2020年浙江省杭州市西湖区学军中学高二(下)期中数学试卷
家乡的春天-会计实习周记
期中数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题(本大题共
10
小题,共
40.0
分)
1.
函数
f
(
x
)
=cosx
(
sinx+1
)的导数是( )
A.
cos2x+sinx
B.
cos2x-sinx
C.
cos2x+cosx
D.
cos2x-cosx
2.
若函数
y=x
3
+x
2
+mx+1
是
R
上的单调函数,则实数
m
的取值范围是( )
A.
(,
+∞
)
B.
(
-∞
,
]
-=
C.
[
,
+∞
)
+
D.
(
-∞
,)
3.
用数学归纳法证明
1-+-+
…
++
…
+
(
n
∈
N
*
),则从“
n=k
到
n=k+1
”,左边所要添加的项是( )
A.
C.
-
B.
D.
-
-
4.
自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角( )
A.
相等
B.
互补
C.
相等或互补
D.
不能确定
5.
抛物线
y
2
=4x
的焦
点为
F
,弦
AB
过
F
,原点为
O
,抛物线
准线与
x
轴交于点
C
,
∠
OFA=135°
,则<
br>tan
∠
ACB
等于( )
A.
B.
C.
D.
6.
已知点
E
,
F
分别是正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AB
,
AA
1
的
N
分别是线段
D
1
E
与
C
1
F<
br>上的点,中点,点
M
,则与平面
ABCD
垂直的直线
MN有( )
A.
0
条
B.
1
条
C.
2
条
D.
无数条
7.
如图,矩形
ABCD
中,
AB=3
,
BC=4
,沿对角线
BD
将△
ABD
折起,使
A
点在平面
BCD
内的射影落在
BC
边上,若二面角
C-AB-D
的平面角大小为
θ
,则
sinθ
的值等于( )
A.
B.
C.
D.
8.
三边长均为正整数,且最大边长为
11
的三角形的个数为()
A.
25
B.
26
C.
36
D.
37
第1页,共16页
9.
已知
P-ABC
是正四面体(所有棱长都相等
的四面体),
E
是
PA
中点,
F
是
BC
上
靠近点
B
的三等分点,设
EF
与
PA
、
P
B
、
PC
所成角分别为
α
、
β
、
γ
,则( )
A.
β
>
γ
>
α
B.
γ
>
β
>
α
C.
α
>
β
>
γ
D.
α
>
γ
>
β
的最大
10.
<
br>已知不等式
e
x
-4x+2≥ax+b
(
a
,
b
∈
R
,且
a≠-4
)对任意实数
x
恒成立,则
值为( )
A.
2-2ln 2
B.
-1-ln
2
C.
-2ln 2
二、填空题(本大题共
7
小题,共
42.0
分)
11.
设
i
为虚数单位,则复数的虚部为
______<
br>,模为
______
.
D.
-ln 2
12.
过原点作曲线
y=e
x
的切线,则切点的坐标为<
br>______
,切线的斜率为
______
.
13.
正四面体
ABCD
的棱长为
2
,棱
AB
∥平面
α
,则正四面体上的所有点在平面
α
内的
射影构成的图形面积的最小值是______
,最大值是
______
.
14.
已知双曲线
C
:
=1
(
t
>
0
)的其中一条渐近线经过点(
1
,
1
),则该双曲线
的
右顶点的坐标为
______
,渐近线方程为
______
.
15.
如图,正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
(底面是正三角形,侧棱垂直
底面)的各条棱长均相等,
D
为
AA
1
的中点.
M
、
N
分别
是
B
B
1
、
CC
1
上的动点(含端点),且满足
BM=C
1
N
.
当
M
、
N
运动时,下列结论中正确的是
______
(填上所有
正确命题的序号).
①平面
DMN
⊥平面
BCC
1
B
1
;
②三棱锥
A
1
-DMN
的体积为定值;
③△
DMN
可能为直角三角形;
④平面
DMN
与平面
ABC
所成的锐二面角范围为
.
第2页,共16页
16.
一条街道上有
10
盏路灯,将路灯依次排列
并编号
1
~
10
.有关部门要求晚上这
10
盏路灯中相邻的
两盏灯不能全开,且这
10
盏路灯中至少打开两盏路灯.则符合要
求的开法总数是______
.
17.
已知函数
f
(
x<
br>)
=
的图象恰好经过三个象限,则实数
a
的取值
范围是
______
.
三、解答题(本大题共
5
小题,共
60.0
分)
18.
