办护照需要多长时间-史记读后感

2018高考复习立体几何最新题型总结（文数）
题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法
了解柱、锥、台、球体及其简单组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。
能画出简单空间几何体的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。
能用平行投影与中心投影两种 方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。
会画某建筑物的视图与直 观图。
例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示
A，B，C
分别是
△GH I
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何
体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
H
B
A
I
C
G
侧视
B
A
C
B
B
B
B
E
F
图1
D
E
F
图2
D
E
A．
E
B．
E
C．
E
D．

例2 .由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数
是 ．


正视图 左视图
俯视图
例3.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形 ，则该正四面体的内切球的表
面积为（ ）A．6πB．54πC．12πD．48π



例4：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的
表面积为( )
A．
12


C．
32









B．
16


D．
8


1 31

例5：四棱锥
P ABCD
的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，
其三视图如图，则四棱锥
PABCD
的表面积为( )
2
2
A.
3a
B.
2a
C.
3a
2
2a
2
D.
2a
2
2a
2

主
视
a
图D
俯
视
图
A
a
B
C
左
视图




a
例6：三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的体积为V，P、Q分别为AA
1
、CC1
上的点，且满足AP=C
1
Q，则四棱锥B—APQC的体积
是___ ________

例7：如图，斜三棱柱ABC—
A
1
B
1
C
1
中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边
AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积．



例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知几何体 的体积是_________

0
2 2 2
2
主视图
真题：
2
侧视图
1 1
俯视图

【2017
年北京卷第
6
题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

2 31

（
A
）
60
（
B
）
30
（
C
）
20
（
D
）
10
【2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个< br>1
圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积
4
为 .


【2017年浙江卷第3题】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该 几何体的体积（单位：
cm
3
）是

A.


3

3

+1
B.
+3
C.
+1
D.
+3
2222
【2017年新课标II第6题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何
体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90

B.63

C.42

D.36



1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三
视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）
+
1212
2
12
π
（C）
+π
（D）
1+π

π
（B）
+
33

36

6
33

3 31

【答案】D
3、 （2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）


【答案】B


4、（2016年全国I卷高考）如图，某几何体的 三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若
28π
该几何体的体积是，则它 的表面积是
3

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视 图，则该几何体的表面积为（ ）

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
4 31

【答案】C
7、（2016年全国III卷高考）如图 ，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该
多面体的表面积为

（A）
18365

（B）
54185
（C）90 （D）81
【答案】B
1、（2016年北京高考）某四棱柱的 三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】
.

2、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。
3
2

【答案】
3

3
2
3、（ 2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm,
体积是
______cm
.

3
5 31

斜二测法：
S
斜

2
S
原

4< br>
例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45
，腰和上底 边均为1的等腰梯形，则这个平
面图形的面积是（ ）
A．
例10：对于一个底边在
x
轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是 原三角形面积的（ ）
A．
2
倍 B．
12
2

B．
22
C．
12
D．
1

22
2
1
22
倍 C．倍 D．倍
2
42
例11：如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A
1
B
1
C
1
D
1
，且A
1
B
1＝B
1
C
1
＝2A
1
D
1
＝2，
则四边形ABCD的面积为( )
A．3
C．62
B．32
D．6
例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）

旋转体：
例13：下列几何体是旋转体的是（ ）



A B C D
6 31

例14：如 图，在四边形
ABCD
中，
DAB90
0
，，，
CD 22
，
AD2
，求四边形
ABCD
绕AD旋转一周所成几何体的表 面积
及体积.


真题：
【2015高考山东，文9】已知等腰 直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成
的曲面所围成的几何体的体 积为( )
（A）
22

3
（B）
42

3
（）
22

（）
42


题型二：定义考察类题型
例15：已知直线
l
、
m
,平 面

、

，则下列命题中假命题是( )
A．若



，
l

,则
l

B．若



，
l

,则
l


C．若
l

，
m

,则
lm
D．若



，



l
,< br>m

,
ml
,则
m


例16：给定下列四个命题：
①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线
②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线
③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行
④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直
其中，为真命题的是( )
A．
○
1和
○
2 B．
○
2和
○
3 C．
○
3和
○
4 D．
○
2和
○
4
例17：已知
m,n
是两条不同 直线，

