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九年级下册数学教案
第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．
3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．
5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题．

26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[MM及创新思维]
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm
2
）是多少？
（2）矩 形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平
方厘米，试写出y与x的 关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习
一次函数概念的经验，给它下个定义．
[实践与探索]
例1． m取哪些值时，函数
y(mm)xmx(m1)
是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数
y(mm)xmx(m1)
是二次函数，须满足的条件是：
22
22
m
2
m0
．
解 若函数
y(mm)xmx(m1)
是二次函数，则

mm0
．
解得
m0
，且
m1
．
因此，当
m0
，且
m1
时，函数
y(mm)xmx(m1)
是二次函数．
回顾与反思 形如
yaxbxc
的函数只有在
a0
的条件下才是二次函数．
探索 若函数
y(mm)xmx(m1)
是以x为自变量的一次函数，则m取哪些

1
22
2
22
22
2

值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm
2
）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm
2
）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与
所存 年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm
2
）与一对角线长x（cm）之间
的函数关系．
解 （1）由题意，得
S6a(a0)
，其中S是a的二次函数；
2
x
2
(x0)
，其中y是x的二次函数； （2）由题意，得
y
4

（3）由题意，得
y100001.98%x10000
（x≥0且是正整数），
其中y是x的一次函数；
（4）由题意，得
S
11
其中S是x的二次函数．
x(26x)x
2
13x(0x26)
，
22
例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各 剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余
下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm
2
）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解 （1）
S154x 2254x(0x
2
222
15
)
；
2
（2）当x=3cm时，
S22543189
（cm
2
）．
[当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
yx0

（3）
yx
2
2
（2）
y(x2)(x2)(x1)

2
1
（4）
yx
2
2x3

x
2
2．当k为何值 时，函数
y(k1)x
k
2
k
1
为二次函数？
3．已知正方形的面积为
y(cm)
，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
[本课课外作业]

2

A组
1． 已知函数< br>y(m3)x
m
2
2
7
是二次函数，求m的值．
2． 已知二次函数
yax
，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系 式．若圆柱
的底面半径x为3，求此时的y．
4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半 径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B组
5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）
A．
y(m1)x
B．
y(m1)x
C．
y(m1)x
D．
y(m1)x

6．下列函数关系中，可以看作二次函数
ya xbxc
（
a0
）模型的是 （ ）
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计
空气阻力）
D． 圆的周长与圆的半径之间的关系
[本课学习体会]


§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）
教学目标
(一)知识与技能
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解 二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何
时方程有两个不等的实根、两 个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精
神．
2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一
步培养学生的数形结 合思想．
3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．
(三)情感态度与价值观
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动 充满着探索与创
造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，

3
2
22222222

2．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．体会方程与函数之间的联系．
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
教学难点
1．探索方程与函数之间的联系的过程．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函 数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们
之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y= kx+b就转化成了一元一次方程
kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交 点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0
的解．
22
现在我们学习了一元二次方程 ax+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax+bx+c(a≠0)，它
们之间是否也存在一定的 关系呢?
2.选教材提出的问题，直接引入新课
Ⅱ．合作交流 解读探究
1.二次函数与一元二次方程之间的关系
探究：教材问题
师生同步完成.
观察：教材22页，学生小组交流.
归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.
Ⅲ.应用迁移 巩固提高
1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根
同期声
2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.
3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况
Ⅳ．总结反思 拓展升华
本节课学了如下内容：
1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的
联系．
2．理解了二次函数与x轴交点的个数
与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个 不等的实根,两个相等的
实根和没有实根.
3.数学方法:分类讨论和数形结合.
反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？
拓展：教案
Ⅴ．课后作业P
23
1.3.5

4

26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数
yax
的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
[MM及创新思维]
我们已经知道，一次函数
y2x1
，反比例函数
y
，那么二次函数
yx
的图象是什么呢？
（1）描点法画函数
yx
的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？
当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数
yx
的图象，你能得出什么结论？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有
何共同点？有何不同点？
（1）
y2x

解 列表
x
…
…
-3
18
-18
-2
8
-8
-1
2
-2
0
0
0
1
2
-2
2
8
-8
3
18
-18
…
…
…
2
2
3
的图象分别是 、
x
2
2
2
（2）
y2x

2
y2x
2

y2x
2

…
分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是
抛物线，如图26．2．1．
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：
y2x
的图象 开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对
称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线
自左向右上升．

2
y2x
2
的图象开口向下，顶点是抛物 线的最高点，在对
称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛
物线 ，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

5

例2．已知
y(k2)x
k
2
k4
是二次函数，且当< br>x0
时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．

k
2
k42
解 （1）由题意，得

， 解得k=2．

k20
（2）二次函数为
y4x
，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm
2
．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm
2
时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm
2
．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取 值范围；画图象时，
自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得
S
列表：
C 2 4
1
6 8
4
…
…
2
1
2
C(C0)
．
16
S
1
2
C

16
1

4
9

4
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm
2
时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm
2
．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
[当堂课内练习]
1．在同 一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和
顶点坐标．
（1）
y3x
（2）
y3x
（3）
y
2．（1）函数
y
22
1
2
x

3
2
2
x
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
3
1
2
（2）函数
yx
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
4
3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面 积S表示成x的函数，并画出图象的
草图．

6

[本课课外作业]
A组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）
y4x
（2）
y
2．填空：
（1）抛物线
y5x
，当x= 时，y有最 值，是 ．
（2）当m= 时，抛物线
y(m1 )x
m
（3）已知函数
y(k
2
k)x
k
随x 的增大而增大．
3．已知抛物线
ykx
k
2
k10
2
2
2
1
2
x

4
2
m
开口向下．
2k1
是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y
中，当
x0
时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线
yax
经过点（1，3），求当y=9时，x的值．
B组
5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm
3
．（1）求 y与x之间
的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm
3
时底面边长x的值；
（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm
3
．
6．二次函数
yax
与直线
y2x3
交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．
（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．
[本课学习体会]

2
2
26．2 二次函数的图象与性质（2）
[本课知识要点]
会画出
yaxk
这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
同学们还记得一次函数
y2x
与
y2x1
的图象的关系吗？

7
2

2
，你能由此推测二次函数
yx
与
yx1
的图象之间的关系吗？
2
，那么
yx
与
yx2
的图象之间又有何关系？
．
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出函数
y2x
与y2x2
的图象．
解 列表．
x
…
…
…
-3
18
20
-2
8
10
-1
2
4
0
0
2
1
2
4
2
8
10
3
18
20
…
…
…


描点、连线，画
出这两个函数的
图象，如图
26．2．3所示．
22
22
y2x
2

y2x
2
2












回顾与反思 当自变量x取同一数 值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图
象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些
不同 ？你能由此说出函数
y2x
与
y2x2
的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数
yx1
与
yx1
的图象 ，并说明，通过
怎样的平移，可以由抛物线
yx1
得到抛物线
yx 1
．
解 列表．
x
…
-3 -2 -1 0 1 2 3
…
22
22
22

8

yx
2
1

yx
2
1












…
…
-8
-10
-3
-5
0
-2
1
-1
0
-2
-3
-5
-8
-10
…
…

描点、连线，画
出这两个函数的
图象，如图
26．2．4所示．
可 以看出，抛物线
yx1
是由抛物线
yx1
向下平移两个单位得到 的．
回顾与反思 抛物线
yx1
和抛物线
yx1
分 别是由抛物线
yx
向上、向
下平移一个单位得到的．
2
探索 如果要得到抛物线
yx4
，应将抛物线
yx1
作怎样的平移？
2
222
22
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与
y
1
2
x
相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过
2
点（1，1），求 这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作
yax2(a0)
， 又抛物线经过点（1，1），
所以，
1a12
， 解得
a3
．
故所求函数关系式为
y3x2
．
回顾与反思
yaxk
（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标
归纳如下：
开口方向 对称轴


9
2
2
2
2
顶点坐标

yax
2
k


a0

a0

[当堂课内练习]
1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
y
1
2
11
x
，
yx
2
2
，
yx
2
2
． < br>222
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说< br>1
2
xk
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
2
1
2
2．抛物线
yx9
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可
4
1
2
以看作是由抛物线
yx
向 平移 个单位得到的．
4
出抛物线
y
3．函数
y3x3
，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函
数取得最 值，最 值y= ．
[本课课外作业]
A组
1．已知函数
y
2
1
2
11
x
，
yx
2
3
，
yx
2
2
．
333
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
1
2
x5
的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
3
1
2
2． 不画图象，说出函数
yx3
的开口方向 、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函
4
1
2
数
yx
通 过怎样的平移得到的．
4
（3）试说出函数
y
3．若二次函数
y ax2
的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最
小值？是多少？
B组
4．在同一直角坐标系中
yaxb
与
yaxb(a 0,b0)
的图象的大致位置是
( )

2
2

10

5．已知二次函数
y8x(k1) xk7
，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？
写出其函数关系式．
[本课学习体会]

2
26．2 二次函数的图象与性质（3）
[本课知识要点]
会画出
ya(xh)
这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
我们已经了解到，函数
yaxk
的图象，可以由函 数
yax
的图象上下平移所
得，那么函数
y
22
211
(x2)
2
的图象，是否也可以由函数
yx
2
平移而得呢？画图试一
22
试，你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y
1
2
11
x
，
y(x2)
2
，
y(x2)
2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐
222
标．
解 列表．
x
…
-3 -2 -1
…
0 1 2 3
…

