
∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA
1
C
1
C.

由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽
视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
以题试法
1．(1)(20 12·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直
线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
解析：选C 由直线 l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有
一条公共直线，设该公共直线为m，因 为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直
线只有一条，且在平面α内．

< br>(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l
1
，l
2
表示直线，α ，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l
1
⊂β，
l
2
⊂β，l
1
∩l
2
＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l
1
∥α
C．m∥β且n∥l
2



B．m∥β且n∥β
D．m∥l
1
且n∥l
2

解析：选D 由定理“如果一个 平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这
两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.



典题导入
[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱 柱ABC－A′B′C′，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B< br>和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
1
(2)求三 棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，
3
其中S为底面面积，h为高)
[自主解答] (1)证明：法一：连接AB′、AC′，因为点M，N
分别是A′B和B′C′的中点，
所以点M为AB′的中点．
又因为点N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′，
AC′⊂平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
法二：取A′B′的中点P.连接MP.
而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，
PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，
因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，
直线与平面平行的判定与性质

因此MN∥平面A′ACC′.
(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B ′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝
B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
1
又A′N＝
B′C′＝1，
2
111
故V
A< br>′
－MNC
＝V
N－A
′
MC
＝V
N－A< br>′
BC
＝V
A
′
－NBC
＝.
22611
法二：V
A
′
－MNC
＝V
A
′
－NBC
－V
M－NBC
＝V
A
′
－NBC
＝.
26
由题悟法
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线， 可先直观判断平
面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过
已知直线作一平面找其交线．
以题试法
2．(2012·淄博模拟)如图，在棱 长为2的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1中，E，F分别是BD，BB
1
的中点．
(1)求证：EF∥平面A
1
B
1
CD；
(2)求证：EF⊥AD
1
.
解：(1)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，连接B
1
D，
在平面BB
1
D内，E，F分别为BD，BB
1
的中点，
∴EF∥B
1
D.
又∵B
1
D⊂平面A
1
B
1
CD.
EF⊄平面A
1
B
1
CD，
∴EF∥平面A
1
B
1
CD.
(2)∵ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
是正方体，
∴AD
1
⊥A
1
D，AD
1
⊥A
1
B
1
.
又A
1
D∩A
1
B
1
＝A
1
，
∴AD
1
⊥平面A
1
B
1
D.
∴AD
1
⊥B
1
D.
又由(1)知，EF∥B
1
D，∴EF⊥AD
1
.

平面与平面平行的判定与性质

典题导入
[例3] 如图，已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的正方体，点E
在AA
1
上，点F在CC
1< br>上，G在BB
1
上，且AE＝FC
1
＝B
1
G＝1， H是
B
1
C
1
的中点．
(1)求证：E，B，F，D
1
四点共面；
(2)求证：平面A
1
GH∥平面BED
1
F.
[自主解答] (1)在正方形AA
1
B
1
B中，
∵AE＝B
1
G＝1，
∴BG＝A
1
E＝2，
∴BG綊A
1
E.
∴四边形A
1
GBE是平行四边形．
∴A
1
G∥BE.
又C
1
F綊B
1
G，
∴四边形C
1
FGB
1
是平行四边形．
∴FG綊C
1
B
1
綊D
1
A
1
.
∴四边形A
1
GFD
1
是平行四边形．
∴A
1
G綊D
1
F.
∴D
1
F綊EB.
故E，B，F，D
1
四点共面．
(2)∵H是B
1
C1
的中点，∴B
1
H＝
3
2
.
又B
1
G＝1，∴
B
1
G2
B
1
H
＝
3
.
又
FC
BC
＝
2
3
，且∠FCB＝ ∠GB
1
H＝90°，
∴△B
1
HG∽△CBF.
∴∠B
1
GH＝∠CFB＝∠FBG.

