设施农业科学与工程-詹天佑读后感

湖北武汉2019年高三4月调研测试-数学（理）

2018.4.19
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的 四个选项中，只有
一项为哪一项符合题目要求的、
1、如图，在正方形
ABCD中，点
E
为
CD
的中点，点
F
为
BC
上靠近点
B
的一个三等分点，那
→
么
EF
＝
1< br>→
1
→
2
→
1
→
〔A〕
2
AB
－
3
AD
〔B〕
3
AB
＋
2
AD

1
→
1
→
1
→
2
→
〔C〕
3
AB
－2
AD
〔D〕
2
AB
－
3
AD

a
＋i
2、“复数
2＋i
〔
a
∈R，i为虚数单位〕在复平面内对应的点位于第二象 限”是“
a
＜－1”的
〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件
〔C〕充要条件 〔D〕既不充分也不必要条件
3、天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%、现采 纳随机模拟试验的方
法可能这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机 数，
用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况、经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此可能，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
〔A〕0.35 〔B〕0.25 〔C〕0.20 〔D〕0.15
4、一个体积为123的正三棱柱的三视图如下图， 那么该三棱柱的侧视图的面积为
〔A〕63
〔B〕8
〔C〕83
〔D〕12
1
3
2
5、(3
x
－
x
)
n
的展开式中各项系 数之和为256，那么展开式
中第7项的系数是
〔A〕－24 〔B〕24 〔C〕－252 〔D〕
252
6、执行如下图的程序框图，假设输出的结果是9，那么判断框内
m
的取值范围是
〔A〕(42，56]
〔B〕(56，72]
〔C〕(72，90]
〔D〕(42，90)
7、如图，设
D
是图中边长分别为1和2的矩形区域 ，
1
D
内位于函数
y
＝
x
〔
x
＞ 0〕图象下方的区域〔阴
部分〕，从
D
内随机取一个点
M
，那么点< br>M
取自
E
的概率为
E
是
影
内

ln2
〔A〕
2

1－ln2
〔B〕
2

1＋ln2
〔C〕
2

2－ln2
〔D〕
2

8、直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0〔
A
，
B
不全为 0〕，两点
P
1
〔
x
1
，
y
1
〕 ，
P
2
〔
x
2
，
y
2
〕，假设(
Ax
1
＋
By
1
＋
C
)(
Ax
2
＋
By
2
＋
C
)＞0，且|
Ax
1
＋
By
1
＋
C
|＜|
Ax
2
＋
By
2
＋
C
|，那么直线
l

〔A〕与直线
P
1
P
2
不相交 〔B〕与线段
P
2
P
1
的延长线相交
〔C〕与线段
P
1
P
2
的延长线相交 〔D〕与线段
P
1
P
2
相交
9、抛物线
y
2
＝2
px
〔
p
＞0〕的焦点为
F
，点
A
、
B
在此抛物线上，且∠
AFB
＝90°，弦
AB
的
|
MM
′|
中点
M
在其准线上的射影为
M′，那么
|
AB
|
的最大值为
23
〔A〕
2
〔B〕
2
〔C〕1 〔D〕3

ax
＋1，
x
≤0，

10、函数< br>f
(
x
)＝



log
2
x
，
x
＞0
。

那么以下关于函数
y
＝
f
(
f
(
x
))＋1的零点个数的判断正
确的选 项是
〔A〕当
a
＞0时，有4个零点；当
a
＜0时，有1个零点
〔B〕当
a
＞0时，有3个零点；当
a
＜0时，有2个零点
〔C〕不管
a
为何值，均有2个零点
〔D〕不管
a
为何值，均有4个零点
【二】填空题：本大题共6小题，考生 共需作答5小题，每题5分，共25分、请将答案填
在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清， 模棱两可均不得分、
．．．．．．．
〔一〕必考题〔11—14题〕
11、某种产 品的广告费支出
x
与销售额
y
之间有如下对应数据〔单位：百万元〕、
x
y
2
30
4
40
5
60
6 8
70
t

