会议纪要的写法-高一物理教学工作总结

高三数学立体几何高考题
1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出
的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18


2.（ 2012年8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球
的体积为
（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π

3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π

4.(2013年15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶ HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截
球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为_____ _．

5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，
底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.
81π
4
B．16π C．9π D.
27π
4


7.(201 5年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米
依垣内角，下 周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，
米堆为一个圆锥的四 分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的
米各位多少？”已知1斛米的 体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A）
14
斛 （B）
22
斛 （C）
36
斛 （D）
66
斛

8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为
r
） 组成一个几何体，该几何体的
三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为
16 20

，则
r
( )
（A）
1
（B）
2
（C）
4
（D）
8


9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的
圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
3
，
则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π


10（2016年11）平面

过正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，

平 面CB
1
D
1
,

I平面ABCDm
，

I平面ABB
1
A
1
n
，则m，n所成角的正弦值为
（A）
3
2
（B）
2
2
（C）
3
（D）
1


3

3

1 1
．
(2017
年
6)
如图，在下列四个正方体中，
A，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直接
AB
与平面
MNQ
不 平行的是




12
．（
2017
年< br>16
）已知三棱锥
S-ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
是球
O
的直径。若平
面
SCA
⊥平面
SCB
，
SA=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S-ABC的体积为
9
，则球
O
的表面积为
________
。< br>


1

13(2011年).如图，四棱锥
PABCD
中，底面ABCD为平行四边形，
DAB60
，
AB 2AD
，

PD
底面ABCD．
（I）证明：
PABD
；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D- PBC的高．




















14.(2012课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
中，侧棱垂直底
面，∠ACB=90°，AC=BC=
1
2
AA
1
，D是棱AA
1
的中点
(Ｉ)证明：平面BDC
1
⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

























15. (2013课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CA＝CB，AB＝AA
1
，∠BA A
1
＝60°.
(1)证明：AB⊥A
1
C；
(2)若 AB＝CB＝2，A
1
C＝
6
，求三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
的体积．



































2

1
中，点A
1
在平面
＝CC
1
＝2.
17.(2015年新课标1)如图四边形ABCD为菱形，
G为AC与BD交点，
BE平面ABCD
，
(1)证明：平面
AEC
平面
BED
；
(2)若
ABC120
o
，
AEEC,
三棱锥
EACD
的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积.











































3
16 (2014课标全国Ⅰ)如图1-1所示，三棱柱ABC - A
1
B
1
C
ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝ 1，AC
(1)证明：AC
1
⊥A
1
B；
(2)设直线A A
1
与平面BCC
1
B
1
的距离为3，
求二面角A
1
-AB-C的大小．

18 (2016年新课标1)如图，已知正三棱锥P-ABC的 侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面
ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点 E，连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
P
A
E
G
D
C
B


















19(2017
年新课标
1)
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且
BAP CDP90
o

（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
PA=PD=AB=DC,
APD90
o,
且四棱锥
P-ABCD
的体积为
8
3
，求该四棱锥 的侧面积
.






















4

高三数学立体几何高考题答案
1.答案：B
2.答案：B
3.解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V
1
半圆柱
＝
2
π×2
2
×4＝8π，
V
长方体
＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
4.解析：如图，
设球
O
的半径为
R
，则
AH< br>＝
2R
3
，
OH
＝
R
3
.又∵π ·
EH
2
＝π，∴
EH
＝1.
∵在Rt△
OEH
中，
R
2
＝


R

2
99π

3


+1
2
，∴
R
2
＝
2
8
.∴
S
球
＝4π
R
＝2
.
5.答案：B
6．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，
所以AE＝
1
2
AC＝2.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，
OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA
2
＝OE
2
＋A E
2
，
即R
2
＝(4－R)
2
＋2，解得R＝< br>9
4
，
所以该球的表面积S＝4πR
2
＝4π
< br>9

4


2
＝
81π
4
.
7.答案：B
8.答案：B
9.试题分析：由三视图知：该几何体是
7
8
个球，设球的半径为
R
，则
V
7
8

4
3

R
3

28

3
，
解得
R2
，所以它的表面积是
7
2
3
28
4

2
4


217

，故选A．
10试题分析：如图
m,n
所成角的正弦值为
3
2



11.答案：A
12答案：
36π

13解：（Ⅰ）因为
DAB60,AB2AD
， 由余弦定理得
BD3AD

从而BD
2
+AD
2
= AB
2
，故BD

AD
又PD

底面ABCD，可得BD

PD
所以BD

平面PAD. 故 PA

BD
（Ⅱ）如图， 作DE

PB，垂足为E。已知PD

底面ABCD，则PD
BC。
由（Ⅰ）知BD

AD，又BCAD，所以BC

BD。
故BC

平面PBD，BC

DE。
则DE

平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=
3
，PB=2，
根据BE·PB=PD·B D，得DE=
33
2
，即棱锥D—PBC的高为
2
.

