中山大学自主招生-野史趣闻

高三数学

注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只 有
一项是符合要求的．
2
B{x|
1.
已知集合
A{ xZ|x2x30}
，
x1
0}
，若集合
C{x|x A
且
xB}
，则
C
（

）
x
C.
{1,0}
D.
{0,1,2,3}
A.
[1,0]
B.
[0,3]

2.
若复数
z
满足
z(1i)1i
，
i
为虚数单位，则
z
2019

（

）
A.
1

2
B.
1
C.
i
D.
i
< br>3.
命题
“
x[1,2],x2a0
”
为真命题的一 个必要不充分条件是（

）
A.
a
1

2
B.
a
1

2
C.
a2
D.
a3

4.
在我国古代数学名著《孙子算 经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一
人；成六行纵队，则末行五人 ；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算
这些士兵可能有（

）
A.
2006
B.
2111
C.
2113
D.
2141

5.
已知角

的顶点在坐标原点，始边与
x
轴的正半轴重合，将角

的终边按逆时针方向 旋转
π
后经过点
4
(2,1)
，则
tan

（

）
A.
322

6.
若函数
f(x)2
系为（

）
A.
acb
B.
abc
C.
cba
D.
bac

|xm|
B.
322
C.
1
D.
1

1(mR)
为偶函数，设
a f(2
m
),bf(log
0.2
3),cf(2
0.3)
，则
a,b,c
的大小关
7.
二项式
(x)
的展开式中，第
3
项的二项式系数比第
2
项的二项式系数大
9，则该展开式中的常数项为
（

）
2
x
n

A.
160
B.
80
C.
80
D.
160


x
2
x,x0
，若
|f(x)|2ax
，则实数
a
的取值范围是（

）
8.
已知函数
f(x)

log
2
(x1),x0
A.
(,0]
B.
[1,0]
C.
[1,1]
D.
[,0]

1
2
二、多项选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得
5
分，部分选对的得
3
分，有选错的得
0
分．
．根据对比图，下列结论正确
9.
下图为某省高考数学理科试卷近 三年难易程度的对比图（图中数据为分值）
的有（

）

A.
近三年容易题分值逐年增加
B.
近三年难题分值逐年减少
C.
近三年中档题分值所占比例最高的年份是
2017
年
D.
2018
年的容易题与中档题的分值之和占总分的
90%
以上
10 .
如图，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面是边长为
1
的等边三角形，侧棱长为
2
，
D,E
分别 是
BB
1
,AC
的
中点，则下列结论成立的是（

）

A. 直线
CD
与
B
1
C
1
是异面直线
B. 直线
BE
与平面
A
1
CD
平行

C. 直线
AC
与直线
A
1
D
所成 角的余弦值为
2

4
D. 直线
CD
与平面
AAC
11
C
所成角的余弦值为
10

4
x
11 .
已知
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且
f(x3) f(x1)
，若当
x[0,2]
时，
f(x)21
，则下列
结论正确的是（

）
A. 当
x[2,0]
时，
f(x)2
x
1

C.
yf(x)
的图像关于点
(2,0)
对称
B.
f(2019)1

D. 函数
g(x)f(x)log
2
x
有
3
个零点
x
2
y
2
63
12.
已知双曲线
C:
2

2
1(a0,b0)
的一条渐近线过点
P(,)
，
F
为
C
的右焦点，则下列结论正
ab
22
确的是（

）
A.
C
的离心率为
6

2
B.
C
的渐近线方程为
x2y0

x
2
y
2
C. 若
F
到
C
的渐近 线的距离为
2
，则
C
的方程为
1

42
D. 设
O
坐标原点，若
|PO||PF|
,
则
S
POF

32

2
三、填空题：本题共< br>4
小题，每小题
5
分，共
20
分．把答案填在答题卡中相应题 的横线上．
urr
urr
2

，则
|m3n|
________．
13.
已知单位向量
m,n
的夹角为
3则
B
________；
14.
VABC
的内角
A, B,C
的对边分别为
a,b,c
，
bcosC
与
ccosB
的等差中项为
acosB
．
若
ac5
，
VAB C
的面积
S
22
3
，则
b
________．