^
＝6.5
x
＋17 .5，那么表中
t
的依照上表提供的数据，求出
y
关于
x
的 线性回归方程为
y
值为 、
π3π
12、α∈[
12，
8
]，点
A
在角α的终边上，且|
OA
|＝4cos α，那么点
A
的纵坐标
y
的取值
范围是 、
13 、球的直径
SC
＝4，
A
，
B
是该球球面上的两点，
AB
＝2，∠
ASC
＝∠
BSC
＝45°，那么棱锥
S< br>-
ABC
的体积为 、
14、在平面直角坐标系
xOy中，三点
A
〔
a
，
b
〕，
B
〔
b
，
c
〕，
C
〔
c
，
a
〕，且 直线
AB
的倾斜角
与
AC
的倾斜角互补，那么直线
AB的斜率为 、〔结果中不含字母
a
，
b
，
c
〕
〔二〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选
的 题目序号后的方框用2B铅笔涂黑、假如全选，那么按第15题作答结果计分、〕
15、〔选修4-1：几何证明选讲〕
如图，
P
为圆
O
外 一点，由
P
引圆
O
的切线
PA
与圆
O
切于
A
点，引

圆
O
的割线
PB
与圆
O
交于
C
点、
AB
⊥
AC
，
PA
＝2，
PC
＝1，那么圆
O
的面积为 、
16、〔选修4-4：坐标系与参数方程〕
π1π
在极坐标系下，直线
l< br>的方程为ρcos(θ－
3
)＝
2
，那么点
M
〔1，
2
〕到直线
l
的距
离为 、
【三】解答题：本大题共6小题，共75分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、
17、〔本小题总分值12分〕
在△
ABC
中，角
A
、< br>B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c< br>，
B
＝60°、
11
〔Ⅰ〕假设cos(
B
＋C
)＝－
14
，求cos
C
的值；
→→
〔Ⅱ 〕假设
a
＝5，
AC
·
CB
＝5，求△
ABC的面积、
18、〔本小题总分值12分〕
在等差数列{
a
n
}中，满足3
a
5
＝5
a
8
，
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和、
〔Ⅰ〕假设
a< br>1
＞0，当
S
n
取得最大值时，求
n
的值；
S
n
－
a
n
〔Ⅱ〕假设
a
1
＝－46， 记
b
n
＝
n
，求
b
n
的最小值、
19、〔本小题总分值12分〕
如图，在四棱锥
P
-
ABCD中，
PD
⊥底面
ABCD
，底面
ABCD
为平行四边形 ，∠
ADB
＝90°，
AB
＝2
AD、

〔Ⅰ〕证明：
PA
⊥
BD
；
〔Ⅱ〕假设
PD＝
AD
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余 弦值、
20、〔本小题总分值12分〕
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣 传志
愿者、现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，
他们的年龄情况如下表 所示、
〔Ⅰ〕频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答
题卡中补全频率分布直方图〔 如图〕，再依照频率分布直方图可能这500名志愿者中年龄在
[30，35)岁的人数；
〔 Ⅱ〕在抽出的100名志愿者中按年龄再采纳分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣
传活动，从这20 人中选取2名志愿者担任要紧负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30
岁”的人数为
X
，求
X
的分布列及数学期望、
21、〔本小题总分值13分〕
分组〔单位：岁〕 频数 频率
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45]
合计
5
①
35
30
10
100
0.05
0.20
②
0.30
0.10
1.00

x
2
y
2
如图，椭圆Γ：
a2
＋
b
2
＝1〔
a
＞
b
＞0〕的左、 右焦点分别是
F
1
→
〔－
c
，0〕、
F
2
〔
c
，0〕，
Q
是椭圆外的一个动点，满足|
F
1
Q
|＝2
A、
→→
点
P
是线段
F
1
Q
与该椭圆的交点，点
M
在线段
F
2
Q
上，且满足
PM
·
MF
2
→
＝0，|
MF
2
|≠0、
〔Ⅰ〕求点
M
的轨迹
C
的方程；
〔 Ⅱ〕设只是原点
O
的直线
l
与轨迹
C
交于
A
，
B
两点，假设直线
OA
，
AB
，
OB
的斜率依
次成等比数列，求△
OAB
面积的取值范围；
说明理由〕
22、〔本小题总分值14分〕
1
函数
f
(
x
) ＝ln(1＋
x
)－
ax
在
x
＝－
2
处的 切线的斜率为1、
〔Ⅰ〕求
a
的值及
f
(
x
)的最大值；
111
〔Ⅱ〕证明：1＋
2
＋
3
＋…＋
n
＞ln(
n
＋1)〔
n
∈N
*
〕；
〔Ⅲ〕设
g< br>(
x
)＝
b
(
e
x
－
x
) ，假设
f
(
x
)≤
g
(
x
)恒成立，求实 数
b
的取值范围、
武汉市2018届高三4月调研测试数学〔理科〕试题参考答案及评分
标准
【一】选择题：每题5分，总分值50分、
1、D2、B3、B4、A5、D
6、B7、C8、B9、A10、A
【二】填空题：每题5分，总分值25分、
4 3－1±59π3－1
11、5012、[1，2]13、
3
14、15、
4
16、
2