14
15．1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA
1
，A
1
B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA
1
，∠BAA
1
＝60°，
故△AA
1
B为等边三角形，
所以OA
1
⊥AB.
因为OC∩OA
1
＝O，所以 AB⊥平面OA
1
C.
又A
1
C⊂平面OA
1
C，故AB⊥A
1
C.
(2)解：由题设知△ABC与△AA
1
B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA
1
＝
3
.
又A
1
C＝< br>6
，则A
1
C
2
＝OC
2
＋
OA< br>2
1
，故OA
1
⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA< br>1
⊥平面ABC，OA
1
为三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的高．
又△ABC的面积S
△ABC
＝
3< br>，故三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积V＝S△ABC
×OA
1
＝3.


5

16．解：方法一：(1)证明：因为A
1
D⊥ 平面ABC，A
1
D⊂平面AA
1
C
1
C，
故平面AA
1
C
1
C⊥平面ABC.又BC⊥AC，
平面 AA
1
C
1
C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA
1
C
1
C.
连接A
1
C，因为侧面AA
1
C
1
C为菱形，故AC
1
⊥A
1
C.
由三垂线定理得AC
1
⊥A
1
B.
(2)BC⊥平面AA
1
C
1
C，BC⊂平面BCC
1
B
1
，
故平面AA
1
C
1
C⊥平面BCC
1
B
1
.
作A
1
E⊥CC
1
，E为垂足，则A
1
E⊥平面BCC
1
B
1
.
又直线AA
1
∥平面 BCC
1
B
1
，因而A
1
E为直线AA
1
与平面BCC
1
B
1
的距离，即A
1
E＝3.
因 为A
1
C为∠ACC
1
的平分线，故A
1
D＝A
1
E＝3.
作DF⊥AB，F为垂足，连接A
1
F.由三垂线定理得A
1
F⊥AB，
故∠A
1
FD为二面角A
1
­ AB ­ C的平面角．
由AD＝AA
2
1
－A
1
D
2＝1，得D为AC中点，
所以DF＝
5
5
，tan∠A
1FD＝
A
1
D1
DF
＝15，所以cos∠A
1
FD＝
4
.
所以二面角A
1
­ AB­ C的大小为arccos
1
4
.


17、解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC

平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）设AB=
x
，在菱形ABCD 中，又∠ABC=
120
o
，可得
AG=GC=
3
2< br>x
，GB=GD=
x
2
.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=
3
2
x
. < br>由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=
2
2
x
.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
V
1
6
3
6
EACD
=
3
×
1
2
AC·GD·BE=
24
x
3
.
故
x
=2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=
6
.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为
5
.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
5
. ……12分








18试题分析：（1）
PD底面ABC
ABPD

D在PAB内的投影为EDE平面PAB

P
DEAB
DEPDD
AB平面PDG

ABPG

PABC为正三棱柱
E
PAB中，G为AB的中点

PAPB

在

A
（II）在平面
PAB< br>内，过点
E
作
PB
的平行线交
PA
于点
F< br>，
G
D
C
F
即为
E
在平面
PAC
内的正投影.
B
理由如下：由已知可得
PBPA
，
PB PC
，又
EFPB
,所以
EFPA，EFPC
,
因此
EF
平面
PAC
，即点
F
为
E
在平面< br>PAC
内的正投影.
连结
CG
，因为
P
在平面ABC
内的正投影为
D
，
所以
D
是正三角形
A BC
的中心.
由（I）知，
G
是
AB
的中点，所以
D
在
CG
上，故
CD
2
3
CG.
< br>由题设可得
PC
平面
PAB
，
DE
平面
PAB
，所以
DEPC
，
因此
PE
2
3
PG,DE
1
3
PC.

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形 且
PA6
，可得
DE2,PE22.

在等腰直角三角形
EFP
中，可得
EFPF2.

所以 四面体
PDEF
的体积
V
114
3

2
222
3
.


19.【解析】（1）由已知
∠B AP∠CDP90
，得
ABAP
,
CDPD
.
由于
AB∥CD
，故
ABPD
，从而
AB
平面
PAD
.
又
AB
平面
PAB
，所以平面
PAB 
平面
PAD
.

（2）在平面
PAD
内作
PEAD
，垂足为
E
.
由（1）知，
AB
平面
PAD
，故
ABPE
， 可得
PE
平面
ABCD
.
设
ABx
，则由已 知可得
AD2x
，
PE
2
2
x
.
故 四棱锥
PABCD
的体积
V
1
PABCD
ABAD PE
1
x
3
33
.
由题设得
1
3< br>8
3
x
3
，故
x2
.
从而
P APD2
，
ADBC22
，
PBPC22
.
可得四棱锥
PABCD
的侧面积为
1
2
PAPD< br>111
2
PAAB
2
PDDC
2
BC
2
sin60623
.

6