2020年浙江省杭州市西湖区学军中学高二(下)期中数学试卷

玛丽莲梦兔
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2020年08月16日 06:15
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期中数学试卷


题号
得分






总分


一、选择题(本大题共
10
小题,共
40.0
分)
1.

函数
f

x

=cosx

sinx+1
)的导数是( )
A.
cos2x+sinx

B.
cos2x-sinx

C.
cos2x+cosx

D.
cos2x-cosx

2.

若函数
y=x
3
+x
2
+mx+1

R
上的单调函数,则实数
m
的取值范围是( )
A.
(,
+∞

B.

-∞

]

-=
C.
[

+∞

+
D.

-∞
,)
3.

用数学归纳法证明
1-+-+

++

+

n

N
*
),则从“
n=k

n=k+1
”,左边所要添加的项是( )
A.
C.
-


B.
D.
-
-


4.

自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角( )
A.
相等
B.
互补
C.
相等或互补
D.
不能确定
5.

抛物线
y
2
=4x
的焦 点为
F
,弦
AB

F
,原点为
O
,抛物线 准线与
x
轴交于点
C


OFA=135°
,则< br>tan

ACB
等于( )
A.

B.

C.

D.

6.

已知点
E

F
分别是正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AB

AA
1

N
分别是线段
D
1
E

C
1
F< br>上的点,中点,点
M
,则与平面
ABCD
垂直的直线
MN有( )
A.
0

B.
1

C.
2

D.
无数条

7.


如图,矩形
ABCD
中,
AB=3

BC=4
,沿对角线
BD
将△
ABD
折起,使
A
点在平面
BCD
内的射影落在
BC
边上,若二面角
C-AB-D
的平面角大小为
θ
,则
sinθ
的值等于( )
A.

B.

C.
D.


8.

三边长均为正整数,且最大边长为
11
的三角形的个数为()
A.
25

B.
26

C.
36

D.
37

第1页,共16页


9.

已知
P-ABC
是正四面体(所有棱长都相等 的四面体),
E

PA
中点,
F

BC

靠近点
B
的三等分点,设
EF

PA

P B

PC
所成角分别为
α

β

γ
,则( )

A.
β

γ

α

B.
γ

β

α

C.
α

β

γ

D.
α

γ

β

的最大
10.
< br>已知不等式
e
x
-4x+2≥ax+b

a

b

R
,且
a≠-4
)对任意实数
x
恒成立,则
值为( )
A.
2-2ln 2

B.
-1-ln 2

C.
-2ln 2

二、填空题(本大题共
7
小题,共
42.0
分)
11.


i
为虚数单位,则复数的虚部为
______< br>,模为
______

D.
-ln 2

12.

过原点作曲线
y=e
x
的切线,则切点的坐标为< br>______
,切线的斜率为
______

13.
正四面体
ABCD
的棱长为
2
,棱
AB
∥平面
α
,则正四面体上的所有点在平面
α
内的
射影构成的图形面积的最小值是______
,最大值是
______



14.

已知双曲线
C

=1

t

0
)的其中一条渐近线经过点(
1

1
),则该双曲线 的
右顶点的坐标为
______
,渐近线方程为
______

15.

如图,正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
(底面是正三角形,侧棱垂直
底面)的各条棱长均相等,
D

AA
1
的中点.
M

N
分别

B B
1

CC
1
上的动点(含端点),且满足
BM=C
1
N


M

N
运动时,下列结论中正确的是
______
(填上所有
正确命题的序号).
①平面
DMN
⊥平面
BCC
1
B
1

②三棱锥
A
1
-DMN
的体积为定值;
③△
DMN
可能为直角三角形;
④平面
DMN
与平面
ABC
所成的锐二面角范围为





第2页,共16页


16.

一条街道上有
10
盏路灯,将路灯依次排列 并编号
1

10
.有关部门要求晚上这
10
盏路灯中相邻的 两盏灯不能全开,且这
10
盏路灯中至少打开两盏路灯.则符合要
求的开法总数是______

17.