用
0
,
1
,
2
,
3
,
4
这五个数字组成无重复数字的自然数.
(
1
)在组成的五位数中,所有奇数的个数有多少?
(
2
)在组成的五位数中,数字
1
和
3
相邻的个数有多少?
(
3
)在组成的五位数中,若从小到大排列,
30124
排第几个?
19.
已知函数
f
(
x
)
=
(
-1
)
lnx
.
(
1
)求
f
(
x
)的图象在点
x=1
处的切线方程;
(
2
)求
f
(
x
)在区间
[]
上的取值范围.
20.
已知四棱锥
P-ABCD
的底面ABCD
是菱形,∠
ADC=120°
,
AD
的中点
M
是顶点
P
的底面
ABCD
的射影,
N
是
P
C
的
中点.
(Ⅰ)求证:平面
MPB
⊥平面
PBC
;
(Ⅱ)若
MP=MC
,求直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦
值.
第3页,共16页
21.
已知椭圆
C
:
+=1
(
a
>
b
>
0
)的离心
率
e=
,抛物线
E
:
y
2
=4x
的焦点恰
好是椭
圆
C
的右焦点
F
.
(
1
)求椭圆
C
的标准方程;
(
2
)过
点
F
作两条斜率都存在的直线
l
1
,
l
2
,
l
1
交椭圆
C
于点
A
,
B
,<
br>l
2
交椭圆
C
于点
G
,
H
,若|AF|
是
|AH|-|FH|
与
|AH|+|FH|
的等比中
项,求
|AF|
•
|FB|+|GF|
•
|FH|
的最小值.
22.
函数.
(
1
)若
f
(
x
)是定义域上的单调函数,求
a
的取值范围;
(
2
)设
值范围.
分别为函数
f
(
x
)的极大值和极小值,若
s=
m-n
,求
s
的取
第4页,共16页
答案和解析
1.
【答案】
B
【解析】解:<
br>f
′(
x
)
=-sinx
(
sinx+1
)
+cosx
•
cosx=cos
2
x-sin
2
x
-sinx=cos2x-sinx
.
故选:
B
.
进行基本初等函数和积的导数的求导即可.
考查基本初等函数和积的导数的求导公式.
2.
【答案】
C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.属于基础题
.
当导数大于
0
是原函数单调递增,当导数小于
0
时原函数单调递减.对函数进行求导,<
br>令导函数大于等于
0
在
R
上恒成立即可.
【解答】
解:若函数
y=x
3
+x
2
+mx+1
是
R上的单调函数,
只需
y
′
=3x
2
+2x+m≥0
恒成立,
即△
=4-12m≤0
,
∴
m≥,
则实数
m
的取值范围是
[
,
+∞
)
.
故选
C.
3.
【答案】
D
【解析】解:当<
br>n=k
时,等式的左边为
1-+-+
…
+
当
n=k+
1
时,等式的左边为
1-+-+
…
+-+
-
,
,
. 故从“
n=k
到
n=k+1
”,左边所要添加的项是
故
选:
D
.
根据式子的结构特征,求出当
n=k
时,等式的左边,再求出
n=k+1
时,等式的左边,
比较可得所求.
本题考查用数学归纳法证明等式,注意式子的结构
特征,以及从
n=k
到
n=k+1
项的变化.
4.
【答案】
B
【解析】解:设二面角的棱为
l
,自二面角内一点分别
向两个面引垂线,两条交线确定的平面与已知平面的
交线分别为
BD
,
CD
,
则
l
⊥平面
ABDC
,
∠
BDC
为二面角的平面角,由四边
形的内角和为
360°
,可知∠
BDC
与∠
BAC
互补
∴自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角
与二面角的平面角互补
故选:
B
.
设二面角的棱为
l
,自二面角内一点分别向两
个面引垂
线,两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为
BD
,
CD
,则
l
⊥平面
ABDC
,∠
BDC
第5页,共16页
为二面角的平面角,由四边形的内角和为
360°
,可得结论.
本题考查二面角的平面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
5.
【答案】
D
【解析】解:∵抛物线方程为
y
2
=2px=4x
∴
p=2
∵焦点
F
坐标为(,
0
),准线
l
方程为
x=-
.
∴
F
点坐标为(
1
,
0
),准
线
l
方程
x=-1
∴
C
点坐标为(
-1
,
0
)
∵∠
OFA=135°
∴直线
AB
的斜率为
1
,
∵直线
AB
经过点
F
(
1
,
0
)
∴直线
AB
方程为
y=x-1
,
又∵点
A
与点
B
在抛物线上,
∴两方程联立
解得
A
(
3+2
∴
=
(
4-2
∴
co
s
∠
ACB=
,
2+2
,
2-2
,得到
x
2
-6x+1=0
)
B
(
3-2
,
2-2
)
) ),=
(
4+2
,
2+2
=
,
sin
∠<
br>ACB=
,
tan
∠
ACB=2
.
