围城读后感2000字-小学班主任德育计划

数学学习中的学法指导

【内容综述】
本讲就数学学 法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，
要加强 对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题
效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵……第四，其它

【要点讲解】
§1. 武器精,巧解题
若能不断掌握一些有用的课外公式 ,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，
出活题考能力；而高中数 竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础
更坚深），二者 关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。
1．等差数列中，
①
证明

例1.设等差数列满足且S
n
为其前n项之和，求Sn中最大者。 （1995高中全国数竞赛题）
分析：若等差数列中，满足

则S
n
最大。或当S
n
=S
m
时，取最大值
解：
由题设： 得

故由等差数列前n项和是二次函数，可见是最大和
说明 本题若用常规解法，就需由题设，求得再去解

求得n=20.计算量较大。
例2.等差数列，的前n项和分别为Sn与T
n
，若
（1995年全国高考试题）
分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单
解

∴
例3.设等差数列的前n 项和为S
n
,已知 , 求公差d的取值范围.
解:

即

又∵


故
2．三面角余弦公式
在如图三面角O—ABC中。设面角∠AOB=Q,
∠AOC=Q
1
，∠BOC=Q
2
, 二面角A—OC—B
大小为，则有公式
，②

称为三面角余弦公式或三射线定理。当时，就是 主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上，作CA、CB
分别垂直OC、于C、连AB，分 别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q
1
、Q< br>2
及OC的关
系表出，最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式②

本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。
例4.已知二面角 M—AB—N是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且。求大小?(1964,北京赛< br>题)

解:利用三面角余弦公式
得


∴
例5.已知四面体S—ABC中，，，设以SC为棱的二面角为，求与、
β
关系。

解：由三面角余弦公式及题设，得
，
，故有

解之，得


例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为
β
,求证：
（1981 上海竞赛题）
证：设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点
作OE⊥AD，
则PE⊥AD，
从而∠PEO是侧面与底面所成角；
作BF⊥PC，连DF，易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β.
设侧棱长为a，底面边长为b。则侧高为，则由三面角余弦公式有



=
=
=
又由三面角P—BCD知



∴



例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦是
_____________。（1996年全国高考试题）

解 ∵AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有




说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供 了极其简捷的解法，若不用这二
公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多

这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩 而努
力，

§2 大概念 小计算
要学好数学，一定要重视概念的学习
例8.已知集合
的值。（1987．全国赛题改编）
分析：根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知可见，从而xy=1，进而x、y可求
解：由题设知x、y≠且xy=1，∵且M=N，∴解方程组

得x=y=-1，舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾)
代入原式=-2+2-2+…-2= -2.
说明：这时重在概念分析，计算量较小。
也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002
或；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。
例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求的值
（2000年全国高考）
分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较 繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令
p=q即可迅速求解。
解 令p=q，则
由抛物线，可见，根据通径长为，应选C。
例10 如图, OA是圆 锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母
线与轴的夹 角的余弦值

分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程

解 设原圆锥母线长为1，则底半径经，（为圆锥顶角之半），高，，设AD⊥PO于D，则于是

由 ，得
解得 ，

应选C
说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理 解，尽量通过多思，
找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知 识的数学概念和方法，希望大
家能够认真学习，掌握各类问题的解法。

§3 反客为主，欲擒故纵
数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。

例11.若
试求的值
分析 欲求有关的下弦，要先去求有关β的函数关系 β(),然后再消去β从而得出的欲求值,这种策略,不妨称之
为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合 这种策略行之有效。
解 由①得

由②得
.
于是

化简得

∴ (已舍绝对值>1的另根)
例12.已知
求证：
分析 题设中有的三角函数，并有参数a、b、c。但题断中不含的三角函数，可见应设法消去，为此应先求出关
于a、b、c的关系，再设法消去。
证：由已知易得

由①可见

代入②，再化简即得

说明：这一节 ，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改
不下时， 就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。
例13.当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式取整数值，求证：对于所有整数X，这个多项式都取整数值。（1988 俄）
证：注意到 （★）
由题设知
d=p(0), a+b+c+d=p(1),
都是整数，故a+b+c也是整数。又
p(-1)=2b-(a+b+c)+d
是整数，故2b也是整数，而
p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d
是整数，可见6a也是整数。又易证是整数，从而由（★）可证各P(x)是整数。
说明 为证P（x）是整数，就需证明a、b、c、d是整数系数，这里借助于构造★式,转证6a、2b，a+ b+c，d为
整数，从而证出p（x）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家 认真,能认真坚持学习。



【同步达纲练习】
1．①试通过已知锥体,台体公式，概括出一般的拟柱体公式

其中分别表示上、下底面积，表示中截面积。
②用上述公式求解
若三棱柱ABC— 中，若E、F分别为AB，AC中点，平面EF将三棱柱分成体积为，的两部分,则：=________.（1 990
年全国高考题）
★★2.设|m|≤2，试求关于x的不等式

恒成立的x取值范围
★★3.关于x的方程

有实根,求实数a的取值范围.




参考答案
【同步达纲练习】
1．①注意利用；
②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得，代入拟柱体公式，得
2．构造函数，求系数x范围。
(Ⅰ)当|x|>1时,

(Ⅱ)当|x|<1时,
(Ⅲ)|x|=1 时, X=1
综上，，原命题成立。
3．解关于a的方程，得
(Ⅰ)当
(Ⅱ)时,
当
(Ⅲ)又由
可见时 故