已知函数
f

x< br>)
=
的图象恰好经过三个象限,则实数
a
的取值
范围是
______

三、解答题(本大题共
5
小题,共
60.0
分)
18.


0

1

2

3

4
这五个数字组成无重复数字的自然数.

1
)在组成的五位数中,所有奇数的个数有多少?

2
)在组成的五位数中,数字
1

3
相邻的个数有多少?

3
)在组成的五位数中,若从小到大排列,
30124
排第几个?







19.

已知函数
f

x

=

-1

lnx


1
)求
f

x
)的图象在点
x=1
处的切线方程;

2
)求
f

x
)在区间
[]
上的取值范围.







20.

已知四棱锥
P-ABCD
的底面ABCD
是菱形,∠
ADC=120°

AD
的中点
M
是顶点
P
的底面
ABCD
的射影,
N

P C

中点.
(Ⅰ)求证:平面
MPB
⊥平面
PBC

(Ⅱ)若
MP=MC
,求直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦
值.











第3页,共16页


21.

已知椭圆
C

+=1

a

b

0
)的离心 率
e=
,抛物线
E

y
2
=4x
的焦点恰 好是椭

C
的右焦点
F


1
)求椭圆
C
的标准方程;

2
)过 点
F
作两条斜率都存在的直线
l
1

l
2

l
1
交椭圆
C
于点
A

B
,< br>l
2
交椭圆
C
于点
G

H
,若|AF|

|AH|-|FH|

|AH|+|FH|
的等比中 项,求
|AF|

|FB|+|GF|

|FH|
的最小值.







22.

函数.

1
)若
f

x
)是定义域上的单调函数,求
a
的取值范围;

2
)设
值范围.






分别为函数
f

x
)的极大值和极小值,若
s= m-n
,求
s
的取
第4页,共16页



答案和解析

1.
【答案】
B

【解析】解:< br>f
′(
x

=-sinx

sinx+1

+cosx

cosx=cos
2
x-sin
2
x -sinx=cos2x-sinx

故选:
B

进行基本初等函数和积的导数的求导即可.
考查基本初等函数和积的导数的求导公式.
2.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.属于基础题
.
当导数大于
0
是原函数单调递增,当导数小于
0
时原函数单调递减.对函数进行求导,< br>令导函数大于等于
0

R
上恒成立即可.
【解答】
解:若函数
y=x
3
+x
2
+mx+1

R上的单调函数,
只需
y

=3x
2
+2x+m≥0
恒成立,
即△
=4-12m≤0


m≥,
则实数
m
的取值范围是
[

+∞

.
故选
C.
3.
【答案】
D

【解析】解:当< br>n=k
时,等式的左边为
1-+-+

+

n=k+ 1
时,等式的左边为
1-+-+

+-+
-


. 故从“
n=k

n=k+1
”,左边所要添加的项是
故 选:
D

根据式子的结构特征,求出当
n=k
时,等式的左边,再求出
n=k+1
时,等式的左边,
比较可得所求.
本题考查用数学归纳法证明等式,注意式子的结构 特征,以及从
n=k

n=k+1
项的变化.
4.
【答案】
B

【解析】解:设二面角的棱为
l
,自二面角内一点分别
向两个面引垂线,两条交线确定的平面与已知平面的
交线分别为
BD

CD


l
⊥平面
ABDC
, ∠
BDC
为二面角的平面角,由四边
形的内角和为
360°
,可知∠
BDC
与∠
BAC
互补
∴自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角
与二面角的平面角互补
故选:
B

设二面角的棱为
l
,自二面角内一点分别向两 个面引垂
线,两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为
BD

CD
,则
l
⊥平面
ABDC
,∠
BDC
第5页,共16页


为二面角的平面角,由四边形的内角和为
360°
,可得结论.
本题考查二面角的平面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
5.
【答案】
D

