职业教育法-企业年会主题口号

立体几何中二面角求法

（一）、二面角定义的回顾：
从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的
平面角来衡量的。而二面角 的平面角是指在二面角

l

的棱上任取一点O，分别在两个
半 平面内作射线
AOl,BOl
，则
AOB
为二面角

l

的平面角。






A
B
O
l

O

B


A
1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。
例1、 如图,已知二面角α-а- β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。
∵PA⊥α, аα ∴PA⊥а
A
P
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
O
又∵OA平面PAB ∴а⊥OA
同理а⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,.
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°
2、 三垂线定理（逆定理）法
B
由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。
例2：如图,ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
是长方体,侧棱A A
1
长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求
面C
1
DE与面CDE所成二面角的正切值.
D
1

解：在长方体ABCD—ABCD中
1111
C
1
过点C
1
，作C
1
ODE，连结CO
A
1

D
由三垂线定理可得：
CODE
B
1

C
O
E
B
C
1
OC为二面角C
1
DEC的 平面角
又ABCD是边长为2的正方形
A

 CDCE=1, DE=
5

11
在RtCDE中，S
CDE
CDCEDECO
22
CO
25
5
又 CC
1
1
3、找（作）公垂面法
25

C
1
OCargtan
5
tanC
1
OC
255
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交
线所成 的角，就是二面角的平面角。
例5、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA， 求平面PAB与平面
PCD所成的二面角的大小。
解: ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． P
又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD． A D
而CD平面PCD， B C
所以 平面PCD⊥平面PAD． 同理可证 平面PAB⊥平面PAD．
因为 平面PCD ∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面
角的棱均垂直，即∠ APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．

5、平移或延长（展）线（面）法
将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。
例3、 正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分
别是4和2，求平 面ABC与α所成的角的正弦值。
解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE
∵E、F是B、C射影 ∴BE丄α；
∵CF丄α ∴BE∥CF 又CF：BE=
1
， B
2
∴C是BD的中点 ∴BC=DC， C
∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，
又∠ACB+∠ACD=180° ， E F D
∴∠ACD=120°又AC=DC ，

A



∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，
∴∠BAD=90°，∴BA丄AD ，
又∵AE是AB在平面α上的射影，
∴AE⊥AD 又 BA⊥AD ，平面ABC∩平面α=A，
∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，
∴BE⊥平面α，∴ BE⊥AE ， ∴ΔABC是 RtΔ
2
2
Sin∠BAE=BE：AB=
5
， 即平面ABC与α所成角的正弦值为。
5
6、射影公式
由公式S
射影=S
斜面
cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从
图中 找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
例4、如图，设M为正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱CC
1
的中点，求平面BMD与底面
ABCD所成的二面角的大小。
解：∵D
1
D⊥面ABCD，C
1
C⊥面ABCD，∴ ∆BMD
1
在底面上的射影为∆BDC，
1
2
设正方体的棱长a， 则S
∆BCD
=a，BD
1
=
3
a
2
A
1

D
H
D
1

C
1

B
1

M
C
所以∴M H=
26
2
a，S
∆
BMD1
=
a
24
6

3
A
B
由S
∆
B DC
=S
∆
BMD1
cosθ得θ=arccos
7、化归为分别垂 直于二面角的两个面的两条直线所成的角
例6、在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E、F分别在BB
1
、DD1
上，且AE⊥A
1
B，AF
⊥A
1
D．
(1) 求证:A
1
C⊥平面AEF；
若规定两个平面所成的角是这两个平 面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间
中有定理：
“若两条直线分别垂直于两个平 面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的

大小相等．”
（2）、试根 据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA
1
＝5时，求平面AEF与平面D
1
B
1
BD
所成角的大小的余弦值

解：(1)∵A
1
B⊥BC 即A
1
B是A
1
C的射影
D

1




C
1

B
1

E
又∵A
1
B⊥AE ∴A
1
C⊥AE
A

1



同理 A
1
C⊥AF
C
D
F
∴A
1
C⊥平面AEF
A G
B
(2) 的解法如下： 过C作BD的垂线交AB于G．
又D
1
D⊥CG，故CG⊥平面BB
1
D
1
D．
而A
1
C⊥平面AEF((1)已证)，设CG与A
1
C所成的角为 α，则α即为平面BB
1
D
1
D
与平面AEF所成的角．
Sin∠BCG＝Sin∠ABD＝
415
3
，
，
Cos∠BCG＝ ，GC＝
5
5
4
BG=
2
97
，AG=
44
22
A
1
G=A
1
A+AG=
449
2222
，A
1
C=AB+AD+AA
1
=50
16
122

25
在∆A
1
CG中，由余弦定理得 Cos∠A
1
CG=
练习题：
一、定义法：
例1:如图1，设 正方形ABCD-A
1
B
1
C
1
D
！
中， E为CC
1
中点，求截面A
1
BD和EBD
所成二面角的度数。 < br>本题可用定义法直接作出两截面A
1
BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交 于
O，连EO，A
1
O，由EB=ED，A
1
B=A
1D即知EO⊥⊥BD，A
1
O⊥BD，故∠EOA
1
为
所求二面 角的平面角。

二、垂面法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且
分别交AC、 VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。
本题应用垂线法作出二面 角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE
⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面 BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故
VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。

三、垂线法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AB、C
1
D
1的中点。
（1）求证：A
1
、E、C、F四点共面；
（2）求二面角A
1
-EC-D的大小。
（1）要证A
1
、E、C、F四点共面，可证：A、FEC，取DC中点H，连AH、FH，则
AHEC，又FHA1
A。故A
1
FAH，即A
1
FEC，从而A、E、C、F四点 共面。
（2）要求二面角A
1
-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可 用三垂线
法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由三垂线定理知FM⊥EC。
所以∠HMF为所求二面角A
1
-EC-D的平面角。

四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A' B'C'各棱长均为α，D为CC
1
中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
分析与解 由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延
长A'D交AC延长线于 F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。
因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE
⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠ DEC为所求二面角的平面角。

五、射影法
例5
如图12，设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为AA
1
上点，A
1
M:MA=3:1 ,求截
面B
1
D
1
M与底面ABCD所成二面角。
本题应 用“射影法”求截面B
1
D
1
M与底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。
因是正方体，所以B
1
、D
1
、 M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.