(经典)高考球的内切和外接常考类型全归纳
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多面体与球的内切和外接常见类型归纳
在平常教学中
，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，
空间想象能力的好教材。可是学生在两个几
何体的组合后，往往感到无从下手。
针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类
如下：
一．正四面体与球
如图所示，设正四面体的棱长为a，r为内切球
的半径，
R为外接球的半径。则高SE=
高SD=
3
4
2
3
S
a,斜
F
O
A
D
E
C
B
a，OE=r=SE-SO，又
SD=BD,BD=SE-OE,则在
直角O
EB中，OE
2
EB
2
BD
2
(SEOE)
2
r=
66
a
。R=SO=OB=
a
124
特征分析：
1．
由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同
一个。
2．
R=3r. r=
6
a
12
R=
6
a
。此结论可以记忆。
4
例题一。1
、一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为（
）
分析：借助结论，R=
66
a
=
44
2
=3
,所以
2
S=4
R
2
=3
。
2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）
分析：借助R=3r，答案为9：1。
1
二、特殊三棱锥与球
四个面都是直角三角形的三棱锥。
SA
面ABC,ABC为直角三角形，BCAB
因为SA
AC，SB
BC，球心落在SC
的中点处。所以R=
SC
2
S
S
O
O
C
。
C
A
A
三．正方体与球。
1．正方体的外接球
B
B
即正方体的8个定点都在球面上。
关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面。设正
A
O
B
方体的边长为a，则AB=
2
a，BD=2R，AD=a，
R=
3
a。
2
D C
2．
正方体的内切球。
D
C
（1）与正方体的各面相
切。如图：ABCD为正方
体的平行侧面的正方形。
R=
（2）与正方体的各棱相切。
如图：大圆是正方形ABCD的外接圆。AB=CD=a，
R=
2
2
A
B
A B
a
2
a。
D
C
3．
在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三
2
条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，
再求解。
例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是
解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=
3
23
，S=12
<
br>。
2
2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积
解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==
V=
2
3
2
2
1==
2
2
3．将棱长为1
的正方体削成体积最大的球，则球的体积为
解析：削成体积最大，即要求球是正方体的
内切球，与正方体的俄各面都相切。
14
R=，V=
。
2
3
4．P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1
，
则球的体积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成
正方体，则球是正方体的外接球，
所以R=
3
，V=
3
。
22
四、正棱柱与球
1．正三棱柱外接球。
如图所示：过A点作AD垂
直BC,D为三角形ABC的
中心，D
1
同样得到。则球心O必落在DD
1<
br>的中点上。
利用三角形OAD为直角三角形，OA=R,可求出R.
A
O
A1
D1
B1
C1
C
D
B
2.正四棱柱外接球。
道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，
3
利用勾股定理求得。
例题：1。已知一个半径为21
的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则
这一正三棱柱的体积是
解析：如上图，OA=
21
,OD=，AD=
a
2
3
a
，可求
3
a＝6，V=54
3
.
2. 正四棱柱AB
CD-A
1
B
1
C
1
D
1
的各个顶点都在
半径为R
的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为
解析：截面如
图：ABCD为正四棱柱的体对角面OD=R，
设AD=a，底面正方形的边长为b，则有DC=
2
b，则
R
2
=（a2）
2
+（
2
b2
）
2
，S=4ba
2
a
2
2b
2<
br>
=
42R
2
。
D
A
B
O
C
五、长方体与球
1．长方体的外接球。
截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与
长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。
2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三
D
A
B
O
C
棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，
它的外接球可把三棱锥补形成
长方体的外接球，再
求解。
例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面
积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，
所以R=
52
，S=50
。
2
4