【解析】解:∵抛物线方程为
y
2
=2px=4x

p=2
∵焦点
F
坐标为(,
0
),准线
l
方程为
x=-


F
点坐标为(
1

0
),准 线
l
方程
x=-1

C
点坐标为(
-1

0

∵∠
OFA=135°
∴直线
AB
的斜率为
1

∵直线
AB
经过点
F

1

0
) ∴直线
AB
方程为
y=x-1

又∵点
A
与点
B
在抛物线上,
∴两方程联立
解得
A

3+2

=

4-2

co s

ACB=

2+2

2-2
,得到
x
2
-6x+1=0

B

3-2

2-2

) ),=

4+2

2+2
=

sin
∠< br>ACB=

tan

ACB=2

故选:
D

AB
方程
y=x-1
,与抛物线方程
y
2
=4x
联立,解得
A

B
的坐标,即 可求出
tan

ACB

本题考查直线与抛物线的位置关系,考查 同角三角函数基本关系式,正确求出
A

B

坐标是关键.
6.
【答案】
B

【解析】解:设正方体
ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2


C
为原点建立空间直角坐标系,

D
1

2

0

2
),
E

1

2

0
),
C
1

0
0

2
),
F

2

2
,< br>1
),




=t
=

-1

2

-2
),
=

2

2

-1
),
,则< br>M

2-λ



2-2λ
),
,则
N

2t

2t

2-t
), < br>=

2t-2+λ

2t-2λ

2λ-t
),
∵直线
MN
与平面
ABCD
垂直,
∴,解得
λ=t=

∵方程组只有唯一的一组解,
∴与平面
ABCD
垂直的直线
MN

1
条.
故选:
B

设正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
,以
C
为 原点建立空间直角坐标系,利用向量法求
出与平面
ABCD
垂直的直线
MN< br>只有
1
条.
本题考查空间直线与平面的位置关系,主要是直线与平面平行的判 断和面面平行的判定
第6页,共16页


与性质,考查空间想象能力和简单推理能力.
7.
【答案】
A

【解析】【分析】
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中求出二面角的平面角是解答本题的关
键. < br>根据已知中矩形
ABCD
中,
AB=3

BC=4
, 沿对角线
BD
将△
ABD
折起,使
A
点在平面
BC D
内的射影落在
BC
边上,若二面角
C-AB-D
的平面角大小为< br>θ
,我们可以得到∠
CAD
是二面角
C-AB-D
的平面角, 解三角形
CAD
即可得到答案.
【解答】
解:由
AO
⊥ 平面
BCD

CD
在平面
BCD
内,

AO

CD

CD

BC
,且
AO

BC

O
,故
CD
⊥平面ABC

AB
在平面
ABC
内,故
CD
⊥< br>AB


DA

AB
,且
CD

DA

D
,故
AB
⊥平面
ACD

AC
在平面
ACD
内,故
AB

AC


AB

AD
故∠
CAD
是二面角
C-AB-D
的平面角
在△
CAD
中,由
CD
⊥平面
ABC

AC
在平面ABC
内,可知
CD

AC

CD =3

AD=4


sin

CAD==

故选:
A



8.
【答案】
C

【解析】解:由题意知本题是一个分类计数问题,
另外两边长用
x

y
表示,且不妨设
1≤x≤y≤11
,要构成三角形,必须
x+ y≥12


y
取值
11
时,
x=1

2

3
,…,
11
,可有
11
个三角形;

y
取值
10
时,
x=2

3
, …,
10
,可有
9
个三角形;

y
取值分别为< br>9

8

7

6
时,
x
取 值个数分别是
7

5

3

1

∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为
11+9+7+5+3+1=36

故选
C

本题是一个分类计数问题,最长的边长度是
11
,另外两边长用
x

y
表示,要构成三角
形必须
x+y≥1 2
,列举出当
y
分别从
11

10

9< br>,
8

7

6
时,对应的三角形的个数,根
据分类计数原理得到结果.
本题考查分类计数原理,考查组成三角形的条件,考查分类讨论思想的应用 ,是一个比
较简单的综合题目,这种题目出现的几率比较大.
9.
【答案】
D