描点、连线，画出这三个函
数的图象，如图26．2．5所
示．




9

2
2
11
y(x2)
2

…

0
22
y
y



1
2
x

2
1

0
2
1

2
2
9

2
1

2
2
25

8
2
9

…
2
25

…
2
1
(x2)
2

…
2
25

8
2
2
1

0
2
1

…
2
11

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思 对于抛物线
y
1
(x2)
2
，当x 时，函数值y随x的增大而减小；
2
当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最
值y= ．
11
(x2)
2
和抛物线
y
1
(x2)
2
分别是由抛物线< br>yx
2
向左、向右
22
2
11
22
平移两 个单位得到的．如果要得到抛物线
y(x4)
，应将抛物线
yx
作怎样 的
22
探索 抛物线
y
平移？
例2．不画出图象，你能说明抛 物线
y3x
与
y3(x2)
之间的关系吗?
解 抛物 线
y3x
的顶点坐标为（0，0）；抛物线
y3(x2)
的顶点坐 标为（-2，
0）．
因此，抛物线
y3x
与
y3(x2 )
形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y
轴和直线
x2
．抛物线< br>y3(x2)
是由
y3x
向左平移2个单位而得的．
回顾与反思
ya(xh)
（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称 轴、顶点坐
标归纳如下：
开口方向 对称轴



顶点坐标
2
22
22
22
22
ya(xh)
2


[当堂课内练习]
a0

a0

1．画图填空：抛物线
y(x1)
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ，它可以看作是由抛物线
yx
向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

12
2
2

y2x
2
，
y2(x3)
2
，
y2(x3)
2
，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点
坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知函数
y
1
2
11
x
，
y(x1)
2
，
y(x1)
2
．
222
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以 由抛物线
y
线
y
1
2
x
得到抛物
2
11
(x1)
2
和
y(x1)
2
？
22
2
3．函数
y3(x1)
，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，
函数取得最 值，最 值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线
y5x
与
y5(x4)
之间的关系．
B组
5．将抛物线
yax
向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，3），求
a
的值．
[本课学习体会]

2
22
26．2 二次函数的图象与性质（4）
[本课知识要点]
1．掌握把抛物线
yax
平移至
ya(xh)
+k的规律；
2．会画出
ya(xh)
+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
由前面的知识，我 们知道，函数
y2x
的图象，向上平移2个单位，可以得到函数
22
y2 x
2
2
的图象；函数
y2x
的图象，向右平移3个单位，可以得 到函数
y2(x3)
2
2
22
的图象，那么函数
y2 x
的图象，如何平移，才能得到函数
y2(x3)2
的图象呢？

13
22

[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y
1
2
11
x
，
y(x1)
2
，
y(x1)
2
2
，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点
222
坐标．
解 列表．
x
…
…
…
…
-3 -2
2
-1 0
0
1 2
2
3
…

描点、连线，画出
这三个函数的图
象，如图26．2．6
所示．



y
y
y
1
2
x

2
9

2
8
6
1

2
2
0
1

2
0
-2
9

…
2
2
0
…
…
1
(x1)
2

2
9

2
1

2

3

2
1

2

3

2
1
(x1)
2
2

2
5

2









它们的开口方向都向 ，对称轴分别
为 、 、 ，顶点坐标分别
为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影 响二次函数
ya(xh)
+k中k的值；
左右平移，只影响h的值，抛物线的形状 不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确
定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的 平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数
ya(xh)
+k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称
轴和顶点坐标吗？试填写下表．
开口方向 对称轴


14
2
2
顶点坐标

ya(xh)
2
+k

a0

a0

例2．把抛物线
yxbxc
向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线
2
yx
2
，求b、 c的值．
分析 抛物线
yx
的顶点为（0，0），只要求出抛物线
y xbxc
的顶点，根据
顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
22
b
2
b
2
b
2
b
2
c(x)c
解
yxbxc
xbx
．
4424
2
2
b
2
b
2
2
， 向上平移2个单位，得到
y(x)c
24
bb
2
2
2
， 再向左平移4个单位，得到
y(x4)c
24
bb
2
2)
，而抛物线
yx
2
的顶点为（0，0），则 其顶点坐 标是
(4,c
24

b
40

2


2
b

c20

4
解得

2

b8


c14
探索 把 抛物线
yxbxc
向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线
yx
2
，也就意味着把抛物线
yx
2
向下平移2个单位，再向右平移4 个单位，得到抛
物线
yxbxc
．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你 试一试．
[当堂课内练习]
2
1．将抛物线
y2(x4)1
如何平移可得到抛物线
y2x
（ ）
2
2
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位

15

D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2． 把抛物线
y
3
2
x
向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所 得的抛物线的函数
2
1
2
1
再向 平
x
可由抛物线
yx
2
向 平移 个单位，
22
关系式为 ．
3．抛物线
y12x
移 个单位而得到．
[本课课外作业]
A组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y3x
2，
y3(x2)
2
，
y3(x2)
2
1
，并指出它们的开口方向、对称轴和顶
点坐标．
2．将抛物线
yx2 x5
先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的
抛物线的函数关系式． 3．将抛物线
y
2
1
2
31
xx
如何 平移，可得到抛物线
yx
2
2x3
？
222
B组
2
4．把抛物线
yxbxc
向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到抛物线
yx
2
3x5
，则有 （ ）
A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21
2
5．抛物线
y3x bxc
是由抛物线
y3xbx1
向上平移3个单位，再向左平
2
移2个单位得到的，求b、c的值．
6．将抛物线
yax(a0)
向左 平移
h
个单位，再向上平移
k
个单位，其中h＞0，k＜0，
求所得 的抛物线的函数关系式．
[本课学习体会]

2
26．2 二次函数的图象与性质（5）
[本课知识要点]
1．能通过配方把二次函数
ya xbxc
化成
ya(xh)
+k的形式，从而确定开口
方向、对称轴 和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．

16
22

[MM及创新思维]
2
我们已经发现，二次函数
y2(x3)1
的图象，可以由函数
y2x
的图象先向
2
平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数
y2(x3)1
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函
数，如
yx3x2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出
图象吗？
[实践与探索]
2
2

2
例1．通过配方，确定抛物线
y2x4x 6
的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点
画图．
解
y2x4x6

2
2(x
2
2x)62(x
2
2x11)6
2(x1)16
2( x1)
2
8
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8） ．
由对称性列表：
x
…
-2 -1 0
6
1
8
2
6
3 4
…

2


y2x
2
4x6

…
-10 0
描点、连线，如图26．2．7所示．
0 -10
…


回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．
（2）描点画图时，要根据 已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然
后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各 点．
探索 对于二次函数
yaxbxc
，你能用配方法求出它的对称轴和顶 点坐标吗？请
你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
例2．已知抛物线
yx(a2)x9
的顶点在坐标轴上，求
a< br>的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（ 2）
顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

17
2
2

a2
2
(a2)
2
)9
解
yx(a2)x9
(x
，
24
2

a2(a2)
2

则抛物线的顶点坐标是

,9
< br>．
4

2
a2
0
，
2
解得
a2
．
当顶点在x轴上时，有

(a2)
2
0
， 当顶点在y轴上时，有
9
4
解得
a4
或
a8
．
所以，当抛物线
yx(a2) x9
的顶点在坐标轴上时，
a
有三个值，分别是 –2，4，
8．
[当堂课内练习]
1．（1）二次函数
yx2x
的对称轴是 ．
（2）二次函数
y2x2x1
的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的
增大而减小．
（3）抛物线
yax4x6
的顶点横坐标是-2，则
a
= ．
2．抛物线
yax2xc
的顶点是
(,1)
，则
a
、c的值是多少？
[本课课外作业]
A组
1．已知抛物线
y
2
2
2
2
2
1
3
1
2
5
x3x
，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
22
2
2．利用配方法，把下列函数写成
ya(xh)
+k的形式，并写出它们的图象的 开口方向、
对称轴和顶点坐标．
（1）
yx6x1

2
2
（2）
y2x3x4

2
2
（3）
yxnx
（4）
yxpxq

3．已知
y(k2)x
k

2
2k6
是二次函数，且当
x0
时，y随x的增大而增大．
18

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
B组
4．当
a0
时，求抛物线
yx2ax12a
的顶点所在的象限．
5. 已知抛物线
yx4xh
的顶点A在直线
y4x1
上，求抛物线的顶点坐标．
[本课学习体会]

2
22
26
．
2 二次函数的图象与性质（6）
[本课知识要点]
1．会通过配方求出二次函数
yaxbxc(a0)
的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际
问题中的最 大或最小值．
[MM及创新思维]
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80 元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该
店想通过降低售价、增加销售量的办法来 提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每
降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价 降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则 可得函数关系式为二
次函数
y10x100x2000
．那么，此问题可归结 为：自变量x为何值时函数y取
得最大值？你能解决吗?
[实践与探索]
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）
y2x3x5
； （2）
yx3x4
．
分析 由于函数
y2x3x5
和
yx3x4
的自变量x的取值范围是全体实数，
所以只要确定它们的图象 有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解 （1）二次函数
y2x3x5
中的二次项系数2＞0，
因此抛物线
y2x3x5
有最低点，即函数有最小值．
2
因 为
y2x3x5
=
2(x)
2
2
2
22
22
2
2
3
4
49
，
8
所以当
x

