开业送花-中外文学名著

立体几何与球专题讲义
一、球的相关知识
考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”
1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．
2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．
4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
5.性质的应用
dOO
1
Rr
，构造直角三角形建立三者之间的关系。

真题回放：

1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，
若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π




2222






1

2

参考答案
1、

2.

3.

4.


3

题型总结

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）
1．如图球O的半径为2，圆
O
1
是一小圆，
OO2
，A、B是圆
O
1
上两点，若A，B两点间的球
1
面距离为




2．如图球O的半径为2，圆
O
1
是一小圆，
OO2
，A、B是圆
O
1
上两点，若
AO
1
B
=
1
A,B两点间的球面距离为 （2009年文科）




类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常 用到余弦定理求余弦值，通
过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径
2

，则< br>AO
1
B
= .
3

，则
2
c
2r
，从而解决问题。
sinC
3. 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
BAC120
，
则此球的表面积等于 。


2
4.正三棱柱
ABCA
1
B
1
C< br>1
内接于半径为的球，若
A,B
两点的球面距离为

，则正三 棱柱的体积
为 ．


5.12．已知球的直径SC=4，A，B是该 球球面上的两点，AB=
3
，
ASCBSC30

，则棱锥 S
—ABC的体积为


A．
33
B．
23

4
C．
3
D．1

SAAB1
，
SA平面ABC
，
ABBC
，6.（11）已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点，
BC2
，
则球
O
表面积等于

（A）4

（B）3

（C）2

（D）




类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。
7.设< br>OA
是球
O
的半径，
M
是
OA
的中点，过< br>M
且与
OA
成45°角的平面截球
O
的表面得到圆
C
。
若圆
C
的面积等于


8.已知平面α截一球面 得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半
径为4，圆M的面积为4
，则圆N的面积为
(A)7

(B)9

(C)11

(D)13



9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬
60
纬线长和赤道长的比值为
（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25

类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。


10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆
柱的底面 半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是
cm．




11.长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的顶点均在同一个球面上，
ABAA
1
1
，
0
7

，则球
O
的表面 积等于 .
4
BC2
，则
A
，
B
两点间的球面距离为 .


5

12.体积为
8
的一个正方体，其全面积与球
O
的表面积 相等，则球
O
的体积等于 ．



13 .已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积
是这个球 面面积的
3
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______．
16




14.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱 .当圆柱的侧面积最大是，求的表面积
与改圆柱的侧面积之差是 .


类型五：平面几何性质在球中的综合应用。
15.已知球
O
的半径为4，圆
M
与圆
N
为该球的两个小圆，
AB
为圆
M
与圆
N
的公共弦，
AB4
．若
OMON3
，则两圆圆 心的距离
MN

．



类型六：性质的简单应用。
16.已知
OA
为球
O
的半径 ，过
OA
的中点
M
且垂直于
OA
的平面截球面得到圆
M
，若圆
M
的面
积为
3

，则球
O的表面积等于______ _______.

17.已知矩形
ABCD的顶点都在半径为4的球
O
的球面上，且
AB6,BC23
,则棱锥
OABCD
的体积为 。

2
的四棱锥S-AB CD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同
4
一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为

18.高为
（A）
2
4
（B）
2
2
(C)1 (D)
2

6

参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径
R
，与
R相关的是重要性质
Rrd
。
∵AA
1
=2, ∴dOO
1
OO
2

222
1
AA
1
1
。
2
现将问题转化到⊙O
2
的半径之上。
因为△ABC是⊙O
2
的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可 解。
由余弦定理有
BC
由正弦定理有
22
AB
2
AC
2
2ABACcosBAC44423
，
BCBC
2rr2

sinBAC2sinBAC
2< br>2
∴
Rrd415.
∴
S4

R20

。
4、8 5、C 6 A 7问题的解决根本——求球半径
ROB
。
与
R
相关的重 要性质
Rrd
中，
r
可求（∵

r
2
问题转化到求
dOC
上
充分运用题目中未用的条件，
OM
2< br>222
2

7

4
∴
r
2

7
4
）
R
R
，∠OMC=45°，∴
d

2
22
7R
2
2
2
于是
R
求得
R2
，∴
S4

R8


48
8 D 9、 C 10、 4 11、

2
12、
43

13、13 14、
2

R

3
222
15、析 ：由OM=ON知，⊙M与⊙No为等圆，根据球中的重要性质∴
rRd1697

又MH⊥AB得H为AB中点，∴BH=AH=2

∴
MHNHr
2
BH
2
3

∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN
由余弦定理有MN
2=OM
2
+ON
2
－2OM·ON·cos∠MON
MN
2
=MH
2
+NH
2
－2MH·NH·cos(π－∠ MON)
解得cos∠MON=
O
M
A
1

，即∠MON=
23
N
D
C
∴三角形OMN为等边三角形， ∴MN=3.
16、16π 17、
24 18、
C






B
7