尊敬老人的作文-心得体会结尾

2020
年江西省鹰潭市高考数学一模试卷（二）

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

已知复数
z=
，则复数
z
的实部为（ ）
A.
-

2.

已知集合
B.
-

C.
-

D.
-

，则（ ）
A.
B
⊆
A

B.
A
⊆
B

C.
A=B

D.
A∩B=
∅
3.

如图
1
为某省
201 8
年
1
～
4
月快递义务量统计图，图
2
是该省2018
年
1
～
4
月快递
业务收入统计图，下列对统计 图理解错误的是（ ）


A.
2018
年
1
～
4
月的业务量，
3
月最高，
2
月最低，差值接近
2000
万件
B.
2018
年
1
～
4
月的业务量同比增长率超过
50%
，在
3
月最高
2018
年
1
～
4
月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不
C.
从两图来看，
完全一致
D.
从
1
～
4
月来看，该省在
2018
年快递业务收入同比增长率逐月增长
4.

已知向量与的夹角为
120°
，
||=3
，
|+|=
，则
||=
（ ）
A.
1

B.
3

C.
4

D.
5


D.
135°
5.

曲线
y=x
3
-4x+4
在点（
1
，
3
）处的切线的倾斜角为（ ）

A.
30°
B.
45°
C.
60°
6.

已知
f
（
x
）
=sin
（
2019x+
）
+cos
（
2019x-
）的最大值为
A
，若存在实数x
1
、
x
2
，使
得对任意实数
x
总有
f
（
x
1
）
≤f
（
x
）
≤f
（
x
2
）成立，则
A|x
1
-x
2< br>|
的最小值为（ ）
A.

B.

C.

D.

7.

在如图算法框图中，若
a=（
2x+1+sinx
）
dx
，程序运行的
结果
S为二项式（
2+x
）
5
的展开式中
x
3
的系数 的
3
倍，那
么判断框中应填入的关于
k
的判断条件是（ ）
A.
k
＜
3

B.
k
＞
3

C.
k
＜
4

D.
k
＞
4


第1页，共18页

8.

已知抛物线
C
：
x
2
=2py
（
p
＞
0
）的焦点为
F
，抛 物线
C
的准线与
y
轴交于点
A
，点
M
（< br>1
，
y
0
）在抛物线
C
上，
|MF|=，则
tan
∠
FAM=
（ ）
A.

B.

C.

D.

9.

某几何体的三视图如图所示（单位：
cm
），其俯视图为等边三角形，则该几何体的
体积（单位：
cm
3
）是（ ）

A.
4

10.

设
P
为双曲线
B.

C.
2

D.

右支上一点，
F
1
，
F
2
分别为该双曲线的左右焦点，
c
，
e
分别
， 直线
PF
2
交
y
轴于点
A
，则△
AF1
P
表示该双曲线的半焦距和离心率．若
的内切圆的半径为（ ）
A.
a

B.
b

C.
c

D.
e

11.

已知定义在
R
上的函 数
f
（
x
）满足
f
（
4+x
）
= f
（
x
），且
x
∈（
-2
，
2]
时，
f
（
x
）
=
则函数
g
（
x< br>）
=f
（
x
）
-|log
4
|x||
的零点个数是（ ）
A.
4

B.
7

C.
8

D.
9

12.

设
n
∈
N
*
，函数
f
1
（
x）
=xe
x
，
f
2
（
x
）
= f
1
′（
x
），
f
3
（
x
）=f
2
′（
x
），…，
f
n
+1
（< br>x
）
=f
n
′（
x
），曲线
y=f
n
（
x
）的最低点为
P
n
，△
P
n
P
n
+1
P
n
+2
的面积为
S
n
，则（ ）
A.
{S
n
}
是常数列
B.
{S
n
}
不是单调数列
C.
{S
n
}
是递增数列
D.
{S
n
}
是递减数列
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

设变量
x
，
y
满足约束条件，则
z=x-2y+6
的最大值为
______
．
，
b=6
，
cosB=-
，14.

设△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，若
a=2
那么角
C
的大小为
______
．
第2页，共18页

15.

