韩国化妆品哪个牌子好-学生会竞选

.
空间向量在立体几何中的应用：
(1)直线的方向向量与平面的法向量：
①如图，
l
为经过已知点
A
且平行于已知非零向量
a
的直线，对空间 任意一点
O
，点
P
在直线
l
上
的充要条件是存在实 数
t
，使得
OPOAta
，其中向量
a
叫做直线的方向 向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
②如果 直线
l
⊥平面

，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
叫做平面

的法向量．
由此可知，给定一点
A
及一个向量
a
，那么经过点
A
以向量
a
为法向 量的平面惟一确定．
(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：
设直线
l
，
m
的方向向量分别是
a
，
b
，平面
 
，

的法向量分别是
u
，
v
，则
①
l
∥
m

a
∥
b

a
＝
kb
，
k
∈R；
②
l
⊥
m
< br>a
⊥
b

a
·
b
＝0；
③
l
∥


a
⊥
u

a
·u
＝0；
④
l
⊥


a
∥
u

a
＝
ku
，
k
∈R；
⑤

∥

u
∥
v

u
＝
kv，
k
∈R；
⑥

⊥


u⊥
v

u
·
v
＝0．
(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：
①异面直线所成的角：设
a< br>，
b
是两条异面直线，过空间任意一点
O
作直线
a
′ ∥
a
，
b
′∥
b
，则
a
′与
b< br>′
所夹的锐角或直角叫做异面直线
a
与
b
所成的角．
设异面直线
a
与
b
的方向向量分别是
v
1
，v
2
，
a
与
b
的夹角为

，显然< br>
(0,
],
则
π
2
|cosv
1,v
2
|
|v
1

v
2
|


|v
1
||v
2
|
②直线和平面所成的角： 直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．
设直线
a
的方向向量 是
u
，平面

的法向量是
v
，直线
a
与 平面

的夹角为

，显然

[0,]
，则
|cosu,v|
π
2
|u

v|


|u||v|
③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 记作

－
l
－

在二
面角的棱上任取一点O
，在两个半平面分别作射线
OA
⊥
l
，
OB
⊥
l
，则∠
AOB
叫做二面角

－
l
－

的平
面角．
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
方法一：
如图，若
AB
，
CD
分别是二面角

－
l
－

的两个面与棱
l
垂直的异面直线，则二 面角

－
l
－

的大
Word 资料

.
小就是向量
AB与CD
的夹角的大小．

方法二：
如图，
m
1
，
m
2
分别是二面角的两个半平面

，

的法向量，则〈
m
1
，
m
2
〉与该二面角的大小相等
或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．
【例题分析】
例1 如图，在长方体
OAEB
－
O
1< br>A
1
E
1
B
1
中，
OA
＝3，OB
＝4，
OO
1
＝2，点
P
在棱
AA
1
上，且
AP
＝2
PA
1
，点
S
在棱< br>BB
1
上，且
B
1
S
＝2
SB
，点
Q
，
R
分别是
O
1
B
1
，
AE
的中点，求证：
PQ
∥
RS
．

【分析 】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数
k
，使得
PQkRS.


解：如图建立空间直角坐标系，则
O
(0，0，0)，
A
(3，0，0)，
B
(0，4，0)，
O
1
(0，0，2)，
A
1
(3，0，
2)，
B
1
(0，4，2)，
E
(3，4，0)．
∵
AP
＝2
PA
1
， ∴
AP
∴
P(3,0,
)

同理可得：
Q(0，2，2)，
R
(3，2，0)，
S(0,4,
)

224
AA(0,0,2)(0,0,
),

1
333
4
3
2
3
2

PQ(3,2,)RS,
3

PQRS
，又
R

PQ
，
∴
PQ
∥
RS
．
【评述】1、证明线线平行的步骤：
Word 资料

.
(1)证明两向量共线；
(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．
2、本体还可采 用综合法证明，连接
PR
，
QS
，证明
PQRS
是平行四边 形即可，请完成这个证明．
例2 已知体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N，
E
，
F
分别是棱
A
1
D
1
，
A
1
B
1
，
D
1
C
1
，
B
1
C
1
的中点，求证：
平面
AMN
∥ 平面
EFBD
．