2
【三】解答题：本大题共6小题，共75分、
17、〔本小题总分值12分〕
11
解：〔Ⅰ〕在△
ABC
中，由 cos(
B
＋
C
)＝－
14
，得
1153
2
1－(－
14
)＝
14
， sin(< br>B
＋
C
)＝1－cos(
B
＋
C
)＝
2
∴cos
C
＝cos[(
B
＋
C
)－
B
]＝cos(
B
＋
C
)cos
B
＋sin(B
＋
C
)sin
B

1115331
＝－14
×
2
＋
14
×
2
＝
7
、 …………………………………………〔6分〕
→→→→
〔Ⅱ〕由
AC
·CB
＝5，得|
AC
|·|
CB
|cos(180°－
C
)＝5，即
ab
cos
C
＝－5，

又
a
＝5，∴
b
cos
C
＝－1，①
a bab
由正弦定理
sin
A
＝
sin
B
，得
sin(120°－
C
)
＝
sin60°
，
5
b
∴
3
＝
3
，
1
2
cos
C
＋
2
sin
C
2
即3
b
cos
C
＋
b
sin
C
＝53，②
将①代入②，得
b
sin
C
＝63，
11
故△< br>ABC
的面积为
S
＝
2
ab
sin
C
＝
2
×5×63＝153、……………………〔12分〕
18、〔本小题总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕设{
a
n
}的公差为
d
，那么
2由3
a
5
＝5
a
8
，得3(
a
1＋4
d
)＝5(
a
1
＋7
d
)，∴
d
＝－
23
a
1
、
n
(
n
－1)
∴
S
n
＝
na
1
＋
2
21241 144
22
×(－
23
a
1
)＝－
23
a
1
n
＋
23
a
1
n
＝－
23a
1
(
n
－12)＋
23
a
1
、 < br>∵
a
1
＞0，∴当
n
＝12时，
S
n
取得最大值、…………………………………〔6分〕
2
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及
a
1
＝－46，得
d
＝－
23
×(－46)＝4，
∴a
n
＝－46＋(
n
－1)×4＝4
n
－50， n
(
n
－1)
S
n
＝－46
n
＋2
×4＝2
n
－48
n
、
50
2
n
×
n
－52＝－32，
2
S< br>n
－
a
n
2
n
2
－52
n
＋5050
∴
b
n
＝
n
＝＝2
n
＋
n
－52≥2
n
50
当且仅当2
n
＝
n
，即
n
＝5时，等号成立、
故
b
n
的最小值为－32、… …………………………………………………〔12分〕
19、〔本小题总分值12分〕
解： 〔Ⅰ〕由∠
ADB
＝90°，可得
BD
⊥
AD、

因为
PD
⊥底面
ABCD
，
因此
PD
⊥
BD、

又
PD
∩
AD
＝
D
，
因此
BD
⊥平面
PAD
，
因为
PA
⊂平面
PAD
，
因此
BD
⊥< br>PA、
…………………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕建立如 下图的空间直角坐标系
D
-
xyz
，设
AD
＝
a< br>，那么
A
〔
a
，0，0〕，
B
〔0，3
a
，0〕，
C
〔－
a
，3
a
，0〕，
P〔0，0，
a
〕，
→→
AB
＝〔－
a
，3< br>a
，0〕，
BC
＝〔－
a
，0，0〕，