349
2
时，函数
y2 x3x5
有最小值是

．
48
19

（2）二次函数
yx3x4
中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线
yx3x4
有最高点，即函数有最大值．
2
因 为
yx3x4
=
(x)
2
2
2
3< br>2
25
，
4
所以当
x
325
2
时，函数
yx3x4
有最大值是．
24
回顾与反思 最大值或 最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大
值；第二步配方求顶点，顶点的纵 坐标即为对应的最大值或最小值．
探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数
yx2x3
的最大值或最小值．
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y
（件）之 间关系如下表：
x（元）
y（件）
130 150 165
70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少< br>元？此时每日销售利润是多少？
分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
解 由表可知x+y=200，
因此，所求的一次函数的关系式为
yx200
．
设每日销售利润为s元，则有
2
sy(x120)(x160)
2
1600
． 因为
x2000,x1200
，所以
120x200
．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．
回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所
得的函数，得出结果． 例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，< br>分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出
S的最大值．
解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此
AEACDF8y
．

20

（2）由< br>DE
∥
BC
，得
DEAEx8y
，即

，

BCAC48
所以，
y82x
，x的取值范围是
0 x4
．
（3）
Sxyx(82x)2x8x2(x2)8
，
所以，当x=2时，S有最大值8．
[当堂课内练习]
1．对于二次函数
yx2xm
，当x= 时，y有最小值．
2．已知二次函数
ya(x1)b
有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增 加
盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫
每降 价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
[本课课外作业]
A组
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）
yx2x
； （2）
y2x2x1
．
2．已知二次函数
yx6xm
的最小值为1，求m的值．，
3．心理 学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满
足函数关系：
y0.1x2.6x43(0x30)
．y值越大，表示接受能力越强．
（1） x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步
降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
B组
4．不论自变量x取什么数，二次函数
y2x6xm
的函数值总 是正值，求m的取值
范围．
5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a为10m），围成中间隔
有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m
2
．
（1）求S与x的函数关系式；

21
22
22
2
2
22
2

（2）如果要围成面 积为45 m
2
的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m
2
更大的花圃吗？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
6．如图，矩形ABCD中，AB=3，B C=4，线段EF在对角线AC
上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF ．
（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，
写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，
并求出S的最小值．
[本课学习体会]

26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
[本课知识要点]
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
[MM及创新思维]
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立 条件才能求
出函数关系式．例如：我们在确定一次函数
ykxb(k0)
的关系 式时，通常需要两个
独立的条件：确定反比例函数
y
2
k
(k0 )
的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确
x
定二次函数
yaxbx c(a0)
的关系式，又需要几个条件
呢？
[实践与探索]
例1． 某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水
面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离 为2．4m，在图中直角坐标
系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析 如图， 以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线
为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物 线的顶点在原
点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是
yax
2< br>(a0)
．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
yax(a0)
，得

2
2.4a0.8
2


22

所以
a
因此，函数关系式是
y
15
．
4
15
2
x
．
4
例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析 （1）根 据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为
yaxbxc
的
形式；（ 2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为
ya(x1)3
，再根据抛
物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数
关系式为
ya(x3)(x5)
，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知
抛 物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为
ya(x3)2
，同时可知抛物线的对
称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）
和 （5，0），任选一个代入
ya(x3)2
，即可求出a的值．
解 （1） 设二次函数关系式为
yaxbxc
，由已知，这个函数的图象过（0，-1），
可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到
2
2
2
2
2

ab1



ab3
解这个方程组，得
a=2，b= -1．
所以，所求二次函数的关系式是
y2x2x1
．
（2）因为抛物线的 顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为
ya(x1)3
，
又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到
2
2
1a(01)
2
3

解得
a4
．
22
所以，所求二次函数的关系式是
y4(x1) 34x8x1
．

23

（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），
所以设二此函数的关系式为
ya(x3)(x5)
．
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到

3a(03)(05)
．
解得
a
1
．
5
所以，所求二次函数的关系式是
y
112
(x3)(x5) x
2
x3
．
555
（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．
回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系
式设 成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可
设如下三种形式：
（1）一般式：
yaxbxc(a0)
，给出三点坐标可利用此式来求． < br>（2）顶点式：
ya(xh)k(a0)
，给出两点，且其中一点为顶点时可利 用此式来
求．
（3）交点式：
ya(xx
1
)(xx
2
)(a0)
，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点
2
2
( x
1
,0)
、
(x
2
,0)
时可利用此式来求．
[当堂课内练习]
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求
此二次函数的关系式．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数
yxbxc
的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3） ，
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成
ya(xh)k
的形式，并求出该抛物线
的顶点坐标和对称轴．
2
2

24

2．已知二次函数的图象与一次函数< br>y4x8
的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，
-8），如果抛物线的对称轴 是x= -1，求该二次函数的关系式．
3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地 面
宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的
汽车欲通过大门，货物顶 部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请
判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4．已知二次 函数
yaxbxc
，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴
上截 得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
B组
5．已知二次函数
yxbxc
的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次 函数
yxbxc
解析式的题
目，使所求得的二次函数与（1）的相同．
6．抛物线
yx2mxn
过点（2，4），且其顶点在直线
y2x1上，求此二次函
数的关系式．
[本课学习体会]

2
2
2
2
26 . 3 实践与探索（1）
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[MM及创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004 雅典奥运会的
赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关． 你
知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例1．如图26 ．3．1，一位运动员推铅球，铅
球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的
关系是
y
1
2
25
xx
，问此运动员把
1233
铅球推出多远？
解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，


1
2
25
xx0
．
1233
25

解方程，得
x
1
10,x
2
2
（不 合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了 运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情
境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面< br>5
m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地
3
面上的点10m，铅球运行中最高 点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函
数关系式．你能解决吗？试一试．
例 2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子
OA，水流在 各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计
成水流在离OA距离为1m处 达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不致落到池外？ < br>（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为
3．5m，要使水流不落到池外，此 时水流最大高度应达多少米？
（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解 决实际问题的应用
题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，
我们可以 求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可
解决问题．
解 （1）以O为原 点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为
ya(x1)2.25
．
将A（0，1．25）代入上式，得
1.25a(01)2.25
，
解得
a1

所以，抛物线的函数关系式为
y(x1)2.25
．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为
y(xh)k
．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．

[当堂课内练习]
1．在排球赛中， 一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9
米，当球飞行距离为9米时达最 大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直

26
2
2
2
2

接把球打出边线？
2．在一场篮 球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距
离为7米，当球出手水平距 离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球
圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢 起射向球门，当球飞行的水平距
离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问 能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，
公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累
积利润s（万元）与销售时间t（月）之 间的关系（即前
t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）
与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3．如图，一位运动员在距篮下4m处 跳起投篮，球运行的路
线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高
度3．5m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为
3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？


B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间
距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设
计人员利用 图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．






5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看

27

成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
10
2
m，入水处距池边的距离为4m，同时运动 员在距水
3
面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失 误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路 线是（1）中的抛物线，且运动员在空中
调整好入水姿势时，距池边的水平距离为
3
明 理由．

[本课学习体会]
3
m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说
5

26 . 3 实践与探索（2）
[本课知识要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[MM及创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的
问 题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，
设矩形一边长 为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求
出这个费用．你能解决它吗？ 类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解
决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规 定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价
定为70元时，日均销售 60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，
每天还要支出其他费用500元（天数 不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日
均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
b
2
4ac b
2
)
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成
ya(x
的 形式，写出顶点
2a4a
坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均 获利最多，是多少？
分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70 -x）千克，日均
销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出 函数关系式。
解 （1）根据题意，得

y(x30)[602(70x)]500


28

2x260x6500
(30≤x≤70)。
2
（2）
y
2x260x6500
2(x65)1950
。
2
2
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司 生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为
了获得更好的效益，公司准 备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x
（十万元）时，产品的年销售量将是原销售 量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系
如下表：
X（十万元）
y
0
1
1
1．5
2
1．8
…
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和 广告费，试写出年利润S（十万元）与广告
费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的 年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随
广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为
yaxbxc
。
2
c1

由表中数据，得

abc1.5
。

4a2bc1.8

1

a

10< br>
3

解得

b
。
5


c1


所以所求二次函数关系式为
y
1
2
3
xx1
。
105
2
（2）根据题意，得
S10y(32)xx5x10
。
（3）
Sx5x10 (x)
2
5
2
2
65
。
4
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
[当堂课内练习]

29

1．将进货单价为70元的某种 商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这
种商品的零售价在一定范围内每降价1元， 其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，
则应降价
（ ）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了
获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万
x< br>2
77
x
，如果把利润看元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且
y
101010
作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广 告费x（万元）的函数
关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多 少万元？
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖 这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天
的销售利润是指所卖出服装的销售 价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润 ，每件
的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每 间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提
高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增 加5元，则客房每天出租数会减少6间，不
考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房 的总收入最大？比装修前客
房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千 克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销
售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元 ，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的
销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想 在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单
价应定为多少？
B组
4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段
距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米时﹚，
对这 种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米时）
刹车距离


30
0
0
10 20 30 40 50 60
0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8

﹙1﹚以车速为x轴，以 刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并
用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图 象；
﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；
﹙3﹚该 型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推
测刹车时的车速是多少？请 问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
[本课学习体会]
26 . 3 实践与探索（3）
[本课知识要点]
（1）会求出二次函数
yaxbxc
与坐标轴的交点坐标；
（2）了 解二次函数
yaxbxc
与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[MM及创新思维]
2
给出三个二次函数：（1）
yx3x2
；（2）
yxx1
；（3）
yx2x1
．
22
2
2
它们的图象分别为









观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点
个数与什么有关吗？
另外，能否利用 二次函数
yaxbxc
的图象寻找方程
axbxc0(a0)
，不
等式
axbxc0(a0)
或
axbxc0(a0)< br>的解？
[实践与探索]
例1．画出函数
yx2x3
的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程
x2x30
有什么关系？
2
2
22
22

31

（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y
小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0）， 与y轴的
交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程
x2x30
的
解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．