【解析】【分析】

AC< br>中点
G
,连结
PG
,过
B

BO
⊥ 平面
PAC
,交
PG


O
,在平面
PA C
中过
O

OD

AC
,交
PA

D
,以
O

原点,
OP

x
轴 ,
OD

y
轴,
OB

z
轴,建立空间直 角
坐标系,利用向量法能求出
α

γ

β
本题考查异面直线所成角的大小的判断,考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识,考 查运算求解能力,
考查函数与方程思想,是中档题.
第7页,共16页


【解答】
解:取
AC
中点
G
,连结
PG
,过
B

BO
⊥平面
PAC
,交
P G
于点
O

在平面
PAC
中过
O
OD

AC
,交
PA

D

设正四 面体棱长为
2
,则
OG=
PO==

BO==
=< br>,
=


O
为原点,
OP

x
轴,
OD

y
轴,
OB

z
轴, 建立空间直角坐标系,

P
(,
0

0
),A

-

1

0
),
B
(< br>0

0

),

1

0
),
=

-

0
,),
=

-< br>,
-1

0
),
),
C

-

-1

0
), < br>E
(,,
0
),
F

-

-

=

-

-
,),
=

-< br>∵
EF

PA

PB

PC
所成角 分别为
α

β

γ


cosα=cosβ=
cosγ=
=
=
=
=0
,∴
α=9 0°

=
=



α

γ

β

故选:
D

10.
【答案】
D

【解析】【分析】
不等式化为
e
x
-

a+4< br>)
x+2-b≥0
恒成立,构造函数
f

x

=e
x
-

a+4

x+2-b
,利用导数f


x
)判断
f

x
)的单调性, 求
f

x
)的最值,转化为的不等式,从而求出它的最大
值.
本题考查了不等式恒成立问题,也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题,是
综合题.
【解答】
解:不等式
e
x
-4x+2≥ax+b
化为e
x
-

a+4

x+2-b≥0


f

x

=e
x
-

a+4

x+2-b
,则
f
′(
x

=e
x
-

a+4
),

a

-4
,则
f
′(
x
)>
0
,函数
f

x
)函数单调增,

x→-∞
时,
f

x
→-∞
,不可能恒有
f

x

≥0


a

-4
,由
f
′(
x

=e
x
-

a+4

=0
,得极小值点< br>x=ln

a+4
),

f

ln

a+4
))
=

a+4

-

a+4

ln

a+4

+2-b≥0

b≤

a+4

-

a+4
ln

a+4

+2


≤=1-ln

a+4

-

g

t

=1-lnt-

t=a+4
0


g
′(
t

=-+=
, < br>则当
0

t

2
时,
g
′(
t
)>
0


t

2
时,
g
′(
t
)<
0
,则当
t=2
时,
g

t
)取得极大值,
第8页,共16页



g< br>(
2

=1-ln2-=-ln2

∴的最大值为
-ln2

故选:
D

11.
【答案】
-2

=



【解析】解:∵
∴复数的虚部为
-2
;模为
故答案为:
-2
;.
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数的模求解.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础
题.
12.
【答案】(
1

e

e

【解析】解:设切点为(
m

n
),
y=e
x
的导数为
y

=e
x

即有切线的斜率为
k=e
m

切线的方程为
y-n=e
m

x-m
),
代入原点(
0

0
),可得
n=me
m


n=e
m

解得
m=1

n=e

则切线的斜率为
e

故答案为:(
1

e
);
e

设切点为 (
m

n
),求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程,代
入原点,解方程可得
m=1
,进而得到切线的斜率.
本题考查导数的运用:求切线的斜率,正确确定切点和运用直线方程是解题的关键.
13.
【答案】
2