,

,

是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若



，
m


,则
m



C．
若m
‖
,m
‖
,则
‖

B．
若



,


,则
‖

D．



,l

,lc,



cl


例18：已知
m、n
是两条不同的直线，

、

是 两个不同的平面，有下列命题：
①若
m

,n

，则
mn
； ②若
m

，
m

，则



；
③若
m

,mn
，则
n

； ④若
m

,m

，则



；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7 31

例19：如图，四棱锥S —ABCD的底面为正方形，SD

底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥SB B、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角



例20： 已知

,

为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，
a
为直线，下列推理错误的是（ ）
A.
Aa,A

,Ba,B

,a

B.
M

,M

,N

,N

,

I
C .
A

,A

,

I


真题：
【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面

，

交于直线l
.若直线
m
，
n
满足
m
∥
α
，
n
⊥
β
，则（ ）
A.
m
∥
l
【答案】C
【2015高考浙江，文4】 设

，

是两个不同的平面，
l
，
m
是两 条不同的直线，且
l

，
m

（ ）
A．若
l

，则



B．若



，则
lm

C．若
l

，则



D．若



，则
lm

【2015高考广东，文6 】若直线
l
1
和
l
2
是异面直线，
l
1< br>在平面

内，
l
2
在平面

内，
l
是平面

与平面

的交
线，则下列命题正确的是（ ）
A．
l
至少与
l
1
，
l
2
中 的一条相交 B．
l
与
l
1
，
l
2
都相交
C ．
l
至多与
l
1
，
l
2
中的一条相交 D．
l
与
l
1
，
l
2
都不相交
【2015高考湖北，文5】
l
1
,l
2
表示空间中的两条直线，若 p：
l
1
,l
2
是异面直线；q：
l
1
, l
2
不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
B.
m
∥
n

MN


A
D.
A 、B、M

,A、B、M

,
且A、B、M不共线
< br>
、

重合

C.
n
⊥
l
D.
m
⊥
n

题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
8 31

证明平行的方法：
线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同 旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转
化的一个桥梁）。
线面平行：（1）根据定 理证明（
线线线面
）；（2）通过面面平行的性质定理（
面面线面
） < br>面面平行：（1）平面

中分别有两条相交线与平面

的两条相交线平 行 （2）平面

的法向量与平面

的
法向量平行
例2 1：如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是边长为
a的正方形，
P
E
2
侧面
PAD底面ABCD
， 且
PAPDAD
，若
E
、
F
分别
2
为
PC
、
BD
的中点.
（1）求证：
EF
∥平面
PAD
；
（2）求证：平面
PDC
平面
PAD
.





A
D
F
C
B
例 22：如图所示，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D1
中，M，N分别是C
1
C，B
1
C
1
的中点 ，求证：MN
P
平面A
1
BD.
D
1
N
A
1
B
1
M
C
1
D
C
A
B


例23：如图，直棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，D，E分别是AB，
BB
1
的中点，
AA< br>1
=AC=CB=
（Ⅰ）证明：
BC
1

A
1
CD

9 31
E

A
1
B
1
2
AB。
2
C
1

（Ⅱ）求A到面ACD的距离









例24：如图所示，在四棱锥O- ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
∠ABC=

, OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点
4
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。






例25：如图，已知矩形
A BCD
和矩形
ADEF
所在平面互相垂直，点
M
，
N
分别在对角线
BD
，
AE
上，且
1
1
BMBD
，
ANAE
．求证：
MN
平面
CDE
．
3
3






例26：如图 ，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、P分别是C
1
C、B
1
C
1
、C
1< br>D
1
的中点，求证：平面MNP∥平面A
1
BD.

10 31

例27：已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：
QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
P
Q
M
C
N
B A

D

题型四：线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一 条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条 直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射
影垂直。
例28：直三棱柱 ABC-A
1
B
1
C
1
中，
ABBC
， E是A
1
C的中点，
EDA
1
C
且交AC于D，
A
1
AAB
（I）证明：
B
1
C
1
< br>平面
A
1
BC
；（II）证明：
A
1
C< br>平面
EDB
．














