矿业大学-惠州市中考成绩查询

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问题一：多面体与球的组合体问题
纵观近几年高考对于组合体的考 查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较
强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺 利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握
最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题 目的入手确实不易之外，主要是学生没有
形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理 .本文就高中阶段出现这类问题
加以类型的总结和方法的探讨.

一、球与柱体的组合体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种
形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积 等相关
问题.
1.1 球与正方体
如图1所示，正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
，设正方体的棱长为
a
，
E,F,H,G
为棱的中点，
O
为球的球心.
常见组合方式有三类：
一是球为正方体的内切球，截面图为正方形
EFGH
和其内切圆，则
OJr
a
；
2
2
a
； 2
二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形
EFGH
和其外接圆，则
GOR
三是球为正方体的外接球，截面图为长方形
ACA
1
C
1
和其外接圆，则
A
1
OR


3
a.
2
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据 组合的形
式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关< /p>

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系，进而将空间问题转化为平面问题.
例1棱长为1的正方 体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的8个顶点都在球
O
的表面上，
E，F
分别是棱
AA
1，
DD
1
的中点，则直线
EF
被球
O
截得的线 段长为（）
A．
2

2
B．
1
C．
1
2

2
D．
2

【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）
A．2

B．4

C．8

D．16


1.2 球与长方体
长方体各顶点可在一个球面上，故长方 体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱
长为
a,b,c,
其体对角线为
l
.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，
la
2
b
2
c
2
.
和正方体的外接球的道理是一样的，故球的 半径
R
22

例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径 为1的球，任意摆动此长方体，则球
经过的空间部分的体积为()
A. B.4π C. D.
【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为
32
，则该正四棱锥的外接球的 表面积为.
1.3 球与正棱柱
球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正 三棱柱为例，介绍本类题目的解
法构造直角三角形法.设正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的高为
h,
底面边长为
a
，如 图2所示，
D
和
D
1
分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球 心必落在高
DD
1
的中点
O
，

精心整理 < br>OD
h3
h3
2
,AOR,ADa,
借助直角三角形< br>AOD
的勾股定理，可求
R()
2
(a)
.
2 3
23
例3正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的各顶点都在半径为
R
的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，
为.
【牛刀小试】
直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的六个顶点都在球
O
的球面上，若
ABBC1< br>，
ABC120
0
，
AA
1
23
，则 球
O
的表面积为（）
A．
4

B．
8

C．
16

D．
24


二、球与锥体的组合体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充 分的组合，以外接
和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的 体积或
者表面积等相关问题.
2.1球与正四面体
正四面体作为一个规则的几何体 ，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用
这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关 系.如图4，设正四面体
SABC
的棱长为
a
，
内切球半径为r
，外接
球的半径为
R
,取
AB
的中点为
D
，
E
为
S
在底面的射影，连接
CD,SD,SE
为 正四面体的高.
在截面三角形
SDC
,作一个与边
SD
和
D C
相切，圆心在高
SE
上的圆,即为内切球的截面.因为
正四面体本身的对称 性可知，外接球和内切球的球心同为
O
.此时，
COOSR,OEr
,
23
SEa,CEa,
则有
Rr
33
2a
2
66
2
22
a，RrCE=，
a,ra.
解得：< br>R
33
412
这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的 等量关系进行求解.同时我们可
以发现，球心
O
为正四面体高的四等分点.如果我们牢 记这些数量关系，可为解题带来极大的方

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便.
例4将半径 都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值
为()
A.
32626264326
B.2+C.4+D.
3333
2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合 问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本
方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方 体.常见两种形式：
一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球 的球心就是
三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥
A
1
AB
1< br>D
1
的外接球的球心和正方体
ABCDA
1
B
1< br>C
1
D
1
的外接球的球心重合.
设
AA
1
a
，则
R
3
a
.
二是如果三棱锥的三条侧棱互 相垂直并且不相等，则可以补形为一
2
2
a
2
b
2
c
2
l
2

(
l
为长方体的个长方体，它的外 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.
R
44
体对角线长).
例5在正 三棱锥
SABC
中，
M、N
分别是棱
SC、BC
的中点， 且
AMMN
,若侧棱
SA23
,则正三棱锥
SABC
外接球的表面积是.
【牛刀小试】
一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长 为1的两个全等的等
腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()
A．
12< br>
B．
43

C．
3

D．
123


2.3球与正棱锥

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球与正棱锥的组 合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面
上，根据截面图的特点，可 以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱
锥的内切球，球与正三棱锥四个面相 切，球心到四个面的距离相等，都为球半径
R
．这样求球
的半径可转化为球球心到三棱 锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和
为正三棱锥的体积.
例6在三 棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=
3
,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三 棱
锥外接球的体积为（）
A．

B.