故选:
D
.
AB
方程
y=x-1
,与抛物线方程
y
2
=4x
联立,解得
A
,
B
的坐标,即
可求出
tan
∠
ACB
.
本题考查直线与抛物线的位置关系,考查
同角三角函数基本关系式,正确求出
A
,
B
的
坐标是关键.
6.
【答案】
B
【解析】解:设正方体
ABCD-A<
br>1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
,
以
C
为原点建立空间直角坐标系,
则
D
1
(
2
,
0
,
2
),
E
(
1
,
2
,
0
),
C
1
(
0
,0
,
2
),
F
(
2
,
2
,<
br>1
),
设
设
∴
=λ
=t
=
(
-1
,
2
,
-2
),
=
(
2
,
2
,
-1
),
,则<
br>M
(
2-λ
,
2λ
,
2-2λ
),
,则
N
(
2t
,
2t
,
2-t
), <
br>=
(
2t-2+λ
,
2t-2λ
,
2λ-t
),
∵直线
MN
与平面
ABCD
垂直,
∴,解得
λ=t=
,
∵方程组只有唯一的一组解,
∴与平面
ABCD
垂直的直线
MN
有
1
条.
故选:
B
.
设正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
,以
C
为
原点建立空间直角坐标系,利用向量法求
出与平面
ABCD
垂直的直线
MN<
br>只有
1
条.
本题考查空间直线与平面的位置关系,主要是直线与平面平行的判
断和面面平行的判定
第6页,共16页
与性质,考查空间想象能力和简单推理能力.
7.
【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中求出二面角的平面角是解答本题的关
键. <
br>根据已知中矩形
ABCD
中,
AB=3
,
BC=4
,
沿对角线
BD
将△
ABD
折起,使
A
点在平面
BC
D
内的射影落在
BC
边上,若二面角
C-AB-D
的平面角大小为<
br>θ
,我们可以得到∠
CAD
是二面角
C-AB-D
的平面角,
解三角形
CAD
即可得到答案.
【解答】
解:由
AO
⊥
平面
BCD
,
CD
在平面
BCD
内,
知
AO
⊥
CD
又
CD
⊥
BC
,且
AO
交
BC
于
O
,故
CD
⊥平面ABC
又
AB
在平面
ABC
内,故
CD
⊥<
br>AB
,
又
DA
⊥
AB
,且
CD
交
DA
于
D
,故
AB
⊥平面
ACD
, 又
AC
在平面
ACD
内,故
AB
⊥
AC
,
又
AB
⊥
AD
故∠
CAD
是二面角
C-AB-D
的平面角
在△
CAD
中,由
CD
⊥平面
ABC
,
AC
在平面ABC
内,可知
CD
⊥
AC
又
CD
=3
,
AD=4
,
故
sin
∠
CAD==
故选:
A
.
8.
【答案】
C
【解析】解:由题意知本题是一个分类计数问题,
另外两边长用
x
,
y
表示,且不妨设
1≤x≤y≤11
,要构成三角形,必须
x+
y≥12
.
当
y
取值
11
时,
x=1
,
2
,
3
,…,
11
,可有
11
个三角形;
当
y
取值
10
时,
x=2
,
3
,
…,
10
,可有
9
个三角形;
当
y
取值分别为<
br>9
,
8
,
7
,
6
时,
x
取
值个数分别是
7
,
5
,
3
,
1
,
∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为
11+9+7+5+3+1=36
.
故选
C
.
本题是一个分类计数问题,最长的边长度是
11
,另外两边长用
x
,
y
表示,要构成三角
形必须
x+y≥1
2
,列举出当
y
分别从
11
,
10
,
9<
br>,
8
,
7
,
6
时,对应的三角形的个数,根
据分类计数原理得到结果.
本题考查分类计数原理,考查组成三角形的条件,考查分类讨论思想的应用
,是一个比
较简单的综合题目,这种题目出现的几率比较大.
9.
