全球十大特种部队-川师大成都学院

2001年高考数学广东卷（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120
分钟．
参考公式：
三角函数的积化和差公式
1
sin

cos

 [sin(



)sin(



) ]

2
1

cos

sin
[sin(



)sin(


)]

2
1

cos

cos

[sin(



)cos(



)]

2
1
sin

sin

[cos(



)cos(



)]

2
正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧
=
1
(c′+c)l
2
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V
台体
=
(S


1
3
S
SS)h

其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．不等式
x1
＞０的解集为
x3
A．｛
ｘ
｜
ｘ
＜１｝ B．｛
ｘ
｜
ｘ
＞３｝
C．｛
ｘ
｜
ｘ
＜１或
ｘ
＞３｝ D．｛
ｘ
｜１＜
ｘ
＜３｝
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，则这个圆锥的全面积是
Ａ．３π 
2
Ｂ．３
3
π  Ｃ．6π Ｄ．９π
3．极坐标方程

cos2

1
所表示的曲线是
A．两条相交直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 < br>4．若定义在区间
(1,0)
内的函数
f(x)log
2a
(x1)
满足
f(x)0
，则
a
的取值范围是
11
] Ｃ．（，＋∞）
22
1
5．已知复数
ｚ
＝
26i
，则
arg
是
z
A．（０，Ｂ．（０，
A．

1
） 
2
Ｄ．（０，＋∞）


3
Ｂ．

11

5

Ｃ．  Ｄ．
3
66

6．函数
y2
x
1(x0)
的反函数是
1
，
x(1,2)

x1
1
Ｂ．
ylog
2
，
x(1,2)

x1
1
Ｃ．
ylog
2
，
x(1,2]

x1
1
Ｄ．
ylog
2
，
x(1,2]

x1

7．若０＜α＜β＜，
sin

cos

a,sin< br>
cos

b
则
4
A．
ａ
＞
ｂ
Ｂ．
ａ
＜
ｂ
Ｃ．
ab1
 Ｄ．
ab2

A．
ylog
2
8．在正三棱柱ABC —A
１
Ｂ
１
Ｃ
１
中，若
ＡＢ
＝
2
ＢＢ
１
，则AB
１
与
Ｃ
１
Ｂ
所成 的角的大小为
A．60°  Ｂ．９０° Ｃ．4５°  Ｄ．120°
9．设
f(x)
、
g(x)
都是单调函数，有如下四个命题
①若
f(x)
单调递增，
g(x)
单调递增，则
f(x) g(x)
单调递增；
②若
f(x)
单调递增，
g(x)单调递减，则
f(x)g(x)
单调递增；
③若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递增，则
f(x)g(x)
单调递减；
④若
f(x)
单调递减，
g(x)
单调递减，则
f(x) g(x)
单调递减
其中，正确的命题是
A． ①③  Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④
10．对于抛物线
y4x
上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜
ＰＱ
｜≥｜
ａ
｜ ，则a的取值范
围是
A．（－∞,０）  B．（－∞,２）  C．［０,２］  D．（０,２）
11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单 向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三
种盖法屋顶面积分别为
Ｐ
１
、
Ｐ
２
、
Ｐ
３．

2

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
A．P
３
＞P
２
＞P
１

Ｂ．P
３
＞P
２
＝P
１


C．P
３
＝
Ｐ
２
＞
Ｐ
１

Ｄ．P
３
＝P
２
＝P
１

12．如图，小 圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字
表示该段网线单位时间内可 以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可
以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间 内传递的最大信息量为
A．２６ Ｂ．２４  Ｃ．２０  Ｄ．１９
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组
成共有 种可能(用数字作答)
x
2
y
2
14．双曲线
1
的两个焦点为
Ｆ
１
、
Ｆ
２
，点P在双曲线上，若
ＰＦ
１
⊥
ＰＦ
２
，则点
916
P到
ｘ
轴的距离为
15．设｛
ａｎ
｝是公比为
ｑ
的等比数列，
Ｓ
ｎ
是它的前
ｎ
项和．若｛
Ｓ
ｎ
｝是等差数列，则
ｑ
＝ < br>16．圆周上有２
ｎ
个等分点(
ｎ
＞１)，以其中三个点为顶点的直角 三角形的个数为
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
求函数
y(sinxcosx)2cosx
的最小正周期．
18．(本小题满分12分)
已知等差数列前三项为
a,4,3a
，前n
项的和为
S
n
,
S
k
2550
．
(Ⅰ)求
a
及
ｋ
的值；
(Ⅱ)求
lim(
n
22
111


)

S
1
S
2
S
n




19．(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
—ABCD中，
∠
ＡＢＣ
＝９０°，
ＳＡ
⊥面ABCD，
SA
＝
AB＝
ＢＣ
＝１，
ＡＤ
＝
1
．
2
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

20．(本小题满分12分)
２
设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm， 画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的
上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画 面的高与宽尺寸，能使宣传画
所用纸张面积最小?如果要求λ∈
[,]
，那么λ为何值 时，能使宣传画所用纸张面积最小?