【解析】解:因为正四面体的对角线互相
垂直,且棱
AB
∥平面
α



CD∥平面
α
,这时的投影面是对角线为
2
的正方形,
此时面积最大,是
2×=2


CD
⊥平面
α
时,射影面的面积最小,
此时构成的三角 形底边是
2
,高是直线
CD

AB
的距离,为,
射影面的面积是
=

∴正四面体上的所有点在平面
α
内的射影构成的图形面积的最小值是,
最大值是
2

故答案为:,
2


C D
∥平面
α
,这时的投影面是对角线为
2
的正方形,此时射影面的面 积最大,当
CD

平面
α
时,射影面的面积最小,由此能求出结果.
本题考查射影构成的图形面积的最值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关
第9页, 共16页


系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
x
14.
【答案】(,
0

y=±

【解析】 解:由题意可得双曲线的渐近线方程为:
x-
双曲线
C

y=0
=1

t

0
)的其中一条渐近线经过点(
1

1
),
可得
t=2

所以双曲线的右顶点的坐标为(
双曲线方程为:

0
),
=1
,渐近线方程为:
y=±x

x
. 故答案为:(,
0
);
y=±
求出双曲线的渐近线方程,代入点的坐标,求出
t,然后求解右顶点的坐标,渐近线方
程.
本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
15.
【答案】①②④

【解析】解:如图,


M

N
分别 在
BB
1

CC
1
上运动时,若满足
BM=C1
N
,则线段
MN
必过正方形
BCC
1
B1
的中心
O
,而
DO
⊥平面
BCC
1
B
1
,∴平面
DMN
⊥平面
BCC
1
B
1
,①正确;

M

N
分别在
BB
1
CC
1
上运动时,△
A
1
DM
的面积不变,
N
到平面
A
1
DM
的距离不变,
∴棱锥
N -A
1
DM
的体积不变,即三棱锥
A
1
-DMN
的 体积为定值,②正确;
若△
DMN
为直角三角形,则必是以∠
MDN
为直角的直角三角形,但
MN
的最大值为
BC
1

而此时
DM

DN
的长大于
BB
1
,∴△
DMN
不可能为直角三角形,③错误;

M

N
分别为
BB
1

CC
1
中点时,平面
DMN
与平面
ABC
所成的角为
0
,当
M

B

合,
N

C
1
重合时,平面
DMN
与平面
AB C
所成的锐二面角最大,为∠
C
1
BC
,等于.
∴平面< br>DMN
与平面
ABC
所成的锐二面角范围为(
0

]
,④正确,
∴正确的是①②④.
故答案为:①②④.

BM= C
1
N
,得线段
MN
必过正方形
BCC
1
B
1
的中心
O
,由
DO
⊥平面
BCC
1< br>B
1
,可得平

DMN
⊥平面
BCC
1B
1

由△
A
1
DM
的面积不变,
N
到平面
A
1
DM
的距离不变,得到三棱锥
A
1< br>-DMN
的体积为定
值;
利用反证法思想说明△
DMN
不可能为直角三角形;
平面
DMN< br>与平面
ABC
平行时所成角为
0
,当
M

B
重合,
N

C
1
重合时,平面
DMN
与平 面
ABC
所成的锐二面角最大.
第10页,共16页


本题 考查了命题的真假判断与应用,考查了棱柱的结构特征,考查了空间想象能力和思
维能力,是中档题.
16.
【答案】
133

【解析】解:根据题意,分
4
种情况讨论:
①,
10
盏路 灯中开
2
盏路灯,相邻的两盏灯不能全开,有
C
9
2
=36
种开法;
②,
10
盏路灯中开
3
盏路灯,相邻的两盏灯不 能全开,有
C
8
3
=56
种开法;
③,
10盏路灯中开
4
盏路灯,相邻的两盏灯不能全开,有
C
7
4
=35
种开法;
④,
10
盏路灯中开
5
盏路灯,相邻的 两盏灯不能全开,有
C
6
5
=6
种开法;
则有
36+56+35+6=133
种符合要求的开法;
故答案为:
133

根据题意,按打开路灯的数目分
4
种 情况讨论,求出每种情况的开法数目,由加法原理
计算即可得答案.
本题考查排列组合的应用,涉及分类加法计数原理,属于基础题.
17.
【答案】