一名同学想要报考某大学，他必须从该校的
8
个不同专业中选出
5
个，并按第一志
愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表． 若
A
专业不能作为第一、第二志愿，
则他共有
______
种不同的 填法（用数字作答）．
16.

正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
底面边长为，高为
3
，圆
O
是三角 形
ABC
的内切圆，点
P
是圆
O
上任意一点，则三棱锥P- A
1
B
1
C
1
的外接球的体积为
___ _____
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
2=5a
n
+1
，
2b
1
=a
1
，
17.

已知等比数列
{a
n
}
为递增数列，且
a
5
2
=a
10
，（
a
n
+a
n
+2
）数列
{b
n
}
满足：
b
n
+1-b
n
=a
1
．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
c
n
=
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和T
n
．







18.

如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
PA
⊥ 平面
ABCD
，
AB
⊥
AD
，
AC
⊥CD
，∠
ABC=60°
，
PA=AB=BC
，
E是
PC
的中点．


（
1
）求
PB
和平面
PAD
所成的角的大小．
（
2
）求二面角
A-PD-C
的正弦值．







19.

已知椭圆
C
：
=1
（
0
＜
n
＜
2
）．
（Ⅰ）若椭圆
C
的离心率为，求
n
的值；
（Ⅱ）若过点< br>N
（
-2
，
0
）任作一条直线
l
与椭圆C
B
，交于不同的两点
A
，在
x
轴上是否存在点
M
，使得∠
NMA+
∠
NMB=180°
？若存在，
求出 点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
第3页，共18页

20.

近年来， 随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交
易市场对
2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行
统计，得到频率分布直方图如图< br>1
．

附注：①对于一组数据（
u
1
，
v
1
），（
u
2
，
v
2
），…，（
u
n
，
v
n
），其回归直线
v=βu+α
的斜率和 截距的最小二乘估计分别为；
②参考数据：
e
2.95
≈19.1
，
e
1.75
≈5.75
，
e
0.55
≈1.73
，
e
-0.65
≈0.52
，
e
-1.85
≈0.16
．．
（Ⅰ）记“在
2017
年成交的二手车中随机选取一辆， 该车的使用年限在（
8
，
16]
”
为事件
A
，试估 计
A
的概率；
（Ⅱ）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图
2< br>，其中
x
（单位：年）
表示二手车的使用时间，
y
（单位：万 元）表示相应的二手车的平均交易价格．由
散点图看出，可采用
y=e
a
+< br>bx
作为二手车平均交易价格
y
关于其使用年限
x
的回归方< br>程，相关数据如下表（表中
Y
i
=lny
i
，）：

5.5


8.7


1.9

301.4


79.75


385


①根据回归方程类型及表中数据，建立
y
关于
x
的回归方程； ②该汽车交易市场对使用
8
年以内（含
8
年）的二手车收取成交价格4%
的佣金，
对使用时间
8
年以上（不含
8
年）的二手 车收取成交价格
10%
的佣金．在图
1
对使
用时间的分组中，以各组 的区间中点值代表该组的各个值．若以
2017
年的数据作
为决策依据，计算该汽车交 易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．





第4页，共18页

21.

已知函数
f
（
x
）
=lnx+mx
2
+nx+1
的 图象在
x=1
处的切线过点（）．
（Ⅰ）讨论函数
f
（
x
）的单调性；
（Ⅱ）若函数
g
（
x
）
=-f
（
x
）
+x+1
（
m
＞
0
）有两个极值点
x
1
，
x2
．证明：
g
（
x
1
）
+g
（
x
2
）＞
3-2ln2
．







22.

已知在平面直角坐标系
xOy中，直线
l
的参数方程为（
t
为参数），曲
线
C
1
的方程为
x
2
+
（
y-1
）
2
=1
以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．
（
1
）求直线
l
和曲线
C
1
的极 坐标系方程；
（
2
）曲线
C
2
：
θ=α
（
ρ
＞
0
，
0
＜
α
＜）分别交直线
l
和曲线
C
1
交于
A
、
B
，求
的最大值．







23.

