学习经验交流会-奥运作文

世纪高中2015-2016学年第一学期第三次质量检测试题
高二数学（理科）试卷
注意事项:
本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．满分150；考试时间：120分钟.
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
22
1．“如果
x
、
y
∈R，且
x
＋
y
＝0，则
x
、
y
全为0”的否命题是( )
22
A．若
x
、
y
∈R且
x
＋
y
≠0，则
x
、
y
全不为0
22
B．若
x
、
y
∈R且
x
＋
y
≠0，则
x
、
y
不全为0
22
C．若
x
、
y
∈R且
x
、
y
全为0，则
x
＋
y
＝0
22
D．若
x
、
y
∈R且
x、y
不全为0，则
x
＋
y
≠0
2．下列各组向量中能作为一组基底的是（ ）
A．
a(2,3,5),b(16,24,40)
B．
c(2,3,0),d(0,0,0)

C．
e(1,0,0),f(3,0,0)
D．
g(1,2,2),h(2,4,4)

3.下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“
x1
”是“
x
2
3x20
”的充分不必要条件
②命题“
xR
，
sinx1
”的否定是“
xR
，
sinx1
”
③“若
am
2
bm
2
，则
ab
”的逆 命题为真命题
④命题
p:
x

1,

，
lgx0
，命题
q:
xR
，
x
2
 x10
，则
pq
为真命题
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3


4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从
1,2,3,4,5
中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数 的概率为（ ）
A.
3111
B. C. D.
1051020

5. 执行如图所示的程序框图，若输入
n
的值为8，则输出
S
的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
→
6. 对于空间任意一点
O
和不共线的三点
A
，
B
，
C< br>，且有
OP
＝
→→→
xOA
＋
yOB
＋zOC
(
x
，
y
，
z
∈R)，则
x< br>＝2，
y
＝－3，
z
＝2是
P
，
A
，
B
，
C
四点共面的( )
A．必要不充分条件
C．充要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
7． 在正三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
AA
1
，则
AC
1
与平面< br>BB
1
C
1
C
所成角的正弦值为( )

1

A.
21566
B. C. D.
2543
x
2
y
2
8.设椭圆C:
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,

P
是
C
上的点，< br>ab
PF
2
F
1
F
2
,PF
1
F
2
30

，则
C
的离心率为( )
A.
3113
B. C. D.
63239.抛物线
y
2
4x的焦点为F,
准线为
l
，
l
与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直
线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AB⊥
l
，垂足为
B
，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A．
33
B．
43
C．
63
D．
83

x
2
y
2
10．已知椭圆
 1
的左、右顶点分别为
A
1
和
A
2
，垂直于椭圆长 轴的动直线与椭圆
94
的两个交点分别为
P
1
和
P
2
，其中
P
1
的纵坐标为正数，则直线
A
1
P1
与
A
2
P
2
的交点
M
的轨迹
方程 （ ）
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
A . C．
1
B．
1

1
D．
1

94949494
x
2
y
2
11 .在区间
[1,5]
和
[2,4]
上分别取一个数，记为
a,b.则方程
2

2
1
表示焦点在
x
轴上
ab
3
且离心率小于的椭圆的概率为( )
2
1517311
A. B. C. D.
3232322
12. 在正方体
ABCDA< br>1
B
1
C
1
D
1
中，动点
M
在线段
A
1
B
1
上，
E、F
分别为
AB ,BC
的中
点。设异面直线
EM
与
AF
所成的角为

，则
cos

的最大值为( )
A.

324
B. C. D.1
555
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分
y
2
5
1 3.双曲线－＝1的离心率为，则
m
等于________．
16
m
4
14.在平行六面体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
B
1
C

BC
1
O
,
x
2
D
1
C
1
A
1< br>B
1
O
D
若
AOxAByADzAA
1
,则
xyz
等于
A
B
2
15. 设
F
为抛物线
C
：
y
＝3
x
的焦点，过F
且倾斜角为30°的直线交
C
于
A
，
B
两点 ，则|
AB
|
＝ .

C
y
2
1
的右焦点，
P
是
C
左支上一点，
A0,66
，当
APF
16.已知
F
是双曲线
C:x
8
2

周长最小时，该三角形的面积为 ．

2

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问5 0名职工，根据这50名职工
对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如下图所示），其中样本数据分组 区间为
[40,50],[50,60],
,
…
,[80,90],[90, 100]

（1）求频率分布图中
a
的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在
[40, 60]
的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在
[40,50]
的概率.






18．（本小题满
分） < br>设P：实数
足
分12
x满
x
2
4ax3a
2
0
，其中
a0
；q：实数x满足
x
2
 x60
或
x
2
2x80
。
若
p
是
q
的必要不充分条件，求实数a的取值范围．


19.(本小题满分12分)
2
AB
.
2
如图所示， 直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
D
，
E
分别是
AB
，
BB
1
的中点，
AA
1
＝
AC
＝
CB
＝
(1)证 明：
BC
1
∥平面
A
1
CD
；
(2)求 二面角
D
－
A
1
C
－
E
的正弦值．



20.（本小题满分12分）

3

x
2
y
2
2
如图，椭圆
E:
2

2
1(ab0)
经过点
A(0,1)，且离心率为.
ab
2
(1)求椭圆
E
的方程；
( 2)经过点
(1,1)
，且斜率为
k
的直线与椭圆
E
交于不 同两点
P,Q
（均异于点
A
），证明：
直线
AP
与
AQ
的斜率之和为2.