【解析】解:(
1
)当
a

0
时,
f

x
)在(
-∞

0]
上单调递减,又
f

0

=-1
, 故
f

x

的图象经过第二、三象限,

x
0
时,
f

x

=


f
′(
x

=

①若
a≤- 1
,则
f
′(
x
)>
0
恒成立,又当
x→ 0+
时,
f

x

→2


f

x
)的图象在(
0

+∞
)上经过第一象限,符 合题意;
②当
-1

a

0
时,
f′(
x
)>
0

[2

+∞
)上恒成 立,

0

x

2
时,令
f
′ (
x

=0
可得
x=

f

x< br>)在(
0


f
()
=
)上单调递减,在(
-

a+1

+2=2

1-
<,

2
)上单调递增,
)>
0


f< br>(
x
)的图象在(
0

+∞
)上经过第一象限,符合 题意;

2
)当
a=0
时,
f

x)在(
-∞

0
)只经过第三象限,
f

x< br>)>
0
在(
0

+∞
)上恒成立,
f

x
)在(
0

+∞
)上的图象只经过第一 象限,不符合题意;

3
)当
a

0
时,
f

x
)在(
-∞

0
)上单调递增,故
f

x
)在(
-∞

0]
上的图象只经过
第三象限,

f

x
)在(
0

+∞
)上的最小值<
0


0

x

2
时,令
f
′(
x

=0
可得
x=


=2

1-
), <
2
,即
a

11
时,
f

x
)在(
0< br>,
+∞
)上的最小值为
f

)<
0
,解得< br>a

2
,∴
2

a

11
. 令
2

1-

≥2

a≥11
时,则
f

x
)在(
0

2
)上单调递减,
第11页,共16页



x≥2
时,令
f
′ (
x

=0
可得
x=


≤2
,即
11≤a≤13
时,
f

x
)在(
2

+∞
)上单调递增,

f

x
)在(
0

+∞
)上的最小值为
f

2

=8- 2a


8-2a

0
解得
a

4
,故而
11≤a≤13


增,

f
x
)在(
0

+∞
)上的最小值为
f

显然
-

=-


2
,即
a

13
时,
f

x
)在(
2
, )上单调递减,在(,
+∞
)上单调递

0
恒成立,故而
a

13

综上,
a

0

a

2

故答案为:.
分情况讨论
f

x
)的单调性,计算
f

x
)在(
0

+∞
)上的最小值,根据函数 图象经过
的象限得出最小值与
0
的关系,从而得出
a
的范围.
本题考查了函数单调性判断与最值计算,属于中档题.
18.
【答案】解:(
1
)依题意,所有奇数的个数为

2
)数字
1

3
相邻的个数有

3
)比
30124
小的数的个数为:=36
个;
=48
个,
=36
个;
所以在组成的五位数中,若从小到大排列,
30124
排第
49
个.

【解析】(
1
)先排个位,再排首位,其它可以全排列,根据乘法原理即可得到结果;

2
)使用捆绑法结合计数原理计算即可;

3
)计算出 比
30124
小的五位数的个数,即可得到
30124
排第几.
本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数问题,考查间接法,属于中档题.
19.
【答案】解:(
1
)∵函数
f

x

=

-1

lnx



lnx+

-1

=
=0



f

1

=

-1

ln1=0

所以
f

x
)的图象在点x=1
处的切线方程为
y=0



2
)由 (
1
)知
f

x

=
,令
g
x

=lnx+2

1-


y =lnx

y=1-
都是区间(
0

+∞
)上的增 函数,

g

x

=lnx+2

1-
)是(
0

+∞
)上的增函数.

g

1

=0

∴当
x
1
时,
g

x
)>
0
,即
f


x
)>
0
,此时
f

x< br>)在
[

0

x

1
时,
g

x
)<
0
,即
f


x)<
0
,此时
f

x

[
]
递增;
]
递减;
第12页,共16页



f
1

=0

f
()
=

- 1

ln=ln2

f

2

=
()
ln2

-1

ln2


[f

x

]
min
=0

[f
(< br>x

]
max
=max{f

2
),
f
()
}=


f

x
)在区间
[]
的取值范围为
[0
,()
ln2]


【 解析】本题考查函数的切线方程的求法,考查函数在半区间上的取值范围的求法,考
查导数的几何意义、 导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查运算求解能力,
考查函数与方程思想,是中档题.