已知函数
（Ⅰ）求不等式
（Ⅱ）若函数
．
的解集；

的定义域为，求实数的取值范围．







第5页，共18页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
A

解析：【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：∵
z==
，
∴复数
z
的实部为
-
．
故选：
A
．
2.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查函数定义域和值域的求解，考查集合的包含关系等基础知识，考查运 算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
先分别求出集合
A
和
B
，由此能求出结果．
【解答】 < br>解：∵集合
∴
A={x|-x
2
+x+2
＞
0}={ -1
＜
x
＜
2}
，
B={y|y
＞
-1}
，
∴
A
⊆
B
．
故选
B
．
3.
答案：
D
，

解析：【分析】
本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键，属于基础题．
根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可．
【解答】
解：选项
A
，
B
显然正确；
对于选项
C
，
2
月份业务量同比增长率为
53%
，而收入的同比增长率为
30%
，所以
C
是
正确的；
对于选项
D
，
1< br>，
2
，
3
，
4
月收入的同比增长率分别为
5 5%
，
30%
，
60%
，
42%
，并不是
逐月增长，
D
错误，
故选
D
．
4.
答案：
C

解析：【分析】
本题考查数量积的运算 及其计算公式，解一元二次方程，知道
已知条件对
|+|=
两边平方，进行数量积的运 算即可得到
第6页，共18页
是解题的关键．由
，解该方程

即可得出
【解答】

．
解：根据条件，
∴解得
故选
C
．
，或
-1
（舍去）．
=
；


5.
答案：
D

解析：【分析】
本题主要考查直线的倾 斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基
础题．求出函数的导数，在（
1
，
3
）处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．
【解答】
解：
y=x
3
-4x+4
可得，
f
′（
x
）
=3x
2
-4
，
f
′（
1
）
=-1
，
设切线的倾斜角为
α
，
tanα=-1
可得
α=135°
故选
D
．
6.
答案：
C

解析：【分析】

本题考查了 三角函数的最值，属中档题．先化简
f
（
x
）
=sin
（< br>2019x+
）
+cos
（
2019x-
）
=2si n
（
2019x+
），得
A=2
，
T=
【解答】
解：依题意
f
（
x
）
=sin2019xcos+cos2 019xsin+cos2019xcos+sin2019xsin

=sin2019x+cos2019x
根据题意可知所求答案为半个周期的
A
倍．
=2sin
（
2019x+
），
∴
A=2
，T=
∴
|x
1
-x
2
|
min
==< br>，
，
.
∴
A|x
1
-x
2
|
的最小值为
故选
C
．
7.
答案：
C

解析：【分析】
根据微积分和二项式定理的内容求出
a
，
S
，结合程序框图进行模拟运算即可．
本题主要考查程序框图的识别和判断，求出
a
，
S
的值，利用模拟运算法是解决本题的
关键．
【解答】
第7页，共18页

解：
a=
（
2x+1+sinx
）
dx=
（
x
2
+x-cosx
）
|=9 +3-cos3-9+3+cos3=6
，
=40
，即
S=3×40=120
， 二项式（
2+x
）< br>5
的展开式中
x
3
的系数为
a=6
，
S=6
，
k=5
，
S=6×5=30
，
k=4
，
k
不满足条件．
S=30×4=120
，
k=3
，则
k=3
满足条件．，
输出
S=120
，
故选：
C
．
8.
答案：
D

解析：【分析】
过
M
向抛物线的准线作垂线，垂足为
N
，根据
|MN|=|MF|
和
M< br>在坐标求出
p
的值，进而可得出
|MN|
的值．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
【解答】
解：过
M
向抛 物线的准线作垂线，垂足为
N
，
则
|MN|=y
0
+=，故
y
0
=2p
．
又
M
（
1
，
y
0
）在抛物线上，故
y
0
=
，于是
2p=
，解得
p=
，
∴
|MN|==
，
=
． ∴
tan
∠
FAM=tan
∠
AMN=故选：
D
．
9.
答案：
B

解析：【分析】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥
H-EFG
，然后由 柱
体体积减去三棱锥体积求解．