回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解< br>决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象 能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，
再根据交点的坐标写出不等式的解集 ．
例2．（1）已知抛物线
y2(k1)x4kx2k3
，当k= 时，抛物线与x
轴相交于两点．
（2）已知二次函数
y(a1)x2ax3 a2
的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线
y x(k1)x3k2
与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），
且


22
2
2
2
2
17
，则k的值 是 ．
2
分析 （1）抛物线
y2(k1)x4kx2 k3
与x轴相交于两点，相当于方程
2(k1)x
2
4kx2k3 0
有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数
y(a1) x2ax3a2
的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程
2
(a1)x2
2ax3a20
的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线< br>yx(k1)x3k2
与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），
即α、 β是方程
x(k1)x3k20
的两个根，又由于



222
2
17
，以及

2


2
(



)
2
2

，利 用根与系数的关系即可得到结果．

32

请同学们完成填空．
回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数
根的 问题，这可从计算根的判别式入手．
例3．已知二次函数
yx(m2)xm1
，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任 何实数，二次函数
yx(m2)xm1
的图象必与
x轴有两个交点，只要 说明方程
x(m2)xm10
有两个不相等的实数根，即⊿
＞0． （2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程
x(m2)xm10
有两个负实 数根，
因而必须符合条件①⊿＞0，②
x
1
x
2
0，③
x
1
x
2
0
．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程
x(m2)x m10
有一正一负
两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②
x
1
x
2
0
．
22
解 （1）⊿=(m2)4(1)(m1)m8
，由
m0
，得
m8 0
，所以
22
2
2
2
2
2
⊿＞0，即不 论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由
x
1
x
2
m20
，得
m2
；由
x
1
x
2
m10
，得
m1
；又由（1），
⊿＞0 ，因此，当
m1
时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由
x
1
x
2
m20
，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称 轴是y
轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数
y x
2
(m2)xm1
是由函数
yx
2
上下平 移所得，
那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数
yx3x4
的图象如图，
2

33

则方程
x3x40
的解是 ，
不等式
x3x40
的解集是 ，
不等式
x3x40
的解集是 ．
2．抛物线
y3x2x5
与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标
为 ．
3．已知方程
2x3x50
的两根是
个交点间的距离为 ．
4．函数
yaxax3x1
的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及 交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数
yxx6
，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程
xx60
的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数
yx6xc
的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论 自变量x取什么数，二次函数
y2x6xm
的函数值总是正值，求m的取值
范围 ．
4．已知二次函数
y2x4x6
，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程
xx2
的解？
B组
6．函数
ymxx2m
（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．已知二次函数
yxaxa2
．

34
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
，-1，则二次函数
y2x3x5与x轴的两
2
2
2
2

（1）说明抛物线
yxaxa2
与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
[本课学习体会]


2
26 . 3 实践与探索（4）
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[MM及创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程
xx2
的解， 你是如何解决的呢？我们来看
一看两位同学不同的方法．
22
甲：将方程
x x2
化为
xx20
，画出
yxx2
的图象，观察 它与x轴
2
2
的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数
yx< br>和
yx2
的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方
程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）
x2x30
；
（2）
2x5x20
．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的 ，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比
画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线
yx
的图象，再根据待解的方程，画出相应
的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数
yx
和
y2x3
的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程
x2x30
的解为 –3，1．

35
2
2
2
2
2
2

（2）先把方程
2x5x20
化为
2
5
x10
，然后在同一直角
2
5
2
坐标系中画出函数
yx
和
yx1

2
x
2

的图象，如图26．3．6，
11
，）、（2，4），
24
1
2
则方程
2x5x20
的解为 ，2．
2
得到它们的交点（
回顾与反思 一般地，求一元二次方程
axbxc 0(a0)
的近似解时，可先将方程
2
ax
2
bxc0< br>化为
x
2

bcbc
x0
，然后分别画出函数< br>yx
2
和
yx
的图
aaaa
象，得出交点， 交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
13

yx

y3x6

(1)

．
22
； （2）

2
yx2x


yx
2

分析 （1）可以通过直接 画出函数
y
13
x
和
yx
2
的图象，得到 它们的交点，从
22
2
而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解 （1）在同一直角坐标系中画出函数
yx
和
y
的图象，如图26．3． 7，
得到它们的交点（

13
x
22
3
9，）、（1，1），
2
4
3

13

x


1

yx
2
,

x< br>2
1
则方程组

．
22
的解为
9y1

2

y

yx
2
1< br>

4



36

（2） 在同一直角坐标系中画出函数
yx2x
和
y3x6
的
图象， 如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组

2< br>
y3x6

yx2x
2
的

x< br>1
2

x
2
3
解为

．
,

y0y15

1

2

探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此
题的方法吗？比如利用抛物 线
yx
的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）
xx10
（精确到0．1） ；
（2）
3x5x20
．
2
2
2

yx2
2．利用函数的图象，求方程组

的解：
2

yx
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）
x
2
321
x10
（2）
x
2
x0

233
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）

yx

y(x1)5
2
； （2）

B组

yx6

yx2x
2
．
3．如图所 示，二次函数
y
1
axbxc(a0)
与
2
y2
kxb(k0)
的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求
能使y
1
y
2
成立的x的取值范围。


37

[本课学习体会]




第二十六章小结与复习
一、本章学习回顾
1． 知识结构

实
二二次函数的图象

际
次

二次函数的应用
问
函

二次函数的性质
题
数



2．学习要点
（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题
在学 习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在
用待定系数法求二次函数 关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都
体现了数形结合的思想。
二、本章复习题
A组
一、填空题
1．已知函数
ymx
m
2
m
，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线
的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线
yax
经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．
3．抛物线
y(k1)xk9
，开口向下，且经过原点，则k= ．
22
2

38

4．点A（-2，a）是抛物线
yx
上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B
是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线
yx
上的是 ．
5．若抛物线
yx4xc
的顶点在x轴上，则c的值是 ． < br>6．把函数
y
2
2
2
1
2
x
的 图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函
6
2
数关系式为 ．
7．已知二次函数
yx8xm
的最小值为1，那么m的值等于 ．
8．二次函数
yx2x3
的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 ．
9．抛物线
yx2x1
的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随
x的增大而减小．
10．已知抛物线的顶 点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关
系式为 ．
11．若二次函数
yxbxc
的图象经过点（2，0）和点（0，1），则 函数关系式
为 ．
12．抛物线
yx2x3
的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，当x= 时，
y有最 值是 ．
2
(x
2
,0)
，13．抛物线
yxxc
与x轴的两个交点坐标分别为
(x
1
,0)
，若
x
1x
2
3
，
22
2
2
2
2
那么c值为 ，抛物线的对称轴为 ．
14．已知函数
y(m1)x2xm4
．当m 时，函数的图象是直线；当m
时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过
原点的抛物线．
15．一条抛物线开口向下，并且与x轴 的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，
0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出 这条抛物线的函数关系式 ．
二、选择题
16．下列函数中，是二次函数的有 （ ）
2
①
y12x
②
y
22
1
③
yx(1x)
④
y(12x)(12x)

2
x
39

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
17．若二次函数
y(m1)xm2m3
的图象经过原点，则m的值必为 （ ）
A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定
18．二次函数
yx2(m1)x4m
的图象与x轴 （ ）
A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
19．二次函数
yx2x2
有（ ）
A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2
20．在同一坐标系中，作函数
y3x
，
y3x
，
y
22
2
2
22
1
2
x
的 图象，它们的共同特点是
3

（D ）
A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
21．已知二次函数
ykx7x7
的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）
2
77
B、
K
且
k0

44
77
C、
K
D、
K
且
k0

44
11
22
22 ．二次函数
y(x1)2
的图象可由
yx
的图象 （ ）
22
A、
K
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
23．某旅社有100张床位，每床每晚收 费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提
高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提 高2元，则再减少10张床位租出．以
每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每 晚应提高
（ ）
A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
24．若抛物线
yaxbxc
的所有点都在x轴下方，则必有 （ ）
A、
a0,b4ac0
B、
a0,b4ac0


40
22
2

C、
a0,b4ac0
D、
a0,b4ac0

25．抛物线
y2x4x1
的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）
A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）
三、解答题
26．已知二次函数< br>y
2
22
1
2
x2x1
．
2
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）作出函数图象的草图；
（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？
27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．
28 ．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函
数的函数关 系式．
29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积．
30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：
（1）
2xx30
；
2

y3x1
（2）

．
2

yxx
31．某商场以每件30元的 价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）
与每件的销售价x（元）满足一次函数 ：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果 商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销
售利润为多少？
B组
一、选择题
32．若所求的二次函数的图象与抛物线
y2x4x 1
有相同的顶点，并且在对称轴的
左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增 大而减小，则所求二次函数的
函数关系式为
（ D ）
A、
yx2x4
B、
yax2axa3(a0)

C、
y2x4x5
D、
yax2axa3(a0)

22
22
2

41

33．二次函数
yaxbxc(a0)
，当x =1时，函数y有最大值，设
(x
1
,y
1
)
，（
x
2
,y
2
)
是这个函数图象上的两点，且
1x
1
x
2
，则 （ ）
A、
a0,y
1
y
2
B、
a0,y
1
y
2

C、
a0,y
1
y
2
D、
a0,y
1
y
2

34．若关于x的不等式组
2

xa3
1
2
无解，则二次函数
y (2a)xx
的图象与
4

x155a
轴 x
（ ）
A、没有交点 B、相交于两点
C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点
二、解答题
35．若抛物线
y2x
m
2
2
4m3
(m5)
的顶点在x轴的下方，求m的值．
36．把抛物线
yxmxn
的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是
yx2x2
，求m、n．
37．如图，已知抛物线
y
2
1
2
x(5m
2
)xm3
，与x
2
轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，
OA=OB，
（1）求m的值；
（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．
38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．
C组
解答题
39．如图，已知二次函数
yxmxn
，当x=3时，
有最大值4．
（1）求m、n的值；