21．(本小题满分14分)
23
34
x
2
已知椭圆y
2
1
的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 2
交于A
、
B两点，点C在右准线l上，且
ＢＣ
∥x轴求证直 线AC经过线段EF的中点．
22．(本小题满分14分)
设
f(x)
是 定义在R上的偶函数，其图象关于直线
x1
对称．对任意
x
1
,x
2
[0,]
，
都有
f(x
1
x
2)f(x
1
)f(x
2
)
，且
f(1)a0< br>．
(Ⅰ)求
f(),f()
；
(Ⅱ)证明
f(x)
是周期函数；
(Ⅲ)记
a
n
f(2n
















1
2
1
2
1
4
1
)
，求
lim(lna
n
)
．
n
2n

2002年高考数学广东卷（理科）
第1卷
(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的．
（1）函数
f(x)
（A）
sin2x
的最小正周期是
cos2x


2
（B）

（C）2


3
x的距离是
3
（D）4


（2）圆(x－1)
2
＋y
2
=1的圆心到直线y=
（A）
1

2
（B）
3

2
（C）1 （D）
3

（3）不等式(1＋x)(1－
x
)＞0的解集是


（A）｛
x
0≤x≤1｝
（C）｛
x
－1＜x＜1｝


（B）｛
x
x＜0 且x≠－1｝
（D）｛
x
x＜1且x≠－1｝
（4）在(0，2

)内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为


（A）(
（C）(


5

，)∪(< br>
，)
4
4
2


（B）(
（D）(

，

)
4


5

，)
4
4


5

3

，

)∪(，)
4
42
（5）设集合M=

xx
（A）M=N
k1k1

,kz

，N=

xx,kz

，则
2442

（B）MN （C）MN （D）M∩N=


（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半 球的体积相等，那么，这
个圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A）
3

4
（B）
4

5
3
（C）
5
3
（D）－
5
（7）函数f(x)=x
xa
＋b是奇函数的充要条件是
（A）ab=0 （B）a＋b=0 （C）a=b （D）a
2
＋b
2
=0
（8）已知0＜x＜y＜a＜1则有



（A）log
a
(xy)＜0
（C）1＜log
a
(xy)＜2


（B）0＜log
a
(xy)＜1
（D）log
a
(xy)＞2

（9）函数
y1


1

x1
（A）在(－1，＋∞)内单调递增
（C）在(1，＋∞)内单调递增


（B）在(－1，＋∞)内单调递减
（D）在(1，＋∞)内单调递减
（10）极坐标方程

=com

与

com=
1
的图形是
2

（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
（A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议（政府 工作报告）：“2001年国内生产总值达到
95933亿元，比上年增长7.3%．”如果“十五”期 间（2001—2005年）每年的国内生
产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生 产总值为


（A）115000亿 （B）120000亿 （C）127000亿 （D）135000亿
第II 卷
（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
（13）椭圆5x
2
＋ky
2
=5的一个焦点是（0，2），那么k=___ ______．
（14）(x
2
＋1)(x－2)
7
的展开式中x
3
项的系数是_____________．
（15）已知sin

=cos2

(

∈ (
x
2
（16）已知f(x)=
1x
2

，

))，则tg

=_______
2
1
1
1
，那么f(1)＋f(2)＋f(
2
)＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()=__ ___．
4
3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）





已知复数z=1＋i，求实数a，b使az＋2b
z
=(a＋2z)
2
．

（18）（本小题满分12分）
设｛a
n
｝为等差数列，｛b
n
｝不等比数列，a
1
= b
1
=1，a
2
＋a
4
= b
3
，b
2
b
4
= a
3
，分别求出｛ a
n
｝
及｛b
n
｝的前10项的和S
10
及T10







