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8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
课标要求 素养要求
在计算两异面直线所成的角及证明直线
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.掌握两异面直线所成的角的求法.
与直线垂直的过程 中，要利用空间的线、
面位置关系，并进行计算，发展学生的
逻辑推理素养、数学运算素养和直 观想
象素养.

教材知识探究

观察下面两个图形.

问题 (1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系
是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
提示 (1)是异面直线.
(2)是异面直线；是平行直线.

1.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，
我 们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.
2.直线与直线垂直
与平面内两直线垂直的概念是一致的、统一的，可以看作是平面内直线垂直的推
广
如 果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线
a与直线b互相垂直，记 作a⊥b.
教材拓展补遗
[微判断]
1.异面直线所成的角的大小与O点的位置 有关，即O点位置不同时，这一角的大
小也不同.(×)
2.异面直线a与b所成角可以是0°.(×)
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线
垂直.(√)
提示 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
2.当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.
[微训练]
如图，在正 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，

(1)AC和DD
1
所成的角是________；
(2)AC和D
1
C
1
所成的角是________；
(3)AC和B
1
D
1
所成的角是________；
(4)AC和A
1
B所成的角是________.
解析 (1)根据正方体的性质可得AC和DD
1
所成的角是90°.
(2)∵D
1
C
1
∥DC，所以∠ACD即为AC和D
1
C
1
所成的角，由正方体的性质得∠ACD
＝45°.

(3)∵BD∥B
1
D
1
，BD⊥AC，∴B
1
D
1
⊥AC，即AC 和B
1
D
1
所成的角是90°.
(4)∵A
1
B ∥D
1
C，△ACD
1
是等边三角形，所以AC和A
1
B所 成的角是60°.
答案 (1)90° (2)45° (3)90° (4)60°
[微思考]
1.两条直线垂直，一定相交吗？
提示 不一定.当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不一定相
交.
2.两条异面直线所成角的范围是什么？
提示 (0°，90°].

题型一 直线与直线垂直的证明
转化为同一平面内两直线垂直

【例1】 在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，求证： AC⊥BC
1
.
证明 如图，连接A
1
B，设A
1
C
1
＝a，B
1
C
1
＝b，AA
1
＝h ，因为三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，

所以∠BB
1
C
1
＝∠A
1
AB＝90°，
22222
所以BC
2
1
＝b
＋h，AB＝a＋b， A
1
B
2
＝a
2
＋b
2
＋h
2
，
2
所以A
1
B
2
＝A
1
C
2
1
＋BC
1
，
则A
1
C
1< br>⊥BC
1
，即∠A
1
C
1
B＝90°.
又 因为AC∥A
1
C
1
，所以∠A
1
C
1
B 就是直线AC与BC
1
所成的角，所以AC⊥BC
1
.
规律方法 证明空间的两条直线垂直的方法：

(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
(2)平面 几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等
边三角形)底边的中线和底边 垂直等.
【训练1】 如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，求证：AC⊥B
1
D.

证明 如图，连接BD，交AC于O，

设BB
1
的中点为E，
连接OE，则OE∥DB
1
，
所以OE与AC所成的角即为DB
1
与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B
1
D.
题型二 异面直线所成的角
应用平移直线法找到异面直线所成的角是关键

探究1 求异面直线所成的角
【例2－1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为 30°，
E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解 如图所示，取AC的中点G，

连接EG，FG，

1
则EG∥AB且EG＝
2
AB，
1
GF∥CD且GF＝
2
CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而 可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补
角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
探究2 由异面直线所成角的大小求线段的长
【例2－2】 如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若
BD，A C所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.

解 取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则ME∥AC，MF∥BD，

∴ME与MF所成 的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角
为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
1
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝
2
BD＝1；

当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，
3
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×
2
＝3.
故EF的长度为1或3.
规律方法 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构 造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹
角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就 是所求异面直线所成的角；若求
出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
【训练2】 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中.

(1)求A
1
C
1
与B
1
C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A
1
C
1
与EF所成角的大 小.
解 (1)如图所示，连接AC，AB
1
.