例29：如图 所示，已知四棱锥
PABCD
的底面
ABCD
是菱形；
11 31
A
1

E
B
1

2

BC
．
2
C
1

C
D
A

B

PA
平面
ABCD
,
PAADAC
，点
F
为
PC
的中点．
（Ⅰ）求证：
PA
平面
BFD
；
（Ⅱ）求证面
PACBFD
．






例30：如图，在棱长为
a
的正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
中，
E、F、G分别
是
CB、CD、CC
1
的中点。
（1）求证：平面< br>AB
1
D
1

平面
EFG
；
（2）求证：
EF
平面
AA
1
C



A
1
B
1
D
1
C
1
·
F

D

A

G

·
C

B

E




例31：如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1< br>中，侧面
ABB
1
A
1
，
ACC
1
A
1
均为正方形，∠
BAC=90
,点
D
是棱
B< br>1
C
1
的中点.
o
BB
1
C
1
C
； （Ⅰ）求证：
A1
D
⊥平面
（Ⅱ）求证：
AB
1

平面
A
1
DC
；










C
1
B
1
D

A
1
B
C A
例32：如图所示，四棱 锥P—ABCD中，AB

AD，CD

AD，PA

底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，
M为PC的中点。
12 31

(1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN

平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。


例33：在如图所示的 几何体中，四边形
ABCD
是正方形，
MA平面ABCD
,
PD< br>∥MA
,
E、G、F
分别为
MB
、
PB、PC
的中点，且
ADPD2MA
．
（Ⅰ）求证：平面
EFG平面PDC
;
（Ⅱ）求三棱锥
PMAB与四棱锥PABCD的体积之比
．






例34：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：
BC
1
平面CA
1
D

（2 ）求证：平面
CA
1
D
⊥平面
AA
1
B
1
B








例 35：如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形
沿对角线BD把△ABD折起， 使A移到
A
1
点，且
A
1
在平面BCD
上的射影O 恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：
BCA
1
D
；
13 31

（Ⅱ）求证：平面
A
1
BC
平面
A
1
BD
；
（Ⅲ）求三棱锥
A
1
BCD
的体积．






真题：
【2016年上海高考】如图，在正方体
ABCD
−
A
1
B
1
C
1
D1
中，
E
、
F
分别为
BC
、
BB1
的中点，则下列直线中与直线
EF
相交的是（ ）
(A)直线
AA
1
(B)直线
A
1
B
1
(C)直线
A
1
D
1
(D)直线
B
1
C
1

【
2017
年新 课标
I
卷第
6
题】如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直接
AB
与平面
MNQ
不平行的是（< br>
）




【2017年新课标III卷第 10题】在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D1
中，E为棱CD的中点，则
A．
A
1
E⊥DC
1
B．
A
1
E⊥BD
C．
A
1
E⊥BC
1
D．
A
1
E⊥AC

【2015高考山东，文18】 如图，三棱 台
DEFABC
中，
AB2DE，G，H
分别为
AC，BC的中点.
（I）求证：
BD
平面
FGH
；
（II） 若
CFBC，ABBC，
求证：平面
BCD
平面
EGH
.

14 31

题型五：空间中的夹角
知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系：
面面 线面 线线
计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：
①找角，②证明所找的角，
③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）
异面直线的夹角问题：
例36：在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90

,ADBC,ABBCa
AD2a,PA底面ABCD ,PD
与底面成30°
（1）若
AEPD,E
为垂足，求证：
BEPD
；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；




例37：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN平面PAD；（2）若
MNBC4
，
PA43
，求 异面直线PA与MN所成的角的大小

例38：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，
MD平面ABCD
，
M
N
NB平面ABCD
，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线
NE与AM所成角的余弦值




15 31
D
C
E
A
B

例39： 如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
、
N
分别是
CD
、
CC
1
的中点，则异面直线
A
1
M
与
DN
所
成的角的大小是____________。







例40：已知正四面体
ABCD
中，各边长均为
a
，如图 所示，
E,F
分别为
AD,BC
的中点，连接
AF,CE
， 求
异面直线
AF,CE
所成角的余弦值。





D
1
A
1
D
A
B
1
C
1
N
C
B
M

A

E

B

F

D

C

例41：已知 S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且

ASB＝
BSC＝

CSA＝
M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成 的角的余弦值．
S
N
C
M
A

B < br>
，
2
例42：已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，
A
1
在底面
AB C
上的射影为
BC
的中点，则异面
直线
AB
与
CC
1
所成的角的余弦值为（ ）
（A）
3
35
7
（B） （C） (D)
4
44
4
例43：如图,在正方体ABCDA'B'C'D'
中，
E,F
分别是
AB',BC'
的中点。
（1）若
M
为
BB'
的中点，证明：平面
EMF
∥平面
ABCD

