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2017—2018学年度第一学期期末考试
高二理科数学试卷
（答题时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分 ，满分60分）每小题只有一个正
．．．．
确选项，请将正确选项填到答题卡处
1.设集合
A{x|(x1)(x2)0}
,
B{x|1x3}
，则
AUB

A
．
{x|1x3}

B
．
{x|1x1}

C
．
{x|1x2}

D
．
{x|2x3}

2.已知抛物线y
2
＝ 2px(p

0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标
为
A．(－1,0)
C．(0，－1)
B．(1,0)
D．(0,1)
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x
2
＋y
2
≥4”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝32，若a
m
＝8，
则m为
A．12 B．8
C．6 D．4
5．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝10，
则输出的S等于
510
A. B.
1111
3672
C. D.
555 5
6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分
组依次为[20, 40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数
是15人，则该班 的学生人数是

A．45
B．50
C．55
D．60
7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为
A.
183

B.
153

C.
2483

D.
24163

8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，| c|＝4，则向量a与b之间的夹角
〈a，b〉为
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
9．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆 ，则圆的面
积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是
91631
A. B. C. D.
2525105
10．设a＝log
2
π，
blog
1

，c＝π
－2
，则
2
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
11．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定是
A．直角三角形
C．等腰三角形
B．等腰直角三角形
D．等边三角形
12．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交
于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
A.2

B.3
C．2 D．3

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

yx,

13．设变量x，y满足约束条件

x2y2,
则z＝x－3 y的最小值为

x2.

．
14．已知命题p：

x

0，(x＋1)e
x

1，则﹁p为 ．
15．已知甲、乙、 丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，
若第一批经济适用房中有90套住房用 于解决这三个社区中90户低收入
家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社
区中抽取低收入家庭的户数为 ．
16．对于下列表格
x

196

197

200

203

204

y

1

3

6

7

m

所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y＝0.8x－155.
则实数m的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17 ．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批
该零件中随机抽取2 0个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如
下：
等级

1

2

3

4

5
频率

0.05

m

0.15

0.35

n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
(2)在(1 )的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求
抽取的2个零件等级恰好相同的概率．



18．(满分12分)在等差数列{a
n
}中，a< br>10
＝30，a
20
＝50.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)令
(3)求数列{nb
n
}的前n项和T
n
.





1
(a－10)
n
b
n
＝2
2
，证明：数列{b
n
}为等比数列；
^

19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测
后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围
是[96,106]，样本 数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，
[104 ,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；
(2)已 知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的

3(96x9 8),

关系式为
y

5(98x104),
求这批 产品平均每个的利润．

4(104x106).







x
2
y
2
20. (满 分12分)已知点M(
6
，
2
)在椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)上，
6
且椭圆的离心率为.
3
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以 AB为底边作等腰三
角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.

21．( 满分12分)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝
1
AC＝AB ，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
2
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．





x
2
2
22. (满分12分) 已知椭圆C
1
的方程为
4
＋y＝1，双曲线C
2
的左、右焦 点
分别是C
1
的左、右顶点，而C
2
的左、右顶点分别是C
1
的左、右焦点.
(1)求双曲线C
2
的方程；
(2)若直线l ：y＝kx＋2与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A和B，且
→
·
→
＞2(其中O为原点)，求k的取值范围. OAOB

2017—2018学年度第一学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
A B A B A B C D D C C B
1. A
【解析】
A{x|1x2},B{x|1x3},AUB{x|1x3}
，选
A.
2． B
3． A 【解析】∵x≥2且y≥2，∴x
2
＋y
2
≥4，
∴x≥2且y≥ 2是x
2
＋y
2
≥4的充分条件；而x
2
＋y
2< br>≥4不一定得出x≥2且y≥2，
4． B 【解析】由等差数列性质a
3
＋ a
6
＋a
10
＋a
13
＝(a
3
＋a13
)＋(a
6
＋a
10
)＝2a
8
＋2a< br>8
＝4a
8
＝
32，
∴a
8
＝8，又d≠0，∴m＝8.
1112
5． A 【解析】 第一次执行后，S＝
3
，i＝4＜10；第二次执行后，S＝
3
＋
1 5
＝
5
，i＝6＜10；
213314
第三次执行后，S＝
5
＋
35
＝
7
，i＝8＜10；第四次执行后，S＝
7＋
63
＝
9
，i＝10；第五次
4155
执行后，S＝
9
＋
99
＝
11
，i＝12＞10，输出S＝
11
.
6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋ 0.01)×20＝
15
0.3，所以该班的学生人数是
0.3
＝50.
7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为
23
，正 三棱柱的
1
高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2 ××4×
23
2
=24+
83
.