AP
＝〔－
a
，0，
a
〕，PC
＝〔－
a
，3
a
，－
a
〕、
设 平面
PAB
的法向量为
n
＝〔
x
，
y
，< br>z
〕，
→


n
·
AB
＝0，< br>因此

→


n
·
AP
＝0
。
→→


－
ax
＋3
ay
＝0，可得


－
ax
＋
az
＝0
。


设
y
＝3，那么
x
＝
z
＝3，
可得
n
＝〔3，3，3〕、
同理，可求得平面
PBC
的一个法向量为
m
＝〔0，－1，－3〕、
m
·
n
27
因此cos＜
m
，
n
＞＝
|
m
|·|
n
|
＝－
7
、
由图形知，二面角
A
-
PB
-
C
为钝角，
27
因此二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值是－7
、…………………………………〔12分〕
20、〔本小题总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕①处填20，②处填0.35；
补全频率分布直方图如下图、
依照频率 分布直方图可能这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35
＝175、……… …………………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕用分层抽样的方法，从中选取 20人，那么其中“年龄低于30岁”的有5人，
“年龄不低于30岁”的有15人、
由题意知，
X
的可能取值为0，1，2，且
1
C
2
21C
1
15C
2
21
155
C
155
222
P
(
X
＝0)＝
C
20
＝
38，
P
(
X
＝1)＝
C
20
＝
38，
P
(
X
＝2)＝
C
20
＝
38＝
19
、
∴
X
的分布列为：
X

P
0
21
38

1
15
38

2
1
19

211521< br>∴
E
(
X
)＝0×
38
＋1×
38
＋2×
38
＝
2
、………………………………………〔12分〕
21、〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕设
M
〔
x
，< br>y
〕为轨迹
C
上的任意一点、
→
当|
PM
|＝0时，点〔
a
，0〕和点〔－
a
，0〕在轨迹
C
上、
→→→→→→
当|
PM
|≠0且|
MF
2
|≠0时 ，由
PM
·
MF
2
＝0，得
PM
⊥
MF< br>2
、
→→
又|
PQ
|＝|
PF
2
|〔如图〕，因此
M
为线段
F
2
Q
的中点、
1< br>→→
在△
QF
1
F
2
中，|
OM
| ＝
2
|
F
1
Q
|＝
a
，因此有
x
2
＋
y
2
＝
a
2
、
综上所述， 点
M
的轨迹
C
的方程是
x
2
＋
y
2
＝
a
2
、…………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕由题意可知，直线
l
的斜率存在且不为0，

故可设直线
l
的方程为
y
＝
kx
＋
m
〔
m
≠0〕，
A
(
x
1
，
y
1)，
B
(
x
2
，
y
2
)，


y
＝
kx
＋
m
，
222
由< br>

x
＋
y
＝
a
．

22

消去
y
并整理，得
22
(1＋
k
)< br>x
＋2
kmx
＋
m
－
a
＝0，
那 么△＝4
k
2
m
2
－4(1＋
k
2
)(< br>m
2
－
a
2
)＝4(
k
2
a
2
＋
a
2
－
m
2
)＞0，
－2
kmm
2
－
a
2
且
x
1
＋
x< br>2
＝
1＋
k
2
，
x
1
x
2
＝
1＋
k
2
、
∴
y
1
y
2
＝(
kx
1
＋
m
)(
kx
2
＋
m
)＝
kx
1
x
2
＋
km
(< br>x
1
＋
x
2
)＋
m
、
∵直线
OA
，
AB
，
OB
的斜率依次成等比数列，
22
y
1
y
2
k
2
x
1
x
2
＋
km
(
x
1
＋
x
2
)＋
m
2
2
∴
x
1
·
x
2＝＝
k
，
x
1
x
2
－2
km2
即
1＋
k
2
＋
m
＝0，又
m
≠0，
∴
k
＝1，即
k
＝±1、
|
m
|
设点
O
到直线
l
的距离为
d
，那么
d
＝
k
2
＋1
，
11|
m
|
2< br>∴
S
△
OAB
＝
2
|
AB
|
d
＝
2
1＋
k
|
x
1
－
x2
|·
k
2
＋1

