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高中立体几何证明平行的专题(基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：
(1)通过“平移”。(2)利用三 角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行， 等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中
点．求证：AF∥平面PCE；
P
分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四
边形

F


A
E


C
B

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，A B＝1，BC＝2，CD＝1＋
3
，
过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为A D、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使
得DE⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形
D

E
FD
C

G
F

C
GE

B
AAB


3、已知直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，D, E, F分别为AA
1
, CC
1
, AB的中点，
M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C
1
D⊥BC； （Ⅱ）C
1
D∥平面B
1
FM.
C
1


B
1
A
1
E
分析：连EA，易证C
1< br>EAD是平行四边形，于是MFEA

M
C
1
D
D
B
F
A

4、如图所示, 四棱锥P

ABCD底面是直角梯形,
BAAD,CDAD,
CD=2AB, E为PC的中点,
证明:
EB平面PAD
;
分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知
E
、
F
、
G、
M
分别是四面体的棱
AD
、
CD
、
BD、
BC
的中点，求证：
AM
∥平面
EFG
。
A

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线




6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC
的中点。 求证： PA ∥平面BDE
E
B G
M
F
C
D







7．如图，三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中， D为AC的中点.
求证：AB
1
面BDC
1
；
分析：连B
1
C交BC
1
于点E，易证ED是
△B
1
AC的中位线




8、如图 ，平面
ABEF
平面
ABCD
，四边形
ABEF
与
ABCD
都是直角梯形，

BADFAB90
0
,BC


1
AD
，
BE
2


1
AF
，
G,H
分别为
FA,FD
的中点
2
（Ⅰ）证明：四边形
BCHG
是平行四边形；
（Ⅱ）
C,D,F,E
四点是否共面？为什么？
2

（.3） 利用平行四边形的性质
9．正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中 O为正方形ABCD的中心，M为BB
1
的中点，
求证： D
1
O平面A
1
BC
1
;

分析：连D
1
B
1
交A
1
C
1
于O
1
点，易证四边形OBB
1
O
1

是平行四边形



10、在四棱锥P- ABCD中，AB∥CD，AB=
1
DC，
E为PD中点
.
A
2
E
B
P
D

求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE
是平行四边形



C
11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=
90
，ＥＡ⊥平面Ａ
ＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ =２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．


（I）证法一：
因为EFAB，FGBC，EGAC，
ACB90
，
所以
EGF90,ABC
∽
EFG.

由于AB=2EF，因此，BC=2FC，
连接AF，由于FGBC，
FG
1
BC

2
2< br>1
在
ABCD
中，M是线段AD的中点，则AMBC，且
AMBC< br>
3

因此FGAM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA。
又
FA
平面ABFE，
GM
平面ABFE，所以GM平面AB。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别< br>是SA、BD上的点，且
求证：MN∥平面SDC

分析：过M作MEAD，过N作NFAD
利用相似比易证MNFE是平行四边形




13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和 BF上的点且AM=FN求
证：MN∥平面BEC
C


分析：过M作MGAB，过N作NHAB
利用相似比易证MNHG是平行四边形



D
M
N
B
E
AMBN
=，
SMND

(5)利用面面平行
14、如图，三棱锥
PABC< br>中，
PB
底面
ABC
，
BCA90
，
PB=BC=CA
，
E
为
PC
的中点，
M
为
AB
的中点，点
F
在
PA
上，且
AF2FP
.
（1）求证：
BE
平面
PAC
；
（2）求证：
CM
平面
BEF
；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMNEFB




4
A
F

直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）
一、选择题
1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．
E
，
F< br>，
G
分别是四面体
ABCD
的棱
BC
，
CD
，
DA
的中点，则此四面体中与过
E
，
F
，
G
的截
面平行的棱的条数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3． 直线
a，b,c
及平面

，

， 使
ab
成立的条件是（ ）
A．
a

,b

B．
a

,b

C．
ac,bc
D．
a

,

b

4．若直线m不平行于平面

，且m


，则下列结论成立的是（ ）
A．

内的所有直线与m异面 B．

内不存在与m平行的直线
C．

内存在唯一的直线与m平行 D．

内的直线与m都相交
5．下列命题中，假命题的个数是（ ）
① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平
面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条
直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b
存在唯一一个平面与