8． D 【 解析】由已知a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，则(a＋b)
2
＝|a|
2
＋|b|
2
＋2a·b＝|c|
2
，由
3a·b1
此可得a ·b＝
2
.从而cos〈a，b〉＝
|a||b|
＝
4
.故 答案为D.
9． D 【解析】以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则A G的长
21
度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P＝
10
＝< br>5
.

10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a＝ log
2
π∈(1,2)，b＝log
1
π＜0，c＝π
－
2
2
∈(0,1)，所以a＞c＞b.
a
2
＋b
2
－c
2
11．C 【解析】根据余弦定 理，有a＝2bcosC＝2b·
2ab
，化简整理得b＝c.所以△ABC
为等腰三 角形．
x
2
y
2
12． B 【解析】设双曲线的标准方程为a
2
－
b
2
＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦 点
2
x
2
y
2
22
c
且与对称轴垂直，因 此直线l的方程为：x＝c或x＝－c，代入
a
2
－
b
2
＝ 1得y＝b(
a
2
－1)
b
4
＝
a
2，
b
2
2b
2
2b
2
∴y＝±
a< br>，故|AB|＝
a
，依题意
a
＝4a，
c
2
－a
2
2
b
2
∴
a
2
＝2，∴
a
2
＝e－1＝2，∴e＝3.
二、填空题
13．－8
【解析】作出可行域如图所示．

可知当x

3y=z经过点A(

2,2)时，z有最小值，此时z的最小值为

2

3× 2=－8.
14.

x
0
>0，使得(x
0
＋ 1)
e
x
0
≤1.
15． 40
9011
【 解析】抽样比为＝
9
，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×
9
＝
360＋270＋180
40.
16. 8
11
【解析】依题 意得x＝
5
×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y＝
5
×(1＋3＋6＋7＋m)＝
17＋m17＋m
，因为回归直线必经过样本点中心，所以20 0－155，解得m＝8.
55
＝0.8×

三、解答题
17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45.
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
2
得n＝
20
＝0.1，所以m＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x
1
，x
2
，x
3
；等级为5的零件有2个，记作
y
1
，y
2
.从x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中 任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x
1
，x
2
)，(x
1，x
3
)，
(x
1
，y
1
)，(x
1
，y
2
)，(x
2
，x
3
)，(x
2，y
1
)，(x
2
，y
2
)，(x
3
，y
1
)，(x
3
，y
2
)，(y
1
，y
2
)，共10种．
记事件A为“从零件x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中任取2件，其等级相等”． 则A包含的基本事件有(x
1
，x
2
)，(x
1
，x< br>3
)，(x
2
，x
3
)，(y
1
，y
2
)，共4种．
4
故所求概率为P(A)＝
10
＝0.4. < br>18．解：(1)设数列{a
n
}的公差为d，则a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
由a
10
＝30，a
20
＝50， < br>
a
1
＋9d＝30，

a
1
＝12，
得方程组解得



a
1
＋19d＝50，

d＝2.
所以a
n
＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. n
＋
1
b2
n
＋
1
(2)证明：由(1)得b
n
＝2
n
，所以
b
＝
2
n
＝2.
n