【解答】
解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥
H-EFG
，
第8页，共18页

三角形
ABC
的面积
S=
∴几何体的体积
V=< br>故选
B
．
10.
答案：
A
．
．

解析：【分析】
本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式．
根据题意，由 双曲线的标准方程可得
a
的值，设△
APF
1
的内切圆半径为
r
，由直角三角
形的性质分析可得
|PF
1
|+|PA|-|AF
1
|=2r
，由双曲线的几何性质分析
|AF
2
|-|AF
1
|=2r-2a
，由图
形的对称性知
2r-2a=0
，即 可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程
设△
APF
1
的内切圆半径为
r
，
∵，
，
∴
PF
1
⊥
PF
2
，
∴
|PF
1
|+|PA|-|AF
1
|=2r
，
∴
|PF
2
|+2a+|PA|-|AF
1
|=2r
，
∴
|AF
2
|-|AF
1
|=2r-2a
，
∵由图形的对称性知：
|AF
2
|=|AF
1
|
，
即
2r-2a=0
，解可得
r=a
，
故选：
A
．

11.
答案：
D
解析：解：定义在
R
上的函数
f
（
x
）满足
f
（
4+x
）
=f
（
x
），函数的周期为
4
，
且
x
∈（
-2
，
2]
时，
f
（
x
）
=
，
函数
g
（
x
）
=f
（
x
）
-|log
4
|x||
的 零点个数，就是：
y=f
（
x
）的图象与
y=|log
4< br>|x||
图象交点个
数．
画出函数的图象如图，
y=f
（< br>x
）∈
[0
，
1]
，
y=|log
4
|x||
是偶函数，当
x=4
时
y=1
，
|x|
＞
4
与
y=f
（
x
）
的图象没有交点，由函数的 图象可知两个函数的交点个数为
9
个．（图象中红
第9页，共18页

点）．

故选：
D
．
求出函数
f
（
x
）的周期，画出函数的图象，函数
g
（
x
）< br>=f
（
x
）
-|log
4
|x||
的零点个 数，转
化为：
y=f
（
x
）的图象与
y=|log
4
|x||
图象交点个数．
本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力．
12.
答案：
D

解析：【分析】
根据题意，依次求出 曲线
y=f
1
（
x
）、
y=f
2
（
x
）的最低点的坐标，分析可得
y=f
n
（
x
）的
最低点
P
n
的坐标，求出直线
P
n
P
n
+1
与
|P
n
P
n
+1
|
，再根据点到直 线的距离，即可求出三角
形的面积，根据函数的单调性即可判断．
本题考查导数的应用，涉及 三角形面积直线的求法，点到直线的距离公式，函数的单调
性，关键是求出最低点为
P
n
的坐标，属于难题
.
【解答】
解：根据题意，函数
f
1
（
x
）
=xe
x
，
其导数
f
1
′（
x
）
=
（
x
）′
e
x+x
（
e
x
）′
=
（
x+1
）
e
x
，
分析可得在（
-∞
，
-1
）上，
f
1
′（
x
）＜
0
，
f
1
（< br>x
）为减函数，
在（
-1
，
+∞
）上，
f
1
′（
x
）＞
0
，
f
1
（
x
）为增函数，
曲线
y=f
1
（
x
）的最低点
P
1
，（
-1
，
-
），
对于函数
f
2
（
x
）
=f
1
′（
x
）< br>=
（
x+1
）
e
x
，
其导数
f< br>2
′（
x
）
=
（
x+1
）′
ex
+
（
x+1
）（
e
x
）′
=
（
x+2
）
e
x
，
分析可得在（
-∞
，
-2
）上，
f
1
′（
x
）＜
0
，
f
1
（
x
）为减函数，
在（
-2
，< br>+∞
）上，
f
1
′（
x
）＞
0
，< br>f
1
（
x
）为增函数，
曲线
y=f
1（
x
）的最低点
P
1
，（
-2
，
-< br>），
…
分析可得曲线
y=f
n
（
x
）的 最低点
P
n
，其坐标为（
-n
，
-
）；
则
P
n
+1
（
-n-1
，
-
∴
| P
n
P
n
+1
|=
），
P
n
+2
（
-n-2
，
-
=
）；
，
第10页，共18页