（2）求异面直线
EF
与
AD'
所成的角
A'
D'
C'
B'
F
16 31
D
E
M
C
A
B

例44：如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝ 8，E是AD中点，求
BE与CD所成角的余弦值。






B
6
8
6

A
E
D

(第9题)
C
线面夹角（了解）：
例45：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2
，PA=AD=2，E是PC上的一点，
设二面角A-PB- C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。


例46：如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，
ABAC
,D、E分别是
AA
1
，
B
1
C
的中点,
DE
平面
BCC
1< br>.
（1）证明：AB=AC
（2）设二面角A-BD- C为
60
，求
B
1
C
与平面BCD所成的角的大小
17 31
0

A
1
B
1
DA
E
C
1
A
1
B
1
C
1C
B

真题：

A
B
C

【2016年全国I卷高考】如平面

过正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1D
1
的顶点
A
，

平面CB
1
D1
,

I平面ABCDm
，

I平面ABB
1
A
1
n
，则
m
，
n
所成角的正弦值为
（A）
323
1
（B）（C）（D）
2
23
3< br>o
【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥
ABC-A
1
B1
C
1
中，
ABC90，ABAC2,AA
1
4,A
1
在底
面ABC的射影为BC的中点，D为
B
1
C
1
的中点.

（1）证明：
A
1
D平面A
1
BC
； （2）求直线
A
1
B
和平面
BB
1
CC
1
所成的角的正弦值.

【2014高考，文18】如图，四棱锥
PABC D
中，底面
ABCD
为菱形，
PA
底面
ABCD
，
AC22
，
PA2
，
E
是
PC
上的 一点，
PE2EC
。
（Ⅰ）证明：
PC
平面
BED
；
（Ⅱ）设二面角
APBC
为
90
，求
PD
与平面
PBC
所成 角的大小。





18 31
E
B
C
o
P
A
D

【2015高考湖南，文1 8】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C< br>1
的底面是边长为2的正三角形，
E,F
分别是
BC,CC
1
的中点。（I）证明：平面
AEF
平面
B
1
BCC
1
；
（II）若直线
A
1
C
与平面
A
1
ABB
1
所成的角为
45
，求三棱锥
FAEC
的体积。
o

题型六：距离问题：
点线距离（定义法、等体积法、向量法、 空间坐标法）；线面距离；面面距离。
例47：已知正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的地面边长为1，则棱场为2，点E为CC
1
的中点，求点
D
1
到平面BDE
的距离。


B
1
D
1
C
1
E
A
1
例48：已知正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1
中 ，
AB2
，则直线
AC
1与平面
BED
CC
1
22
，
E
为
C C
1
的中点，
的距离为（ ）
D
A
B
C
A.
2
B.
3
C.
2
D.
1

例49：在
ABC
中,AB=15，
BCA 120
，若
ABC
所在平面

外一点P到A、B、C的距离都是 14，则P
到

的距离是（ ）
A.13 B.11 C.9 D.7

P
C
B
H
A

例50：如图，在四棱锥
O ABCD
中，底面
ABCD
四边长为1的菱形，
O
ABC中点

4
,
OA底面ABCD
,
OA2,
M
为
OA
的中点，
N
为
BC
的M
19 31
A
B
NC
D

（Ⅰ）证 明：直线
MN
‖
平面OCD
；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。





例51：
和
为平面，
l,A,B,
AB=5,A,B在 棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝
2.若二面角
l
的大 小为
2
，求，点B到平面

的距离为_____________
3
例52：P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的 距离分别是
5
，
17
，
13
，
则P到A点的距离是 （ ）
A.1 B.2 C.
3
D.4
例53：如图，在四棱锥
OAB CD
中，底面
ABCD
四边长为1的菱形，
O
M
A
D
N
C
ABC
中点

4
,
OA底面ABCD
,
OA2
,
M
为
OA的中点，
N
为
BC
的
（Ⅰ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离




例54：如图,直四棱柱ABCD – A
1
B
1C
1
D
1
中,ABCD,AD⊥AB,AB=2,AD=
(1) 证明:BE⊥平面BB
1
C
1
C;
(2) 求点B1 到平面EA
1
C
1
的距离





例55：如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面AB C
∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。
20 31
B
,AA
1
=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
G
C
D
F
E
A
B

（1）试判断CF是否与平 面ABED平行？并说明理由；
（2）求多面体ABC－DEFG的体积。




例56：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
C ACBCDBD2,ABAD
A
2.