【答案】
D
【解析】【分析】
取
AC<
br>中点
G
,连结
PG
,过
B
作
BO
⊥
平面
PAC
,交
PG
于
点
O
,在平面
PA
C
中过
O
作
OD
∥
AC
,交
PA
于
D
,以
O
为
原点,
OP
为
x
轴
,
OD
为
y
轴,
OB
为
z
轴,建立空间直
角
坐标系,利用向量法能求出
α
>
γ
>
β
. 本题考查异面直线所成角的大小的判断,考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识,考
查运算求解能力,
考查函数与方程思想,是中档题.
第7页,共16页
【解答】
解:取
AC
中点
G
,连结
PG
,过
B
作
BO
⊥平面
PAC
,交
P
G
于点
O
,
在平面
PAC
中过
O
作OD
∥
AC
,交
PA
于
D
,
设正四
面体棱长为
2
,则
OG=
PO==
,
BO==
=<
br>,
=
,
以
O
为原点,
OP
为
x
轴,
OD
为
y
轴,
OB
为
z
轴,
建立空间直角坐标系,
则
P
(,
0
,
0
),A
(
-
,
1
,
0
),
B
(<
br>0
,
0
,
),
,
1
,
0
),
=
(
-
,
0
,),
=
(
-<
br>,
-1
,
0
),
),
C
(
-
,
-1
,
0
), <
br>E
(,,
0
),
F
(
-
,
-
,
=
(
-
,
-
,),
=
(
-<
br>∵
EF
与
PA
、
PB
、
PC
所成角
分别为
α
、
β
、
γ
,
∴
cosα=cosβ=
cosγ=
=
=
=
=0
,∴
α=9
0°
,
=
=
,
,
∴
α
>
γ
>
β
.
故选:
D
.
10.
【答案】
D
【解析】【分析】
不等式化为
e
x
-
(
a+4<
br>)
x+2-b≥0
恒成立,构造函数
f
(
x
)
=e
x
-
(
a+4
)
x+2-b
,利用导数f
′
(
x
)判断
f
(
x
)的单调性,
求
f
(
x
)的最值,转化为的不等式,从而求出它的最大
值.
本题考查了不等式恒成立问题,也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题,是
综合题.
【解答】
解:不等式
e
x
-4x+2≥ax+b
化为e
x
-
(
a+4
)
x+2-b≥0
,
令
f
(
x
)
=e
x
-
(
a+4
)
x+2-b
,则
f
′(
x
)
=e
x
-
(
a+4
),
若
a
<
-4
,则
f
′(
x
)>
0
,函数
f
(
x
)函数单调增,
当
x→-∞
时,
f
(
x)
→-∞
,不可能恒有
f
(
x
)
≥0
;
若
a
>
-4
,由
f
′(
x
)
=e
x
-
(
a+4
)
=0
,得极小值点<
br>x=ln
(
a+4
),
由
f
(
ln
(
a+4
))
=
(
a+4
)
-
(
a+4
)
ln
(
a+4
)
+2-b≥0
, 得
b≤
(
a+4
)
-
(
a+4
)ln
(
a+4
)
+2
,
则
≤=1-ln
(
a+4
)
-
,
令g
(
t
)
=1-lnt-
,
t=a+4
>0
,
则
g
′(
t
)
=-+=
, <
br>则当
0
<
t
<
2
时,
g
′(
t
)>
0
,
当
t
>
2
时,
g
′(
t
)<
0
,则当
t=2
时,
g
(
t
)取得极大值,
第8页,共16页
而
g<
br>(
2
)
=1-ln2-=-ln2
,
∴的最大值为
-ln2
.
故选:
D
.
11.
【答案】
-2
=
,
.
【解析】解:∵
∴复数的虚部为
-2
;模为
故答案为:
-2
;.
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数的模求解.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础
题.
12.
【答案】(
1
,
e
)
e
【解析】解:设切点为(
m
,
n
),
y=e
x
的导数为
y
′
=e
x
,
即有切线的斜率为
k=e
m
,
切线的方程为
y-n=e
m
(
x-m
),
代入原点(
0
,
0
),可得
n=me
m
,
又
n=e
m
,
解得
m=1
,
n=e
,
则切线的斜率为
e
.
故答案为:(
1
,
e
);
e
.
设切点为
(
m
,
n
),求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程,代
入原点,解方程可得
m=1
,进而得到切线的斜率.
本题考查导数的运用:求切线的斜率,正确确定切点和运用直线方程是解题的关键.
13.
【答案】
2
【解析】解:因为正四面体的对角线互相
垂直,且棱
AB
∥平面
α
,
当
CD∥平面
α
,这时的投影面是对角线为
2
的正方形,
此时面积最大,是
2×=2
.