【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．
解法一：设体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则
D
(0，0，0)，
A
(4，0，0)，
M
(2，0，4)，
N
(4，2，4)，
B(4，4，0)，
E
(0，2，4)，
F
(2，4，4)．
取
MN
的中点
K
，
EF
的中点
G
，
BD
的中点
O
，则
O
(2，2，0)，
K
(3，1 ，4)，
G
(1，3，4)．
MN
＝(2，2，0)，
EF
＝(2，2，0)，
AK
＝(－1，1，4)，
OG
＝(－1，1，4)，
∴
MN
∥
EF
，
AKOG
，∴
MNEF
，
AKOG
，
∴
MN
∥平面
EFBD
，
AK
∥平面
EFBD
，
∴平面
AMN
∥平面
EFBD
．
解法二：设平面
AMN
的法向量是
a
＝(
a
1
，
a
2，
a
3
)，平面
EFBD
的法向量是
b
＝(
b
1
，
b
2
，
b
3
)．
由
a

AM0,a

AN0,

得< br>

2a
1
4a
3
0,
取
a
3
＝1，得
a
＝(2，－2，1)．

2a
2< br>4a
3
0,
由
b

DE0,b
BF0,


2b
2
4b
3
0,
得

取
b
3
＝1，得
b
＝(2，－2，1)．
2b4b0,
13

∵
a
∥
b
，∴ 平面
AMN
∥平面
EFBD
．
注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．
例3 在体ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
是棱
A
1
B
1，
B
1
B
的中点，求异面直线
AM
和
CN所成角的余
弦值．
Word 资料

.

解法一：设体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则
D
(0，0， 0)，
A
(2，0，0)，
M
(2，1，2)，
C
(0，2 ，0)，
N
(2，2，1)．

AM(0,1,2),CN(2,0,1),

设
AM
和
CN
所成的角为

，则
cos


2

,

|AM||CN|
5
2

5
AM

CN
∴异面直线
AM
和
CN
所成角的余弦值是
解法二：取
AB
的中点
P
，
CC
1
的中点
Q
，连接
B
1
P
，
B
1
Q
，
PQ
，
PC
．
易证明：
B
1
P
∥
MA
，
B
1
Q
∥
NC，
∴∠
PB
1
Q
是异面直线
AM
和
CN
所成的角．
设体的棱长为2，易知
B
1
PB
1Q
5,
PQPC
2
QC
2

6,

B
1
P
2
B
1
Q
2
PQ
2
2
∴
cosPB
1
Q
,

2B
1
P

B
1
Q5
∴异面直线
AM和
CN
所成角的余弦值是
2


5

【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积
如果 是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．
例4 如图， 正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的底面边长为
a
，侧棱长为
2a
，求直线
AC
1
与 平面
ABB
1
A
1
所成角的大小．
Word 资料

.

【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有 两种思
路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面
ABB
1
A
1
的法向量求解．
解法一：如图建立空间直角坐标系，则
A
( 0，0，0)，
B
(0，
a
，0)，
A
1
(0,0 ,2
a
),

C
1
(
3aa
a
,,2a)
取
A
1
B
1
的中点
D
，则< br>D(0,,2a)
，连接
AD
，
C
1
D
．
22
2
3a
,0,0),
AB
(0,
a
,0),
AA
1

(0,0,2
a
),

2
则
DC(
DC
1

AB0,DC
1

AA
1
0,

∴
DC
1
⊥平面
ABB
1
A
1
，
∴∠
C
1
AD
是直线
AC
1
与平面
ABB
1
A
1
所或的角．

AC
1
 (
3aaa
,,2a),AD(0,,2a),

222
co sC
1
AD
AC
1

AD
|AC
1||AD|

3
，
2
∴直线
AC
1
与平面
ABB
1
A
1
所成角的大小是30°．
C
1
(
解法二：如图建立空间直角坐标系，则
A
(0，0，0)，
B
(0，
a
，0)，
A
1
(0，0，
2a
) ，
3aa
,
,2
a
)

22
3aa,
,2
a
)
，
22
从而
AB

(0,a,0),AA
1

(0,0,2a),AC
1

(

设平面
ABB
1
A
1
的法向量是
a< br>＝(
p
，
q
，
r
)，
由
a

AB
0,
a

AA
1

0,


aq0,
得

取
p
＝1，得
a< br>＝(1，0，0)．

2ar0,
设直线
AC
1
与平面
ABB
1
A
1
所成的角为

,
< br>[0,
],

π
2
Word 资料

.
sin

|cosAC
1
,a|
1
 ,

30

.

|AC
1
||a|2
|AC
1

a|
【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐 标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出
了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再 利用两角互余转换．
例5 如图，三棱锥
P
－
ABC
中，
PA
⊥底面
ABC
，
AC
⊥
BC
，
PA
＝
AC
＝1，
BC
－
PB
－
C
的平面角的余弦值．
2
，求二面角
A

