C．
mn
，
m

，
n

D．< br>mn
，
n

，
m




（11）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）．
A．6个 B．12个 C．18个 D．30个
626
（12）设
(12 x)a
0
a
1
xa
2
xa
6
x
，则
|a
0
||a
1
||a
6
|
的值为（ ）．
A．1 B．64 C．243 D．729
二、填空题（每小题4分，共16分）
（13）5个不同的小球放入4 个不同的盒子中，每盒中至少放一个球，共有________种不同的放法（用
数字作答）．
（14）一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长是
15
，则其体积为________．
4
，他射击3次，恰有1次未击中目标的概率为________．
5
（16）在等边△ABC中，AD是BC边上的高，将△ABC沿AD折成60°的二面角
B'AD C
，则
cosB'AC
等于________．
（15）一名射手击中目标的概率为
三、解答题
（17）（10分）一袋中有8个白球， 4个红球，另一袋中有9个白球，3个红球，从每袋中任取一球，求取得
颜色相同的球的概率是多少？












（18）（12分），在正方体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中，EF是对角线
A
1
D
和
B
1
D
1
的公垂线，求证：
EFAC
1
．

（19）（12分）已知
(
3
1
5
3
3
)
的展开式中的常数项，求
a)< br>n
展开式的各项系数之和等于
(4b
5b
a
(
3< br>3
n
a)
展开式中
a
1
项的二项式系数．
a











（20）（12分）如图，二面角
ABCD
为60°，ABAC13
，
BDCD20
，
BC24
．求AD的
长．





（21）（14分）如图，已知
A
1
B
1
C
1
ABC
是正三棱柱，D是 AC中点．
（Ⅰ）证明：
AB
1

平面
DBC
1
；
（Ⅱ）假设
AB
1
BC
1
，
BC2
，求线段
AB
1
在侧面
B
1
BCC
1
上 的射影长．

（22）（14分）如图，在正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，E、 F分别是
BB
1
、CD的中点．

（Ⅰ）证明：
ADD
1
F
；
（Ⅱ）求AE与
D
1
F
所成的角；
（Ⅲ）证明：平面
AED
平面
A
1
FD
1
； < br>（Ⅳ）设
AA
1
2
，求三棱锥
EAA
1
F
的体积
V
EAA
1
F
．

参考答案
一、选择题
024nn15
（1）C．
C
n
C
n
C
n
C
n
2322
，
n15< br>．
（2）C．当异面直线垂直时，


（3）B．甲是真命题．
π
．
2
11111
(1)(1)


．
22222
m(m1)(m2)(m3)
（5）B．
m(m1)(m2)6

，
m7
．
4

3

2

1
（6）D．在底面A BC内作
ODAB
，连结SD、SE、SF．由三垂线定理得
SDAB
，
OEBC
，
OFCA
，
SEBC
，
SFC A
，∠SDO、∠SEO、∠SFO是各侧面与底面所成的二面角．因为三个角相等，则
OD OEOF
，∴ O是△ABC的内心．
（4）A．
P
（7）C ．设三个球的半径分别为r，2r，3r，最大球的表面积
S
大
4π(3r)36 πr
，两个小球的表面
积之和
S4πr4π(2r)4πr16πr20π r
．
（8）D．在平面
A
1
B
1
C
1
D
1
上作
A
1
ED
1
C
1< br>，连结EC．因为平面
DCC
1
D
1

平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，则
AE< br>平面
DCC
1
D
1
，故
A
1
CE
为
A
1
C
与平面
DCC
1
D
1< br>所成的角．在
ΔA
1
ED
1
中，
A
1
D
1

2
，
A
1
D
1
E< br>60°，
则
AE
22
3
，连结AC，
AC23< br>，
A
1
CAA
1
AC4
，
sinA
1
CE
22222
22
AE3
．

A
1
C4
（9）D．4幅油画全排列有
A
4
种方法，国画全排列，有
A
5
种方法，将
这两类画看作两张画，排列 在水彩画的左右位置，有
A
2
种方法，根据分步
245
计数原理可得
A
2

A
4

A
5
．
4
5
2
（10）C．由
mn
，
4
（11）B．
C
6
312
．
6
（12）D．令< br>x1
，则
a
0
a
1
a
2
 a
3
a
4
a
5
a
6
(12) 729
．
35
1
(2)
3
0
，
a< br>5
C
6
(2)
5
0
，同理
a
0
0
，
a
2
0
，
a
4
0< br>，
a
6
0
，
a
1
C
6
(2)
1
0
，
a
3
C
6
|a
0
||a
1
||a
6
|a
0
a1
a
2
a
6
729
．
二、填空题
（13）240．将5个球中的任意两个球看作一个球，有
C
5种方法，将这4个“球”投入到4个不同盒子
2