42
2

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，
求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x的取值范围；
（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，
求C点坐标．
40．阅读下面的文字后，解答问题．
2
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(0,a) 、
B(1,-2)、 、

，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”
题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不
能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
41．已知开口向下的抛物线
yaxbxc
与x轴交于两点A（
x
1< br>，0）、B（
x
2
，0），
其中
x
1
＜x
2
，P为顶点，∠APB=90°，若
x
1
、
x2
是方程
x2(m2)xm210
的
两个根，且
x< br>1
x
2
26
．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式．
42．已知二次函数
yx(m2)x3(m1)
的图象如图所示．
（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若
OAOB6
，求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离；

（5）求⊿ABC的面积S．
2
22
2
22

第二十六章自我检测题
（时间45分钟，满分100分）
一、精心选一选（每题4分，共20分）
1．抛物线
yx
2
4
的顶点坐标是
（ ）
A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）

43

2．若（2，5）、（4，5）是抛物线
yaxbxc
上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
2
b
B、
x1
C、
x2
D、
x3

a
a
2
3．已知反比例函数
y(a0)
，当x＜0时，y随x的增大而减小， 则函数
yaxa
x
A、
x
的图象经过的象限是 （ ）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
4．抛物线
yaxbxc
与x轴的两个交点为（-1， 0），（3，0），其形状与抛物线
y2x
2
22
相同，则
y axbxc
的函数关系式为 （ ）
A、
y2xx3
B、
y2x4x5

C、
y2x4x8
D、
y2x4x6

5．把抛物线
yxbxc
向左平 移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线
2
22
22
yx
2
2x1
，则 （ ）
A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若
y(2m)x
m
2
2
是二次函数，则m= 。
7．二次函数
yx2x
的开口 ，对称轴是 。
8．抛物线
y
而增大。
9．已知二次函数
yax2的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式
为 ，它与x轴的交点的个数为 个。
10．若y与
x
成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为 。
11．抛物线
yx3x4
与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标
是 。
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m
2
）

44
2
2
2
1
2
3
xx
的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大
22
2

与花边宽度x（m）之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范
围为 。
13．抛物线
yax
与直线
y3xb
只有一个公共点，则b= 。
14．已知抛物线
yaxxc
与x轴交点的横坐标为 –1，则
ac
= 。
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写 出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两
个）
、 。
三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）
16．已知二次函数
yxbx1
的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。







17．根据下列条件，求二次函数的关系式：
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；
（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。







18．已知抛物线
yax4axt
与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线 上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的
面积为9，求此抛物线的函数关系式。



45
2
2
2
2

19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内， 可以延长
存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现
有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。
据测算 ，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平
均每天还有10千克 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关
于x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本
－费用）？最 大利润是多少？



相 似 形
图形的相似

教学目标
通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，
理 解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中
画出已知图形的相似图形．
在获得知识的过程中培养学习的自信心．
教学重点
引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．
教学难点
理解相似图形的概念．
教学过程
一、观察课本第
42
页图
24. 1.1
、图
2
，每组图形中的两图之间有什么关系？
41.2.
二、归纳：
每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．
具有相同形状的图形叫相似图形．
师可结合实例说明：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．

46

⑶我们可以这样理解相似形：
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．
四、观察课本第
43
页图
24.1.3
中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
五、想一想：
放大镜下的图形与原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？
可让学生动手实验，然后讨论得出结论．
六、观察课本第
43
页图
24.1.4
中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
让学生通过比较图
24 .1.3
与图
24.1.4
，体会相似图形与不相似图形的“形
状”特点．
七、课本第
43
页“试一试”．
让生各自独立完成作图，再展示评析．
八、巩固：
⒈课本第
43
页练习．
⒉课本第
44
页习题
24.1
．
对于第
2
题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分
交流彼此的看法．
九、小结：
你通过这节课的学习，有哪些收获？
十、作业：略．


相似三角形

教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质
教学重点：相似三角形的判定与性质
教学过程：
一 知识要点：
1、相似形、成比例线段、黄金分割
相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。
相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的

47

比与另两条线段的长度的比相等，即
比例线段，简称比例线段。
ac

（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成
bd
黄 金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长
之比，则可得出这一 比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄
金分割点，较长线段叫做较短线 段与全线段的比例中项。
例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗
例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米
（2）1·5厘米，2·5厘米，4·5厘米，6·5厘米
（3）1·1厘米，2·2厘米，3·3厘米，4·4厘米
（4）1厘米， 2厘米，2厘米，4厘米。
例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分 割，需穿多高的
高跟鞋？
例4：等腰三角形都相似吗？
矩形都相似吗？
正方形都相似吗？
2、相似形三角形的判断：
a两角对应相等
b两边对应成比例且夹角相等
c三边对应成比例
3、相似形三角形的性质：
a对应角相等
b对应边成比例







c对应线段之比等于相似比
d周长之比等于相似比
e面积之比等于相似比的平方

4、相似形三角形的应用：
计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段

48

例题
1：如图所示， ABCD中，G是BC延长线 上一点，AG
交BD于点E，交DC于点F，试找出图中所有的相似三
角形
A
E
B
C
F
D
G


2如图在正方形网格上有6个斜三角形：a :ABC； b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH f:
EFK，试找出与三角形a相似的三角形




3、在 ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿A B边向点B以2厘米
每秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4厘米每秒的速度移动，如果P、 Q分
别从A、B同时出发，经几秒钟 PBQ与 ABC相似？





4、某房地产公司要在一块矩形ABCD土地上规划建设一个矩
形GHCK小区公园（如图），为了使文物保护区 AEF不被
破坏，矩形公园的顶点G不能在文物 保护区内。已知AB=200
米，AD=160米，AF=40米，AE=60米。
（1）当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的
面积；
（2）当G是EF上什么位置时，公园面积最大？








同步练习：
1．已知：AB=2，M是的黄金分割点，

49
D
K
C
F
G
M
A N
E
H
B

（1） 求AM的长；（2）求AM：MB


2．已知：x:y:z=2:3:4, 求:
(1)


3．已知：



4．已知：△ ABC中，AD=AE，DE交BC延长线于F，求证：BF·CE=CF·BD。
A

A
A






5．如图 ：已知CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶
EG∶GA=1∶2∶3，求EF+ GH。







50
xyz
3x2yz
（2）（3）若2x-3y+z=-2求x,y,z的
xyz
x2y3z
dabc
k
，求k的值。
abcbcdacdabd
D
M
B C
E
F B
D
E
C
M
F
B
D
M
E
C
F
N
D
E
G
A
M
C
F
H
B

6．如图,已知：CD∶DA=BE∶ED=2∶1，
求BF∶FC及AE∶EF。




A
D
C
E
B
F

7．如图，在直角坐标系中有两点A（ 4，0），B（0，2），如果点C在x轴上，（C与A
不重合），当由点B，O，C组成的三角形与三 角形AOB相似时，求点C的坐标？


Y

B







O
A
X 8．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC平行AD，DE平行BC，若三角形BEC的面积=1，三角形ADE的面积=3，求三角形CDE的面积
A











51
E
D
C
B

位似图形教案

教学目标：
1、知识目标：
①了解位似图形及其有关概念；
②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2、能力目标
：
①利用图形的位似解决一些简单的实际问题；
②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。
3、情感目标
：
①通过学习培养学生的合作意识；
②通过探究提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：
探索并掌握位似图形的定义和性质；
教学难点：
运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。

52

教学方法：
从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究 等方法，
经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，
发展思维 ，学会学习；提高学生自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在
教学过程对不同层次的学生进行分类 指导，让每个学生都得到充分的发展。
教学准备：
刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、
教学手段：
小组合作、多媒体辅助教学
教学设计说明：
1、为了便于学生理解位似图形的特征 ，我在设计中特别注意让学生通过动
手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到 理性认识，
将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识.
2、探索知识是本节的重点，设 计这一环节，通过学生的做、议、读、想、
试等环节来完成，把学习的主动权充分放给学生，每一环节及 时归纳总结，使
学生学有所获，探索创新.
教学过程：
一、创设情境 引入新知
观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A
1
B
1C
1
D
1
都是
相似图形。分别观察着五个图形，你发现每个图 形中的两个四边形各对应点的
连线有什么特征?