2
15.
已知圆
C:xy4x4y40
，抛 物线
E:y2px(p0)
过点
C
，其焦点为
F
，则直 线
CF
被
抛物线截得弦长为
________________
．
球中，
SA
平面
ABC
，
BAC45
o，
BC22
，则三棱
16.
已知三棱锥
SABC
内 接于半径为
4
锥
SABC
体积的最大值为________．
四 、解答题：本题共
6
小题，共
70
分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字 说明，证明过
程或演算步骤．

5

对称，②
f(x )cos

x3sin

x
，③
f(x)f(0)< br>恒成立这三个
6

条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的

存在，求出

的值，若

不存在，请说明理由．
17.< br>在①
f(x)
的图像关于直线
x
设函数
f(x)2cos (

x

)(

0,0


是单调？

________
，
)
，是否存在正整数

，使得函数
f(x)
在
[0,]
上
2
2

2
18.
已知各项都为正数的数列

a
n

满足
a
1
4
，
a
n1
(2a
n< br>1)a
n1
2a
n
0
．
（
1
）求

a
n

的通项公式；
*
（
2
）若数列

b
n

满足
b
n
a
n
(2n5)cosn(nN)
，求数列

b
n

的前
2n
项和．
19.
已知正 三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB 2
，
AA
1
3
，
D
为
AC
的中 点．
uuur
1
uuur
（
1
）当
AEEA< br>1
时，求证：
DEBC
1
；
2
（
2）在线段
AA
1
上是否存在点
E
，使二面角
ABE D
等于
30°
？若存在求出
AE
的长；若不存在，请说
明理 由．
20.
某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为 优秀．现获得该公司
的

20112018
年的相关数据如下表所示：
年份
年生产台数
（万台）
该产品的年利润
2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2

3

4

5

6

7

10

11

2.1

（百万元）
年返修台数（台）

2.75

3.5

3.25

65

3

4.9

6

6.5

21

22

28

80

65

84

88

注：
年返修率=
年返修台数
．
年生产台数
（
1
）从该公司
20112018
年的相关数据中任意选取
4年的数据，以

表示
4
年中生产部门考核为优秀的
次数，求
的分布列和数学期望；
（
2
）根据散点图发现
2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润
y
（百万
元） 关于年生产台数
x
（万台）的线性回归方程（精确到
0.01
）．
ˆ

参考公式：回归方程
$$
y
$$
bx
$$
a
，其中
b

(xx)(yy)

xynxyiiii
i1
nn

(xx)
i
i1
n

2
i1
n

2
i

x
i1
nx
2
ˆ
．
ˆ
ybxa
88
1
8
1
8
参考数据：
x

x
i
6
，
y

yi
4
，

(x
i
x)(y
i
y )34.5
，

(y
i
y)18.045
，
8
i1
8
i1i1i1
8

(xx)
i
i1
2
72
．
x
2
y
2
2 1.
已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的焦 距为
2
，一个顶点在抛物线
y
2
42x
的准线上．
ab
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
（
2
）过右焦点
F
2
做斜率存在直线
l
，交椭圆于
A< br>、
B
两点．
（
i
）已知点
M(0,)
，是 否存在直线
l
，使
|MA||MB|
？若存在，求直线
l
方程；若不存在，说明理由；
（
ii
）若
O
为坐标原点，求
S
VABO
的取值范围．
22.
已知函数
f(x)x2xlnx
．
1
2
（
1
）若直线
l
过点
(0,2)
，且与曲线
y f(x)
相切，求直线
l
的方程；
（
2
）若
 x1
时，
f(x)kxk0
成立，求整数
k
的最大值．



的