1
)求出
f

x

=
,利用导数的几何意义能求出
f

x
)的图象在点
x=1
处的
切线方程.

2

f


x

=
.由
y=lnx

y=1-
都是区间(
0< br>,
+∞
)上的增函数,得
g

x

]
的取值范围.
=lnx+2

1-
)是(
0

+∞
)上的增函数.由此能求出
f

x
)在区间
[
20.
【答案】(Ⅰ)证明:在菱形
ABCD
中,设
AB=2a
,< br>M

AD
的中点,
MB
2
=AM
2
+AB
2
-2AM

AB

cos60°=3a
2

MC
2
=DM
2
+DC
2
-2DM< br>•
DC

cos120°=7a
2

又∵
BC
2
=4a
2
,∴
MB
2
+BC
2=MC
2
,∴
MB

BC

又∵
P
在底面
ABCD
的射影
M

AD
的中点,∴
PM
⊥平面
ABCD

又∵
BC
⊂平面
ABC D
,∴
PM

BC


PM∩MB=M

PM

MB
⊂平面
PMB
,∴
BC
⊥平 面
PMB


BC
⊂平面
PBC
,∴平面
MPB
⊥平面
PBC

(Ⅱ)解:过
B

BH

MC
,连接
HN


PM
⊥平面ABCD

BC
⊂平面
ABCD
,∴
BH
⊥< br>PM

又∵
PM

MC
⊂平面
PMC
PM∩MC=M
,∴
BH
⊥平面
PMC


HN
为直线
BN
在平面
PMC
上的射影,
故∠
BNH
为直线
BN
与平面
PMC
所成的角,
在△
MBC
中,

由(Ⅰ)知
BC
⊥平面
PMB

PB
⊂平面
PMB
,∴
PB

B C


∴直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦值为.

【解析】(Ⅰ)证明
BC
⊥平面
PMB
,即可证明:平面
MPB⊥平面
PBC

(Ⅱ)过
B

BH

MC
,连接
HN
,证明∠
BNH
为直线
BN
与平 面
PMC
所成的角,即可
求直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦值.
本题考查线面垂直、面面垂直的证明,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力, 属
于中档题.
21.
【答案】解:(
1
)抛物线
E

y
2
=4x
的焦点为(
1

0
),
可得
F

1

0
),即
c=1

第13页,共16页


由离心率
e=
,即
=

解得
a=2

b==

则椭圆方程为
+=1


2
)若
|AF|

|AH|-|FH|

|AH|+|FH|
的等比中项,
可得
|AF|
2
=

|AH|-|FH|
)(
|AH| +|FH|

=|AH|
2
-|FH|
2


AF

FH


l
1
的方程 为:
y=k

x-1
),
l
2
的方程为:
y=-

x-1
),

A

x
1

y
1
),
B

x
2

y2
),
G

x
3

y
3
),
H

x
4

y
4
).

可得
x
1
+x
2
=
同理
x
3
+ x
4
=
消去
y
得:(
3+4k
2

x
2
-8k
2
x+4k
2
-12=0


x
1
x
2
=

x
3
x
4
=



|AF|

|FB|+|FG|

|HF|
=

2-x
1
)•(
2-x
2

+

2-x
3
)•(
2-x
4

=4-

x
1
+x
2

+x
1
x
2
+4-

x
3
+x
4

+x
3
x
4
=8-
=6-3

=6-3

=6-3
=6-3


3k
2
+≥2
+
•< br>-+






=6

1
时,上式取得等号, 当且仅当
k
4
=1
,即
k =±

|AF|

|FB|+|GF|

|FH|
的最小值为.