（I）求证：
AO
平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离。


B
D
O
E
0
C
例57：如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。


题型七：求体积问题
例58：如图，
ABEDFC
为多面体，平面
ABED
与平面
ACFD
垂直，点
段
AD
上，
OA 1
，
OD2
，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三
（Ⅰ） 证明直线
BC∥EF
；（Ⅱ）求棱锥
FOBED
的体积.







1
例59：如图，三棱柱A BC－A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直底面，∠ACB=90° ，AC=BC=AA
1
，D是棱AA
1
的中点
2
C
1

A
1

(Ｉ)证明：平面BDC
1
⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.





21 31

O
在线
角形。
B
1



D
C
A
B

真题：
【
2017
年新课标
I
卷第
18
题】如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且
BAPC DP90
o

（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
PA=PD=AB=DC,
APD90
o,
且四棱锥
P-ABCD
的体积为








【2017年新课标II第18题】
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且 垂直于底面ABCD，
8
，求该四棱锥的侧面积
.
3
1
AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°。
2
（1） 证明：直线BC∥平面PAD;
（2） 若△PAD面积为2
7
，求四棱锥P-ABCD的体积。








【
2017
年新课标
III
卷第
19
题 】如图，四面体
ABCD
中，△
ABC
是正三角形，
AD=CD．

（
1
）证明：
AC
⊥
BD
；

（
2
）已知△
ACD
是直角三角形，
AB=BD
．若
E
为棱
BD
上与
D
不重合的点，且
AE
⊥
EC
，求四面体
ABCE
与四面体
ACDE
的体积比．


22 31

【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥
P
-
ABC的侧面是直角三角形，
PA
=6，顶点
P
在平面
ABC
内的正投
影为点
D
，
D
在平面
PAB
内的正投影为 点
E
，连结
PE
并延长交
AB
于点
G
.
（I）证明：
G
是
AB
的中点；
（II）在图中作出点< br>E
在平面
PAC
内的正投影
F
（说明作法及理由），并求四面 体
PDEF
的体积．
P
A
G
E
D
B

C

【 2016年全国II卷高考】如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
B D
交于点
O
，点
E
、
F
分别在
AD
，
CD
上，
AECF
，
EF

交
BD
于点
H
，将
DEF
沿
EF
折到
D'E F
的位置.
（Ⅰ）证明：
ACHD'
；
（Ⅱ）若
AB 5,AC6,AE
5
,OD'22
,求五棱锥
D

ABCEF
体积.
4

【2016年全国III卷高考】如图，四棱锥< br>PABC
中，
PA
平面
ABCD
，
ADPBC< br>，
ABADAC3
，
PABC4
，
M
为线 段
AD
上一点，
AM2MD
，
N
为
PC
的中点．
23 31

（I）证明
MNP
平面
PAB
；
（II）求四面体
NBCM
的体积.

【2015高考新课标1 ，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
BE平面ABC D
，

（I）证明：平面
AEC
平面
BED
；
（II）若
ABC120
o
，
AEEC,
三棱锥
EACD


的体积为

6
，求该三棱锥的侧面积.
3
【2015高考北京，文18】（本小题满分 14分）如图，在三棱锥
VC
中，平面
V
平面
C< br>，
V
为等边三角形，
CC
且
CC2< br>，

，

分别为

，
V
的中点 ．
（I）求证：
V
平面
C
；（II）求证：平面
 C
平面
V
；（III）求三棱锥
VC
的体积．


【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PA C

平面ABC，

ABC=
线段AC上，且AD=DE=EC=2 ，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EFBC.
(Ⅰ)证明：AB