（19）（本小题满分12分）



四棱锥P- ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABC
（
D
）

（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．

y
2
设A、B是双曲线
x1
上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
2
2
（I）求直线AB的方程
（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线 相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点
是（20）（本小题满分12分）
否共圆？为什么？











（21）（本小题满分12分，附加题4分）
（I）给出两块面积相同的正三角形纸面（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个
正三棱锥模型， 另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的面积都与原三角形的面积相等，
请设计一种剪拼方法，分别用 虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；



（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
如果给 出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它
的全面积与给出的三角形 的面积相等，主设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简
要说明．

（22）（本小题满分14分）




已知a＞0，函数f(x)=ax－bx
2

（I）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2
b
；
（ II）当b＞1时，对任意x∈[0，1]，
f(x)
≤1的充要条件是b－1≤a≤
2b
；
（III）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，
f(x)
≤1的充要条件．

2003年高考数学广东卷（理科）
一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的
1．暂缺
2． 已知
x(
A．

2
,0),cosx
7

24
4
,则tan2x

5
724
B．－ C．
247

C．

sin

2


D．－

（ ）
24

7
（ ） 3．圆锥曲线



8sin

的准线方程是

2
cos

B．

cos

2
A．

cos

2
D．

sin

2

（ ） 4．等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1

A．48 B．49
1
,a
2
a
5
4,a
n
33
，则n为
3
C．50 D．51
5．双曲线虚轴的一个 端点为M，两个焦点为F
1
、F
2
，∠F
1
MF
2
=120°，则双曲线的离心率
为
（ ）
A．
3
B．
6

2
C．
6

3
D．
3

3

2
x
1,x 0,

5．设函数
f(x)

1
若
f(x0
)1
，则x
0
的取值范围是
,
2

x0

x


A．（－1，1） B．（－1，+∞）
D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

D．2
（ ）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞）
7．函数
y2sinx(sinxcosx)
的最大值为
A．
12

2
（ ）
B．
21

2
C．
2

8．已知圆
C:(xa)(x2)4( a0)及直线l:xy30.当直线l被C截得
的弦
长为
23
时，则 a=
A．
2
B．
22


C．
21


D．
21

（ ）
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．
2

R

2
B．

R

9
4
2
C．

R

8
3
2
D．

r

（ ）
3
2
2
10．函数
f(x)sinx,x[


3

22
,]的反函数f
1
(x)

A．
arcsinx,x[1,1]

C．


arcsinx,x[1,1]

B．


arcsinx,x[1,1]

D．

arcsinx,x[1,1]

11．已知长方形的 四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB
的中点P
0
沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P
1
后，依次反射到CD、DA和AB上的点P
2
，P
3
和P
4
（入射角等于反射角）. 设 P
4
的坐标为（x
4
，0），若
1x
4
2，
则
tan

的取值范围是
A．（
（ ）
1
，1）
3
B．
(,）

12
33
C．
(,)

21
52
D．
(,)

22
53
12．一 个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．
33

D．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
13．不等式
4xxx
的解集是
14．
(x12x)9
展开式中
x
的系数是
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB
2
+AC
2
=BC
2
，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂
直，则
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1< br>C
1
D
1
，AB=1，AA
1
=2，点E为CC1
中点，点F为BD
1
中点.
（1）证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线；
（2）求点D
1
到面BDE的距离.










18．（本小题满分12分）
2
2
9



已知复数z的辐角为60°，且|z1|
是
|z|
和
|z2|
的等比中项. 求
|z|
.

19．（本小题满分12分）已知c>0，设 P：函数
yc
在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1
x
的解集为 R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围




20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中 心位于城市O（如图）
的东偏南

(

arccos
2< br>)
方向300km的海面P处，并以20kmh的速度向西偏北
10
45°方向 移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10kmh的速度
不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？




21．（本小题满分14分）
已知常数
a0,
在矩形ABCD中，AB =4，BC=4
a
，O为AB的中点，点E、F、G分
别在BC、CD、DA上移动， 且
BECFDG
，P为GE与OF的交点（如图），问是否

BCCDDA
存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；
若不存 在，请说明理由.



22．（本小题满分14分）
设
a
n
为常数，且
a
n
3
n1
2a
n1
(nN)


（1）证明对任意
n1,a
n

1
n
[3(1)
n1
2
n< br>](1)
n
2
n
a
n
；
5
（2）假设对任意
n1
有
a
n
a
n1
，求< br>a
n
的取值范围.