53

D
C
D
1
C
1
A
1

B
1
A
B
(1)
C
C
1
B
1
B
(3)
A
D
C
B
1
C
1
A
1
D
1
A
B
(2)
C
D
D
1
A
1
A
D
D
1
C
1
A
1
(4)
DD
1
C
1
B
A
B
1
(5)
C
B
1
B

（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：）
特点：（1）两个图形相似：
（2）每组对应点所在的直线交于一点。
二、合作交流 探究新知
请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？
如果两个相似图形的每 组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图
形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相 似图形的相似比又叫做
．．．．．．．．
它们的位似比。
．．．
议一议
观察上图中的五个图形，回答下列问题：
（1） 在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关
系？
（2） 在各图中， 任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。
它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一 试。
（每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：）

54

位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
由此得出：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之
比等于相似比。
三、指导应用 深化理解
（同学们观察大屏幕出示的问题）
例1如图D，E分别是AB，AC上的点。
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么?
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什
么?
B
C
D
A
E
小组讨论如何解这道题：问题1，证位似图形的根据是什么？需要哪几个
条件？
根据是位似图形的定义。
需要两个条件：
！、△ADE和△ABC相似；
2、对应点所在的直线交于一点。
问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1、对应点和位似中心在同一条直线上；
2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（一生口述师板书：）
解：（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C

55

是对应点，直线BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形。
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
四、继续观察 拓展提高
（同学们继续观察屏幕展示的图形）
在图（1）——（ 5）中,位似图形的对应线段AB与A
1
B
1
是否平行?BC与B
1
C
1
,CD
与C
1
D
1
,AD与A
1
D
1
是否平行?为什么?
同桌观察探究并发言：对应边平行或在同一条直线上。
（出示课件：展示一组位似图形，动画 闪动图形的对应边，直观展示位似
图形的对应边平行或在同一条直线上）
五、反馈练习 落实新知
挑战自我:
1、下面每组图形中都有两个图形.
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形?
（2）作出位似图形的位似中心
（1） （2） （3）

56
(4) (5)
(6)

2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△
BDE是位似图形吗？为什么？
（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到
黑板上板书，以备面对全体矫正）
六、归纳小结 反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我 们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性
质？我们可以利用定义来证明位似图形， 已知位似图形我们可以根据性质得到
有关结论。观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看 对应边是
否平行或在同一条直线上。
七、自我评价 检测新知
1、如果两个位似 图形的每组________所在的直线都_________，那么这样
的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做________，这时的相似比又叫做
________。
2、位似图形的对应点 到位似中心的距离之比等于_____________；位似图
形的对应角__________，对 应线段__________（填：“相等”、“平行”、“相
交”
、“在一条直线上”等）
3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延
长线上。
4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________（填“一定”、
“不 ”或“可能”等）
5、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的 两个
图形是位似图形。
D
A
E
B
C

57

（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现 的问题及时
矫正有利于学生知识的巩固和提高）
八、课后延伸 探索创新
在如图 所示的图案中，最外圈的8个三角形组成的图形
和次外圈的8个红色三角形组成的图形是位似图形吗？如 果
是，为似比是多少？
九、板书设计：
课题：位似图形
一、位似图形有关概念和性质：三、随堂练习（学生板演）
1、概念；
2、性质
二、例题 四、拓展思考题答案
十、课后反思：
1、存在问题：
（1）学生在动手操作，与探究位似图形的共同特征环节比较顺利，但是归< br>纳性质用语言表达时则较困难；
（2）证明位似图形的思路还需要在老师的提示下找到，没能及时内化；
（3）内外位似区别不清楚。

58

2、改进意见：
（1）通过合作交流不断提高学生的语言表达能力和形象思维能力；
（2）注意通过定理公式的逆向运用发展学生的逆向思维；
（3）内外位似图形如果能举例说明并让学生自己来鉴别会掌握得更好。









27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断
两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的
定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判
断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思
想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程

59

1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个
图形
______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形
的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原
来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相
似吗？（多媒体出示）

相似 不相似 不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：
27.1图形的相似（第2课
时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根
据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．

60

3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判
断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
准备活动:
阅读 理解：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线
段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相 等，如 （即ab=cd），我们就说这四条
线段是成比例线段，简称比例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出 示），四边形ABCD和EFGH相似，
求∠1、∠2的度数和EF的长度.

解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠C=83°，
∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。
由此得：
，即 ，
解得，x=28（cm）.
三巩固练习
！

61

27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．

62

相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）

相似 不相似 不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：




27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．

63

重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
准备活动:
阅读理解：对于四条线段
a、b、c、d
，如果其中两条线段的比（即它们长度的比） 与另外
两条线段的比相等，如
ac

（即
ab=cd
），我 们就说这四条线段是成比例线段，简称比
bd
例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形
A BCD
和
EFGH
相似，求∠1、∠2的度数和EF的长度.
H
A
18cm
B
78
83
C
F
21cm
D
1
E
118
24cm
2
G

解：四边形
ABCD
和
EFGH
相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠
C
=83°，
∠
A
=∠
E
=118°
在四边形
ABCD
中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形
ABCD
和
EFGH
相似，它们的对应边成比例。
由此得：

EHEFX24
，即，

ADAB2118
解得，
x
=28（cm）.
三巩固练习
如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条
边长5 cm，其他两边的长都是3．5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.


四、相似三角形的定义及记法
1、因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形
的定义给出.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
如△
ABC
与△
DEF
相似，多媒体出示，

64

D
A
记作△
ABC
∽△
DEF
B
CE
F

其中对应顶点要写在对应位置，如A与
D、B
与
E
、
C
与
F
相对应．
AB
∶
DE
等于相似比,
相似比为
K
．
2、想一想：如果△ABC
∽△
DEF
，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么
关系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例．
3、议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
五、小结：
请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会;
六、作业
1、看书P39-40
2、教材P40复习巩固1、3
教学后记：



27. 3 位似（一）
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样

65

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是
位似图形，必 定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心
只有一个；③两个位似图形可 能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位
似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断 两个图形是否位似．
（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一 种特殊
的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位
似比（相似比）．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中 心的
对应线段平行．
（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图 时要注意:①首先
确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个 关
键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大
还是 缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如
例2），并且同一 个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形
的概念，让学生理解 位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个
相似图形每对对应点所在的直线都 经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通
过例2 的教学，使学生掌握位似图形的画法， 能够利用作位似图形的方法将一个图形放大
或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出 所要求作的图形，要让学生
通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的 位置有关
（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧
各有一 个符合要求的图形（如例2 中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形
的关键．要及时强调 注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），
并让学生练习找所给图形的位似 中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图
形的概念与作图．
四、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特
征？





66

2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放
大为原来的2倍，即新图与原图的 相似比为
2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种
方法吗？
五、例题讲解 例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，
请指出其位似中 心．

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形 ，首先
要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是
图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应
点连线的交点，故图（3）不是 位似图形，图（5）也不是位似图形）
例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的
分析：把原图形缩小到原来的
1
．
2
1
，也就是使新图形上各顶点 到
2
位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为
1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点
A′、B′、C′、D′，
使得< br>OA

OB

OC

OD

1
；
OAOBOCOD2
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、

67

D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD
外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，
OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB，
OC， OD的反向延长线上取点
A′、B′、C′、D′，使得
OA

OB

OC

OD

1

 
；
OAOBOCOD2
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A ′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得
O A

OB

OC

OD

1
 
；
OAOBOCOD2
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A ′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，
如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上 或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略—
—可以让学生自己完成）
六、课堂练习
1．教材P61．1、2
2．画出所给图中的位似中心．

1． 把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．

七、课后练习
1．教材P65．1、2、4

68

2．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
教学反思





27. 3 位似（二）
一、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示 图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大
或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变
换．
二、重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．难点的突破方法
（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换， 因此一些特殊的
相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．
（2）带领学生共同探究 出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，
如果位似变换是以原点为位似中心，相似 比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k
．．
或-k．
（3）在平面直角坐标 系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定
位似图形各个顶点的坐标，而不同方法 得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个
顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C( 6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，
根据前面（2）总结的变化规律，点A的 对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），
或点A的对应点A′′的坐标为（1×( -2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他

69

顶点的坐标．
（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、 轴对称、旋转和位似四种
变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但 大小和形
状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让
学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．
三、例题的意图
本 节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中
对应点的坐标的变化 规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其
目的是巩固新知识，帮助学生加深理 解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，
此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P 64
的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四
种变换的一个综合题目，所给的图案由 于观察的角度
不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并
在顺利完成这个题目基础上， 让学生自己总结出这四
种变换的异同．
四、课堂引入
1．如图，△ABC三 个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，
C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得 到△A
1
B
1
C
1
，
写出A
1
、 B
1
、C
1
三点的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A
2
B
2
C
2
三个顶点
A
2
、B< br>2
、C
2
的坐标；
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A< br>3
B
3
C
3
，写出
A
3
、B
3
、C
3
三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角 坐标系中，如何用坐标表示某些平移、
轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一 些特殊的相似（如位似）
也可以用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
（1）如图 ，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比
为
1
，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
3
（2）如图， △ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，
C(6,2)，以点O为位似中心，相似比 为2，将△ABC放大，
观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平

70

面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点
的坐标的比等于k或-k．
五、例题讲解
例1（教材P63的例题）
分析：略（见教材P63的例题分析）
解：略（见教材P63的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×
()
，6×
()
）， 即A′′（3，-3）．类似地，
可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴
对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是
一排鱼顺时针旋转45°角， 连续旋转八次得到的旋转图形；它
还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1
的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
六、课堂练习
1． 教材P64．1、2
2． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0) ，
试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相
似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．
3． 如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三
角形顶点，坐标发生 了什么变化，并求出其相似比和
面积比．
七、课后练习
1．教材P65．3， P66．5、8
2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图
案（选择的变换不限）．
3．如图，将图中的△ABC以A
．
为位似中心，放大到1.5倍，
请画出图形，并指 出三个顶点的坐标所发生的变化．
1
2
1
2
教学反思



71

第二十八章 锐角三角函数
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和 正切等锐角三角函数的概念，第二
节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内 容是第二节的基
础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容，而 高中阶段的三角内容是三角学的主体部
分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都 是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（ 1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），
知道3 0°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应
的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，•再运用这
些 规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，•应
该牢牢记住．

72

（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的 三角函数值的过程，发展学生观察、分析，•
解决问题的能力．
教学方法
在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．•讲课时应
注意，只有让学生正 确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，
才能运用这些关系解直角三角形． 故教学中应注意以下几点：
1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实 际问题联系起来，
减少单纯解直角三角形的问题．
2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，•再加以
探索认识．
3．对实际问题，注意联系生活实际．
4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，•增加探索性问题的比
重．
课时安排
本章共分9课时．
28．1 锐角三角函数 4课时
28．2 解直角三角形 4课时
小结 1课时