当
CD
⊥平面
α
时,射影面的面积最小,
此时构成的三角
形底边是
2
,高是直线
CD
到
AB
的距离,为,
射影面的面积是
=
.
∴正四面体上的所有点在平面
α
内的射影构成的图形面积的最小值是,
最大值是
2
.
故答案为:,
2
.
当
C
D
∥平面
α
,这时的投影面是对角线为
2
的正方形,此时射影面的面
积最大,当
CD
⊥
平面
α
时,射影面的面积最小,由此能求出结果.
本题考查射影构成的图形面积的最值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关
第9页,
共16页
系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
x
14.
【答案】(,
0
)
y=±
【解析】
解:由题意可得双曲线的渐近线方程为:
x-
双曲线
C
:
y=0,
=1
(
t
>
0
)的其中一条渐近线经过点(
1
,
1
),
可得
t=2
,
所以双曲线的右顶点的坐标为(
双曲线方程为:
,
0
),
=1
,渐近线方程为:
y=±x
.
x
. 故答案为:(,
0
);
y=±
求出双曲线的渐近线方程,代入点的坐标,求出
t,然后求解右顶点的坐标,渐近线方
程.
本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
15.
【答案】①②④
【解析】解:如图,
当
M
、
N
分别
在
BB
1
、
CC
1
上运动时,若满足
BM=C1
N
,则线段
MN
必过正方形
BCC
1
B1
的中心
O
,而
DO
⊥平面
BCC
1
B
1
,∴平面
DMN
⊥平面
BCC
1
B
1
,①正确;
当
M
、
N
分别在
BB
1、
CC
1
上运动时,△
A
1
DM
的面积不变,
N
到平面
A
1
DM
的距离不变,
∴棱锥
N
-A
1
DM
的体积不变,即三棱锥
A
1
-DMN
的
体积为定值,②正确;
若△
DMN
为直角三角形,则必是以∠
MDN
为直角的直角三角形,但
MN
的最大值为
BC
1
,
而此时
DM
,
DN
的长大于
BB
1
,∴△
DMN
不可能为直角三角形,③错误;
当
M
、
N
分别为
BB
1
,
CC
1
中点时,平面
DMN
与平面
ABC
所成的角为
0
,当
M
与
B
重
合,
N
与
C
1
重合时,平面
DMN
与平面
AB
C
所成的锐二面角最大,为∠
C
1
BC
,等于.
∴平面<
br>DMN
与平面
ABC
所成的锐二面角范围为(
0
,
]
,④正确,
∴正确的是①②④.
故答案为:①②④.
由
BM=
C
1
N
,得线段
MN
必过正方形
BCC
1
B
1
的中心
O
,由
DO
⊥平面
BCC
1<
br>B
1
,可得平
面
DMN
⊥平面
BCC
1B
1
;
由△
A
1
DM
的面积不变,
N
到平面
A
1
DM
的距离不变,得到三棱锥
A
1<
br>-DMN
的体积为定
值;
利用反证法思想说明△
DMN
不可能为直角三角形;
平面
DMN<
br>与平面
ABC
平行时所成角为
0
,当
M
与
B
重合,
N
与
C
1
重合时,平面
DMN
与平
面
ABC
所成的锐二面角最大.
第10页,共16页
本题
考查了命题的真假判断与应用,考查了棱柱的结构特征,考查了空间想象能力和思
维能力,是中档题.
16.
【答案】
133
【解析】解:根据题意,分
4
种情况讨论:
①,
10
盏路
灯中开
2
盏路灯,相邻的两盏灯不能全开,有
C
9
2
=36
种开法;
②,
10
盏路灯中开
3
盏路灯,相邻的两盏灯不
能全开,有
C
8
3
=56
种开法;
③,
10盏路灯中开
4
盏路灯,相邻的两盏灯不能全开,有
C
7
4
=35
种开法;
④,
10
盏路灯中开
5
盏路灯,相邻的
两盏灯不能全开,有
C
6
5
=6
种开法;
则有
36+56+35+6=133
种符合要求的开法;
故答案为:
133
.
根据题意,按打开路灯的数目分
4
种
情况讨论,求出每种情况的开法数目,由加法原理
计算即可得答案.
本题考查排列组合的应用,涉及分类加法计数原理,属于基础题.
17.
【答案】
【解析】解:(
1
)当
a
<
0
时,
f
(
x
)在(
-∞
,
0]
上单调递减,又
f
(
0
)
=-1
,
故
f
(
x
)
的图象经过第二、三象限,
当
x>
0
时,
f
(
x
)
=
,
∴
f
′(
x
)
=
.
