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四川省广元市2018-2019学年高二下学期期中
数学试卷（文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
x



1


P


x,y

y


,Q


x,y

ylog
2
x


2




1.集合,则集合P∩ Q的交点个数是（ ）
A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个
2.某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视 力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽
取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A
．抽签法
B
．系统抽样法
C
．分层抽样法
D
．随机抽样法

3.已知平面向量
a(1,3),b(2,0)
，则
|a2b|
（ ）
A.
32
B. 3 C.
22
D. 5
4.设m，n为两条不同的直线，

为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．
mn
，
m

n

B．
mn
，
m

n


C.
mn
，
m

n

D．
mn
，
m

n


5.如图是各棱 长均为2的正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的直观图，则此 三棱柱侧视图的面
为（ ）
积
A.
3
B.
23
C.
22
D. 4
6.
若函数
f(x)Asin(

x

)
的部分图像如右图所示，则
yf(x)
的解析式可能是
（

）．

A.
y2sin(2x

6
)

)







B.
y2sin(2x
D.
y2sin(2x

6
)

C.
y2sin(2x

6

6
)

7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )
A．8
C．32




B．16
D．64

1
a
1
, q2
a
8
8.等比数列{a
n
}中，，则
a
4< br>与
8
的等比中项是( )
11
A.±4 B.4 C.
4
D.
4


12

ab
的最小值为 （ ）
9.
若a>0,b>0, 2a+b = 6，则
2
A.
3

4
B.
3

5
C.
3


8
D.
3


222
10在△ABC中,若
abcbc
,
bc 4
,则△ABC的面积为（ ）
1
A
2
B.1 C.
3
D. 2
x
2
y
2
11.
直线
l
过双曲线
C:
2

2
1

a0,b0

焦点
F
且与实轴垂直
,A,B
是双曲线
C
的两个顶点
,
若在
l
上
ab
存在一点
P,
使
APB60
,
则双曲线离心率的最大值为（

）

A
．
23
B
．
3
C
．
2 D
．
3
3

1x3,x

1,


f(x)

log(x1),x0,1


1

f(x)
，当
x0
时，

2
12.
定义在
R
上的 奇函数则关于
x
的函数
F(x)f(x)a(0a1)
的所有零点之 和为（ ）

1


1
aa
A．
12
B．
0
C．
22
D．

2


a
二、填空题：本题共
4
小 题，每小题
5
分，共
20
分
.

x
2y
2
1
9
13.双曲线
4
的渐近线方程是 ．
x
ye2x1
在
x0
处的切线方程是 ． 14.在平面直角坐标系中，曲线
15.已知点
P(x,y)
在不等式组

x≥0，


y≥0，

xy≤1

所表示的平面区域内运动，则
z4xy
的最大值为 ．
1 6.下列四个命题：①当a为任意实数时，直线
(a1)xy2a10
恒过定点P， 则过点P且焦点在y轴

上的抛物线的标准方程是
x
2

4
，一条渐近线方程为
2xy0
，则
y
；②已知双曲线的右焦点为（5，0）
3
x
2
y
2
1
1
；③抛物线
yax
2
(a0)的准线方程为y
双曲 线的标准方程是；④已知双曲线
520
4a
x
2
y
2
1
，其离心率
e(1,2)
，则m的取值范围是（－12，0）.
4m
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三.解答题（共5道小题,17至21每小题12分，共60分）
17.设平面向量
a(cosx,sinx),b(cosx23,sinx),c(0,1),xR
.
（1）若
ac
，求
cos2x
的值；
（2）若函数f(x)a(b2c)
，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x值。














18. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区10 0名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，
得到频率分布直方图如下：求：

（1）根据直方图可得这100名学生中体重
在(56，64)的学生人数.
（2）请根据上面的频率分布直方图估计
该地区17.5-18岁的男生体重.
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？



19.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足（1）求数列{a
n
}的通项公式；
a
1
3
，2S
n
3a
n1
.
1
}
Ta
1
T
3
a
3
bb
（2）若等差数列{b
n}的前n项和为T
n
，且
1
，，求数列
nn1
的前n 项和Q
n
．
{








20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD， E，F分别是线段AD，PB的中点，
PAAB1
.

（1）求证：EF∥平面DCP；

（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.



2
:yx
外一点，过点P作抛物线

的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B． 21.设点P为抛物线

22
(x2)y1
上的点，记两切 线PA，PB（Ⅰ）若点P为(－1,0)，求直线AB的方程； （Ⅱ）若点P为圆
11
|
k
k
kk
2
的取值范围． 的斜率分别为
1
，
2
，求
1
|









（二）选考题：共10分 ，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.已知极坐标系 的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程为：
1
< br>xt

2



y
3
t1< br>2


2

sin

30
.
2
t
（为参数），曲线C的极坐标方程为：
（1）求直线l的普通方程和曲 线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得线段的长.