直线
P
n
P
n
+1
的方程为，即为（
e-1
）
x+e
n
+1
y +e-n=0
，
故点
P
n
+2
到直线
P
n
P
n
+1
的距离
d=
∴
S
n
= |P
n
P
n
+1
|
•
d=
设
g< br>（
n
）
=
故
{S
n
}
是递减数列，
故选：
D
．
13.
答案：
6
，
，
，易知函数
g
（
n
）为单调递减函数，

解析：【分析】
本题主要考查线性规划的应用，利用
z
的几何意
义 ，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等
式组对应的平面区域，利用
z=x-2y+6得
y=x+3-
利用数形结合即可的得到结论．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z=x-2y+6
得
y=x+3-
，
平移直线
y=x+3-
，
由图象可知当直线
y=x+3-
经过点
AO
（
0
，
0
）时，
直线
y=x +3-
的截距最小，此时
z
最大，
z
max
=6
．
即
z
的最大值是
6
，
故答案为
6
．
14.
答案：


解析：【分析】
本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由
cosB=-< br>，可求
B
，可得
sinB=
．再利用正弦定理即可得出
sin A
的值，可求
A
，根据
三角形的内角和定理可求
C
的值．
【解答】
解：∵
cosB=-
，
∴
B
为钝角，可得
B=
，可得：
sinB=
．
∵由正弦定理可得：
=
，可得
sinA=
．
∴
A
为锐角，可得：
A=
．
第11页，共18页

∴
C=π-A-B=π--=
．
故答案为．
15.
答案：
5040

解析：【分析】
根据题意，分
2
步进行分析：①，从除
A
之外的
7
个专业中任选
2
个，作为第一、第二
志愿，②，在剩下的
6
个专业中任选
3
个，作为第三、四、五志愿，由分步计数原理计
算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
【解答】

解：根据题意，分
2
步进行分析：
①，
A
专业不能作为第 一、第二志愿，需要从除
A
之外的
7
个专业中任选
2
个，作 为第
一、第二志愿，有
A
7
2
=42
种选法，
② ，在剩下的
6
个专业中任选
3
个，作为第三、四、五志愿，有
A6
3
=120
种选法，
120=5040
种不同的填报方法， 则这名同学共有
42×
故答案为：
5040.


16.
答案：

解析：【分析】
本题考查三棱锥
P-A< br>1
B
1
C
1
的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱 锥
P-A
1
B
1
C
1
的外接球的半径是关键，是中 档题．
求出三角形
ABC
的内切圆的半径，再求出三角形
A
1B
1
C
1
的外接圆的半径，可得三棱锥
P-A
1
B
1
C
1
的外接球的半径，即可求出三棱锥
P-A
1B
1
C
1
的外接球的体积．
【解答】
解：∵正三棱 柱
ABC-A
1
B
1
C
1
底面边长为
2< br>，
∴等边三角形
ABC
的内切圆的半径为
△
A
1< br>B
1
C
1
的外接圆的半径为．
，

设球 心
O
到上下底面的距离分别为
h
，（
3-h
），
则
R
2
=1+h
2
=4+
（
3-h
）2
，解得
h=2
．
∴．
则三棱锥
P-A
1
B
1
C
1
的外接球的体积为
故答案为：．
． < br>17.
答案：解：（Ⅰ）对于数列
{a
n
}
，则（
a
1
q≠0
，
n
∈
N*
）
即，，
第12页，共18页

又∵
{a
n
}
为递增数列，则，
∴
a
n
=2n
，
数列
{b
n
}
满足：
2b
1
=a
1
=2
，
b
n
+1
-b
n
=a
1
=2
，
数列
{b
n
}
是以
1
为首项，以
2
为公差的等差数列，
∴
b
n
=2n-1
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
c
n
=
∴
T
n
=2
（
-+-
=
+
…
+-
=2[-
）
=2
（
-
]
，
）．