平面PFE. (Ⅱ)若四棱锥P- DFBC的体积为7，求线段BC的长.
24 31

，点D、E在
2

P
A
D
F
题（20）图
E
C
B

题型八：翻折与展开问题及探索问题

例60：如图所示，等腰
△ABC
的底边
AB66
，高
CD3
，点
E
是线段
BD
上异于点
B，D
的动点，点
F
在
BC< br>边上，且
EF⊥AB
，现沿
EF
将
△BEF
折起到< br>△PEF
的位置，使
PE⊥AE
，记
BEx
，
V( x)
表
示四棱锥
PACFE
的体积．
（1）求
V(x)
的表达式；（2）当
x
为何值时，
V(x)
取得最大值？
（3）当
V(x)
取得最大值时，求异面直线
AC
与
PF
所 成角的余弦值．



A
C
D
F

E
B
P
例61：在直角梯形
ABEF
中（ 图中数字表示线段的长度），将直角梯形
DCEF
沿
CD
折起，使平面
DCEF
平面
ABCD
，连结部分线段后围成一个空间几何体，
F
（Ⅰ）求证：
BE
平面
ADF
；
（Ⅱ）求三棱锥
FBCE
的体积．





D
1
A
2
E
1
F
E
C
D
1
BA
B
C
1


例62：正 方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折 痕，折叠
这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．
(1)求证：AP⊥EF；
(2)求证：平面APE⊥平面APF.
25 31

例63：如图4,在边长为1的等边三角形
ABC
中,D,E
分别是
AB,AC
边上的点,
ADAE
,
F< br>是
BC
的中
点,
AF
与
DE
交于点
G
,将
ABF
沿
AF
折起,得到如图5所示的三棱锥
A BCF
,其中
BC
(1) 证明:
DE
平面
BCF
; (2) 证明:
CF

平面
ABF
;
(3) 当
AD
2
.
2
2
时,求三棱锥
FDEG的体积
V
FDEG
.
3
A
A
G
E
D
D
G
E
F
C
B
F
图 4
C

B
图 5

例68：如图甲，在直角梯形PBCD
中，
PBCD
，
CDBC
，
BCPB2 CD
，
A
是
PB
的中点. 现 沿
AD
把平面PAD
折起，使得
PAAB
（如图乙所示），
E
、
F
分别为
BC
、
AB
边的中点.
（1）求证：
PA
平面
ABCD
；
（2）求证：平面
PAE
平面
PDE
；
（3）试探究在
PA
上是否存在一点
G
，使得
FG
平面
PDE,
并说明理由.



真题：
【2015高考 陕西，文18】如图1，在直角梯形
ABCD
中，
ADBC,BAD
26 31
图甲

图乙

2
,ABBC
1ADa
，
E
2

是
AD
的中点，将ABE
沿
BE
折起到图2中
A
1
BE
的位 置，得到四棱锥
A
1
BCDE
.
O
是
OC与
BE
的交点，
(I)证明：
CD
平面
AOC
；
1
(II)当平面
A
1
BE
平面
BCDE
时，四棱锥
A
1
BCDE
的体积为
362
，求< br>a
的值.


【2014高考，文19】如图所示：边长为2的正方 形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=
2
，

EDAF且∠DAF=90°。

（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否
存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，
求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。







【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA
平面ABC，
PA1,AB1,AC2,BAC60
.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC

BM，并求
o
PM
的值.
MC

【2015高 考福建，文20】如图，
AB
是圆
O
的直径，点
C
是圆O
上异于
A,B
的点，

垂直于圆

所在的 平
面，且
1
．

（Ⅰ）若
D
为线段< br>AC
的中点，求证
C
平面
D
；（Ⅱ）求三棱锥
PABC
体积的最大值；
27 31

（Ⅲ）若
BC 2
，点
E
在线段
PB
上，求
CEOE
的最小值 ．
P
E
A
D
O
C
B

题型九：球类问题专项练习

一：外接球的有关问题
棱锥的内切、外接球问题
例69：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？


例70：设棱锥
MABCD
的底面是正方形，且
MAMD，
MAAB
，
如果
AMD
的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.