解法二图
解法一：取
PB
的中点
D
，连接
CD
， 作
AE
⊥
PB
于
E
．
∵
PA
＝
AC
＝1，
PA
⊥
AC
，
∴
PC
＝
BC
＝
2
，∴
CD
⊥
PB
．
∵
EA
⊥
PB
，
∴向量
EA
和
DC
夹角的大小就是二面角
A
－
PB
－
C
的大小 ．
如图建立空间直角坐标系，则
C
(0，0，0)，
A
(1，0， 0)，
B
(0，
2
，0)，
P
(1，0，1)，由
D
是
PB
的中点，得
D
(,
121
,
)

2
22
323
PEAP
2
1
E(,,< br>)


,
由得
E
是
PD
的中点 ，从而
4
4
4
EB
AB
2
3
123121

EA(,,),DC(,,)

42
4422< br>
cosEA,DC
EA

DC
|EA||DC|
3


3
3


3
即二面 角
A
－
PB
－
C
的平面角的余弦值是
解法二：如图 建立空间直角坐标系，则
A
(0，0，0)，
B(2,1,0)
，
C
(0，1，0)，
P
(0，0，1)，
AP(0,0,1),AB(2, 1,0),CB(2,0,0),CP(0,1,1).

设平面
PAB
的法向量是
a
＝(
a
1
，
a
2
，
a
3
)，
Word 资料

.
平面
PBC
的法向量是
b
＝(
b
1
，
b
2
，
b
3
)．
由
a

AP0,a

AB0,

< br>
a
3
0,
得

取
a
1
＝1，得
a(1,2,0).



2a
1
 a
2
0,


2b
1
0,
由
b

CB0,b

CP0
得

取
b< br>3
＝1，得
b
＝(0，1，1)．


b
2
b
3
0,

cosa,b
a
b3


3
|a||b|
33
|


33
∵二面角
A
－
PB
－
C
为锐二面角，
∴二面角
A
－
PB
－
C
的平面角的余弦值是
|

【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面作出垂直于棱的两个向量，转化为这两 个向量的
夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．
2、当用法向量的方法求二面角时 ，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其
补角，但我们可以借助观察图形而得到结 论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．
练习
一、选择题：
1．在体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
BB
1
的中点，则二面角
E
－
A
1
D
1
－
D
的平面角的正切值是( )
(A)
2
(B)2 (C)
5
(D)
22

2．体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，直线
AD
1
与平面
A
1
ACC
1
所成角的大小是( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
3．已知三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，
A
1
在底面
ABC
的射影为△
ABC
的中心，则
AB
1
与底面
ABC
所成角的正弦值等于( )
(A)
1

3
(B)
2

3
(C)
3

3
(D)
2

3
4．如图，

⊥

，

∩

＝
l
，
A
∈

，
B
∈

，
A
，
B
到
l
的距离分别是
a
和
b
，
AB
与
，

所成的角分
别是

和

，
AB
在

，

的射影分别是
m
和< br>n
，若
a
＞
b
，则下列结论正确的是( )
(A)

＞

，
m
＞
n

(C)

＜

，
m
＜
n




(B)

＞

，
m
＜
n

(D)

＜

，
m
＞
n

二、填空题：
5．在体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
，G
，
H
分别为
AA
1
，
AB
，
BB
1
，
B
1
C
1
的中点，则异面直线
EF
与
GH
所成角的大小是______．
6．已知正四棱柱的对角线的长 为
6
，且对角线与底面所成角的余弦值为
3
，则该正四棱柱的体积
3
等于______．
7．如图，正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
＝2
AB
，则异面直线
A
1
B
与
AD
1
所成角的余弦值为______．
Word 资料

.

4题图 7题图 9题图
8．四棱锥
P
－
ABCD
的底面是直角梯形，∠
BAD
＝90°，
AD
∥
BC
，
ABBC
1
PA
⊥底面
ABCD，
AD
，
2
PD
与底面
ABCD
所成的角是3 0°．设
AE
与
CD
所成的角为

，则cos
 
＝______．
三、解答题：
9．如图，正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
＝2
AB
＝4，点
E
在
CC
1< br>上，且
C
1
E
＝3
EC
．

(Ⅰ)证明：
A
1
C
⊥平面
BED
；
( Ⅱ)求二面角
A
1
－
DE
－
B
平面角的余弦值．
10．如图，在四棱锥
O
－
ABCD
中，底面
ABCD是边长为1的菱形，
ABC
π
，
OA
⊥底面
ABC D
，
4
OA
＝2，
M
为
OA
的中点，N
为
BC
的中点．