73

28．1 锐角三角函数
内容简介
本节先研究 正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的
直角三角形，让学生感受到不管 直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜
边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念 作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能
够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了 正弦函数的概念，因此对
余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比 着正弦函
数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反
方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最
后介绍了如何 使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角
等内容．由于不同的计算器操作 步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tan A•表示直角三角形中
两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一 个特殊角的三
角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值
求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变 化与对应的思想，逐步培
养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．
2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、•邻边与斜边的比值也是固定的这一

74

事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．
教学方法
学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定 的事实，关键在于
教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今 后
的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有
一一 对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

第1课时 正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于135 0年的意大利比萨斜塔落成时就
已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇 摆22分之分，仍巍然屹
立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5. 2m，•而且还以
每年倾斜1cm•的速度继续增加，•随时都有倒塌的危险．•为此，•意大利当局从 1990年
起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了
43.8cm．
根据上面的这段报道中，•“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由 落成时的2.1m增
加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题
了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山 脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在
山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水 平面所成角的度数是
30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，•互相讨
论，看谁写得最合理 ，然后由教师总结．

75

教师总结：这个问题可以归纳为，在R t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，
•求AB（课本图28．1-1）．
B
A
C

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
1
A的对边BC

＝
斜边AB
2
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提 出新问题：•在上面的问题中，•如果使出水口的高度为50m，
那么需要准备多长的水管？•要求学生 在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB （所需水管的长度）的过程中，虽然问
题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中 ，•如果一个锐角等于
30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三 角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其
他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？•我们 再换一个解试一试．•如课本图
28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？
•如果是，是多少？
B
1
．也是说，只
2
A
C

教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°

76

由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB
2
=AC
2
+BC
2
=2BC
2
，< br>AB=
2
BC．
因此
2
BCBC1

=，
AB
2BC2
2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，•这
个角的对边与斜边 的比都等于
2
．
2
教师再将问题提升到更高一个层次：•从上面这 两个问题的结论中可知，•在一个Rt
△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜 边的比都等于
1
，是一个固定
2
值；•当∠A=45°时，∠A的对边与斜边 的比都等于
2
，也是一个固定值．这就引发我
2
们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是
一个固定值？
教师直接告 诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，•边与学生共同探究证明
方法．这为问题可以转化为以下 数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′= 90°，∠
A=∠A′=a，那么
BCB'C'
有什么关系．
与
A BA'B'
B
'
B
A
A
'
C

C< br>'

在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a ，所以Rt△ABC∽Rt△A′
B′C′，
BCABBCB'C'

，即 ．
B'C'A'B'ABA'B'
77

这就是 说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠
A的对边与斜边的比都是一 个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
教师讲解：在日常生活中和数学活 动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这
个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做
∠A的 正弦，记作sinA，即sinA= =
a
．
c
B
斜边c
A
b
C
对边a

在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
1
；
2
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
2
．
2
例1 如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
B
3
A
4
(1)
C
B
3
5
C
13< br>A
(2)

教师对题目进行分析：求 sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB•就是要确
定∠B的对边与斜边的比．我们已经 知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

78

解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
AB=
AC
2BC
2
4
2
3
2
=5．
BC3AC4
=，sinB==．
AB5AB5
因此 sinA=
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
BC5
=， AC=
AB
2
BC
2
13
2
5
2< br>=12．
AB13
AC12
因此，sinB==．
AB13
sinA=
随堂练习
做课本第79页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时 ，不管三角形的大小如何，∠A•的对边与
斜边的比都是一个固定值．
在Rt△AB C中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A•的正弦，•记
作sinA，
教后反思
_____________________________________ __________________________________
___________ __________________________________________________ ______________
第1课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
双基与中考
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A．
a
ab
B． C．
ba
a< br>2
b
2
D.
b
ab
22


79

y
P(a,b)


A
AO
x

B
C

B
C

（1） （2） （3）
2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）
3434
B． C． D．
4355
5
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB等于（ ）
13
121355
A． B． C． D．
13121213
A．
4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（ ）．
A．
15
15
B.
1
4
C.
1
3
D.
15

4
5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
2
，BC的长是（ ）．
5
A．2
21B.4C.21D.
21

50
第1课时作业设计（答案）1．D 2．A 3．A 4．B 5．B


28.1.2 余弦、正切函数(第2课时)
复习引入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义
它．
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如课本图28．1-6所示，•在

80

Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的 比就随之确定了．•现在
我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
B
斜边c
A
∠A的邻边b
∠A的对边a
C

探究新知
（一）余弦、正切概念的引入
教师引导学生自 己作出结论，•其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法
相同，都是通过两个三角形相似来证 明．
学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的
大小确定时，∠A的斜边与邻边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠
A的邻 边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=
A的邻边
a
=；
斜边
c
A的对边
a
=．
A的邻边
b
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=
教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函
数．同样地，cosA，tan A也是A的函数．
（二）余弦正切概念的应用
教师解释课本第80页例2题意：如 课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=•6，
sinA=
3
，求cosA、tanB的值．
5
B
6
A
C


81

教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边 的值，要求余弦，正
切值，就要求斜边与另一个直角边的值．•我们可以通过已知角的正弦值与对边值及 勾股
定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
BC
，
AB
BC5
∴AB==6×=10，
sinA3
解：sinA=
又∵AC=
∴cosA =
AB
2
BC
2
10
2
6
2
=8，
AC4AC4
=，tanB==．
AB5BC3
随堂练习
学生做课本第81页练习1、2、3题．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cosA，把∠ A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
教后反思
____ __________________________________________________ ______________
_______________________________ ___________________________________________

第2课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关
的部分）
双基与中考
一、选择题．
1．已知sina+cosa=m，sina·cosa=n，则m，n的关系是（ ）．
A．m=n B．m=2n+1 C．m
2
=2n+1 D．m
2
=1-2n

82

2．在直角三角形ABC中，∠A为锐角，且cosA=
1
，那么（ ）．
4
A．0°<∠A≤30° B．30°≤∠A≤45°
C．45°<∠A≤60° D．60°<∠A<90°
3．如图1，两条宽度都为1的纸条， 交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠
部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A．
1
sina

B.
1
C．sina D．1
cosa
A
D
A
A
D< br>B
C
B

C
B

C

(1) (2) (3) (4)
4．如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠AB D=
DBC=
3
，sin∠
5
12
，则AB，BC，CD长 分别为（ ）．
13
4
，那么sin（90°-a）的值等于（ ）．
5
316
C.D.

525
A．4，12，13 B．4，13，12 C．5，12，13 D．5，13，12
5．如果a是锐 角，且cosa=
A．
9
25
B.
4
5
6．如图3 ，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（ ）．
A．sina=
4343
B．cosa= C．tana= D．tana=
5534
7．如图4，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点 17米的C处（AC⊥
AB）测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ）．
A．17sin50°米 B．17cos50°米 C．17tan50°米 D．17cot50°米
8．在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥ AC于E，EF⊥AB于F，
•若CD=•4，AB=10，则EF：AF等于（ ）．

83

A．
1
55
B． C．
25
2
D.
25

5
二、填空题
• 9．•直角三角形的斜边和一条直角边的比为25：•24，•则其中最小角的正切值是________． < br>10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=4
3
，且S
△
AB C
=2，则c=_______．
11．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对 角的余弦值为
周长为______，面积为_______．
12．已知sinα·cosα=
三、解答题
13．已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值．


14．已知sinα，cosα是方程4x
2
-2（1+
3
）x+
3
=0的两根，求sin
2
α+cos
2
α的值．


第2课时作业设计（答案）
一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A
二、9．
8
，•则此三角形的< br>17
1
，0°<α<45°，则sinα-cosα=_______．
3
3
7
10．2
10
11．80，240 12．-
3
24
三、13．如图，设△ABC为等腰三角形，AB=AC=20，B C=30，过A作AD⊥BC于D，
则D•为BC中点．
∴BD=15，在Rt△ ABD中，AD=
AB
2
BD
2
=5
7
．
∴tanB=
AD5157

．
DB153
84

A
20
20
B
15
D
C


14．∵sinα+cosα=
1
3
（1+
3< br>），cosα·sinα=，
4
2
∴sin
2
α+ cos
2
α=（sinα+cosα）
2
-2sinα·cosα
=[









1
3
（1+
3
）]
2
- =1．
2
2
28.1.3 特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同
的锐角？是多少度？ 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边 长为1，•利用勾股定理和三角函数的定义
可以求出这些三角函数值．

85

探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

sinα

cosα

tanα
30° 45° 60°
1
23


2
22
1
32



2
22

3
1

3
3

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 分子按角度增加分别为
1
，
2
与
3
．对于余弦值，分母都是 2，分子按角度增加分别为
3
，
2
与
1
．对
于正切 ，60•度的正切值为
3
，当角度递减时，分别将上一个正切值除以
3
，即是 下一
个角的正切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教 师强调：（sin60°）
2
用sin
2
60°表示，即为（sin60°） ·（sin60°）．
（二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第82页例3：求下列各式的值．
（1）cos
2
60°+sin
2
60°．
（2）
cos45
-tan45°．
sin45
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
解：（1）cos
2< br>60°+sin
2
60°=（
1
2
3
2
）+ （）=1
2
2

86

（2）
22
cos45
-tan45°=÷-1=0
22
sin45
2．师生共同完成课本第82页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=
6，BC=
3
，求∠
A的度数．
（2）如课本图28．1-9（ 2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的
3
倍，
求a．
教师分析 解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三
角函数的值，如果这个值是一 个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA=
2
BC3
=，