【解析】本题考查椭圆及抛物线的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考 查韦达定
理,焦半径公式及基本不等式的综合运用,属于难题.

1
)求得 抛物线的焦点可得
c=1
,再由离心率公式可得
a
,进而求得
b的值,求得椭圆
方程的标准方程;
=|AH|
2
-|FH|
2
,(
2
)运用等比数列中项性质可得
|AF|
2
=

|AH|-|FH|
)(
|AH|+|FH|
)即
AF

FH

设直线
l
1

l
2
的方程 ,将直线
l
1

l
2
代入代入椭圆方程,利用韦达定理,表 示出
|AF|

|FB|+|GF|

|FH|=

2-x
1
)•(
2-x
2

+

2-x
3
)•(
2-x
4
),由基本不等式性质可知
第14页,共 16页


3k
2
+
,即
k=±1
时,可得< br>|AF|

|FB|+|FG|

|HF|
的最小值. 22.
【答案】解:(
1
)函数

f
′(
x< br>)
=a+-=

.定义域为(
0

+∞
),
∵函数
f

x
)在定义域(
0

+∞
)内为单调函数,
∴< br>f'

x

≤0

f'

x

≥0
在(
0

+∞
)恒成立,
①当
a=0
时,
f
′(
x

=-

0
在(
0

+∞
)内恒成立,

a=0
满足题意;
②当
a

0
时,设
g

x
=ax
2
-2x+a

x
∈(
0

+ ∞
))
由题意知△
=4-4a
2
≤0

a≤-1

a≥1
又∵
a

0
,∴
a≥1

所以
a
的取值范围为:
a=0

a≥1


2
)由导函数的
ax
2
-2x+a

得△>
0

4-4a
2

0
,即
-1
a

1
且<
a

1
,得<
a

1

此时设
f'

x

= 0
的两根为
x
1

x
2
,(
x
1

x
2
),所以
m=f

x
1
) ,
n=f

x
2
),
因为
x
1
x
2
=1
,所以
x
1

1

x< br>2

由<
a

1
,且
ax
12
-2x
1
+a=0
,得<
x
1

1

所以
s=m-n=ax
1
--2lnx
1
-< br>(
ax
2
--2lnx
2

=ax
1
--2lnx
1
-

-ax
1
+2lnx
1
=2

ax
1
--2lnx
1
),

ax
1
2
-2x
1
+a=0
,得
a=
s=4

-lnx
1

=4

,代入上式 得,
-lnx
1
2
),

x
1
2=t
,所以<
t

1

g

x

=-lnx


s=4g

t
),
g
′(
t

=

0

所以g

x
)在
[

1]
上单调递减,从而
g

1
)<
g

t
)<
g
() ,

0

g

t
)<,所以
0

s



s
的取值范围是
0

s


【解析】(< br>1
)求出函数导数,令它大于等于
0
和小于等于
0
,其在定义 域上恒成立,
分类讨论
a
即可得到啊的范围,注意定义域;

2< br>)设
f'

x

=0
的两根为
x
1

x
2
,(
x
1

x
2
),所以
m=f

x
1
),
n=f

x< br>2
),因为
x
1
x
2
=1

所以< br>x
1

1

x
2
,由<
a

1
,且
ax
1
2
-2x
1
+a=0,得<
x
1

1
,所以
s=m-n=ax
1< br>--2lnx
1
-
第15页,共16页


=ax
1
--2lnx
1

--ax
1
+2lnx
1< br>)
=2

ax
2
--2lnx
2
)(
ax
1
--2lnx
1
),由
ax
1
2
-2x
1
+a=0
,得
a=
代入上式得,
g
x

=-lnx
,求导数,应用单调性,即可得到
S
的范围.

本题考查导数的综合应用:求单调区间和求极值,考查二次方程的两根的关系,构造函
数应用导数判断单调性,是一道综合题.

第16页,共16页

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