例71：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1 ,2,3，则此球的表面积为______
例72：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


例73：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
柱的体积为
9
，底面周长为3，则这 个球的体积为__________
8
例74：正四棱锥
SABCD
的底 面边长和各侧棱长都为
2
，点
S、A、B、C、D
都在同一球面上，则此球< br>的体积为_______________.
例75：表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
12
222

B．

C．

D．


33
33
二：球类的截面问题
28 31

例7 6：球面上有三点
A
、
B
、
C
组成这个球的一个截面的内接 三角形三个顶点，其中
AB18
，
BC24
、
AC30
，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．


例77：过球O
表面上一点
A
引三条长度相等的弦
AB
、
AC
、
AD
，且两两夹角都为
60
，若球半径为
R
，求弦
AB
的长度．


例78：已知球
O
的面 上四点A、B、C、D，
DA平面ABC
，
ABBC
，
DA=A B=BC=3
，则球
O
的体
积等于_______________. 例79：已知点A、B、C、D在同一个球面上，
AB平面BCD
，
BCDC
，若
AB6,AC=213,AD=8
，
则球的体积是_________ ______.
例80：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
这个球的半径．

例81：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个 大圆上，则该正三
棱锥的体积是（ ）
A．
333
33
B． C． D．
3412
4
1
，经过3个点的小圆的周长为
4
< br>，求
6
例82：直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
BAC120
，则此球的
表面积等于

例83：正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接于 半径为
2
的球，若
A,B
两点的球面距离为

，则正三棱柱 的体积为

例84：用两个平行平面去截半径为
R
的球面，两个截 面圆的半径为
r
1
24cm
，
r
2
15cm< br>．两截面间的距
离为
d27cm
，求球的表面积．

三：球面距离
例85： 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确
29 31

例86：已知
A
、
B
是半径 为
R
的球
O
的球面上两点，它们的球面距离为
的最大距离是多少？


2
R
，求过
A
、
B
的平面中 ，与球心
例87：在球心同侧有相距
9cm
的两个平行截面，它们的面积分别为
49

cm
和
400

cm
．求球的表面积．
例88：如图球O的半径为2，圆
O
1
是一小圆，
OO2
，A、B是圆
O
1
上两点，若A，B两点间的球面距离为
1
222

，则
AO
1
B
=
3
例89：在半径为3的球面上有
A,B,C
三点，
ABC90,BA BC
，球心
O
到平面
ABC
的距离是
则
B、C< br>两点的球面距离是（ ）
A.

32
，
2
4


B.

C. D.
2


3
3
四：其它问题
例90：在矩形
ABCD
中，
AB4,BC3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角BACD
，则四面体
ABCD
的外接球的体积为（ ）
A.
5

B.

C.

D.


12963
例91：一个 倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为
r
的铁球，这时水 面
恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

例92： 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的 体积为
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
8
例93：（ 2012新课标理）已知三棱锥
SABC
的所有顶点都在球
O
的求面上,< br>ABC
是边长为
1
的正三角形,
SC
为球
O
的直径,且
SC2
;则此棱锥的体积为（ ）
A．
2

6
B．
3

6
C．
2

3
D．
2

2
例94：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形AB CD是边长为2
3
正方
形.若PA=
26
,则△OAB的面积为__ ____________.
例95：在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球， 正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖
子相切）， 求小球的半径。
例96：自半径为
R
的球面上一点
M
，引球的三条两两垂直的弦
MA,MB,MC
， 求
MAMBMC
的值．
30 31
222

例97：在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径
为多少时，两球体积之和最小．

例98：有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 ,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰
好接触水面时测得水深为6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为______________.
真题：
SC< br>是球
O
的直径
.
若平面
SCA
【
2017< br>年新课标
I
卷第
16
题】已知三棱锥
S-ABC
的所 有顶点都在球
O
的球面上，
⊥平面
SCB
，
SA=AC，
SB=BC
，三棱锥
S-ABC
的体积为
9
，则球< br>O
的表面积为
________.
【2017年新课标III卷第9题】已知 圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该
圆柱的体积为
A．
π
B．
3π

4
C．
π

2
D．
π

4
【201 7年新课标II第15题】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积< br>为
【2017年新课标III卷第10题】在正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，E 为棱CD的中点，则
A．
A
1
E⊥DC
1
B．
A
1
E⊥BD
C．
A
1
E⊥BC
1
D．
A
1
E⊥AC

【2017年天津卷第11题】已知一个正方体 的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球
的体积为 .
【2017年江苏卷第6题】如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱
O
1
O
2
的体积为V
1
,球O的体积为V
2
，则
V
1
的值是
V
2

31 31