24
4
中 ，有
A
4
种方法，故共有
C
5

A
4240
种方法．
（14）9．底面边长为6，外接圆半径
r
2 3

623
，由侧棱长为
15
，得棱锥的高
32
h15123
，体积
V
（15）
1

(
3
6
2
)39
．
34
48448
2
4
2
．所求概率
PC
3
()

(1)
．
12555125
7
（16）．设△ABC边长为2，由已知
B'DC
＝60°，
B'CB'DDC 1
，
AB2
，
AC2
，
8
2
22
2
1
2
7
cosB'AC
．
2

2

28
三、解答题
4182

，取出白球的概率为

；从第二个袋中取出一
123123
319 3
个红球的概率为

，取出白球的概率为

．从中各取出一球，得颜 色相同的球的概率为
124124
11237

．
343412
（17）从第一个袋中取出一个红球的概率为
A
1
B
．
AC
1
A
1
D
， （18）连结
BD
、由三垂线定理有
AC
1
BD
，则
AC
1< br>
平面
A
1
DB
．∵
EFB
1
D
1
，
B
1
D
1
BD
，∴
EFBD
．∵
EFA
1
D
，∴
EF
平面
A
1
BD
．∴
EFAC
1
．
（19）对于
(4b
r
2< br>105r
6
3
1
5b
)
5
展开式中，T
r1
C
5
r
(4b)
5r

3
1
r
)C
5
r
(1)
r

4
5r

5b

5

b
．令
3
105r
3
a)
n
展
0
，则
r 2
．得常数项为
T
3
C
5
2
(1)
2

4
3

5
1
2
7
．令a1
，则
(
6
a
nn7
开式各项系数之和为
2
，依题意
22
，∴
5r21
6
n7
．于 是对
(
3
3
7
a)
展开式中
a
3
7r
3
r
T
r1
C()(a)C
7
r
(1)
r

3
7r
a
a
r
7
3
35
．
a
1
项的二项式系数为
C
7
．令
3
5r21
3
a)
7
的展开式中
1
，得
r3
．∴
(
6
a

∴
∵
∴
（20）取BC中点E，连结AE、DE．∴
ABAC
，∴
AEBC
．同理
DEBC
，
∠AED为二面角
ABCD
的平面角，∴ ∠AED＝60°，在RtΔABE中，
AB13
，
BE12
，∴
AE5
．在RtΔDEC中，∵
EC12
，
DC20
，
DE16
．在ΔADE中，∵
AE5
，
DE16
，
AED
60°，
222
∴
AD5162516cos
60°＝201，∴
AD201
．

（21）（Ⅰ）∵
A
1
B
1
C
1
ABC
是正三棱柱，∴ 四边形
B
1
BCC
1
是矩形，连结
B
1
C
交
BC
1
于E，则
B
1
EEC
．连结D E．在△
AB
1
C
中，∵
ADDC
．∴
DEAB
1
，∵
AB
1

平面
DBC< br>1
，
DC


平
面
DBC
1
，∴
AB
1

平面
DBC
1
．
（Ⅱ）作
AFBC
，垂足为F．∵ 面
ABC
面
B
1
BCC
1
．∴
AF
平面
B
1
BCC
1
，连结
B
1
F
，则
B
1
F
是
AB
1
在平面
B< br>1
BCC
1
内的射影．∵
BC
1
AB
1
，∴
BC
1
B
1
F
，∵ 四边形
B
1
BCC
1
是矩形，∴
B
1
BFBCC
1
＝90°，又
FB
1
BC
1
BC
，∴
B
1
BF
∽
BCC
1
．∴
2
B
1
BB
1
FBF

．又F
BCCC
1
B
1
B
222
是正三角形ABC的BC边的中点，∴
B
1
BBF

BC122
，于是
B
1
FB
1
BBF3
，∴
B
1
F3
．

（22）（Ⅰ）∵
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，∴
AD
面
DC
1
．∴
D
1
F


面
DC
1
，∴
ADD
1
F
．
（Ⅱ）取AB中点G，连结
A
1
G
、FG．易证
GFD
1
A
1
是平行四边形．
A
1
GD
1
F
．设
A
1
G
与AE相交于点H，
AHA
1
是AE与
D
1
F
所成
的角．∵ E是
BB
1
的中点，∴ Rt△
A
1
AG
≌Rt△ABE，
GA
1
AGAH
，∴ AHA
1

90°，即AE与
D
1
F
所成的 角为
直角．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
ADD
1
F
，由（Ⅱ ）得
AED
1
F
，∵
ADAEA
，∴
D
1
F
面AED．∵
D
1
F


面
A
1
FD
1
，∴ 面
AED
面
A
1
FD
1
．
（Ⅳ）∵ 体积
V
EAA
1
F
V
FAA
1< br>E
，又
FG
面
ABB
1
A
1
，三 棱锥
FAA
1
E
的高
FGAA
1
2
，面积
11
S
正方形ABB
1
A
1
2
2
2
．
22
114
∴
V
EAA
1
F
S
Δ
AA
1
E
FG22．
333
S
Δ
AA
1
E