①若
a≤-
1
,则
f
′(
x
)>
0
恒成立,又当
x→
0+
时,
f
(
x
)
→2
,
∴
f
(
x
)的图象在(
0
,
+∞
)上经过第一象限,符
合题意;
②当
-1
<
a
<
0
时,
f′(
x
)>
0
在
[2
,
+∞
)上恒成
立,
当
0
<
x
<
2
时,令
f
′
(
x
)
=0
可得
x=
∴
f
(
x<
br>)在(
0
,
又
f
()
=
)上单调递减,在(
-
(
a+1
)
+2=2
(
1-
<,
,
2
)上单调递增,
)>
0
,
∴
f<
br>(
x
)的图象在(
0
,
+∞
)上经过第一象限,符合
题意;
(
2
)当
a=0
时,
f
(
x)在(
-∞
,
0
)只经过第三象限,
f
(
x<
br>)>
0
在(
0
,
+∞
)上恒成立,
∴f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上的图象只经过第一
象限,不符合题意;
(
3
)当
a
>
0
时,
f
(
x
)在(
-∞
,
0
)上单调递增,故
f
(
x
)在(
-∞
,
0]
上的图象只经过
第三象限,
∴
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上的最小值<
0
.
当
0
<
x
<
2
时,令
f
′(
x
)
=0
可得
x=若
,
)
=2
(
1-
), <
2
,即
a
<
11
时,
f
(
x
)在(
0<
br>,
+∞
)上的最小值为
f
(
)<
0
,解得<
br>a
>
2
,∴
2
<
a
<
11
. 令
2
(
1-
若
≥2
即
a≥11
时,则
f
(
x
)在(
0
,
2
)上单调递减,
第11页,共16页
当
x≥2
时,令
f
′
(
x
)
=0
可得
x=
若
,
≤2
,即
11≤a≤13
时,
f
(
x
)在(
2
,
+∞
)上单调递增,
故
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上的最小值为
f
(
2
)
=8-
2a
,
令
8-2a
<
0
解得
a
>
4
,故而
11≤a≤13
,
若
增,
故
f(
x
)在(
0
,
+∞
)上的最小值为
f
(
显然
-
)
=-
,
>
2
,即
a
>
13
时,
f
(
x
)在(
2
,
)上单调递减,在(,
+∞
)上单调递
<
0
恒成立,故而
a
>
13
.
综上,
a
<
0
或
a
>
2
.
故答案为:.
分情况讨论
f
(
x
)的单调性,计算
f
(
x
)在(
0
,
+∞
)上的最小值,根据函数
图象经过
的象限得出最小值与
0
的关系,从而得出
a
的范围.
本题考查了函数单调性判断与最值计算,属于中档题.
18.
【答案】解:(
1
)依题意,所有奇数的个数为
(
2
)数字
1
和
3
相邻的个数有
(
3
)比
30124
小的数的个数为:=36
个;
=48
个,
=36
个;
所以在组成的五位数中,若从小到大排列,
30124
排第
49
个.
【解析】(
1
)先排个位,再排首位,其它可以全排列,根据乘法原理即可得到结果;
(
2
)使用捆绑法结合计数原理计算即可;
(
3
)计算出
比
30124
小的五位数的个数,即可得到
30124
排第几.
本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数问题,考查间接法,属于中档题.
19.
【答案】解:(
1
)∵函数
f
(
x
)
=
(
-1
)
lnx
,
∴
∴
lnx+
(
-1
)
=
=0
.
,
又
f
(
1
)
=
(
-1
)
ln1=0
,
所以
f
(
x
)的图象在点x=1
处的切线方程为
y=0
.
′
(
2
)由
(
1
)知
f
(
x
)
=
,令
g(
x
)
=lnx+2
(
1-
)
∵
y
=lnx
与
y=1-
都是区间(
0
,
+∞
)上的增
函数,
∴
g
(
x
)
=lnx+2
(
1-
)是(
0
,
+∞
)上的增函数.
又
g
(
1
)
=0
,
∴当
x>
1
时,
g
(
x
)>
0
,即
f
′
(
x
)>
0
,此时
f
(
x<
br>)在
[
当
0
<
x
<
1
时,
g
(
x
)<
0
,即
f
′
(
x)<
0
,此时
f
(
x
)
[
]
递增;
]
递减;
第12页,共16页
又
f(
1
)
=0
,
f
()
=
(
-
1
)
ln=ln2
,
f
(
2
)
=
()
ln2
.