由六面体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体知，四 边形AA
1
C
1
C为平行四边形，
∴AC∥A
1
C
1
，从而B
1
C与AC所成的角就是A
1
C
1与B
1
C所成的角.
在△AB
1
C中，由AB
1＝AC＝B
1
C，可知∠B
1
CA＝60°，
即A
1
C
1
与B
1
C所成的角为60°.

(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A
1
C
1
，
∴AC与EF所成的角就是A
1
C
1
与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A
1
C
1
，
即A
1
C
1
与EF所成的角为90°.

一、素养落地
1.通过异面直线所成角、线线垂直概念的学习，以及计算异面直线所成角的大 小，
重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养、直观想象素养.
2.在研究异面直线所成角 的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相
交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这 是我们学习立体几何的一条重要
的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为
θ
，且0°<θ≤90°，解题时经
常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
二、素养训练
1.设a，b，c是直线，则( )
A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D.若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
解析 由异面直线所成角的定义可知C正确.
答案 C
2.在正三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和
A A
1
都垂直的直线有________.

解析 由正三棱柱的性质可知与 直线CD和AA
1
都垂直的直线有AB，A
1
B
1
.

答案 AB，A
1
B
1

3.如图所示，在 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中， 异面直线A
1
B与AD
1
所成的角大小
为________.

解析 连接BC
1
，A
1
C
1
，∵BC
1
∥AD
1
，∴异面直线A
1
B与AD
1
所成的角即为直线
A
1
B与BC
1
所成的角(或其补角).在△A< br>1
BC
1
中，A
1
B＝BC
1
＝A
1
C
1
，∴∠A
1
BC
1
＝60°，
故异 面直线A
1
B与AD
1
所成的角为60°.
答案 60°
4.已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，E，F分别为棱BC和棱CC
1
的中点，求异面
直线AC和EF所成的角.

解 连接BC
1
，A
1
C
1
，A
1
B，如图所示：

根据正方体的结构特征，可得
EF∥BC
1
，AC∥A
1
C
1
，
则∠A
1
C
1
B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).
∵BC
1
＝A
1
C
1
＝A
1
B，
∴△A
1
C
1
B为等边三角形，故∠A
1
C
1
B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为
60°.

基础达标
一、选择题
1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A.一定平行 B.一定垂直
D.一定相交 C.一定是异面直线
解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
答案 B
2.直三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面
的直 线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 和AC垂直且异面的直线有A
1
B
1
和BB
1
，故选B.
答案 B
3.如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A
1
B
1< br>C
1
D
1
的面对角线AD
1
，BD的中点，
则异面直线PQ和BC
1
所成的角为( )

A.30°
C.60°


B.45°
D.90°
解析 连接AC，D
1
C.

由P，Q分别为AD
1
，BD的中点，得PQ∥CD
1
.
又BC
1
∥AD
1
，∴∠AD
1
C为异面直线PQ和BC< br>1
所成的角.
∵△ACD
1
为等边三角形，∴∠AD
1
C＝60°.

即异面直线PQ和BC
1
所成的角为60°.
答案 C < br>4.空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR
＝5 ，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析 ∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
答案 A
5.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱D C，AB
的中点，则EF和AC所成的角等于( )

A.30°
C.60°


B.45°
D.90°
解析 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.

∵E，F分别是CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
11
且FG＝
AC，EG＝BD.
22
∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).
又∵AC＝BD，∴FG＝EG.
又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，

∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
答案 B
二、填空题
6.在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E，F分别是A
1
D
1
和BC的中点 ，则在长方
体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条.
解析 长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B
1
C
1
，共2条.
答案 2
7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________(填序号).
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的 正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是
异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
答案 ①③
8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB ，CD的
中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.

解析 取AD的中点P，连接PM，PN，

则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，

1
∴∠MPN＝90°，PN＝
2
AC＝4，
1
PM＝
2
BD＝3，∴MN＝5.
答案 5
三、解答题
9.如图，已知长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
A＝AB，E，F分别是BD
1< br>和AD的
中点，求证：CD
1
⊥EF.

