老师我想对你说500-七月的天山教学设计

多面体外接球半径内
切球半径常见几种求
法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同 一个球面上，那么称这个多面体是球的
内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问 题，是立体几
何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用
多 面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素
与球的半径之间的关系，而多 面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关
重要的作用.
公式法
例1 一个 六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱
9
的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球
8
的体积为 .
6x3,
1


x,

2
解 设正六棱柱的底面边长为
x
，高为
h
，则有

9



3
2
xh,

6
4

h3．

8
∴正六棱柱的底面圆的半径
r
半径
Rr
2
d
2
1
.
V
球

4

.
3
3
1
，球心到底面的距离
d
.∴外接球的
2
2
小结 本题是运用公式
R
2
r
2
d
2
求球的半径的，该公式是求球的半径的
常用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则
这个球的表面积是
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


解 设正四棱柱的底面边长为
x
，外接球的半径为
R
，则有
4x
2
16
，解得
x2
.

∴
2R22
2
2
4
2
26,　 　R6
.∴这个球的 表面积是
4

R
2
24

.
选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一
性质来求解的.
补形法
例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表
面积是 .
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补
成一个棱长为
3
的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为
R< br>，则有

2R


故其外接球的表面积
S4

R
2
9

.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条 侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c
，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方 体的体对角线的
长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
R
，则有
2

333
222
9
.∴
R
2

9
.
4
2Ra
2
b
2
c
2
.
寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥
SABCD
的底面边长和各侧棱长 都为
2
，点
S、A、B、C、D
都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为
O
1
，外接球的球心为
O
，
D
S
C
O
1
B
如图3所示.∴由球的截面的性 质，可得
OO
1
平面ABCD
.
又
SO
1平面ABCD
，∴球心
O
必在
SO
1
所在的直线上.
A
图3
∴
ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半 径就是外接球
的半径.
在
ASC
中，由
SASC2，AC 2
，得
SA
2
SC
2
AC
2
.
∴
ASC是以AC为斜边的Rt
.

AC4

.

1
是外接圆的半径，也是外 接球的半径.故
V
球

23
小结 根据题意，我们可以选择最佳角 度找出含有正棱锥特征元素的外接
球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提 供的这种
思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球
的一个轴 截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转
化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
∴
例5 在矩形
ABCD
中，
AB4 ,BC3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直
二面角BACD
，则四面体
ABCD
的外接球的体积为
A.
125125125

B.

C.


1296
D
C
B
125

D.
3
解 设矩形对角线的交点为
O
，则由矩形对角线互相平
分， 可知
OAOBOCOD
.∴点
O
到四面体的四个顶点
A
O
图4
A、B、C、D
的距离相等，即点
O
为四面体的外接球的球 心，如图2所示.∴外
接球的半径
ROA
54125

.选C. .故
V
球


R
3

236
出现 多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥
ABC D
中，
AD面ABC
，
BAC120

，
A BADAC2
，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系

A(0，0，0)

B(2，0，0)

D(0，0，2)

0)
由平面知识得 C(1，3，
z
D
A
C
y
设球心坐标为
O( x,y,z)
则
AOBOCODO
,由空间两点间距离公式知
Bx
x
2
y
2
z
2
(x2)
2
y
2
z
2

x
2
 y
2
z
2
x
2
y
2
(z2)< br>2

x
2
y
2
z
2
(x1 )
2
(y3)
2
z
2

解得
x1y
3
3
z
1

所以半径 为
R1
2
（
3
22
21

）1< br>33
222
【结论】：空间两点间距离公式：
PQ(x
1
 x
2
)(y
1
y
2
)(z
1
z< br>2
)

四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为
a
时，它的外接球半径为
内切球的半径
正方体的内切球：
设正方体的棱长为
a
，求（1）内切球半径；（2）外接 球半径；（3）与棱
相切的球半径。
（1）截面图为正方形
EFGH
的内切圆，得
R
a
；
2
6
a
。
4
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的 各棱相切，切点为各棱的中
点，如图4作截面图，圆
O
为正方形
EFGH的外接圆，易得
R

2
a
。
2
（3） 正方 体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面
AA
1
作截面图得，圆
O
为矩形
AA
1
C
1
C
的外接圆，易得< br>图3 图4
图5

RA
1
O
3
a
。
2
构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下
底面中心连线的中点处，由 球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便
可得球半径。
例题：已知底面边长为
a
正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的六 个顶点在球
O
1
上，又知球
O
2
与此正三棱柱的5个面都相 切，求球
O
1
与球
O
2
的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心O
1
、
O
2
是重合的，过正三棱柱的一条侧棱
AA1
和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边
长为
a
，则
R
2

3
a
，正三棱柱的高为
6
h2R
2

3
a
，由
RtA
1
D
1
O
中，得
3
222
图6

3

3

3

5
2

R
2
2




a
2
，
R
1

5
a

R
1


aaa

3

3

6

12
12

S
1
:S
2
R
1
:R
2
5:1，
V
1
:V
2
55:1

22
二 棱锥的内切、外接球问题
4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、
线、面关系解之。
解： 如图1所示，设点
O
是内切球的球心，正四面体棱长为
a
．由图形的对称性知 ，点
O
也是外接球的球心．设内切球半径为
r
，外接球半径为
R．
图1


3

6
2
222

r
2
，得
Ra
，得
a
在
R tBEO
中，
BOBEEO
，即
R


3

4

2
R3r

【点评】由于正四面体本身 的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是
重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为高)，且外接球的半径
间的关系
多面体的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为：3VS
高为h，各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h
h
(
h
为正四面体的
4
3h
，从而可以通过截面图中
RtOBE
建立棱长与半径之
4