(Ⅰ)证明：直线
MN
∥平面
OCD
；
(Ⅱ)求异面直线
AB
与
MD
所成角的大小．



11．如图，已知直二面角

－
PQ
－
< br>，
A
∈
PQ
，
B
∈

，
C
∈

，
CA
＝
CB
，∠
BAP
＝45°，直线
CA
和平
面

所成的角为30°．

(Ⅰ)证明：
BC
⊥
PQ
；
(Ⅱ)求二面角
B
－
AC
－
P
平面角的余弦值．


Word 资料

.
练习答案
一、选择题：
1．B 2．A 3．B 4．D
二、填空题：
5．60° 6．2 7．
三、解答题：
4
2
8．
4
5

9题图 10题图 11题图
9．以
D
为坐标原点，射线
DA
为
x
轴 的正半轴，建立如图所示直角坐标系
D
－
xyz
．
依题设，
B
(2，2，0)，
C
(0，2，0)，
E
(0，2，1)，A
1
(2，0，4)．

DE(0,2,1),DB(2,2,0),

A
1
C(2,2,4),DA
1
(2,0,4).

(Ⅰ)∵
A
1
C

DB
0,
A
1
C

DE
0,
∴
A
1
C
⊥< br>BD
，
A
1
C
⊥
DE
．
又
DB
∩
DE
＝
D
，∴
A
1
C
⊥ 平面
DBE
．
(Ⅱ)设向量
n
＝(
x
，
y
，
z
)是平面
DA
1
E
的法向量，则
n DE
,
nDA
1
.

∴


2yz0,
令
y
＝1，得
n
＝(4，1，－2)．

2x4z0.
n

A
1
C
|n||A
1
C|

14
14



∴二面角
A
1
－
DE
－
B
平面角的余弦值为
42
42
cos(n,A
1
C)
10．作
AP
⊥
CD
于点
P
．如图，分别以
AB
，
AP
，
AO
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立坐标系．

22222
,0),D(,
,0)
，
,,0)

O
(0，0，2)，
M
(0，0，1)，
N(1
44
2 22
22222
,,

1),OP

(0,,
< br>2),OD

(

,
,2)

(Ⅰ)< br>MN

(1

44222
则
A
(0，0，0 )，
B
(1，0，0)，
P(0,
设平面
OCD
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，则
n
OP0,n

OD0,

Word 资料

.

2


2
y2z0,
即
取
z2,
，得
n(0,4,2).



2
x
2
y2z0.

2

2
∵MNn0,
∴
MN
∥平面
OCD
．
(Ⅱ)设
AB
与
MD
所成的角为

，
AB(1,0,0),MD(
22|AB

MD|1
π
,, 1),cos

,

,

22
3
|AB||MD|
2
π


3即直线
AB
与
MD
所成角的大小为
11．(Ⅰ)证明：在平面< br>
过点
C
作
CO
⊥
PQ
于点
O< br>，连结
OB
．
∵

⊥

，
 
∩

＝
PQ
，∴
CO
⊥

．
又∵
CA
＝
CB
，∴
OA
＝
OB．
∵∠
BAO
＝45°，∴∠
ABO
＝45°，∠
A OB
＝90°，∴
BO
⊥
PQ
，又
CO
⊥
PQ
，
∴
PQ
⊥平面
OBC
，∴
PQ
⊥
BC
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
OC
⊥
OA
，
OC
⊥
OB
，
OA
⊥
OB
，故以
O为原点，分别以直线
OB
，
OA
，
OC
为
x< br>轴，
y
轴，
z
轴建立空间直角坐标系(如图)．

∵
CO
⊥

，∴∠
CAO
是
CA
和平面

所成的角，则∠
CAO
＝30°．
不妨设
AC
＝2，则
AO3
，
CO
＝1．
3.
在
Rt
△
OAB
中，∠
ABO
＝∠
BAO
＝45°，∴
BOAO
∴
O(0,0,0),B(3,0 ,0),A(0,3,0),C(0,0,1).

AB(3,3,0),AC(0,3,1).

设
n
1＝(
x
，
y
，
z
)是平面
ABC
的一 个法向量，


3x3y0,

n

AB 0,

由

得

取
x
＝1，得
n
1

(1,1,3)
．


3yz0,< br>
n

AC0,

易知
n
2
＝( 1，0，0)是平面

的一个法向量．
设二面角
B
－
A C
－
P
的平面角为

，∴
cos

< br>n
1

n
2
5

,

|n
1
|

|n
2
|
5
即二面角
B< br>－
AC
－
P
平面角的余弦值是
5


5
Word 资料