23.选修4-5:不等式选讲
已知函数
f(x)2x1x1
．

（Ⅰ）解不等式
f(x)2
；

（Ⅱ）若不等式
m1 f(x)x12x3
有解，求实数
m
的取值范围．

参考答案
一、选择题1-12、BCACB ACABC AA
二、填空题
13.
3x2y0
14.
y3x2

15. 4 16.①②③④
三、解答题










（0.030.0520.07）21000.410040(人)
……4分 18.（1）
（2）可利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重：
（55 0.01570.03590.05610.05630.07650.08670 .06

690.05710.04730.04750.02)265 .（2kg）
……8分
（3）P=
（0.010.030.052）20.14

……12分略
19.解：（1）当
n1
时，
a
2
9
，------------------------------------------ -----------------1分
由
2S
n
3a
n 1
得
2S
n1
3a
n
（
n2
），
两式相减得
2(S
n
S
n1
)a
n1a
n
，又
S
n
S
n1
a
n< br>，
∴
a
n1
3a
n
（
n2
）， -- -------------------------------------------------- --------------------------3分
又
a
2
3 a
1
，∴
a
n1
3a
n
（
nN*< br>）， ------------------------------------------- -------------4分

显然
a
n< br>0
，
a
n1
3
，即数列
{a
n
}
是首项为3、公比为3的等比数列，
a
n
n1n
∴
a
n
333
； -------------------------------------------------- ------------------------------6分
（2）设数列
{b< br>n
}
的公差为d，则有
b
1
3
，由
T3
a
3
得
3b
1
3d27
，解得
d6
，--------8分∴
b
n
36(n1)3(2n1 )
， ------------------------------------------- -----------9分
又
11111
()
--------- -----------------------------------10分
b
n< br>b
n1
9(2n1)(2n1)182n12n1
∴
Qn

111111
[(1)()
L
()]

183352n12n1

n
11
．------------ -------------------------------------------------- ------12分
(1)

9(2n1)
182n1
21 111121222n
T
n
(1
L
)(1) 
……12分
3223nn13n133(n1)3n2
20.案：（1 ）取
PC
中点
M
，连接
DM,MF





1
M,F
分别是
PC,PB
中点，
MFCB,MFCB
，
2
1
E
为
DA中点，
ABCD
为矩形，
DECB,DECB
，
2
MFDE,MFDE
，

四边形
DEFM
为平行四边形 EFDM,EF
平面
PDC
，
DM
平面
PDC
，
EF
平面
RDC

（2）
PA
平 面
ABC
，且四边形
ABCD
是正方形，
AD,AB,AP
两两垂直，以
A
为原点，
AP
，
AB
，
AD所在直线为
x,y,z
轴，建立空间直角坐标系
Axyz



111
222
ur
uuuruuur
11111
设平面
EFC
法向量为
n
1
(x,y,z)
，
E F(,,)
，
FC(,,1)

22222
则
P< br>
1,0,0

,D

0,0,1

,C< br>
0,1,1

,
E(0,0,),F(,,0)



xyz0


EFn
1
0

则

， 即

1
，取
n
1

3,1,2


1
xyz0



FCn
1
0
2

2

uu ur
uur
uuur
PD(1,0,1)
则设平面
PDC
法向量为
n
2
(x,y,z)
，，
PC(1,1,1)



xz0

PDn
2
0
则

， 即

， 取
n
2


1,0,1




xyz0

PCn
2
0
uruur
u ruur
31

1

021
57n
1
n
2
uruur
cosn
1
,n
2
 
.
14
|n
1
||n
2
|
14 2

平面
EFC
与平面
PDC
所成锐二面角的余弦值为
57
.
14

21.解：（Ⅰ）设直线
PA
方 程为
xm
1
y1
，直线
PB
方程为
xm2
y1
.
由


xm
1
y1 ,
2

yx,
2
可得
ym
1
y1 0
. ………3分
2
因为
PA
与抛物线相切，所以
=m
1
40
，取
m
1
2
，则
y
A
1
，
x
A
 1
.
即
A(1,1)
. 同理可得
B(1,1)
.
所以
AB
：
x1
. ………6分
（Ⅱ）设
P(x
0
,y
0
)
，则直线
PA
方程为
yk
1
xk
1
x
0
y
0
，
直线
PB
方程为
yk
2
x k
2
x
0
y
0
.
由

< br>yk
1
xk
1
x
0
y
0
,< br>2

yx,
2
可得
k
1
yyk
1
x
0
y
0
0
. ………8分
2
因为直线
PA
与抛物线相切，所以
=14k1
(k
1
x
0
y
0
)
=4x0
k
1
4y
0
k
1
1=0
. < br>22
同理可得
4x
0
k
2
4y
0
k
2
1=0
,所以
k
1
，
k
2
时方程
4x
0
k4y
0
k1=0
的两根.
所 以
k
1
k
2

y
0
1
，
k
1
k
2

.
x
0
4x
0
2
y
0
1


2
x
0
x
0
2
y
0
x
0
则
k
1
k
2

x
0
. .………10分
22
又因为
(x
0
2)y
0
1
，则
3x
0
1
，
所以
|
k k
11
2
x
0
=41(x
0
2)
2
x
0

|=
12
=
4y
0
k
1
k
2
k
1
k
2
513
=4 (x
0
)
2



4,213

. .………12分

24
22.解：（1）直线
l
的普通方程为
y3x1
，

曲线
C
的普通方程为
x
2(y1)
2
4
.
（2）曲线
C
表示以
(0,1)
为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线
l
的距离
d1
，
故直线
l
被曲线
C
截得的线段长为
22123.
．
1

x2,x

2

1

f

x< br>
2x1x1=

3x,x1
2

x 1

x2,


23.解：（Ⅰ），
22
1

1

x

x1

x1< br>112
2
或

2
∴

或

，解得
4x
或
x
或无解，

223

x22

x223x2


fx2< br>
综上，不等式的解集是

x4x

2

．
………………5
分

3

（Ⅱ）
f< br>
x

x12x32x1x1x12x32x1 2x3

2x1

2x3

4
，< br>………………7
分

当
x
时等号成立不等式
m 1f

x

x12x3
有解，

∴< br>m1

f

x

x12x3

min
，

∴
m14
，∴
m14< br>或
m14
，即
m3
或
m5
，
< br>∴实数
m
的取值范围是
m3
或
m5
．
………………10
分


1
2
3
2