2
AB
6
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana=
AO3OB

=
3
，
OBOB
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第83页练习第1、2题．
课时总结

87

学生要牢记下表：

sinα

cosα

tanα
30° 45° 60°
1
23


2
22
1
32



2
22

3
1

3
3

对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
教后反思
_________________________________ ____________________________________
_________ __________________________________________________ _____________
第3课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第3题．
双基与中考
（本练习除了作为本课 时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生
的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划 分课内、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，c osA=
3
，AB=15，则AC的长是（ ）．
5
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin
2
60°+cos
2
60°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．

88

A．2 B．
3
C．
2
D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤
1
，那么（ ）
2
A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6 ．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，
BCD=a，则tana•的 值为（ ）．
A．

AC=4，设∠
1
3
，cosB=，则△ABC的形状是（ ）
2
2
3434
B． C． D．
4355
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于
11
3
B．大于 C．大于 D．大于1 2
22
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：
3
：2，则si nA+tanA等于（ ）．
A．
323
6
1
B.3
2
C.
33
2
D.
31

2
9．已知 梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是
3
，
• 则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin
2
72°+sin
2
18°的值是（ ）．
A．1 B．0 C．
1
3
D．
2
2

89

11．若（
3
tanA-3）
2
+│2cosB-< br>3
│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα- cosβ=0，则α+β=_______．
13．
cos45sin30
的值是_______．
1
c os60tan45
2
14．已知，等腰△ABC•的腰长为4
3
，• 底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为
______．
15．在Rt△A BC中，∠C=90°，已知tanB=
5
，则cosA=________．
2< br>16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的
点D ′处，那么tan∠BAD′=________．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CA B=60°，AD平分∠CAB，得
_______．
三、解答题．
18．求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°

（3）

（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+
6
·tan30°

（6）

ABAC
的值为

CDCD< br>2cos60sin45cos30
; （4）-sin60°（1-sin30°）．
2sin30232cos60
sin45
+cos45°·cos30°
tan30tan60
90

19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．


20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP 上，C为CQ•上，
•且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
Q
D
A
C
30
P
O
B


21．已知sinA，sinB是方程4x
2
-2mx+m-1=0的两个实根，且∠ A，∠B是直角三角形的两
个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．

22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，•车厢 底部距离
地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确到0.1m）

23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的 扬水站A处引水，•这就需要在
A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1 ）、（2）、（3），
图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，O A=OB=OC．为
减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC•恰 好是

91

一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．

第3课时作业设计（答案）
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A
二、12．90° 13．
三、
18．（1）
215
14．2
3
，12+8
3
15． 16．
2
17．
3

23
22
;
4
(2)
23 6
;
2
(3)1;(4)
2
3
;
（5）； （6）0
4
2
19．∵AD是BC边上的高，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
AD
=tan30°，BD=10，
BD
10
3
． ∴AD=
3
AD
∴=sinC，
AC
10
3
AD106
∴AC=．

3

sinC3
2
2
∵
20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．
∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2×
∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．

92
3
=
3
（cm）．
2

∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2×
3
=
3
（cm）．
2
在Rt△BOC中，OC=
1
BC=1．
2
21．m=2
2
+1 A=45° B=45°
22．A距地面4.8m
23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°=
3
a，
2
3
+1）a．
2
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（

（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC=
a
．
2
在Rt△OBE中，∠OBE=•30°，OB=
3
BE
=a．
cos30
3
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=
3
a．
比较可知，
3
a<（




93
3
+1）a<2a，∴图（3）•所示方案最好．
2

28．1．4 利用计算器求三角函数值
第4课时
复习引入
教师讲解：通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是 30°、45°或60•°等特殊角
时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A• 不是这些特殊角，怎
样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
探究新知
（一）已知角度求函数值
教师讲解：例如求sin18 °，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°
=0.309016994．

94

又如求tan30°36′，•利用tan•键，并 输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．
利用计算器求锐角的三角函数 值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计
算器操作步骤有所不同．
因为 30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，•同样得到答案
0.5 91398351．
（二）已知函数值，求锐角
教师讲解：如果已知锐角 三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已
知sinA=0.5018；用计算器求锐角 A可以按照下面方法操作：
依次按键2ndf sin，然后输入函数值0.5018，得 到∠A=30.11915867°（如果锐角A
精确到1°，则结果为30°）．
还可以利用2ndf °’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A•精确到
1 ′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．
使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应
的锐角．
教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，•然后教
师总结：可以 再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，•则我们原先的计
算结果就是正确的 ．
随堂练习 课本第84页练习第1、2题．
课时总结
已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，•对于余
弦与正切也有相类似的求法．
教后反思
______ __________________________________________________ _________________
____________________________ _________________________________________________
第4课时作业设计
课本练习

95

做课本第85页习题28．1复习巩固第4题，第5题．
双基与中考
（本练习除了 作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生
的课堂作业，学生可以自己根据具 体情况划分课内、课外作业的份量）
一、选择题．
1．如图1，Rt△ABC中，∠C=9 0°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，
则AC•的长是 （ ）．
A．
3
B．2
2
C．3 D．
3
2
3

A


A
A
D
CDB
C

D
B
B

s
C

(1) (2) (3)
2．如图2，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别为35°、45°，若C、•D•两处相距
200米，那么山高AB为（ ）．
A．100（
3
+1）米 B．100
3
米 C．100
2
米 D．200米
3．如图3，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角
为β，则较低 的建筑物的高为（ ）．
A．s·tanα米 B．s·tan（β-α）米
C．s（tanβ-tanα）米 D．
s
米
tan

tan

4．已知：A、B 两点，若由A看B的仰角为α，则由B看A的俯角为（ ）．
A．α B．90°-α C．90°+α D．180°-α
5．如图4，从山顶A望地面 C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，•已知CD=100m，

96

点C在BD上，则山高AB等于（ ）．
A．100m B．50
3
m C．50
2
m D．50（
3
+1）m

(4) (5) (6)
6．已知 楼房AB高50m，如图5，铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m，塔高DC•
为
15 0503
m，下列结论中正确的是（ ）．
3
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
7．如图6，一台起重机的机 身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆对水平线的倾
角可以从30°转到80°，则这台起 重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身
的最远水平距离分别是（ ）．
A．（36+20）m和36·tan30°m B．36·sin80°m和36·cos30°m
C．（36sin30°+20）m和36·cos30°m D．（36sin80°+20）m和36·cos30°
m
8．观察下列各式：（1）sin59°>sin28°；（2）0（3）•tan30•°+tan60°=tan90°；（4）tan44°·cot44°=1，其中 成立的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．角a为锐角，且cosα=
1
，那么α在（ ）。
3
A．0°与30°之间 B．30°与45°之间
C．45°与60°之间 D．60°与90°之间
10．如图7，沿AC方向开 山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，•
从AC上的一点B，取∠ABD=145° ，BD=500米，∠D=55°，要使A、C、E成一直

97

线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）．
A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500cot55°米
A
B
145

55

CE
A
D
E
A
B
C
D
CB

(7) (8) (9)
11．如图8，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8
3
B．4
3
C．2
3
D．8
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C的对边，•则下列等式成
立的是（ ）．
A．b=c·cosA B．b=a·sinB C．a=b·tanB D．b=c·cotA
二、填空题
13．求sin72°的按键顺序是_________．
14．求tan25°42°的按键顺序是__________．
15．求cot32°19′的按键顺序是__________．
16．用计算器cos18°44′25″=__________．
17．如图9，在40 m高楼A处测得地面C处的俯角为31°，地面D处的俯角为72°，那
么
（1）31°=∠_____=∠_______； （2）27°=∠_____=∠_______；
（3）在Rt△ABC中，BC=_______；（精确到1m）
（4）在Rt△ABD中，BC=_____；（精确到1m）
（5）CD=________-BC=________．
18．如图10，一段河堤的横断面为梯形ABCD，根据图中所标的数据填空：
（1）CE：EB=i=______：________； （2）EB=______m，∠a=________．
（3）过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则DF=________m，AF=_________m；

98

（4）河堤底宽AB=AF+FE+EB=_______m．

(10) (11)

19．如图11，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距 离）是6米，
斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
20．某飞机在离地面1 200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控
制点之间的距离是_______ _米．
三、解答题．
21．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′

22．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

23．等腰三角形A BC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角
形的面积．（边长精确 到1cm）





24．如图，美国侦察机B飞抵我近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，•地面雷达C测

99

得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为 ∠DCA=•16°，
∠DCB=15°，它们与雷达的距离分别为AC=80千米，BC=81千米， 求此时两机距离是
多少千米（精确到0.01千米）？（sin15°≈0.26，cos15°≈0. 97，•tan15•°≈0.27，sin16°
≈0.28，cos16°≈0.96，tan16 °≈0.29）
A
B
C
EF
D


25 ．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却经千年而不倒，被誉为“天下第一斜塔”．•如图，BC
是过塔底中心B的 铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，AC约为2.34米，
•倾角∠ABC约为2°48′ ，求虎丘塔塔身AB的长度．（精
确到0.1米）






答案:
一、1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．A
二、13．sin、7、2、=
14．tan、（、2、5、+、4、2、÷、6、0、）、=
15．tan、（、9、0、-、3、2、-、1、9、÷、6、0、）、=
16．0.946984659 17．（1）EAC，ACB （2）EAD，ADB （3）67 （4）79 （5）
BD， 12 •18．（1）CE，EB （2）3，45° （3）3，4 （4）10 19．3
5
20．800
3

三、21．（1）0.675804644 （2）0.835743474 （3）1.445081367

100
C
A
B