3
C.4

D.
4


3
【牛刀小试】已知正三棱 锥
P
ABC
,点
P,A,B,C
都在半径为
3
的 球面上,若
PA,PB,PC
两两
互相垂直,则球心到截面
ABC
的 距离为____________.
2.4球与特殊的棱锥
球与一些特殊的棱锥进行组合， 一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法
等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三 棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧
定球心位置.
如图8，三棱锥
SA BC
,满足
SA面ABC,ABBC,
取
SC
的中点为
O
,由直角三角形
的性质可得：
OAOSOBOC,
所以
O< br>点为三棱锥
SABC
的外接球的球心,则
R
SC
. 2
例7矩形
ABCD
中，
AB4,BC3,
沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
BACD
,则
四面体
ABCD
的外接球的体积是()
A.
5

B.

C.

D.


12963
2,
AC=A DBD=BC5
，则三棱锥
ABCD
的例8三棱锥
ABCD
中，
ABCD
外接球的半径是.

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三、球与球的组合体
对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间 想象能力，解决
本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面 图等
方法，将空间问题转化平面问题求解.
例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）
A.(－1)R B.(－2)R
C.R D.R
四、球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位
置为目 的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相
对棱的一半：< br>r


2
a
.
4
例10把一个皮球放入如 图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮
球的表面与8根铁丝都有接触点 ，则皮球的半径为（）
A．l0
3
cm B．10cm
C．10
2
cm D．30cm
五、与三视图相结合的组合体问题
本类问 题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据
三视图还
原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.
例11【河北省唐山市2014 －2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则

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该几何体的外
接球的球面面积为（）
A.5π B.12π C.20π D.8π
【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A.πB.πC.πD.π
综合上面的五种类型，解决与 球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先
要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的 是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对
角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球 的内接问题．解决这类问题的关键是抓
住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥 好空间想象力，借助于数形
结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面 体等可以借助结
论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
【针对训练】
1.【20 16届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面
上，若
ABACAA
1
 2
,
BAC120
则此球的表面积等于（）
A．
52

52

B．
20

C．
8

D．
93
2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P－ABC的外接球 的球心O在AB上,
且PO⊥平面ABC,
2AC3AB
,若四面体P－ABC的体 积为
3
,则该球的体积为（）
2
A．
43

B．
4383

C．
83

D．


33
3．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所
有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）

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284 4

4

A．B．
3
C．
3
D．
20


4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的六个顶点都
在半径为 1的半球面上，
ABAC
，侧面
BCC
1
B
1
是 半球底面圆的内接正方形，则侧面
ABB
1
A
1
的面积为（）
A．
2
B．
2
C．2D．1
2
5.如图，一个几 何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1
的正方形，则其外接球 的表面积为()
(A)π(B)2π(C)3π(D)4π
6.【河北省“五个一名校联盟 ”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸
如图所示，则该几何体的外接球半径 为（ ）
A.B.C.D.
7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为
60

的球面上有四点
S、A、B、C
且
ABC
是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为
3
，若
SAB面ABC
,则棱 锥
SABC
体积的最大值为．
8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三 次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且
这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球 的表面积是．
9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知
S，A，B，C< br>都是球
O
表面上的点，
SA
平面
ABC
，
ABBC
，
SA2
，
AB3
，
BC4
，则 球
O
的表面积等于______．
10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三 12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥
PABCD
,其中底面四边形是边长为< br>1
的正方形，
PA1
，且
PA
平面
ABCD,则球体毛坯

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体积的最小值应为．
11．【2016 届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体
CD
中，

平面
CD
，
CD
是边长为
6
的等边三角形．若
4
，则四面体
CD
外接球的表面积为．
12.正四面体ABC D的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最
小值为.
13. 已知正三棱锥
P
ABC
,点
P,A,B,C
都在半径为
3
的球面上,若
PA,PB,PC
两两互相垂直,则
球心到截面
ABC
的距离为____________.
14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都 相切,已知这个球的体积是,则这个三棱柱
的体积为.
15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为
1
，则圆锥的体积为．