2004年高考数学广东卷（理科）

一、选择题：共12小题，每小题5分． < br>



a(3,1),b(x,3)
a
已知 平面向量，且
b
，则
x

A．
3
B．
1
C．
1
D．
3

已知




A

x|2x1|3

,Bxx
2
x60
A．
[3,2)(1, 2]

C．
(3,2][1,2)




，则
AB

B．
(3,2](1,)

D．
(,3](1,2]

2

3x2
,x2


2
f(x)

x4x2
,x 2

a

设函数在
x2
处连续，则
a


1
A．
2


1
B．
4


1
C．
4

1
D．
3
< br>232n12n

1




lim
n1n1n1n1n1

的值为
n

A．
1
B．
0

1
C．
2
D．
1

f(x)sin
2
(x)sin
2
(x)
44
是 函数




A．周期为

的偶函数
C．周期为
2

的偶函数


B．周期为

的奇函数
D．周期为
2

的奇函数

一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0．8000，有四台这种型号 的自
动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是
A．0．1536 B．0．1808 C．0．5632 D．0．9728
在棱长为1 的正方体上，分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥
后，剩下的凸多面体的体 积是





2
A．
3

6
B．
7

4
C．
5

5
D．
6

22
2xyk( k0)
的焦点到它相应的准线的距离是2，则
k
若双曲线
A．
6
B．
8
C．
1
D．
4

cos
2
x
f(x)
0x
cosxsinxsin
2
x
的最小值是
4
当时，函数

A．
4

1
B．
2
C．
2

1
D．
4

变量
x,y
满足下列条件：


2xy12

2x9y36


2x3y24


x0,y0

则使得
z3x2y
的值最小的
(x,y)
是
A．
(4.5,3)
B．
(3,6)
C．
(9,2)
D．
(6,4)

f(x)tan(x)
4
，则 若
A．
f(1)f(0)f(1)

B．
f(0)f(1)f(1)





C．
f(1)f(0)f(1)

D．
f(0)f(1)f(1)


如右下图，定圆半径为< br>a
，圆心为
(b,c)
，则直线
axbyc0
与直线< br>xy10
的交
点在
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

二、填空题：共4小题，每题4分
某班委由4名 男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长．其中至少有一名女生当
选的概率是 ．（用分数作答）
2
(z2)8i
均是纯虚数，则
z
． 已知复数
z
与
V
PA'B'C'
S

PA' B'
PA'PB'

SPAPB
，则由图(2)有关系
VPABC
． 由图(1)有关系

PAB

B

B

B'

B'

C

C'

P

A'

(1)

A

P

(2)

A'

A


1
f(x)ln(x11),(x0)
f(x)
． 函数的反函数
三、解答题：共6小题，74分
本小题12分
已知角

,

,

成公比为2的等比数列（

[0,2< br>
]
），
sin

,sin

,sin
也成等比数列，求

,

,

的值．




本小题12分
如右下图，在长方体
AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
中，已知
AB4,AD3,AA
1
2
，
E,F
分别是线
段< br>AB,BC
上的点，且
EBFB1

(I)求二面角
(II)求直线
CEDC
1
与
的正切值
EC
1
FD
1
所成角的余弦值

D
1
C
1
A
1
D
B
1
C
F
A





本小题12分
E
B

f(x)1
设函数
1
,x0
x

(I)证明 ：当
0ab
且
f(a)f(b)
时，
ab1
(II)点
P(x
0
,y
0
)
（0yf(x)
上，求曲线上在点
P
处的切线与
x
轴，
y
轴正
向所围成的三角形面积的表达式．（用
x
0
表示）



本小题12分
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一
声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚< br>4s
，已知各观测点到中心的距离
都是
1020m
，试确定该巨响的位 置．（假定当时声音传播的速度为
340ms
，各相关点均在
同一平面上）

本小题12分
设函数
f(x)xln(xm)
，其中常数
m
为整数
(I)当
m
为何值时，
f(x)0

(II)定理：若函 数
g(x)
在
[a,b]
上连续，且
g(a)
与
g (b)
异号，则至少存在一点
使得
x
0
(a,b)
，g(x
0
)0

m

e
f(x)0m1
试用上述定理证明：当整数时，方程在










本小题14分
m,e
2m
m


内有两个实根
x
2
y
2
1
22
xy1
相交于C、D两点，
A,B
ll
2516
设直线与椭圆相交于两点，又与双曲线
C,D
三 等分线段
AB
，求直线
l
的方程．