所以{b
n
}是首项为2，公比为2的等比数列．
(3)由nb
n
＝n×2
n
，得T
n
＝1×2＋2×22
＋…＋n×2
n
，
2T
n
＝1×2
2＋2×2
3
＋…＋(n－1)×2
n
＋n×2
n
＋1
，
①－②得，
－T
n
＝2＋2
2
＋…＋ 2
n
－n×2
n
＋
1
＝2
n
＋
1
－2－n×2
n
＋
1
.
所以T
n
＝(n－1)2
n
＋
1
＋2.
19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n.
∵样本中产品净重小于100克的个数是36，
36
∴
n
＝0.3 00，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为
(0.100＋ 0.150＋0.125)×2＝0.750，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.
(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝ 0.100，(0.100＋
①
②

0.150＋0.125)×2 ＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.75 0
＝90,120×0.150＝18，
1
∴这批产品平均每个的利润为
1 20
×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．


6
20. 解：(1)由已知得

c

＝，
a3


a＝b＋c，
222
62
a
2
＋
b
2
＝1，

a
2
＝12，
x
2
y
2
解得

2
故椭圆C的方程为
1 2
＋
4
＝1.

b＝4.
(2)设直线l的方程为y＝x ＋m，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，AB的中点为D(x
0
，y
0
).
y＝x＋m，


由

x
2
y
2
消去y，整理得4x2
＋6mx＋3m
2
－12＝0，
＋＝1，

124
x
1
＋x
2
31
则x
0
＝2
＝－
4
m，y
0
＝x
0
＋m＝
4< br>m，
1

3
－m，

即D
4
.
4
m


因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
m
2－
4
即PD的斜率k＝
3m
＝－1，解得m＝2. < br>－3＋
4
此时x
1
＋x
2
＝－3，x
1x
2
＝0，
则|AB|＝2|x
1
－x
2
| ＝2·（x
1
＋x
2
）
2
－4x
1
x2
＝32，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝
19
所以△ PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
22
21．解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
111
M(1,0，
2
)，N(
2
，0,0)，S(1，
2
，0) ．
→
＝(1，－1，
1
)，SN
→
＝(－
1，－
1
，0)， (1)CM
222
→
·
→
＝ －
1
＋
1
＋0＝0， 因为CMSN
22
3
，
2

→
⊥SN
→
，所以CM⊥SN. 所以CM
→
＝(－
1
，1,0)，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， (2 )易得NC
2
1
→
·CMn＝x－y＋


2z＝0，
则

1
→
·NCn＝－


2
x＋y＝0，
2)．
→
||n·SN2
→
因为|cos〈n，SN〉|＝＝
2
，
→
|n|·|SN|
所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.
x
2
y
2
22. 解：(1)设双曲线C
2
的方程 为
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)，
则a< br>2
＝3，c
2
＝4，再由a
2
＋b
2
＝c< br>2
，得b
2
＝1.
x
2
2
故C
2
的方程为
3
－y＝1.
x
2
2
(2)将y＝kx＋2代入
3
－y＝1，
得(1－3k
2
)x
2
－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C
2
交于不同的两点，得

1－3k
2
≠0，



Δ＝（－62 k）
2
＋36（1－3k
2
）＝36（1－k
2
）＞0，< br>1
∴k
2
≠
3
且k
2
＜1.①
设 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
62k9
则x
1
＋x
2
＝，xx＝－.
121－3k
2
1－3k
2
∴x
1
x
2
＋ y
1
y
2
＝x
1
x
2
＋(kx
1
＋2)(kx
2
＋2)
3k
2
＋7
＝(k＋1) x
1
x
2
＋2k(x
1
＋x
2
)＋2＝< br>2
.
3k－1
2


x＝2y
得

，取x＝2，则y＝1，z＝－2，n＝(2,1，－

z＝－2y

→
·
→
＞2，得xx＋yy＞2， 又∵OAOB
1212
3k
2
＋7－3k
2
＋9
∴
2
＞2，即
2
＞0，
3k－13k－1
1
解得
3
＜k
2
＜3.②

1
由①②得
3
＜k
2
＜1，
< br>3

3

故k的取值范围为

－1，－

∪

，1

.
3

3