∴HG∥FB. < br>∵GH⊄面FBED
1
，FB⊂面FBED
1
，∴GH∥面BED1
F.
由(1)知A
1
G∥BE，A
1
G⊄面FBE D
1
，BE⊂面FBED
1
，
∴A
1
G∥面BED
1
F.
且HG∩A
1
G＝G，
∴平面A
1
GH∥平面BED
1
F.
由题悟法
常用的判断面面平行的方法
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
以题试法
3．(201 2·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯
形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥N C，MN⊥MB.
(1)求证：平面AMB∥平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.
证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，
所以MB∥平面DNC.
又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.
又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.
所以MA∥平面DNC.
又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，
所以平面AMB∥平面DNC.
(2)因为四边形AMND是矩形，
所以AM⊥MN.
因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，
所以AM⊥平面MBCN.
因为BC⊂平面MBCN，

所以AM⊥BC.
因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，
所以BC⊥平面AMC.
因为AC⊂平面AMC，
所以BC⊥AC.

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两
平面才能平行，故D正确．
2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；
对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；

对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正
确．
3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线
l与 平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
D．l∥α或l⊂α C．l与α相交且不垂直
解析：选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时
也成立．

4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．
解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．
答案：平行或异面
5．( 2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是DD
1
的中点，则BD
1
与平面ACE
的位置关系为________．
解析：如图．
连接AC，BD交于O点，连接OE，因为 OE∥BD
1
，而OE⊂平面ACE，
BD
1
⊄平面ACE，所以B D
1
∥平面ACE.
答案：平行

第五节

直线、平面垂直的判定与性质


[知识能否忆起]
一、直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言
一条直线与一个平面
判定定理
内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平
面垂直
如果在两条平行直线
推论
中，有一条垂直于平
面，那么另一条直线也
垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理


图形语言 符号语言
a，b⊂α
l⊥a
a∩b＝O
l⊥b



⇒l⊥α



a∥b



⇒b⊥α
a⊥α



性质定理


文字语言
垂直于同一个平面的两
条直线平行
图形语言 符号语言


a⊥α



⇒a∥b

b⊥α

二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言
一个平面过另一个平面
判定定理 的垂线，则这两个平面
垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言
两个平面垂直，则一个
性质定理 平面内垂直于交线的直
线垂直于另一个平面

图形语言 符号语言

图形语言 符号语言

l⊂β



⇒α⊥β

l⊥α



α⊥β
l⊂β



⇒l⊥α
α∩β＝a


l⊥a
1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定 要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、
线面、面面垂直的转化关系，即：
2．在证明两 平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中
不存在，则可通过作辅助线来解 决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．
3．几个常用的结论：
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．





垂直关系的基本问题

典题导入
[例1] (2012· 襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给
出下列命题：①若m，n都平 行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于
平面α，则m，n一定是平行直线；③已 知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n
⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m ，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．
[自主解答] ①显然错误，因为平面α∥ 平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β
内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示 ，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，
m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时 ，m不垂直于n，所以④错误．

[答案] ①③④
由题悟法
解决此类 问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断；②否定命题时只 需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
以题试法
1．(201 2·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个
命题：
① 若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a
∥ α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选D 对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α
相交，若 直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，
因此①正确．对于② ，由a∥α知，在平面α内必存在直线a
1
∥a，又a⊥β，所以有a
1
⊥β ，
所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的
垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正
确．对于 ④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a
1
、b
1
，则有a∥a
1
，b∥b
1
，又a⊥b，
所以a
1
⊥b
1
，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.



直线与平面垂直的判定与性质

典题导入
[例2] (2012·广 东高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB 的中点，F是DC
1
上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
2
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
[自主解答] (1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.
因为E是PB的中点，
所以EG∥PH，
11
且EG＝
PH＝.
22
因为PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD.
因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥AD.
所以底面ABCD为直角梯形．
1112
所以V
E－BCF
＝S< br>△BCF
·EG＝
··FC·AD·EG＝.
33212
(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.
1
因为E是PB的中点，所以ME綊
AB.
2
1
又因为D F綊
AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
2
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
由题悟法
证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
(4)利用面面垂直的性质．
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
以题试法
2．(2012·启东模拟)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分别是AB，PC的 中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
1
在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝
PC.
2
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
1
∴BN＝
PC.
2
∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.
又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.
而∠PAM＝∠CBM＝90°，

∴△PAM≌△CBM.
∴PM＝CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.