解析：（Ⅰ）利用已知有条件，建立方程组求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项求和求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的 通项公式的求法及应用，裂项求和在数列求和中的应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档 题．
18.
答案：解：（
1
）在四棱锥
P-ABCD
中，
∵
PA
⊥平面
ABCD
，
AB
⊂平面
AB CD
，
∴
PA
⊥
AB
．又
AB
⊥
AD
，
PA∩AD=A
，
PA
、
AD
平面
PAD
，
∴
AB
⊥平面
PAD
．
故
PB
在平面< br>PAD
内的射影为
PA
，从而∠
APB
为
PB
和平面
PAD
所成的角．
在
Rt
△
PAB
中，
AB=PA
，故∠
APB=45°
．
所以
PB
和平面
PAD
所成的角的大小为
45°
．
（
2
）在四棱锥
P-ABCD
中，
∵
PA
⊥平面
ABCD
，
CD
⊂平面
ABCD
，
∴
PA
⊥
CD
．
由条件
AC
⊥
CD
，
PA∩AC=A
，
PA
、
AC
平面
PAC
．
∴
CD
⊥平面
PAC
．
又∵
AE
⊂平面
PAC
，
∴
CD
⊥AE
．由
PA=AB=BC
，∠
ABC=60°
，可得
AC=PA
．
∵
E
是
PC
的中点，
∴
PC
⊥
AE
．
又∵
CDPC=C
，< br>CD
、
PC
平面
PCD
．
∴
AE
⊥平面
PCD
．
过点
E
作
EM
⊥
PD
，垂足为
M
，连接
AM
，如图所示．

∵
AE
⊥平面
PCD
，
PD
平面
PCD
，
第13页，共18页

∴
AE
⊥
PD
，
EMAE=E
，
EM
、
AE
平面
AEM
，
PD
⊥平面AEM,
AM
平面
AEM
，∴
AM
⊥
PD
．
∴∠
AME
是二面角
A-PD-C
的平面角．
∵∠
CAD=
∠
BAD-
∠
BAC=30°
，
∴设
CD=1
，，
Rt
△
PAC
中，．
．
在
Rt
△
ADP
中，∵
AM
⊥
PD
，
∴
AM
•
PD=AP
•
AD
， 得
在
Rt
△
AEM
中，
所以二面角
A-PD-C< br>的正弦值为
．
．
．

解析：本题考查线面角的求法，二 面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，空间思维
能力，是中档题
.
（
1
）先证
AB
⊥平面
PAD
，∠
APB
为
P B
和平面
PAD
所成的角，由此能求出
PB
和平面
PAD< br>所成的角的大小．
（
2
）得
PA
⊥
CD
， 再证
CD
⊥平面
PAC
，得
AE
⊥平面
PCD．过点
E
作
EM
⊥
PD
，垂足为
M
， 连接
AM
，则∠
AME
是二面角
A-PD-C
的平面角．由 此能求出二面角
A-PD-C
的正弦
值．
19.
答案：解：（Ⅰ） 因为
a
2
=2
，
b
2
=n
，所以
c
2
=2-n
，
又
e=
，得
n=
（
II
）若存在点
M
（
m
，
0
），使 得∠
NMA+
∠
NMB=180°
，
则直线
AM
和
BM
的斜率存在，分别设为
k
1
，
k
2
．等价于
k
1
+k
2
=0
．
依题意，直线
l
的斜率存在，故设直线
l
的方程为
y=k
（
x+2）．
由得（
2k
2
+n
）
x
2
-8 k
2
x+8k
2
-2n=0
．
因为直线
l
与椭圆
C
有两个交点，所以△＞
0
．
即（
8k
2
）
2
-4
（
2k
2< br>+n
）（
8k
2
-2n
）＞
0
，解得
k
2
＜．
设
A
（
x
1
，
y< br>1
），
B
（
x
2
，
y
2
） ，则
x1+x2=-
y
1
=k
（
x
1
+2
），
y
2
=k
（
x
2
+2
）．
令
k
1
+k
2
==0
，（
x
1< br>-m
）
y
2
+
（
x
2
-m
）
y
1
=0
，
，
x
1
x
2
=
．
（
x
1
-m
）
k
（
x
2
+2
）
+（
x
2
-m
）
k
（
x
1
+2
）
=0
，
当
k≠0
时，
2x
1
x
2
-
（
m-2
）（
x
1
+x
2
）
-4m=0
，，∴
m=-1
．
当
k=0
时，也成立．
所以存在点
M
（
-1，
0
），使得∠
PQM+
∠
PQN=180°
．