平行
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知空间四边形
ABCD
中，
M,N
分 别是
AB,CD
的中点，则下列判断正确的是（ ）
A．
MN
1

ACBC

B．
MN
1

ACBC


2
2
2
C．
MN
1

ACBC

D．
MN
1

ACBC


2
二、填空题
7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心 ，则
四面体的四个面中与MN平行的是________.
8．如下图所示，四个正方体中，
A，B
为正方体的两个顶点，
M，N，P
分别为其所在棱的中点，能得到AB 面MNP的图形的序号的是
①②③④
9．正方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为DD1
中点，则BD
1
和平面ACE位置关系是 ．
5

三、解答题
B
1
C
10.如图，正三棱 柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长是2，侧棱长 是3，D是AC的中点.求证：
平面
A
1
BD
.
C
1


A
1
B
1


C

D

A
B

11.如图，在平行六面 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E， M，N，G分别是AA
1
，CD，CB，CC
1
的
中点， 求证：（1）MNB
1
D
1
；（2）AC
1
平面EB
1
D
1
；（3）平面EB
1
D
1
平面BDG.
参考答案
一、选择题
1．D
【提示】当



l
时，

内有无数多条直线与交线
l
平行，同时这些 直线也与平面

平
行.故A，B，C均是错误的
2．C
【提示】棱AC，BD与平面EFG平行，共2条.
3．C
【提示】
a< br>
,b

,
则
ab
或
a,b
异面 ；所以A错误；
a

,b

,
则
ab
或< br>a,b
异
面或
a,b
相交，所以B错误；
a

,

b,
则
ab
或
a,b
异面，所以D错误 ；
ac,bc
，
则
ab
，
这是公理4，所以C正确.
4．B
【提示】若直线m不平行于平面

，且m


，则直线m于平面

相交，

内不存在与
m平行的直线.
5．B
【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多 条直线
与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线
和同一平面平行或其中一条在平面上.
6. D
【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.
二、填空题
6

7．平面ABC，平面ABD
【提示】连接AM并 延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、
F重合为一点，且该点为CD的 中点E，由
EMEN
1
==得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC
MANB
2
且MN∥平面ABD.
8. ①③
【提示】对于①，面MNP面AB, 故AB面MNP.对于③，MPAB,故AB面MNP,对于②
④，过AB找一个平面与平面MNP相交 ，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB
面MNP.
9．平行
【提示】连接BD交AC于O，连OE，∴OE∥B D
1
，OEC平面ACE，∴B D
1
∥平面ACE.
三、解答题
10.证明：设
AB
1
与
A
1
B
相交于点P，连接PD，则P为
AB
1< br>中点，

D为AC中点，

PD
B
1
C
. 又

PD

平面
A
1
B
D，

B
1
C
平面
A
1
B
D
11.证明：（1）

M、N分别是CD、CB的中点，

MNBD
又

BB
1

DD
1
,

四边形BB
1
D
1< br>D是平行四边形.
所以BDB
1
D
1
.又MNBD，从而MNB
1
D
1

（2）（法1）连A
1
C
1
，A
1
C
1< br>交B
1
D
1
与O点

四边形A
1
B
1
C
1
D
1
为平行四边形，则O点是A
1
C
1
的中点
E是AA
1
的中点，

EO是
AA
1
C
1
的中位线，EOAC
1
.
AC
1

面EB
1
D
1
，EO

面EB
1
D
1
，所以AC
1
面EB
1< br>D
1

（法2）作BB< br>1
中点为H点，连接AH、C
1
H，E、H点为AA
1
、BB
1
中点，
所以EH

C
1
D
1
， 则四边形EHC
1
D
1
是平行四边形，所以ED
1
HC1

又因为EA

B
1
H，则四边形EAHB
1
是平行四边形，所以EB
1
AH
AH

HC
1
=H，

面AHC
1
面EB
1
D
1
.而AC
1

面AHC
1
，所以AC
1
面EB< br>1
D
1

（3）因为EA

B
1
H， 则四边形EAHB
1
是平行四边形，所以EB
1
AH
因为AD
HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DGAH，所以EB
1
DG
又

BB
1

DD
1
,

四边形 BB
1
D
1
D是平行四边形. 所以BDB
1
D
1
.
7

B D

DG=G，

面EB
1
D
1
面BDG
8