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法向量在立体几何中的应用
查宝才
（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为 直接，
用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，
既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新
的思想方法——向 量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考
题，谈谈其在立体几何有关问题中的 应用。
1 法向量的定义
1.1 定义1 如果一个非零向量
n
与平 面

垂直，则称向量
n
为平面

的法向量。
1.2 定义2 任意一个三元一次方程：
AxByCzD0
，
(ABC

222
0)
都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中
n(A,B,C)
为其一个法向量。
[1]

事实上，设点
P
0
( x
0
,y
0
,z
0
)
是平面

上 的一个定点，
n(A,B,C)
是平面

的法
向量，设点
P(x,y,z)
是平面

上任一点，则总有
P
0
Pn< br>。
∴
P
0
Pn0
， 故
(A,B,C) (xx
0
,yy
0
,zz
0
)0
，
即
A(xx
0
)B(yy
0
)C(zz< br>0
)0
，
∴
AxByCzAx
0
By
0
Cz
0
0
，……①
设
DAx
0
By
0
Cz
0
，
则 ① 式可化为
AxByCzD0
(ABC0)
，即为点P的轨迹方程。
从而，任意一个三元一次方程：
AxByCzD0
(ABC0)
，
都表示一个平面的方程，其法向量为
n(A,B,C)
。
2 法向量在立体几何中的应用
2.1 利用法向量可处理线面角问题
设
222< br>222

为直线
l
与平面

所成的角，
< br>为直线
l
的方向向量
v
与平面

的法向量
n
之
1

间的夹角，则有






2


（图1）或


< br>2


（图2）
v
n
v
α
θ
ω
图1
α
图2
l

l

ω
θ
特别地

0
时，



2
，
l

；



2
n
时，

0
，
l

或
l


例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）
如图3，在直三棱柱< br>ABCA
1
B
1
C
1
中，底面是等腰直角三角形，
ACB90
，
侧棱
AA
1
2
，D，E分别是
CC
1
与
A
1
B
的中点，点E在平面ABD 上的射影是
ABD
的重心G。求
A
1
B
与平面ABD 所成角的大小。
（结果用反三角函数表示）
解 以C为坐标原点，CA所在直线为
x
轴，CB所在直线为

z
C< br>1
D
E
G
C
B
B
1
A
1< br>y
轴，
CC
1
所在直线为
z
轴，建立直角坐标系，
A
设
CACBa
，
x
图3
y
（
则
A（a,0,0 ）
，
B（0,a,0）
，
A
，
D（0,0,1）

1
a,0,2）
∴
E（,
aaaa1aa2
,1）（,,）
，
G（,,）
，
GE
，
BD
，
（0,a,1）
22333663
∵ 点E在平面ABD上的射影是
ABD
的重心G，
∴
GE
平面ABD， ∴
GEBD0
，解得
a2
。
（,
∴
GE
112
,）
，
BA
1

，
（2,2,2）
333
∵
GE
平面ABD， ∴
GE
为平面ABD的一个法向量。
由
cosGE,BA
1

GEBA
1
|GE||BA
1
|

4
3
6
23
3

2

3
2

得
GE,BA
1
arccos
2
，
3
∴
A
1
B
与平面ABD所成的角为

2
arccos
27
，即
arccos
。
3
3
评析 因规定直线与平面所成角

[0，]
，两向 量所成角

[0，

]
，所以用此

2
法向量求出的线面角应满足

|

2


|。
2.2 利用法向量可处理二面角问题
设
n
1
,n< br>2
分别为平面

,

的法向量，二面角

 l

的大小为

，向量
n
1
,n
2
的夹角为

，则有





（ 图4）或



（图5）



< br>α
θ
n
ω
n
α
θ
n
ω
l< br>
β

例2 （2003年，北京卷高考题）
图4
l
图5
β
n
如图6，正三棱 柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长为3，侧棱< br>AA
1

D是CB延长线上一点，且
BDBC
。
求二面角
B
1
ADB
的大小。（略去了该题的①，③问）
解 取BC的中点O，连AO。
由题意 平面
ABC
平面
B CC
1
B
1
，
AOBC
，
A
3
3
，
2
z
A
1
C
O
C
1
y
B
1
∴
AO
平面
BC C
1
B
1
，
B
D
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，
x
图6
则
A（0,0,
33933< br>3）（,3,0）
，
B（,0,0）
，
D（,0,0）
，B
，
1
22222
3

∴
AD（,0,
9
2
333
，
B
1
D
，
BB
1

，
3）（3,3,0）（0,3,0）
222
3
为平面ABD的法向量。
3,0）
2
由题意
BB
1

平面ABD， ∴
BB
1
（0,
设 平面
AB
1
D
的法向量为
n
2
(x,y,z)
，
3

9
x3 z0



2

n
2
AD0

n
2
AD
2
则

， ∴

， ∴

，
3



3 x

n
2
B
1
D0

n
2
B
1
D
3y0
2

3

33
3y

x
n(,1,)
， 即

。 ∴ 不妨设
2
2
22


z3x
由
cosBB
1
,n
2

BB
1
n
2
|BB
1
||n
2
|

3
3
2
3
32
2

1
，
2

得
BB
1
,n
2
60

。 故所求二面角
B
1
ADB
的大小为
60
。
评析 （1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：
“找—— 证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象
能力，但实质不然，向量 法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能
力的培养，体现了教育改革的精神。 （2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取
n
2< br>(
33
1
,1,)
时，会算得
cosBB
1
,n
2