11
＝
2
|
x
1
－
x
2
||
m
|＝
2m
2
(2
a
2
－
m
2
)、
由直线
OA
，
OB
的斜率存在，且△＞0，得0＜
m
＜2< br>a
且
m
≠
a
，
∴0＜
m
2
(2
a
2
－
m
2
)＜
2222
2
22
m
2
＋(2
a
2
－
m
2
)
2
＝
a
2
、
1
故△
OAB
面积 的取值范围为〔0，
2
a
2
〕、…………………………………〔10分〕 < br>〔Ⅲ〕对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设只是原点
O
的直线
l
与 椭圆Γ交于
A
，
B
两点，假设直线
OA
，
AB，
OB
的斜率依次成等比数列，那么△
OAB
面积的取值
1范围为〔0，
2
ab
〕、”……………………………………………………………〔 13
分〕
22、〔本小题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕函数
f
(
x
)的定义域为〔－1，＋∞〕、
1
求导数，得
f
′(
x
)＝
1＋
x
－
A、

11
由，得
f
′(－
2
)＝1，即
1
－
a
＝1，∴
a
＝1、
1＋(－
2
)
1－
x
如今
f
(
x
)＝ln(1＋
x< br>)－
x
，
f
′(
x
)＝
1＋
x－1＝
1＋
x
，
当－1＜
x
＜0时，
f′(
x
)＞0；当
x
＞0时，
f
′(
x
)＜0、
∴当
x
＝0时，
f
(
x
)取得极大值 ，该极大值即为最大值，
∴
f
(
x
)
max
＝< br>f
(0)＝0、……………………………………………………………〔4
分〕

〔Ⅱ〕法〔一〕：由〔Ⅰ〕，得ln(1＋
x
)－
x
≤0，
即ln(1＋
x
)≤
x
，当且仅当
x
＝0时，等号成立、
1111
k
＋1
*
令
x
＝
k
〔< br>k
∈N〕，那么
k
＞ln(1＋
k
)，即
k
＞ln
k
，
1
∴
k
＞ln(
k
＋1)－ ln
k
〔
k
＝1，2，…，
n
〕、
将上述
n
个不等式依次相加，得

111
1＋
2< br>＋
3
＋…＋
n
＞(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[l n(
n
＋1)－ln
n
]，
111
∴1＋
2＋
3
＋…＋
n
＞ln(
n
＋1)〔
n
∈N
*
〕、…………………………………〔10分〕
法〔二〕：用数学归纳法证明、
〔1〕当
n
＝1时，左边＝1＝ln
e
，右边＝ln2，∴左边＞右 边，不等式成立、
111
〔2〕假设当
n
＝
k
时，不等式 成立，即1＋
2
＋
3
＋…＋
k
＞ln(
k
＋1)、
11111
那么1＋
2
＋
3
＋…＋
k< br>＋
k
＋1
＞ln(
k
＋1)＋
k
＋1
，
由〔Ⅰ〕，知
x
＞ln(1＋
x
)〔
x
＞－ 1，且
x
≠0〕、
111
k
＋2
令
x
＝
k
＋1
，那么
k
＋1
＞ln(1＋
k
＋1
)＝ln
k
＋1
，
1
k
＋2
∴ln(< br>k
＋1)＋
k
＋1
＞ln(
k
＋1)＋ln
k
＋1
＝ln(
k
＋2)，
1111
∴1＋
2< br>＋
3
＋…＋
k
＋
k
＋1
＞ln(
k
＋2)、
即当
n
＝
k
＋1时，不等式也成立、…………… ……………………〔10分〕
依照〔1〕〔2〕，可知不等式对任意
n
∈N
*
都成立、
〔Ⅲ〕∵
f
(0)＝0，
g
(0)＝
b
，假设
f< br>(
x
)≤
g
(
x
)恒成立，那么
b
≥0、
由〔Ⅰ〕，知
f
(
x
)
max
＝
f
(0)＝0、
〔1〕当
b
＝0时，
g
(
x)＝0，如今
f
(
x
)≤
g
(
x
)恒 成立；
〔2〕当
b
＞0时，
g
′(
x
)＝
b
(
e
x
－1)，
当
x
∈〔－1，0〕时，< br>g
′(
x
)＜0，
g
(
x
)单调递减； < br>当
x
∈〔0，＋∞〕时，
g
′(
x
)＞0，
g
(
x
)单调递增、
∴
g
(
x
)在
x
＝0处取得极小值，即为最小值，
∴
g
(
x
)
min
＝
g
(0)＝
b
＞0≥
f
(
x
)，即
f
(
x< br>)≤
g
(
x
)恒成立、
综合〔1〕〔2〕可知，实数
b
的取值范围为[0，＋∞〕、………………〔14分〕