-1
)
ln2
,
∴
[f
(
x
)
]
min
=0
,
[f
(<
br>x
)
]
max
=max{f
(
2
),
f
()
}=
(
∴
f
(
x
)在区间
[]
的取值范围为
[0
,()
ln2]
.
【
解析】本题考查函数的切线方程的求法,考查函数在半区间上的取值范围的求法,考
查导数的几何意义、
导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查运算求解能力,
考查函数与方程思想,是中档题.
′
(
1
)求出
f
(
x
)
=
,利用导数的几何意义能求出
f
(
x
)的图象在点
x=1
处的
切线方程.
(
2
)
f
′
(
x
)
=
.由
y=lnx
与
y=1-
都是区间(
0<
br>,
+∞
)上的增函数,得
g
(
x
)
]
的取值范围.
=lnx+2
(
1-
)是(
0
,
+∞
)上的增函数.由此能求出
f
(
x
)在区间
[
20.
【答案】(Ⅰ)证明:在菱形
ABCD
中,设
AB=2a
,<
br>M
是
AD
的中点,
MB
2
=AM
2
+AB
2
-2AM
•
AB
•
cos60°=3a
2
,
MC
2
=DM
2
+DC
2
-2DM<
br>•
DC
•
cos120°=7a
2
.
又∵
BC
2
=4a
2
,∴
MB
2
+BC
2=MC
2
,∴
MB
⊥
BC
,
又∵
P
在底面
ABCD
的射影
M
是
AD
的中点,∴
PM
⊥平面
ABCD
,
又∵
BC
⊂平面
ABC
D
,∴
PM
⊥
BC
,
而
PM∩MB=M
,
PM
,
MB
⊂平面
PMB
,∴
BC
⊥平
面
PMB
,
又
BC
⊂平面
PBC
,∴平面
MPB
⊥平面
PBC
.
(Ⅱ)解:过
B
作
BH
⊥
MC
,连接
HN
,
∵
PM
⊥平面ABCD
,
BC
⊂平面
ABCD
,∴
BH
⊥<
br>PM
,
又∵
PM
,
MC
⊂平面
PMC,
PM∩MC=M
,∴
BH
⊥平面
PMC
,
∴
HN
为直线
BN
在平面
PMC
上的射影,
故∠
BNH
为直线
BN
与平面
PMC
所成的角,
在△
MBC
中,
由(Ⅰ)知
BC
⊥平面
PMB
,
PB
⊂平面
PMB
,∴
PB
⊥
B
C
.
,
∴直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦值为.
【解析】(Ⅰ)证明
BC
⊥平面
PMB
,即可证明:平面
MPB⊥平面
PBC
;
(Ⅱ)过
B
作
BH
⊥
MC
,连接
HN
,证明∠
BNH
为直线
BN
与平
面
PMC
所成的角,即可
求直线
BN
与平面
PMC
所成角的正弦值.
本题考查线面垂直、面面垂直的证明,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,
属
于中档题.
21.
【答案】解:(
1
)抛物线
E
:
y
2
=4x
的焦点为(
1
,
0
),
可得
F
(
1
,
0
),即
c=1
,
第13页,共16页
由离心率
e=
,即
=
,
解得
a=2
,
b==
,
则椭圆方程为
+=1
;
(
2
)若
|AF|
是
|AH|-|FH|
与
|AH|+|FH|
的等比中项,
可得
|AF|
2
=
(
|AH|-|FH|
)(
|AH|
+|FH|
)
=|AH|
2
-|FH|
2
,
即
AF
⊥
FH
,
设
l
1
的方程
为:
y=k
(
x-1
),
l
2
的方程为:
y=-
(
x-1
),
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y2
),
G
(
x
3
,
y
3
),
H
(
x
4
,
y
4
).
由
可得
x
1
+x
2
=
同理
x
3
+
x
4
=
消去
y
得:(
3+4k
2
)
x
2
-8k
2
x+4k
2
-12=0
,
,
x
1
x
2
=
,
x
3
x
4
=
,
,
∴
|AF|
•
|FB|+|FG|
•
|HF|
=
(
2-x
1
)•(
2-x
2
)
+
(
2-x
3
)•(
2-x
4
)
=4-
(
x
1
+x
2
)
+x
1
x
2
+4-
(
x
3
+x
4
)
+x
3
x
4
=8-
=6-3
•
=6-3
•
=6-3•
=6-3
•
由
3k
2
+≥2
+
•<
br>-+
•
,
=6
,
1
时,上式取得等号, 当且仅当
k
4
=1
,即
k
=±
则
|AF|
•
|FB|+|GF|
•
|FH|
的最小值为.