21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CDAB,BC⊥CD, EA⊥ED．且AB=4，BC =CD
=EA=ED=2
（1）求证：BD⊥平面ADE；
（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；
（3） 在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，请指出点
F的位置；如果 不存在，请说明理由．







22. （本小题满分12分）
ab
y
2
x
2
以椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的中心
O< br>为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的
2
ab
“伴随”，已知椭圆
C的离心率为
3
1
，且过点
(,3)
。
2
2
（1）求椭圆
C
及其“伴随”的方程；
（2）过点
P(0,m)
作“伴随”的切线
l
交椭圆
C
于
A, B
两点，记
AOB
(
O
为坐标原点)
的面积为
S
AOB
，求
S
AOB
的最大值。

4

高二数学（理科）答案
一、选择题：1—12 BADCB BCDCA AB
二、填空题：13. 9 14. 2 15.12 16.
126

三、解答题：
17.解：（Ⅰ） 因为
(0.004a0.00180.02220.028)101
，所以a0.006

（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率 为
(0.0220.018)100.4
，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
0.4
.
（Ⅲ） 受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为
A
1
,A
2
,A
3
;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为
B
1
,B
2
.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

A
1
,A
2

,

A
1
,A
3
< br>,

A
1
,B
1

,

A
1
,B
2

,


A
2
,A
31

,

A
2
,B
1
< br>,

A
2
,B
2

,

A
3
,B
1

,

A
3
,B
2

,

B
1
,B
2

,又因为所抽取
1
.
10
2人的评分都在
[40,50)的结果 有1种，即

B
1
,B
2

，故所求的概率为p
18.解：由
x
2
4ax3a
2
0
得
3axa

由
x
2
x60
得
2x3
；由
x
2
2x80
得
x2
或
x4

所以 q：
x4
或
x2

由
p
是
q
的必要不充分条件 可得 p是q的充分不必要条件．

3a2
2
所以
a4
或

所以 a的取值范围为 {a|
a0
或
a4
}．
3

a0
19. 解： (1)连接
AC
1
，交
A
1
C
于点
F
，则
F
为
AC1
的中点．
又
D
是
AB
的中点，连接
DF< br>，则
BC
1
∥
DF
.
因为
DF
⊂ 平面
A
1
CD
，
BC
1
⊄平面
A
1
CD
，所以
BC
1
∥平面
A
1
CD.
(2)由
AC
＝
CB
＝
2
AB
， 得
AC
⊥
BC
.
2
→
以
C
为坐 标原点，
CA
的方向为
x
轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系
C
－
xyz
.
→→→
设
CA
＝2，则< br>D
(1,1,0)，
E
(0,2,1)，
A
1
(2, 0,2)，
CD
＝(1,1,0)，
CE
＝(0,2,1)，
CA< br>1
＝(2,0,2)．
设
n
＝(
x
1
，< br>y
1
，
z
1
)是平面
A
1
CD的法向量，

n
·
→
CD
＝0，
则

→

n
·
CA
＝0，
1

< br>
x
1
＋
y
1
＝0，
即


2
x
1
＋2
z
1
＝0.


可取
n
＝(1，－1，－1)．

5


m
·
→
CE
＝0，
同理，设
m
是平面
ACE
的法向量，则

→

m
·
C A
＝0.
1
1

可取
m
＝(2,1，－2)． < br>n
·
m
36
从而cos〈
n
，
m
〉 ＝＝，故sin〈
n
，
m
〉＝.
|
n
||
m
|33
即二面角
D
－
A
1
C
－
E
的正弦值为
20.
6
.
3

(II)由 题设知，直线
PQ
的方程为
yk(x1)1(k2)
，代入

(12k)x4k(k1)x2k(k2)0
，
由已知
0
，设
P

x
1
y
1

,Q

x
2
y
2

，
x
1
x
2
0

22
x
y
2
1
，得
2
2
4k(k1)2k(k2)
，
,xx
1222
12k12k
从而直线
AP
与
AQ
的斜率之和
y1y
2
1kx
1
2kkx
2
2k< br>
k
AP
k
AQ

1

x< br>1
x
2
x
1
x
1
则
x
1< br>x
2


11

xx

2k(2k)
12

x
1
x
2

x
1
x
2

4k(k1)

2k(2k)2k2(k1)2
.
2k(k2)

2k(2k)






21. 解：（1）
由BCCD,BCCD2,可得BD22,由EAED,且EAED2,可得 AD22

又
AB4,所以BDAD

又平面
EA D
平面
ABCD
，平面
ADE平面ABCDAD,

BD平面ABCD,所以BD平面ADE
..................4分
z
（2）如图建立空间直角坐标系
Dxyz


D(0,0,0),B(0,22,0),C(2,2,0),E(2,0,2)


BE(2,22,2),DE(2,0,2),DC(2,2,0)

设平面
CDE
的法向量
n(x,y,z)

E
D
B
y
C


2x2z0
n(1,1,1)




2x2y0
设直线
BE
与平面
CDE
所 成的角为

，得
BEn2
sin

cosBE,n

3
BEn

A
x
6

即直线
BE
与平面
CDE
所成的角的正弦值为
2
3 .............8分
(3)设
CF

CE,



0,1

,得DC(2,2,0),CE(2 2,2,2),DB(0,22,0)

所以
DFDCCFDC

CE2(2

1,

1,

)

设平面
BDF
的法向量
m(x,y,z)




22y012

1)y

z0
m( 1,0,)
...............10分


(2

1)x(



因为平面
CDE
的法向量
n(1,1,1)
且平面BDF
平面CDE

所以< br>mn0
所以


1
3


0, 1


故在线段
CE
上存在一点F (靠近C点处的三等分点处)，
使得平面
BDF平面CDE.
..............12分











22.

7

8