，从而所求二面角为
120

，但
22
2

依题意只为
60
。因为二面角的大小有时为锐角、 直角，有时也为钝角。所以在计算之前
不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等 角”或取“补角”。

z
例3（2002年，上海春季高考题）
O
1
如图7，三棱柱
OABO
1
A
1
B
1
，平面
OBB
1
O
1

平面
OAB
，
A
1
B
1
O
1
OB60

，
AOB90

，且
OBOO
1
2,OA3
，
O
B
y
求二面角
O
1
ABO
的 大小。（略去了该题的②问）
A
图7
4
x

解 以O点为原点，分别以OA，OB所在直线为
x
轴，
y
轴，过O点且与平面AOB
垂直的直线为
z
轴，建立直角坐标系（ 如图7所示），
则
O(0,0,0)
，
O
1
(0,1,3 )
，
A(3,0,0)
，
B(0,2,0)
，
∵
Oz
平面AOB， ∴ 不妨设平面AOB的法向量为
n
1
(0,0,1)
，
设 平面
ABO
1
在此坐标系内的方程为：
xByCzD0
，

3D 0,

由点A，B，
O
1
均在此平面内，得

2BD0,


B3CD0,

解得
B
3
1
，
C
，
D3
，
2
2
31
yz30
，
22
31
,)
，
22
∴ 平面
ABO
1
的方程为：
x
从而平面
ABO
1
的法向量为
n
2
(1,
∴
cosn
1
,n
2< br>
n
1
n
2
|n
1
||n
2
|

2
2
， ∴
n
1
,n
2
arccos
，
4
4
2
，
4
即 二面角
O
1
ABO
的大小为
arccos
评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，
从而直接得到其法向量。

2.3 可利用法向量处理点面距离问题
设
n
为平面

的法向量，A，B分别为平面

内，外的点，则点B到平面
的距离
d
|ABn|
|n|
（如图8）。
n
B
略证：
d|AB||cosAB,n|

图8
|AB||
5
A
ABn
| AB||n|
|
|ABn|
|n|

α

例4 （2003年，全国高考题）
如图9，已知正四棱柱
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
,AB1,AA< br>1
2
，点E为
CC
1
中点，
点F为
BD
1
中点。求点
D
1
到平面BDE的距离。（略去了该题的①问）
z
解 以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，
则
D(0,0,0 )
，
B(1,1,0)
，
E(0,1,1)
，
D
1
(0,0,2)
，
∴
BD(1,1,0)
，
BE (1,0,1)
，
BD
1
(1,1,2)
，
设 平面BDE的法向量为
n(x,y,z)
，
D
1
A
1
F
D
B
1
C
1
E
C
B
y
x
A
则
nBD
，
nBE
， 图9

nBD0
∴

， ∴


nBE0

xy0< br>
xy
， 即 ，


xz0

xz
∴ 不妨设
n(1,1,1)
，则点
D
1
到平面BDE的距离为

d
|BD
1
n|
|n|

2
3

2
3
， 即为所求。
3
例5 （2003年，北京春季高考题）
如图10，正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面边长为
22
，侧棱 长为4，
E，F分别为棱AB，CD的中点，
EFBDG
。
求三棱锥
B
1
EFD
1
的体积V。（略去了该题的①②问）
解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，
则
B
1
(22,22,4)
，
D
1
(0,0,4)
，
z
D
1
A
1
D
G
B
1
C
1
E(22,2,0)
，
F(2,22,0)
，
∴
D
1
E(22,2,4)
，
D
1
F(2,22,4)
，
x
A
E
F
B
C
y
D
1
B
1
(22, 22,0)
， 图10
∴
cosD
1
E,D
1
F
D
1< br>ED
1
F
|D
1
E||D
1
F|

24
2626

12
，
13
6

∴
sinD
1
E,D
1
F
5
，
13
所以
S
D
1
EF

115
|DE||DF|sinDE,DF26265
，
2213
设 平面
D
1
EF
的方程为：
xByCzD0
，将点< br>D
1
,E,F
代入得

4CD0


222BD0
， ∴

222BD0


B1

3

2
，

C
4



D323
2z320
，其法向量为
4
∴ 平面
D
1
EF
的方程为：
xy
n(1,1,
|D
1
B
1
n|
16
3
2)
， ∴点
B
1
到平面
D
1
EF
的距离
d
，

4< br>5
|n|
111616
S
EFD
1
d5 
即为所求。
3353
∴
V
B
1
EFD
1

评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式
d
|Ax
0
By
0
Cz
0
D|
ABC
222
计算得到。
（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异< br>面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。

法向量作为向量家 族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中越来越显示出它
的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广 大师生所青睐和重视。



参考文献：
[1] 王敬庚. 空间解析几何. 北京，北京师范大学出版社，1999.8

作者简介：
查宝才（1978—），男，江苏高邮人，江苏扬州市新华中学二级教师。

7