【解析】本题考查椭圆及抛物线的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考
查韦达定
理,焦半径公式及基本不等式的综合运用,属于难题.
(
1
)求得
抛物线的焦点可得
c=1
,再由离心率公式可得
a
,进而求得
b的值,求得椭圆
方程的标准方程;
=|AH|
2
-|FH|
2
,(
2
)运用等比数列中项性质可得
|AF|
2
=
(
|AH|-|FH|
)(
|AH|+|FH|
)即
AF
⊥
FH
,
设直线
l
1
、
l
2
的方程
,将直线
l
1
、
l
2
代入代入椭圆方程,利用韦达定理,表
示出
|AF|
•
|FB|+|GF|
•
|FH|=
(
2-x
1
)•(
2-x
2
)
+
(
2-x
3
)•(
2-x
4
),由基本不等式性质可知
第14页,共
16页
3k
2
+
,即
k=±1
时,可得<
br>|AF|
•
|FB|+|FG|
•
|HF|
的最小值. 22.
【答案】解:(
1
)函数
∴
f
′(
x<
br>)
=a+-=
,
.定义域为(
0
,
+∞
),
∵函数
f
(
x
)在定义域(
0
,
+∞
)内为单调函数,
∴<
br>f'
(
x
)
≤0
或
f'
(
x
)
≥0
在(
0
,
+∞
)恒成立,
①当
a=0
时,
f
′(
x
)
=-
<
0
在(
0
,
+∞
)内恒成立,
∴
a=0
满足题意;
②当
a
>
0
时,设
g
(
x
)=ax
2
-2x+a
(
x
∈(
0
,
+
∞
))
由题意知△
=4-4a
2
≤0
∴
a≤-1
或
a≥1
又∵
a
>
0
,∴
a≥1
,
所以
a
的取值范围为:
a=0
或
a≥1
,
(
2
)由导函数的
ax
2
-2x+a
,
得△>
0
得
4-4a
2
>
0
,即
-1<
a
<
1
且<
a
<
1
,得<
a
<
1
,
此时设
f'
(
x
)
=
0
的两根为
x
1
,
x
2
,(
x
1
<
x
2
),所以
m=f
(
x
1
)
,
n=f
(
x
2
),
因为
x
1
x
2
=1
,所以
x
1
<
1
<
x<
br>2
,
由<
a
<
1
,且
ax
12
-2x
1
+a=0
,得<
x
1
<
1
,
所以
s=m-n=ax
1
--2lnx
1
-<
br>(
ax
2
--2lnx
2
)
=ax
1
--2lnx
1
-
(
-ax
1
+2lnx
1)
=2
(
ax
1
--2lnx
1
),
由
ax
1
2
-2x
1
+a=0
,得
a=
s=4
(
-lnx
1
)
=4
(
,代入上式
得,
-lnx
1
2
),
令
x
1
2=t
,所以<
t
<
1
,
g
(
x
)
=-lnx
,
则
s=4g
(
t
),
g
′(
t
)
=
<
0
,
所以g
(
x
)在
[
,
1]
上单调递减,从而
g
(
1
)<
g
(
t
)<
g
()
,
即
0
<
g
(
t
)<,所以
0
<
s
<
.
.
s
的取值范围是
0
<
s
<
【解析】(<
br>1
)求出函数导数,令它大于等于
0
和小于等于
0
,其在定义
域上恒成立,
分类讨论
a
即可得到啊的范围,注意定义域;
(
2<
br>)设
f'
(
x
)
=0
的两根为
x
1
,
x
2
,(
x
1
<
x
2
),所以
m=f
(
x
1
),
n=f
(
x<
br>2
),因为
x
1
x
2
=1
,
所以<
br>x
1
<
1
<
x
2
,由<
a
<
1
,且
ax
1
2
-2x
1
+a=0,得<
x
1
<
1
,所以
s=m-n=ax
1<
br>--2lnx
1
-
第15页,共16页
=ax
1
--2lnx
1
(
--ax
1
+2lnx
1<
br>)
=2
(
ax
2
--2lnx
2
)(
ax
1
--2lnx
1
),由
ax
1
2
-2x
1
+a=0
,得
a=
代入上式得,
g
(x
)
=-lnx
,求导数,应用单调性,即可得到
S
的范围.
,
本题考查导数的综合应用:求单调区间和求极值,考查二次方程的两根的关系,构造函
数应用导数判断单调性,是一道综合题.
第16页,共16页