证明 a如图，取CD
1
的中点G，

连接EG，DG，
∵E是BD
1
的中点，
1
∴EG∥BC，EG＝
2
BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
1
∴DF∥BC，DF＝
2
BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD
1
(或其补角)是异面直线CD
1
与EF所成的角. < br>又∵A
1
A＝AB，∴四边形ABB
1
A
1
、四边形 CDD
1
C
1
都是正方形，又G为CD
1
的中
点， ∴DG⊥CD
1
，

∴∠D
1
GD＝90°，∴异面 直线CD
1
与EF所成的角为90°.
所以CD
1
⊥EF. 10.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

解 取AC的中点F，连接EF，BF.

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.
115
在Rt△E AB中，AB＝1，AE＝
2
AD＝
2
，∴BE＝
2
. < br>1112
在Rt△AEF中，AF＝
2
AC＝
2
，AE＝2
，∴EF＝
2
.
15
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝
2
，∴BF＝
2
.
12
EF
24
10
在等腰三角形EBF中，cos ∠FEB＝
BE
＝＝
10
，
5
2
10
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
10
.
能力提升
11.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点， EF＝3，

则异面直线AD，BC所成的角为________.
解析 如图 取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD，所以
∠EHF就是异面直线AD ，BC所成的角(或所成角的补角)，因为AD＝BC＝2，所
以EH＝HF＝1，则△EHF是等腰三 角形，又EF＝3，所以∠EHF＝120°，则异
面直线AD，BC所成的角为60°.

答案 60°
12.(多填题)如图，若正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为2，高为4，则异面
直线BD< br>1
与AA
1
所成角的正弦值为________，异面直线BD
1与AD所成角的正弦
值是________.

解析 因为AA
1∥DD
1
，所以∠DD
1
B即为异面直线BD
1
与AA
1
所成的角，连接
DB223
BD，在Rt△D
1
DB中， sin ∠DD
1
B＝
BD
＝＝
3
.
1
26

∵AD∥BC，∴∠D
1
BC即为异面直线BD< br>1
与AD所成的角(或其补角)，
连接D
1
C，在△D
1< br>BC中，∵正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
的底面边长为2，高为4，
∴D
1
B＝26，BC＝2，D
1
C＝25，D
1
B
2
＝BC
2
＋D
1< br>C
2
，

D
1
C2530
∴∠D1
CB＝90°，∴sin ∠D
1
BC＝
DB
＝＝
6
，
1
2630
故异面直线BD
1
与AD所成角的正弦值是
6
.
3
答案
3

30
6

创新猜想
13.(多填题)如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1
与AC，AB所成的角均为60°，
∠BAC＝90°，且AB＝AC＝A A
1
，E是B
1
C
1
的中点，则直线AE与BC所成的角为
________，直线A
1
B与AC
1
所成角的余弦值为____ ____.

解析 如图所示，连接AB
1
，由三棱柱的性质可得AC1
＝AB
1
，又因为E是B
1
C
1
的中点，所 以AE⊥B
1
C
1
，又BC∥B
1
C
1
， 所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的
角为90°.

如图所示，把三棱柱补为 四棱柱ABDC－A
1
B
1
D
1
C
1
，连 接BD
1
，A
1
D
1
，AD，由四
棱柱的性质知B D
1
∥AC
1
，则∠A
1
BD
1
就是异面 直线A
1
B与AC
1
所成的角.设AB＝
a，
∵AA1
与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA
1
，
∴A< br>1
B＝a，BD
1
＝AC
1
＝2AA
1
·c os 30°＝3a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝2a，
∴A
1
D
1
＝2a，

22
∴A
1
D
2
，
1
＋ A
1
B
＝BD
1
，∴∠BA
1
D
1
＝90°
A
1
Ba3
∴在Rt△BA
1
D
1中，cos ∠A
1
BD
1
＝
BD
＝＝
3
.
1
3a
3
答案 90°
3