第14页，共18页

解析：（Ⅰ）由
a
2
=2
，
b
2
=n
，所以
c
2
=2-n< br>，又
e=
，得
n
（
II
）若存在点
M（
m
，
0
），使得∠
NMA+
∠
NMB=18 0°
，
则直线
AM
和
BM
的斜率存在，分别设为
k
1
，
k
2
．等价于
k
1
+k
2
=0
．
依题意，直线
l
的斜率存在，故设直线
l
的方程为
y=k
（
x+2
）．与椭圆方程联立，利用
△＞
0
．求出．设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），利用韦达定理，通过 令
k
1
+k
2
==0
，
求出
m
．
本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查
分析问题 解决问题的能力，属于难题．
20.
答案：解：（
1
）由频率分布直方图得 ，该汽车交易市场
2017
年成交的二手车使用
4=0.28
， 时间在（
8
，
12]
的频率为
0.07×
4=0.12
， 在

（
12
，
16]
的频率为
0.03×
∴
P
（
A
）
=0.28+0.12=0.40
；
（
2
）①由
y=e
a
+
bx

得，
lny=a+bx
，即
Y
关于
x
的线性回归方程为

．
∵，
，
∴
Y
关于
x
的线性回归方程为

为

；

和图
1
，对成交的二手车可预测：
，即
y
关于
x
的回归方程
②根据①中的回归方程

使用时间在（
0
，
4]
的平均成交价格为
e
3. 55-0.3×2
=e
2.95
≈19.1
，对应的频率为
0.2
；
使用时间在（
4
，
8]
的平均成交价格为
e
3. 55-0.3×6
=e
1.75
≈5.75
，对应的频率为
0.36
；
使用时间在（
8
，
12]
的平均成交价格为
e
3 .55-0.3×10
=e
0.55
≈1.73
，对应的频率为
0.28
；
使用时间在（
12
，
16]
平均成交价格为
e
3 .55-0.3×14
=e
-0.65
≈0.52
，对应的频率为
0.12
；
使用时间在（
16
，
20]
的平均成交价格为
e
3.55-0.3×18
=e
-1.85
≈0.16
，对应的频率为
0.04
．
19.1+0.36×5.75
）
×4%+
∴该汽车交 易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为（
0.2×
1.73+0.12×0.52+0. 04×0.16
）
×10%=0.29092≈0.29
万元． （
0.28×

解析：（
1
）由频率分布直方图求得该汽车交易市场
2017
年成交的二手车使用时间在（
8
，
12]
与

（
12
，
16]
的频率，作和估计
A
的概率；
（
2
）①由
y=e
a
+
bx

得，
lny=a+bx
，即
Y
关于
x
的线性回归方程为

．分别求得
与的值，则
Y
关于
x
的线性回归方程可求，进一步得到
y
关于
x
的回归方程；
②根据①中的回归方程

和图
1
，对成交 的二手车在不同区间逐一预测，即
可求得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金．
本题考查回归方程的求法，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．
21.
答案：解：由题意
f
（
x
）的定义域是（
0
，
+∞
），
f
′（
x
）
=+2mx+n
，
第15页，共18页

故
f
′（
1
）
=1+2m+n
，
f
（
1
）
=1+m+n
，
故切线方程是：
y=
（
2m+n+1
）
x-m
，
又切线过（，），
故
=
（
2m+n+1
）
-m
，
解得：
n=0
，
故
f
（
x
）
= lnx+mx
2
+1
；
（Ⅰ）
f
′（
x
）
=
，
①当
m ≥0
时，
f
′（
x
）＞
0
，
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）递增，
②当
m＜
0
时，令
f
′（
x
）
=0
， 解得：
x=
f
（
x
）在（
0
，
或x=-
（舍），
，
+∞
）递减， ）递增，在（
综上，
m≥0
时，
f
（
x
）在（
0
，
+∞）递增，
m
＜
0
时，
f
（
x
）在（
0
，）递增，在（，
+∞
）递减；
（Ⅱ）证明：
g
（
x
）
=-lnx- mx
2
+x
，
故
g
′（
x
）
=
，
∵
g
（
x
）有两个极值点
x
1
，
x
2
， < br>∴
g
′（
x
）
=0
即
2mx
2-x+1=0
有
2
个相异正数实根
x
1
，
x< br>2
，
∴
x
1
+x
2
=>0
，x
1
x
2
=>0
，
△
=1-8m
＞
0
即
m
∈（
0
，），
∴
g
（< br>x
1
）
+g
（
x
2
）
=-ln-m
（
-
）
+