典题导入
[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
＝A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，CC
1
上的点(点D不同于点C)，且 AD⊥
DE，F为B
1
C
1
的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
(2)直线A
1
F∥平面ADE.
[自主解答] (1)因为ABC－A< br>1
B
1
C
1
是直三棱柱，所以CC
1
⊥平面
ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC
1
⊥AD.
又因为AD ⊥DE，CC
1
，DE⊂平面BCC
1
B
1
，
CC
1
∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC
1
B
1
.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
.
(2)因为A1
B
1
＝A
1
C
1
，F为B
1
C
1
的中点，
所以A
1
F⊥B
1
C
1
.
因为CC1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，且A
1F⊂平面A
1
B
1
C
1
，
所以CC
1
⊥A
1
F.
又因为CC
1
， B
1
C
1
⊂平面BCC
1
B
1
，CC1
∩B
1
C
1
＝C
1
，
所以A
1
F⊥平面BCC
1
B
1
.
由( 1)知AD⊥平面BCC
1
B
1
，所以A
1
F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A
1
F⊄平面ADE，
面面垂直的判定与性质

所以A
1
F∥平面ADE.
由题悟法
1．判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
以题试法
3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若点M在线段PC上，且PM ＝tPC(t>0)，试确定实数t的值，
使得PA∥平面MQB.
解：(1)因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.
连接BD，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以AB＝BD.
所以BQ⊥AD.
因为BQ⊂平面PQB，PQ⊂平面PQB，
BQ∩PQ＝Q，
所以AD⊥平面PQB.
因为AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.
1
(2)当t＝
时，PA∥平面MQB.
3
证明如下：
连接AC，设AC∩BQ＝O，连接OM.在△AOQ与△COB中，
因为AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB.
AOAQ1AO1OC2
所以△AOQ∽△COB.所以＝＝
.所以
＝，即＝
.
OCCB2 AC3AC3
1CM2CMOC
由PM＝
PC，知
＝，所以＝，所以AP∥O M.
3CP3CPAC
因为OM⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，所以PA∥平面MQB.

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( )
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直
解析：选D A中平面可与α平行或相交，不正确．
B中直线可与α垂直或斜交，不正确．
C中平面可与直线l平行或相交，不正确．
2.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD的中心，则下列直线中与B
1
O垂直的是( )

A．A
1
D B．AA
1

C．A
1
D
1
D．A
1
C
1

解析：选D 易知A
1
C
1
⊥平面BB
1
D
1
D. < br>又B
1
O⊂平面BB
1
D
1
D，∴A
1C
1
⊥B
1
O.
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
解析：选C 对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A
错 误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可
以是m⊂β，m ∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．
4.如图，已知PA⊥平面ABC ，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为
________．
解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．
答案：4
5．(教材习题改编)如 图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六
边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正 确的有________．
①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④
直线PD与平面ABC所成角为30°.

解析：由PA⊥平面ABC，∴PA ⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面
PAE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD 与平面ABC所成角为45°.
答案：①
高考真题
（19）（2012安徽）
如图，长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
A
1
B
1
C
1
D1
是正方形，
O
是
BD
的中
点，
E
是 棱
AA
1
上任意一点。
（Ⅰ）证明：
BDEC
1
；
（Ⅱ）如果
AB
=2,
AE
=
2
,
AE
=
2
,
O EEC
1
, 求
AA
1
的长.











19.（）本 题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定
理求线段的长等基础知识 和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求
解能力.
（Ⅰ）证明：连接AC，A
1
B
1
.
由底面是正方形知，BD

AC.
因为AA
1
⊥平 面ABCD，BD

平面ABCD,所以AA
1

BD.
又由AA
1
∩AC=A,所以BD

平面AA
1
C
1
C.
再由EC
1

平面AA
1
C
1
C
第 （19）题图

（Ⅱ）解：设AA
1
的长是h，连接OC
1
.
在Rt△OAE中，AE=
2
，AO=
222
故
OE(2)(2)4
.
知，BD

EC
1
.
2

在Rt△EA
1
C
1
中，
A
1
Eh2,AC
11
22
，
故
EC
1
(h2)(22)
.
222