=lnm++1+ln2
，
令
h
（
m
）
=lnm+
，
h
′ （
m
）
=
∵
0
＜
m
＜，
∴
h
′（
m
）＜
0
，
∴
h
（
m
）在（
0
，）递减，
∴
h
（
m
）＞
h
（）
=2-3ln2
，
∴
g
（
x
1
）
+g
（
x
2
）＞
3-2ln2
．
，

解析：本题主要考查了切线方程问题 ，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及等
式的证明，是一道综合题，属于较难题；
第16页，共18页

（Ⅰ）求出切线方程，代入点的坐标，求出
n< br>的值，求出
f
（
x
）的解析式，求出函数的
导数，通过讨论< br>m
的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，结合二次函数的性质证明即可．
22.
答案：解：（
1
）∵直线
l
的参数方程为（
t
为参数），
∴
y-4=-
，
∴直线
l
的普通方程为：，…………………（
1
分）
直线
l
的极坐标方程为．…………………………………………（
2
分）
∵曲线
C
1
的方程为
x
2
+
（
y-1）
2
=1
，即
x
2
+y
2
=2y，
∴
C
1
的极坐标方程为：
ρ=2sinθ
．……… ………………………………………………………
（
5
分）
（
2
）直线
l
的极坐标方程为，
令
θ=α
，则
∴
又
|OB|=2sinα
，
（
7
分） < br>∴
∵
0
＜
α
＜，∴
∴
=
时，即时，
+sinα=
，
取得最大值．…………………………………（
10
分）
=
，…………………（
9
分）
=OA
，
，……………………………………………………………………（
6
分）
，……………………………………………………………………

解析：（
1< br>）直线
l
的参数方程消去参数，能求出直线
l
的普通方程，由此能求出 直线
l
的极坐标方程；由曲线
C
1
的方程化为
x
2
+y
2
=2y
，由此能求出
C
1
的极坐标方程．
（
2
）直线
l
的极坐标方程为
从而，由
|OB|= 2sinα
，得
，令
θ=α
，则
，由此能求出
=OA
，
的最大值．
本题考查直线与曲线的极坐标方程的求法，考查线段和的最大值的求法，考查 极坐标方
程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2 3.
答案：解：（
I
）由已知不等式
f
（
x
）＜< br>x+|x+1|
，得
|x-2|
＜
x+|x+1|
，
当
x≥2
时，不等式为
x-2
＜
x+x+1
，解得
x
＞
-3
，所以
x≥2
；
当
-1
＜< br>x
＜
2
时，不等式为
2-x
＜
x+x+1
， 解得
x
＞，所以＜
x
＜
2
；
当
x≤-1
时，不等式为
2-x
＜
x-x-1
，解得
x
＞3
，此时无解．
综上：不等式的解集为（，
+∞
）．
（II
）若
y=log
5
[f
（
x+3
）
+f
（
x
）
-3a]
的定义域为
R
，则
f
（
x+3
）
+f
（
x
）
-3a
＞
0
恒成立．
∵
|x+1|+|x-2|-3a≥|x+1-x+2|-3 a=3-3a
，当且仅当
x
∈
[-1
，
2]
时取等 号．
∴
3-3a
＞
0
，即
a
＜
1
．
所以实数
a
的取值范围是（
-∞
，
1
）．

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解析：（
I
）讨论
x
的范围，去绝对值符号，解不等式；
（
II
）求出
f
（
x+3
）
+f
（
x
）
-3a
的最小值，令 最小值大于零即可得出
a
的范围．
本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．

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